MATRICES. Jaime Garrido Oliver

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1 MATRICES Jaime Garrido Oliver

2 ÍNDICE DE CONTENIDOS ÍNDICE DE CONTENIDOS... 2 MATRICES INTRODUCCIÓN TIPOS DE MATRICES Matriz Fila, Matriz Columna Matrices cuadradas Matriz identidad Matriz Nula Matrices triangulares Matriz escalonada TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Propiedades de la matriz traspuesta Matrices simétricas Matriz Antisimétrica Matrices ortogonales Matrices Normales Matriz Idempotente Matriz Involutiva OPERACIONES CON MATRICES Igualdad Suma y resta de matrices Producto por un escalar Producto de matrices División de matrices MATRIZ INVERSA Cómo se obtiene la matriz Inversa? Método de Gauss- Jordan Propiedades de las matrices inversas EJERCITACIÓN CON MATRICES

3 MATRICES 1.1. INTRODUCCIÓN. 3 Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se debe a W. R. Hamilton y a A. Cayley. Además de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en geometría, estadística, economía, etc. Nuestra cultura está llena de matrices de números: El itinerario de los trenes es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días de la semana es otra, etc. Las tablas de sumar y multiplicar, la disposición de los alumnos en clase, las casillas de un tablero de ajedrez, las apuestas del loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices. Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. Así, las Hojas de Cálculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se pueden introducir datos y fórmulas para realizar cálculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices. Una matriz es un arreglo rectangular de números, es decir, es una disposición ordenada de filas y columnas de números; Los números de este arreglo se conocen con el nombre de elementos de la matriz. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 La matriz anterior se denota por ) = = o simplemente por ) Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n. Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...

4 El tamaño de una matriz se especifica por el número de filas y por el número de columnas que en total posee la matriz. De acuerdo a lo anterior una matriz se escribe como: 4 )*+,-.)*/0)-1 Ejemplos: La siguiente matriz es una matriz de 3 4: y donde sus filas son mientras que sus columnas son 2. TIPOS DE MATRICES Las matrices de pueden clasificar de acuerdo a su aspecto, a continuación estudiaremos cada uno de los tipos de matrices que existen Matriz Fila, Matriz Columna Cualquier matriz de tamaño significa que posee una sola fila por lo tanto a este tipo de matriz se le llama Matriz Fila, también en algunas ocasiones adopta el nombre de Vector Fila y son de la forma: = = ) Por el contrario si una matriz es de tamaño significa que posee una sola columna es por esto que se les conoce con el nombre de Matriz Columna, también es conocida como Vector Columna este tipo de matriz es de la forma: = = )

5 2.2. Matrices cuadradas 5 Las matrices cuadradas son de una importancia muy particular ya que cumplen con algunas propiedades y aplicaciones características solo de este tipo de matrices. Se conoce con el nombre de matriz cuadrada a todas aquellas matrices que tienen el mismo número de filas y columnas. Se dice que una matriz cuadrada es de orden n y se denomina matriz n- cuadrada. En una matriz cuadrada de orden n, la suma de los elementos de la diagonal principal se llama Traza de la Matriz B = La matriz B es una matriz cuadrada de orden 4, donde su diagonal principal está dada por: = = = = Su traza es: = + + )+ = 2.3. Matriz identidad Se conoce con el nombre de matriz identidad a toda matriz n- cuadrada que esta compuesta en su diagonal principal de unos mientras que el resto de sus elementos serán ceros, Se denotada por I Matriz Nula Se llama matriz nula a la matriz 0, donde todos los elementos de la matriz son ceros, = 2.5. Matrices triangulares Existen dos tipos de matrices triangulares: las matrices triangulares superiores y las matrices triangulares inferiores. Una matriz cuadrada = ) será una matriz triangular superior), si todos los elementos de la matriz bajo la diagonal principal son ceros. Así pues, las siguientes matrices son triangulares superiores: = =

6 Mientras una matriz triangular inferior) es aquella en que todos los elementos por sobre la diagonal principal son ceros, las siguientes matrices son ejemplos de matrices triangulares inferiores: = 2.6. Matriz escalonada = 6 Se conoce con este nombre a todas aquellas matrices donde el número de ceros anteriores al primer elemento diferente de cero, crece fila por fila hasta llegar a filas en que todos sus elementos sean ceros. = Dada una matriz A, si por medio de operaciones elementales se llega a otra matriz de tipo escalonada B, se dice que B es la escalonada asociada a A. Determine la matriz escalonada asociada a la matriz = ) = ) = = ) )

7 3. TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Para encontrar la traspuesta de una matriz A se deben de intercambiar las filas por las columnas y se denotara por Si la matriz A es de tamaño entonces su matriz traspuesta es de tamaño 7 Así, la traspuesta de = es = 3.1. Propiedades de la matriz traspuesta Si A es una matriz, se cumple que: ) = La matriz traspuesta de una traspuesta es igual a la matriz original ) = La traspuesta de un escalar por una matriz es igual al escalar por la traspuesta ) = + La traspuesta de una suma es igual a la suma de las traspuestas ) = La traspuesta de un producto es el producto 2ª traspuesta por la 1ª traspuesta ) = ) La inversa de una traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa. 4. Matrices simétricas Una matriz cuadrada A es simétrica si es igual a su matriz traspuesta: = ; para que una matriz sea simétrica debe si y solo si ser cuadrada. 5. Matriz Antisimétrica Una Matriz cuadrada A es antisimétrica si es igual a la opuesta de su matriz traspuesta: =

8 6. Matrices ortogonales 8 Se dice que una matriz A es ortogonal, si = = Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A - 1 = A T. Consideremos una matriz arbitraria: = Si A es ortogonal, entonces: = = ) ) ) ) ) ) = * 7. Matrices Normales Una matriz es normal, si y solo si conmuta con su traspuesta, es decir, si = Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal. Sea = Entonces: = = = = 8. Matriz Idempotente Una matriz cuadrada A es Idempotente si su cuadrado es igual a la misma matriz, es decir, =

9 9. Matriz Involutiva 9 Una matriz cuadrada A es involutiva si su cuadrado es igual a la matriz identidad o unidad, esto quiere decir, = 10. OPERACIONES CON MATRICES Igualdad Dos matrices A, B son iguales entre si, cuando poseen el mismo tamaño debiendo ser iguales todos los elementos correspondientes entre si. = = Suma y resta de matrices Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden y otra de no se pueden sumar ni restar. Es decir, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Sean las matrices = y = + = + ) * +, = entonces: + ) +* , = ), = ) * +, = ) * + =,,, Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

10 Sean = = y = entonces: 10 + = = ) + * ) + * ) + + ) Producto por un escalar = ) ) + * + ) ++ El producto de un escalar k por la matriz A, escrito o simplemente, es la matriz obtenida multiplicando cada elemento de la matriz por k: = Sea = entonces: = ) ) = Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices, es necesario que se cumpla la siguiente condición, la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que filas de la segunda matriz. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. = Es decir, si tenemos una matriz y la multiplicamos por otra de orden la matriz resultante será de orden ) ) = )

11 Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda División de matrices 11 Esta operación de matrices no se encuentra definida, por lo tanto cuando se necesita realizar la división se utiliza lo siguiente, el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que = Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar. 11. MATRIZ INVERSA Si A,B son dos matrices cuadradas, donde se verifica la propiedad de: = = Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A - 1. Cómo se obtiene la matriz Inversa? Existen una gran variedad de metodologías para calcular la matriz inversa, sin embargos debemos considerar lo siguiente: Solo las matrices cuadradas poseen Inversa. La matriz inversa de una matriz A es única. Algunas matrices cuadradas no poseen matriz inversa. Si una matriz posee toda una fila o columna está llena de ceros, entonces esta matriz no posee matriz inversa. Si dos filas o columnas se reiteran, o una es múltiplo de otra, la matriz no posee inversa. Si una fila o columna proviene de una operación entre otras filas o columnas, la matriz no posee inversa Método de Gauss- Jordan Antes de obtener la matriz inversa a través de este método necesitamos conocer un concepto previo; Se conoce con el nombre de Operaciones Elementales por filas las siguientes acciones: La multiplicación de todos los elementos de una fila por un escalar distinto de 0. La suma de un múltiplo de una fila a otra. Intercambio de dos filas entre si.

12 El método de Gauss- Jordan, para obtener una matriz inversa se basa en el siguiente teorema: Si una matriz A, mediante la realización de operaciones elementales se convierte en la matriz Unitaria, entonces la misma serie de operaciones elementales realizadas sobre la matriz unitaria, determinará la matriz inversa de A. 12 Es por esto que se necesita de una disposición paralela de la matriz A con la matriz unitaria, de esta forma se pueden realizar sobre ellas las mismas operaciones elementales, buscando que la matriz A se transforme en la matriz Unitaria, lo que a su vez nos lleva a que la matriz unidad se convierta en la inversa de A. Utilizando el método de Gauss- Jordan, obtenga la matriz Inversa de A. Solución: = ) Por lo tanto la matriz = + + ) * ) ) ) +

13 Si durante el trabajo con las operaciones elementales sobre una matriz se obtiene una fila o una columna llena de ceros, se concluye que la matriz A no es invertible, es decir, no posee inversa. Propiedades de las matrices inversas 13 Si A, B son matrices invertibles del mismo tamaño, siendo k un escalar, se cumplen las siguientes propiedades: Si B, C son matrices inversas de A, entonces B=C. AB es invertible, su matriz inversa es: AB ) = B A. es invertible. Su matriz inversa es: ) = Si es invertible ) = Si A es invertible = ) para = Para el caso en particular de las matrices de se puede generalizar una formula para obtener la matriz inversa. Sea = entonces su matriz inversa será = 12. EJERCITACIÓN CON MATRICES Sean = = ) * +, = a) Determine a que tipo de matriz pertenece cada una. b) Calcule la matriz resultante: + = + = + =

14 = Solución: a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí. 14 b) + = = = ) ) * ) ) ) + ) +) * + ) ) ) + ), + ) ) + = = = ) + ) * ) ) + + ) + +) ) + + +* ) +) ), ) )

15 = = = )+ )+ )+ )+ )+ )+ ) + * * ) * ) ) ) )+ )+ )+ )+ )+ )+ ) ) ) )+ ) )+ * ) )+ ) )+ * ) )+ ) )+ * ) Por el método de Gauss- Jordán hallar la matriz Inversa de Solución: ) + ) )