Análisis Matemático IV

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1 Aálisis Matemático IV Relació 4. Ejercicios resueltos Ejercicio : Estudiar la covergecia putual y uiforme de las siguietes series fucioales e los cojutos que se idica (i) Σ x =! e x e [0, ] Primero, estudiamos si la serie coverge putualmete, es decir, si la serie umérica Σ x =! e x coverge jado u x [0, ]. Para ello, aplicamos el criterio del cociete: lim x x+ (+)!e (+)x x =!e x x ( + )e x = 0 <, por ser x < ex para todo x, por tato, teemos que la serie es putualmete covergete e [0, ] Ahora, itetamos aplicar el Criterio de Weierstrass, para lo que buscamos la mejor mayorate umérica. Para coseguirla, estudiamos el crecimieto de f (x) e [0, ] : f (0) = 0, f () =, f!e (x) = x e x +( x )e x = x e x ( x) = 0 x = luego!! el supremo de la fució está e f () =. Por tato, tomamos M!e =. Como Σ!e =M es covergete (aplicado de uevo el criterio del cociete), podemos aplicar el criterio de Weierstrass, obteiedo que Σ x =! e x es tambié uiformemete covergete e [0, ] (ii) Σ = e R ( +)e x Primero, estudiamos si la serie coverge putualmete, es decir, si la serie umérica Σ = ( + )e x coverge jado u x R. Para ello, aplicamos el criterio de la raíz lim (2 + )e = lim x (2 + )e = lim x lim + e = x e x covergete x (0, ) luego: ¾? x = 0 o covergete x (, 0) Queda sólo el caso dudoso x = 0, Σ = co la serie Σ = ( +) que coverge usado el crtierio de comparació

2 Por tato, la serie coverge putualmete e el itervalo [0, ) Ahora, estudiemos si la serie coverge uiformemete. Itetaremos utilizar el Criterio de Weierstrass para lo que buscamos la mejor mayorate umérica estudiado el crecimieto de f (x): f (0) =, lim + f (x) = 0, f (x) = que es estrictamete decreciete, luego ( +)e x el supremo es f (0) =. Si tomamos M + =, cuya serie asociada es covergete + abolutamete por el criterio de comparació co la serie Σ =, luego aplicado el Criterio de Weierstrass teemos que Σ = coverge uiformemete e [0, ) ( +)e x (iii) Σ = e (0, ) x 2 Primero, estudiamos si la serie coverge putualmete, es decir, si la serie umérica Σ = coverge jado u x (0, ). Para ello, aplicamos el criterio de comparació por cociete: lim 2 x 2 = > 0 para todo x (0, ) co lo que la serie es covergete putualmete, x2 ya que Σ = es tambié putualmete covergete. Ahora, estudiaremos si la serie es absolutamete covergete itetado aplicar el criterio de Weierstrass. Para ello buscamos la mejor mayorate umérica estudiado el crecimieto de f (x): lim 0 x =, lim 2 = 0, como o es acotada, o se puede aplicar el criterio de x 2 Weierstrass e (0, ), pero, si embargo si tomamos el itervalo [a, ), lim a x = 2 a, 2 lim = 0, y f x (x) = 2 que es escrictamete decreciete por lo que el supremo 2 x 3 es f (0) =, asi que tomado M a 2 = que es absolutamete covergete por lo a 2 demostrado ateriormete. Por cosiguiete, aplicado el criterio de Weierstrass, se tiee que Σ = uiformemete covergete e [a, ) x 2 x 2 (iv) Σ =x e [0, ) Primero, estudiamos si la serie coverge putualmete, es decir, si la serie umérica Σ =x coverge jado u x [0, ). Para ello, aplicamos el criterio de la raíz eésima: lim x = lim x = xlim = x = x < ya que x [0, ), luego Σ =x es putualmete covergete e [0, ). Ahora estudiemos la covergecia uiforme itetado utilizar el criterio de Weierstrass. Hallamos la mejor mayorate umérica estudiado el crecimieto de f : 2

3 f (0) = 0, f () =, luego, como o está acotada o podemos usar el criterio de Weierstrass. Itetaremos utilizar etoces el criterio de Cauchy:... Ejercicio 2: Demostrar que Σ = se(x) x 3 dee ua fució cotiua. se(x) Para demostrar que la fució suma de la serie dada por F (x) = Σ = x 3 dee ua fució cotiua basta co comprobar que las fucioes f (x) = se(x) x 3 coverge uiformemete hacia f. Para ello, vamos a itetar acotar los térmios de la sucesió por u M cuya serie sea covergete y, por tato, se obtega por el criterio de Weierstrass que la serie iicial es uiformemete covergete. Como Σ se(x) = x 3 = x 3 Σ se(x) = podemos estudiar la covergecia de la serie Σ se(x) = y después multiplicar por x 3. se(x) = M, cuya serie es sumable por ser ua serie del tipo Σ = co α >, luego podemos aplicar el criterio de Weierstrass y así, la serie α Σ se(x) = Σ se(x) = x 3 es uiformemete covergete, por lo que la fució suma de la serie F (x) = x 3 es ua fució cotiua. Ejercicio 3: ¾Es la serie Σ x = uiformemete covergete e el itervalo [, 2]?¾Se (+x) verica que la itegral de la suma coicide co la suma de las itegrales e [, 2]? Primero, aplicamos el criterio de la raíz para itetar demostrar que la serie es putualmete covergete co x [, 2] lim x (+x) = +x = 0 < para todo x [, 2], luego es covergete putualmete. Ahora, itetaremos ver si es uiformemete covergete. Para ello, itetaremos usar el criterio de Weierstrass buscado la mejor mayorate umérica, estudiado el crecimieto de la fució f : f () =, f 2 (2) = 2, f 3 (x) = (+x) x(+x) = 0 x = / [, 2] luego como (+x) 2 f (x) < 0 co x [, 2] es estrictamete decreciete y se obtiee que el supremo de la fució es f () =, que será quie tomemos como M 2. La serie asociada a esta sucesió es sumable puesto que es ua serie geométrica de razó r < co lo que, aplicado el criterio de Weierstrass, se tiee que la serie Σ x = es uiformemete covergete. (+x) Como, además, las fucioes f (x) = x so itegrables por ser cotiuas e [, 2], aplicado otro teorema podemos asegurar que la fució f(x) = Σ x (+x) = es itegrable y que (+x) la suma de las itegrales es igual a la itegral de la suma. 3

4 Sea a y b dos úmeros reales tales que 0 < a < b. Probar que la fució F : [a, b] R deida por F (x) = Σ =e x es itegrable e [a, b] y calcular b F (x)dx a Ejercicio 4: Primero, veamos que es covergete putualmete usado el criterio de la raíz eésima: lim e x = lim e x = e x < ya que a, b R + y e x >, luego usado el criterio de la raíz eésima la serie es putualmete covergete. Veamos ahora si la serie es uiformemete covergete, para ello, usaremos la mejor mayorate umérica estudiado el comportamieto de f (x): f (a) =, f e a (b) =, f e (x) = ( )e x < 0 por lo que f b es estrictamete decreciete y co ello se tiee que el supremo es siempre f (a) = a la que tomaremos como M e a. Además, la serie asociada a esta sucesió es sumable por lo demostrado más arriba (por el criterio de la raíz eésima) por lo que podemos cocluir que la serie iicial es uiformemete covergete aplicado el criterio de Weierstrass. Cosecuetemete, se tiee que como cada f es cotiua y, por tato, itegrable, se tiee que la fució suma F (x) = Σ =e x es itegrable por ser f uiformemete covergete y b F (x)dx = b a Σ = a e x dx = Σ =[ e x ] b a = Σ =( e b + e a ) Ejercicio 5: Determiar el campo de covergecia y la suma de la serie Σ = Estudiar tambié si la covergecia es uiforme x 2. (+x 2 ) Para determiar el itervalo de covergecia de esta serie es suciete escribir la serie como x 2 Σ =. Es obvio que la serie que queda detro es covergete por ser ua serie geométrica de razó < para todo x R {0}. Pero, para x = 0, se tiee que la serie es (+x 2 ) (+x 2 ) ua suma de ceros, co lo que tambié es covergete putualmete. E coclusió, la serie x 2 Σ = es covergete putualmete para todo x R. (+x 2 ) Para estudiar su suma, basta aplicar la fórmula de la suma de ua serie de progresió geométrica e el caso de que x 0: x 2 Σ = = x 2 (+x 2 ) x = 0, x 2 Σ = = 0Σ (+x 2 ) = = 0. (+0 2 ) (+x 2 ) (+x 2) = x 2 x 2 = ; y e el caso de que Ejercicio 6: Demostrar que la serie Σ = (x2 x 2+ ) coverge uiformemete e [0, ] Para itetar demostrar que la serie es covergete, primero, putualmete, vamos a itetar aplicar el criterio del cociete: 4

5 lim + (x2+2 x 2+3 ) (x2 x 2+ ) = lim ()x 2+2 ( x) (+)x 2 ( x) = lim ()x2 (+) = x2 < cuado x [0, ) luego por el criterio del cociete se tiee que la serie es putualmete covergete co x [0, ). Si estudiamos el caso dudoso e el que x = se tiee que la serie es ua suma de ceros co lo que tambié coverge putualmete a 0. Por tato, Σ = (x2 x 2+ ) coverge putualmete e [0, ] Veamos ahora si la serie coverge uiformemete y, para ello, itetemos usar el criterio de Weierstrass. Busquemos, pues, la mejor mayorate umérica M = sup f (x). Estudiamos el crecimieto de f : f (0) = 0, f () = 0, f (x) = (2x2 (2+)x 2 ) = x2 (2 (2+)x) = 0 x = 2, por tato existe u máximo e f 2+ ( 2 ) = 2 (( 2+ + )2 ( 2 2+ )2+ ) = ( 2 + )2 ( ( 2 )) = (2) 2 que tomaremos como M 2+ (2+) 2+. Veamos si la serie asociada a este M es covergete. Si usamos el criterio de comparació, teemos que: (2) 2 M = (2)2 (2)2. Esta última es ua subsucesió de la sucesió de (2+) 2+ (2+) 2+ (2+) 2 la progresió geométrica (2) que tiee razó r = 2 <, ya que > 0 y por tato la (2+) + serie geométrica asociada tambié coverge. Por tato, aplicado el criterio de Weierstrass a la serie Σ = (x2 x 2+ ) co M = (2) 2 se obtiee que es absolutamete covergete (2+) 2 e el itervalo [0, ] Ejercicio 7: Demostrar que la fució F (x) = Σ se(x) = 3 es derivable e todo puto Primero estudiamos la covergecia uiforme de f (x) = se(x). Esta fució es fácilmete 3 acotable dado que posee la fució seo e el umerador. Por tato, si tomamos f (x) = se(x) = M 3 3 y aplicamos el criterio de Weierstrass, dado que la serie Σ = es sumable 3 porque es ua serie del tipo Σ = co α >, se obtiee que la covergecia de f α a F es uiforme e todo puto x R. Por tato, tambié existe ua covergecia putual de la serie e todo R. Seguidamete, estudiamos si existe covergecia uiforme de la serie Σ =f. Para ello, comezamos calculado f (x) = cos(x) = cos(x), por lo que es fácl ver que existe covergecia, o sólo putual, sio uiforme e la serie fucioal ya que Σ cos(x) = Σ = = M, que es sumable porque es ua serie del tipo Σ = co α >, co lo que aplicado el criterio α de Weierstrass, se obitee la covergecia uiforme e R. Además, se tiee que las fucioes f C (R). Por tato, se cumple las hipotesis de u teorema que asegura que, etoces F (x) = Σ se(x) = 3 o es sólo derivable, sio que es de clase e todo puto dode exista las covergecias, es decir, e uestro caso, todo R 5

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