espacio recorrido 150 km tiempo empleado 2 h

Transcripción

1 Unidad 5 La derivada Velocidad instantánea Si un móvil recorre 150 km en horas, su velocidad promedio es de v v media def espacio recorrido 150 km tiempo empleado h 75km/h Pero realmente en este ejemplo no conocemos la velocidad que llevaba el móvil en un punto arbitrario de su trayectoria. Pensemos ahora que s(t) es una función creciente que le asigna a cada tiempo t un punto en un eje, es decir, la función de posición de un móvil. Es claro que si a<bentonces s(a) <s(b) y además, s(b) s(a) es la distancia que recorrió tal móvil. Para t a, la velocidad promedio que tiene el móvil en el intervalo de tiempo [a, t] o bien [t, a] es v v media s(t) s(a) t a s(a) s(t) a t Parece natural pensar que mientras más próximo esté t al número a, la velocidad promedio en el intervalo entre a & t se parecerá más a la velocidad que lleva el móvil en el instante a. Ejemplifiquemos numéricamente esta idea: Ejemplo 1 Sea s(t) 5t la posición en metros de un cuerpo, t segundos después de haber partido del reposo. Si a segundos, entonces s(a) 5a 5() 0 metros. Además: 1 canek.azc.uam.mx: 4/ 3/ 006 1

2 5.4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA UNIDAD 5. Si......entonces t s(t) [a, t] t a s(t) s(a) v s(t) s(a) t a 3 45 [, 3] m s [,.5] m s. 4.0 [,.] m s.1.05 [,.1] m s [,.01] m s [,.001] m s Notamos que cuanto más se acerca t al número a, la velocidad promedio v se acerca cada vez más al número v 0. Es decir v 0 m cuando t s. s Intuitivamente podemos decir que la velocidad instantánea v(t) en el instante t esv 0 m s. Así definimos la velocidad instantánea en a, denotada por v(a), como v(a) def lím t a s(t) s(a) t a s (a) o bien v(a) def lím h 0 s(a + h) s(a) h s (a) Ejemplifiquemos esta definición. Ejemplo Sea s(t) 8+0t 5t la posición (en metros) de un móvil en el instante (segundo) t 0. Determinar la velocidad instantánea v(t) del móvil en el instante: 1. t 0 arbitrario;. t 0 1segundo; 3. t 0 segundos. 3. t 0 3segundos. s(t) s(t 0 ) 1. Ya que v(t 0 )lím, entonces t t0 t t 0

3 UNIDAD VELOCIDAD INSTANTÁNEA s(t) s(t 0 ) (8 + 0t 5t ) (8 + 0t 0 5t v(t 0 )lím lím 0) t t0 t t 0 t t0 t t 0 8+0t 5t 8 0t 0 +5t 0 lím t t0 t t 0 0(t t 0 ) 5(t t 0 lím ) t t0 t t 0 0(t t 0 ) 5(t t 0 )(t + t 0 ) lím t t0 t t 0 lím[0 5(t + t 0 )] 0 5(t 0 + t 0 )0 10t 0 t t0. v(t 0 1)0 10(1) 10 v(1) 10 m s 3. v(t 0 )0 10() 0 v() 0 m s 4. v(t 0 3)0 10(3) 10 v(3) 10 m s El signo indica que el móvil se desplaza en sentido contrario al del eje. Ejemplo 3 Calcular la velocidad instantánea de una partícula cuya posición está dada por la función: s(t) at 3 + t + ct + d; donde a, b, c & d son constantes. La velocidad instantánea en cualquier tiempo t 0 es: s(t) s(t 0 ) (at 3 + bt + ct + d) (at 3 0 v(t 0 )lím lím + bt 0 + ct 0 + d) t t0 t t 0 t t0 t t 0 a(t 3 t 3 lím 0)+b(t t 0)+c(t t 0 ) t t0 t t 0 a(t t 0 )(t + tt 0 + t lím 0)+b(t t 0 )(t + t 0 )+c(t t 0 ) t t0 t t [ 0 lím a(t + tt 0 + t 0 )+b(t + t t t0 0)+c ] a(t 0 + t 0 + t 0)+b(t 0 + t 0 )+c a(3t 0 )+b(t 0)+c Esto es en cualquier instante t 0, v(t) a(3t )+b(t)+c 3at +bt + c 3

4 5.4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA UNIDAD 5. Ahora bien, la función s(t) puede tener cualquier otra interpretación, v.gr., puede ser la cantidad de una sustancia que tenemos en el tiempo t oelnúmero de individuos que hay en cierta población o la carga de un capacitor eléctrico o el trabajo o el costo de producir algo. s(t) s(a) es el incremento de tal cantidad o tal número o tal carga, o tal costo. La velocidad promedio con que cambia la cantidad de la sustancia, o el número de individuos, o la carga, o el trabajo o el costo de producción, será la razón promedio de cambio o bien razón media de cambio de la función s(t) en el intervalo [a, t], o simplemente entre a y t. Es decir s(t) s(a) v v media t a y la razón de cambio de s(t) con respecto a t será la velocidad instantánea, o sea la derivada de s(t). Así pues si P es un punto que se mueve sobre un eje y s(t) es la función de posición, entonces la velocidad v(t) de P es la derivada (de la función de posición) s (t), luego v(t) es la razón de cambio de s(t) con respecto al tiempo t; o simplemente rapidez de cambio de s(t). Así también la aceleración a(t)dep en el instante t se define como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, es la derivada de la derivada o segunda derivada de la función de posición s(t) que denotamos por s (t). Esto es a(t) v (t) [s (t)] s (t) Ejemplo 4 Si s(t) t 4t 5 es una función de posición de una partícula que se mueve en un eje horizontal con sentido de izquierda a derecha. 1. Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) 0?. Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) 7? 1. Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) 0? s(t) 0 t 4t 50 (t 5)(t +1)0 t 5 o bien t 1 Es decir la partícula pasa por el origen en los tiempos t 1 o bien t 5 La velocidad de la partícula para todo t es: v(t) s (t) lím h 0 s(t + h) s(t) h lím h 0 th + h 4h h Así calculamos la velocidad para los tiempos anteriores: lím h 0 [(t + h) 4(t + h) 5] (t 4t 5) h lím h 0 (t + h 4)t 4 4 v( 1) ( 1) 4 6 (para t 1 la partícula se mueve hacia la izquierda).

5 UNIDAD VELOCIDAD INSTANTÁNEA v(5) (5) 46 (para t 5 la partícula se mueve hacia la derecha).. Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) 7? s(t) 7 t 4t 57 t 4t 10 Vamos a encontrar las raíces de esta útima cuadrática: t 1, 4 ± 16 4(1)( 1) 4 ± Así calculamos la velocidad para los tiempos anteriores: 4 ± (para t 6 la partícula se mueve hacia la derecha). v(6) (6) 48 v( ) ( ) 4 8 (para t la partícula se mueve hacia la izquierda). Ejemplo 5 Si s(t) t 3 3t +8 es una función de posición de una partícula que se mueve en un eje horizontal dirigido de izquierda a derecha. 1. Cuál es la posición de la partícula cuando v(t)0?. Cuál es la posición de la partícula cuando a(t) 0? 1. Cuál es la posición de la partícula cuando v(t)0? v(t)s (t) 3t 6t v(t)0 3t 6t 0 3t(t )0 t 0 o bien t Calculamos la posición de la partícula en esos tiempos: s(0) 8 s()

6 5.4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA UNIDAD 5.. Cuál es la posición de la partícula cuando a(t) 0? a(t) v (t) 6t 6 Calculamos la posición de la partícula en ese tiempo: a(t) 0 6t 60 t 1 s(1) 1 3 3(1) Ejemplo 6 Dos partículas se mueven a lo largo de un eje horizontal. Al final de t segundos sus distancias a partir del origen están dadas por 1. Cuándo tienen la misma velocidad? s 1 (t) 4t 3t & s (t) t t respectivamente. Cuándo tienen la misma rapidez?. (La rapidez de una partícula es el valor absoluto de su velocidad). 3. Cuándo tienen la misma posición? 1. Cuándo tienen la misma velocidad? Calculamos la velocidad de ambas partículas: v 1 (t) s 1(t) 4 6t v (t) s (t) t Así: v 1 (t) v (t) 4 6t t 68t t Cuándo tienen la misma rapidez?. (La rapidez de una partícula es el valor absoluto de su velocidad.) v 1 (t) v (t) 4 6t t Para resolver esta igualdad hacemos las siguientes consideraciones: Las raíces de 4 6t yt son t 3 y t 1 respectivamente. 6

7 UNIDAD VELOCIDAD INSTANTÁNEA y y t 3 1 t y 4 6t (a) t 3 < 1 4 6t 0yt < 0 4 6t t 4 6t (t ) 4 6t t + 4t t 1 (b) 3 <t 1 4 6t <0yt 0 4 6t t (4 6t) (t ) 4+6t t + 8t 6 t 3 4 (c) 3 < 1 <t 4 6t <0yt > 0 4 6t t (4 6t) t 4+6t t 4t t 4 1 No es solución puesto que 1 (1, ) Las partículas tienen la misma rapidez cuando t 1 y t Cuándo tienen la misma posición? s 1 (t) s (t) 4t 3t t t 4t 6t 0 t(t 3) 0 t 0 o bien t 3 7

8 5.4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA UNIDAD 5. Ejemplo 7 Una partícula se mueve en línea recta y su posición instantánea está dada por la función donde t 0 se mide en segundos y s en metros. s f(t) t 3 6t +9t 1. Calcular la velocidad de la partícula en cualquier instante t y después de segundos.. Cuándo la partícula está en reposo? 3. Cuándo la partícula se mueve hacia la derecha? 4. Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5 segundos. 5. Calcular la aceleración en cualquier instante t y después de 3 segundos. 6. Cuándo la aceleración de la partícula es nula? 1. Calcular la velocidad de la partícula en cualquier instante t y después de segundos. La velocidad instantánea en t 0 es v(t) ds dt f (t) 3t 1t + 9 m/s Entonces, después de t segundos la velocidad instantánea es v() f () 3() 1() m/s. Cuándo la partícula está en reposo? La partícula está en reposo cuando v(t) 0, lo cual sucede cuando v(t)3t 1t +90 3(t 4t +3)0 3(t 1)(t 3)0 { t 10 t 30 { t 1 t 3 Es decir la partícula está en reposo cuando t 1s y cuando t 3s. 8

9 UNIDAD VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3. Cuándo la partícula se mueve hacia la derecha? La partícula se mueve hacia la derecha cuando v(t) > 0, lo que sucede cuando v(t) 3t 1t +9> 0 3(t 4t +3)> 0 t 4t +3> 0 (t 1)(t 3) > 0 Desigualdad que se cumple cuando: t 1 < 0&t 3 < 0 o bien t 1 > 0&t 3 > 0 t<1&t<3 o bien t>1&t>3 t<1 o bien t>3 Es decir, cuando 0 t<1 o bien t>3 Esto es hay movimiento hacia la derecha en los intervalos de tiempo [0, 1) y (3, + ) 4. Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5 segundos. Para calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5 segundos, debemos tomar en cuenta que: En t 0 la posición es f(0) 0 Cuando 0 <t<1 la partícula se mueve hacia la derecha y se detiene en t 1 cuando su posición es f(1) 4 m, lo que indica que durante el primer segundo la partícula ha recorrido 4 metros Cuando 1 <t<3 la partícula se mueve hacia la izquierda y se detiene en t 3, cuando su posición es f(3) 0, lo que indica que en este intervalo de tiempo la partícula retrocedió desde f(1) 4 m hasta f(3) 0 m Lo cual nos permite afirmar que entre t 1s y t 3s la partícula recorrió de nuevo 4 m Finalmente, cuando 3 <t 5 la partícula se mueve hacia la derecha desde la posición f(3) 0 hasta la posición f(5) 0 m lo que indica que en el intervalo de tiempo 3 <t 5 la partícula recorre 0 metros. Luego la distancia total recorrida durante los primeros 5 segundos es: d 4+4+0m 8metros 5. Calcular la aceleración en cualquier instante t y después de 3 segundos. La aceleración (instantánea) es la rapidez de cambio de la velocidad (instantánea), por lo cual a(t) d dt v(t) d dt (3t 1t +9)6t 1 medida en m/s, es la aceleración en el instante (segundo) t 0. Entonces después de 3 segundos la aceleración instantánea es a(3) 6 m/s 9

10 5.4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA UNIDAD Cuándo la aceleración de la partícula es nula? La aceleración de la partícula es nula cuando a(t) 0, lo que sucede cuando a(t) 6t 1 0 6t 1 t Es decir la aceleración nula ocurre después de t seg de haberse iniciado el movimiento; y precisamente en el punto medio del intervalo 1 t 3, donde la partícula pasa de una velocidad v(1) 0 a la velocidad v(3) 0. 10