DETERMINANTES II. Solución. 2. Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el siguiente determinante: A = Solución

Transcripción

1 DETERMINNTES II Halla los deermiaes de las siguiees marices: = B = B Calcula, aplicado la regla de Sarrus, el siguiee deermiae: = Obé el desarrollo del deermiae del ejercicio aerior por los adjuos de: a) La seguda fila El desarrollo del deermiae de por los adjuos de la seguda fila es: sigo egaivo sigo egaivo del elemeo a1 del elemeo a b) La primera columa El desarrollo del deermiae de por los adjuos de la primera columa es: sigo egaivo del elemo a Obé el valor del deermiae de la siguiee mariz: = 0 1 0

2 El deermiae lo hallamos por el desarrollo de los adjuos de la fila o columa que ega más elemeos ulos, por ejemplo, la seguda fila: El cálculo de los deermiaes de orde lo hacemos mediae la regla de Sarrus. Por ao: Si desarrollamos el deermiae que aparece e la siguiee igualdad 1 y x obeemos la ecuació x + y =. Expresa, mediae ua igualdad co u deermiae e uo de los miembros, las siguiees ecuacioes: Para expresar mediae u deermiae el primer miembro de esas igualdades, vamos a descompoer cada uo de sus érmios e el produco de dos facores. a) 5x 7 = x 7 5 x17 Por ao, ua solució es: x 7 x b) x + y = x 1 x y x x 1 y Por ao, ua solució es: y x x y 1 0 x 6. De ua mariz cuadrada de orde se sabe que su deermiae vale -1. Cuáo valdrá el deermiae de la mariz? Sea ua mariz de orde, al que 1. La mariz se obiee muliplicado odos los elemeos de por ; por ao, para calcular su deermiae aplicaremos la siguiee propiedad: Cuado se muliplica odos los elemeos de ua fila o columa por ua cosae k, el valor del deermiae queda muliplicado por esa cosae sí: 7. Dada la mariz , calcula la iversa de y 5. Vamos a calcular la mariz iversa -1 mediae la siguiee expresió: dj 1 1

3 Como 1 0 1: Para calcula la mariz 5 : Por iducció podemos obeer : , calcula la iversa de. 8. Dada la mariz Por el ejercicio aerior, eemos que: Como 1 0 1, la mariz iversa de es: Se cosidera a mariz a) Deermia los valores del úmero real para los que el deermiae de () sea cero ecuació cuyas solucioes so: =0 y = b) Halla la iversa de la mariz () para =-1 Para =-1, el deermiae 0. Por lo ao, la mariz iversa de es: Dada la mariz iee iversa halla los valores de para los cuales o 6 1 0

4 Para que la mariz o ega iversa se iee que cumplir 0. Por ao, por la regla de Sarrus: Resolviedo la ecuació 5 0 5, valores de para los que o iee iversa. 11. Resuelve la ecuació 1 x x 1 0 x Desarrollamos el deermiae por la regla de Sarrus: 1 x x x x 1. l resolver la ecuació resulae: 1 0 x x x x1 y x PU. Demuesra si desarrollar que el siguiee deermiae es ulo: a a 4a b 5b 6b c 7c 8c La ercera columa es igual a la suma de las oras dos; por ao, el deermiae es ulo. 1. Idica las propiedades de los deermiaes que permie escribir las siguiees igualdades: a) (1) F -8F 1 Si a ua fila se le suma ua combiació lieal de sus paralelas, su deermiae o varía. () Se saca facor comú de F 1 y 4 de F b) (1) Se saca facor comú 5 de F 1 y de F () F le sumamos F 1 () Si dos filas de u deermiae so iguales, vale cero.

5 14. Calcula el valor de a b c d e f g h i d e f, sabiedo que a b c 100 g h i a b c d e f d e f 1 d e f a b c 1 1 a b c 100 g h i g h i g h i (1) l permuar dos filas, cambia el sigo del deermiae. () Porque al cambiar el sigo de odos los elemeos de ua fila, el deermiae cambia de sigo. Como eso se ha hecho co res filas, cambia de sigo res veces: (-1) 15. Respode a la siguiees cuesioes: a) Defie el cocepo de mariz iverible. D u crierio para asegurar que ua mariz es iverible. Ua mariz se dice que es iverible cuado exise su mariz iversa. Para asegurar que ua mariz es iverible eemos que comprobar que b) Dada la mariz 1 1 0,deermia para qué valores del parámero m 1 0 m exise -1 Para aquellos valores de m que haga que el deermiae m Por ao, -1 exise para odo valor de m c) Para m=-1, resuelve x I 0 1 (I es la mariz ideidad) Para m=-1, la mariz iversa de m raspuesa de la mariz adjua dividida por la vamos a obeer como la

6 x x x I x 0 1 x x 1 1 x 1x x I 1 x 1 x x x x Cuyas solucioes so x 1 1 x i i 1 ( uidad imagiaria) x i 16. Calcula el valor del deermiae Uilizado las propiedades eemos: D 5a 5b 5c haciedo uso de las propiedades. a b c a 5b 5c 5 a b c 5 a b a c a a b c a b c a b a c a b ac a a b ac a c a b a a b a c a b ac ac b 15 () Sacamos facores comues; e F 1 y 5 e F (4) las columas C y C les resamos C 1 (5) Sacamos facores comues; (b-a) e C y (c-a) e C (6) Efecuamos el produco, ras desarrollar el deermiae por los elemeos de F Calcula el rago de la mariz , ya que F =F 1 +F ; por ao, se iee que rag()< Como el meor 1 6 0es de orde, rag()= 0

7 18. Calcula el valor de la cosae a para que el rago de la mariz sea. 1 1 a El rago de es mayor o igual que, pues el meor de orde : Para que el rago de o sea, se iee que cumplir Como: 0 0 a a eoces a 0 a 1 1 a 1 1 a Para cualquier oro valor de a, el rago de la mariz es x x PU. Sea la mariz x 1 x 1. Calcula su rago, segú los x 0 x 5 diferees valores de x. Para qué valores de x exise -1? Calculamos y resolvemos la ecuació 0: x x 0 x 0 0 x1 x1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x xx 1 x x 5 x x 5 x 0 x 5 x x x 5 1 x x x x x 1 x 0 x 0; x 1; x De: 1 Si x y rag 0,1, y exise 1 Para x=0, x=1 o x=-, 0, rag()< y o exise Esas solucioes so los úicos valores de x para los que rag()<. Vamos a esudiar, e cada caso, si el rago es ó 1 Si x= , 0 rag 0 0 Si x= , 6 0 rag 0 0 Si x=- 0 4, 0 rag