4.6. Teorema Fundamental del Cálculo
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- Aurora Fernández Lozano
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1 Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un unción integrble en [, b] Ê, Entonces l unción G deinid por: G(x) = es continu en [, b]. Demostrción. Se [, b]. Probemos que G es continu en. Pr esto, probemos que lím h 0 G( + h) = G( ), es decir, equivlentemente probemos que Pr probr esto último vemos primero que lím G( + h) G( ) = 0. h 0 G( + h) G( ) = = 0+h 0+h 0+h 0+h = M( ) h, 0 M( ) donde M( ) = sup { (x) : x [, b]}. Con esto, clrmente si h 0 entonces G( + h) G( ) 0. Teorem 4.4 (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo). Si es un unción continu en un intervlo I Ê y I, entonces l unción G deinid por: G(x) = es derivble en int(i) y demás G = en int(i). Primer Teorem Fundmentl del Cálculo 69
2 Demostrción. Se int(i). Pr probr que G es derivble en debemos probr que el límite G G( + h) G( ) ( ) = lím h 0 h existe y que vle ( ). Vemos si esto es cierto. Primermente, notemos que G( + h) G( ) = 0+h 0 = 0+h Consideremos primermente el cso h > 0. Como es continu en [, + h], se tiene que existen x y x [, + h] tles que: por lo tnto, integrndo en [, + h], es decir, (x ) (x) (x ), x [, + h] (x )h G( + h) G( ) (x )h, (x ) G( + h) G( ) h (x ). Clrmente, si h 0 + entonces x y x y como es continu, (x ) ( ) y (x ) ( ) luego G( + h) G( ) lím = ( ). (4.12) h 0 + h En el cso en que h < 0, como es continu en [ +h, ], se sbe que x y x [ +h, ] tles que (x ) (x) (x ), x [ + h, ] por lo tnto, integrndo en [ + h, ], es decir (x )( h) [G( + h) G( )] (x )( h), (x ) G( + h) G( ) h (x ). Clrmente, si h 0 entonces x y x y como es continu, (x ) ( ) y (x ) ( ) luego G( + h) G( ) lím = ( ). (4.13) h 0 h Juntndo (4.12) y (4.13) se obtiene el resultdo pedido. Observción: Notemos que l expresión G (x) = (x), x int(i) más l continuidd de G en I (Probd en l proposición 4.5) nos indicn que G(x) = es un primitiv de l unción en I. Es decir, el primer teorem undmentl del cálculo nos grntiz que tod 70
3 unción continu en un intervlo posee primitivs. Este resultdo lo conocímos en el cso de unciones sencills como x 2 o sen x y que x 2 = x3 3 + C, y sen x = cosx + C, es decir ermos cpces de encontrr un primitiv por simple inspección. Sin embrgo en el cso por ejemplo de e x2 o sen x x, donde no ermos cpces de clculr l primitiv, nos hcímos l pregunt de si tl primitiv existí o no. Este teorem nos dice que sí, es decir l primitiv de unciones continus siempre existe independientemente de si somos o no cpces de clculrl por inspección. En el cso en que l primitiv de un unción continu se conozc priori, este teorem permite tmbién clculr ls integrles. Este resultdo prece como el siguiente corolrio. Corolrio 4.2 (del Primer Teorem del Cálculo). Si l unción F, continu en I, es un primitiv de en I, entonces:, b I, Demostrción. Ddos, b I. Se G(x) = = F(b) F().. En virtud del Primer Teorem Fundmentl del Cálculo se sbe que G = sobre I, luego C Ê tl que G(x) = F(x) + C. Pero como G() = 0 entonces est constnte vle C = F() y luego G(x) = F(x) F() por lo tnto G(b) = = F(b) F(). π Ejemplo 4.4. sen xdx = ( cosπ) ( cos0) = 2 0 Ejemplo ( ) 1 (x x + 1)dx = ( ) = 11 6 Notción: En los ejemplos prece l expresión F(b) F(). Pr no escribir dos veces l unción F (sobre todo cundo su expresión es lrg) se costumbr notr Así el ejemplo 4.5 se escribe F(x) b F(b) F(). 1 0 (x 2 + x + 1)dx = ( ) x x =
4 Teorem 4.5 (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo). Se integrble en [, b]. Si existe un unción F continu en [, b] y derivble en (, b) tl que F = en (, b), entonces: = F(b) F() Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo Observción: El Segundo Teorem undmentl del cálculo es idéntico en contenido l corolrio del Primer T.F.C., solo l hipótesis es más mpli, y que solo pide que se integrble y no necesrimente continu. Demostrción. Se P = {,..., x n } un prtición culquier del intervlo [, b], entonces en cd intervlo [x i 1, x i ] l unción F(x) stisce ls hipótesis del teorem del vlor medio, es decir, ξ i [x i 1, x i ]: F(x i ) F(x i 1 ) = F (ξ i )(x i x i 1 ). Como:F (x) = (x) x [, b] F (ξ i ) = (ξ i ), demás, Luego, multiplicndo por x i se tiene o se m i () (ξ i ) M i () m i ()(x i x i 1 ) (ξ i )(x i x i 1 ) M i ()(x i x i 1 ), m i ()(x i x i 1 ) F(x i ) F(x i 1 ) M i ()(x i x i 1 ). Sumndo desde i = 1 hst i = n, se obtiene: s(, P) F(b) F() S(, P). Est últim desiguldd es válid pr culquier prtición P de [, b], luego, tomndo supremo e ínimo se tiene que: Y como es integrble en [, b] result que: F(b) F() Fórmul de Integrción por Prtes = F(b) F(). Recordmos que si y g son dos unciones continus en [, b] y dierencibles en (, b) se tiene que: (g) = g + g. Si demás lgun de ls unciones g o g uer integrble, l otr tmbién lo serí y se tendrí que. 72
5 es decir, (g) = g + g, g b = g + Con esto se h demostrdo el teorem siguiente g. Teorem 4.6. Sen y g son dos unciones continus en un intervlo I y dierencibles en int(i). Sen, b int (I). Si y g son continus entonces Integrción por Prtes g = g b g Integrción por Sustitución o Cmbio de Vrible Teorem 4.7. Se g un unción continu en un intervlo I y derivble en int(i), con g continu. Sen, b int (I), con < b. Se un unción continu en g([, b]), entonces: ( g)g = g(b) g() Cmbio de Vrible Demostrción. Se F un primitiv de (l que existe por ser continu), por el Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo, se tiene que: g(b) g() = F(g(b)) F(g()) = F g b. (4.14) Además: d dx (F g) = (F g) g = ( g) g. Luego F g es un primitiv de ( g) g, o se ( g)g = F g b. Comprndo est órmul con (4.14) result que: ( g)g = g(b) g(). 73
6 4.7. Teorems del Vlor Medio y Tylor pr integrles Teorems del Vlor Medio Deinición 4.7 (Vlor Medio de un Función). Se un unción integrble en el intervlo [, b]. Se llm vlor medio de en [, b] l número rel: 1 b. b A este rel se le not o bien. Vlor Medio de un Función Teorem 4.8 (Vlor Medio pr integrles). Si es continu en [, b], entonces ξ (, b) tl que (ξ) =, es decir: Vlor Medio pr integrles = (ξ)(b ). Demostrción. Se G(x) = (t)dt, entonces G es continu en [, b] y dierencible en (, b), luego por teorem del vlor medio pr derivds se sbe que ξ (, b) tl que G(b) G() = G (ξ)(b ), es decir, = (ξ)(b ) Teorem 4.9 (Vlor Medio generlizdo pr integrles). Si es continu en [, b] y g es un unción integrble en [, b] que no cmbi de signo, entonces ξ [, b] tl que g = (ξ) g. Vlor Medio generlizdo pr integrles Demostrción. Sen m = ín{(x) : x [, b]}, y M = sup{(x) : x [, b]}. Clrmente m (x) M, x [, b], 74
7 entonces multiplicndo por g (x) se tiene que m g (x) (x) g (x) M g (x), x [, b], e integrndo m g g M Si g = 0 g = 0 = (ξ) g, ξ [, b] y por lo tnto el teorem es cierto. Si g > 0 m g b g M y como es continu en [, b] y m = mín() y M = máx(), entonces por teorem del vlor intermedio, ξ [, b] tl que: g. (ξ) = g g y por lo tnto g = (ξ) g, lgún ξ [, b]. (4.15) Como g(x) no cmbi de signo en [, b] entonces g = λ g (λ = 1 o 1 dependiendo del signo de g). Luego multiplicndo (4.15) por λ se obtiene el resultdo Teorem de Tylor con Resto Integrl Se I un intervlo bierto que conteng l intervlo cerrdo de extremos y x. Consideremos un unción de clse C (n+1) (I), entonces clrmente (t)dt = (x) ( ), es decir, (x) = ( ) + (t)dt. (4.16) Además, si integrmos por prtes l últim expresión del modo siguiente: se obtiene u = (t) u = (t) v = 1 v = (t x) (t)dt = (t)(t x) x + = ( )(x ) + (x t) (t)dt Reemplzndo est integrl en (4.16) el vlor de (x) serí (x) = ( ) + ( )(x ) + 75 (x t) (t)dt. (x t) (t)dt. (4.17)
8 Nótese que quí se justiic plenmente el uso de l notción de Leibnitz pr integrles, y que sí se distingue l vrible de integrción t de l constnte x. Si integrmos por prtes nuevmente, del modo siguiente se obtiene u = (t) u = (t) v (x t)2 = (x t) v = 2 (x t) (t)dt = (t)(x t) 2 2 x = ( )(x ) (t)(x t) 2 dt (t)(x t) 2 dt. (Nótese que en l primer líne se h escrito F(t) x0 en lugr de F(t) x. Este es un x truquito clásico usr cundo l primitiv tiene un signo menos en su deinición. Así se evitn los repetidos signos y ls posibles uentes de errores en los cálculos). Reemplzndo est integrl en l órmul (4.17) se obtiene (x) = ( ) + ( )(x ) + ( )(x ) ! 2! Si continumos integrndo por prtes se obtendrá l órmul siguiente (x) = P n (x) + 1 n! (n+1) (t)(x t) n dt. (t)(x t) 2 dt. L demostrción se reliz por inducción, desrrollndo por prtes l últim integrl. El término: R n (x) = 1 n! se denomin resto integrl del desrrollo de Tylor. (n+1) (t)(x t) n dt Observción: Si en l expresión integrl del resto se plic el teorem del vlor medio generlizndo pr integrles se tiene que: R n (x) = (n+1) (ξ) n! = (n+1) (ξ) n! (x t) n dt [ (x t) n+1 n + 1 ] x0 = (n+1) (ξ)(x ) (n+1), (n + 1)! que corresponde l expresión de Lgrnge pr el resto del desrrollo de Tylor. x 76
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