NT8. El Valor en Riesgo (VaR)

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1 NT8. El Valor en Riesgo (VaR) Introducción VaR son las siglas de Valor en el Riesgo (Value at Risk) y fue desarrollado por la división RiskMetric de JP Morgan en es una manera de medir el riesgo de mercado de un activo o una cartera de activos financieros. De manera resumida el VaR cuantifica la máxima pérdida potencial que una cartera puede tener en función de un nivel de confianza, y para un determinado horizonte temporal. Dicho de otra manera, al calcular el VaR obtendremos un número que representa la pérdida máxima que se puede tener en la cartera. Por ejemplo, si el VaR de una cartera está calculado en euros en un día, con un índice de confianza del 95%, no quiere decir que obligatoriamente se pierdan los euros, sino que, en el caso de entrar en pérdidas, lo máximo que se puede perder de hoy a mañana, y con una probabilidad del 95%, son euros. De esta forma se puede ajustar el capital necesario. fig. 1 Histograma de Frecuencias de las pérdidas y ganancias diarioas del IBEX-35 desde 1990 hasta 2002 Otra medida complementaria del VaR es la denominada Pérdida Esperada en la Cola o ETL (Expected Tale Looses). Cuando se calcula el VaR para un índice de confianza determinado, por ejemplo, el 95% se divide la distribución de pérdidas y ganancias en dos conjuntos: uno que contiene el 5% y tiene las pérdidas superiores al VaR, y otro del 95% con las pérdidas inferiores al VaR y los beneficios. Esto se puede observar en la siguiente Figura 1, donde se ha construido el histograma de frecuencias de las pérdidas y ganancias diarias del IBEX-35 desde enero de 1990 hasta finales de La línea vertical que parte en un nivel de pérdidas entre los -150 y los -200 euros, es el quinto percentil de la distribución que deja a la izquierda el 5% y a la derecha el 95% de la distribución. Esa línea representa el VaR al 95%, ya que es la máxima pérdida que se puede obtener al 95% de probabilidad. Dicho de otra manera, si las pérdidas y ganancias fuesen un juego de azar y las extracciones se obtuviesen de este histograma, hay un 95% de obtener una pérdida o una ganancia del conjunto de la derecha, y la máxima pérdida son -150 euros. Pero existe un 5% de probabilidad de obtener una pérdida diaria superior a -150 y ese riesgo no es desdeñable; un gestor de carteras puede adecuar su capital perfectamente a lo que le indique el VaR, ya que puede arruinar la empresa si un día obtiene una pérdida dentro del conjunto situado a la izquierda del percentil que marca el VaR y esa pérdida es lo suficientemente grande. Es decir, es preciso tener también alguna medida de esas pérdidas que se quedan en la cola. Esa medida es el promedio de las pérdidas que exceden al VaR por la izquierda durante un periodo de tiempo. A esta media es lo que denominamos ETL. Cálculo del VaR Básicamente el VaR se puede calcular mediante dos metodologías: 1. Metodología paramétrica. Basada en las varianzas y covarianzas de los rendimientos de los precios de los activos. 2. Metodología de simulación, que se subdivide en: a. Simulación histórica. En función de los rendimientos históricos de los precios de los activos. b. Simulación de MonteCarlo. En función de la simulación de rendimientos mediante números aleatorios. Pr. Dr. Pablo García Estévez 1 de 6

2 Cálculo del VaR mediante la metodología paramétrica. NT8 Riesgo y CAPM Esta metodología es la recomendada para carteras de acciones y de divisas en las que se conoce la distribución estadística de los rendimientos. La ecuación que calcula el VaR paramétrico es la siguiente: Ecuación 1 VaR = VM σ i Nσ t Donde VM el valor de mercado del activo; σ i la desviación estándar de los rendimientos de los precios del activo; Nσ el número de desviaciones estándar que hay dentro del nivel de confianza escogido y la distribución estadística elegida (generalmente se utiliza la distribución normal). En el caso de una cartera de activos, el VaR vendrá dado por la siguiente ecuación: VaRP = VMC σ P Nσ Donde VMC el valor de mercado de la cartera t σ P = N N i= 1 j= 1 X i X j σ ij Veamos un ejemplo: Supongamos una cartera de acciones con un valor de euros y que está compuesta por un 25% invertido en Acerinox, un 30% en Amadeus y el 45% restante en BBVA. Con los precios históricos de los de los últimos cuatro años y medio calculamos los rendimientos diarios, y obtenemos la información que se detalla en la Tabla 1. Tabla 1 Pesos Rendimiento STD covarianzas Acerinox 25% 0,017% 2,179% 0, , , Amadeus 30% -0,110% 3,234% 0, , , BBVA 45% -0,011% 2,341% 0, , , El riesgo de la cartera medido por su desviación típica es de 2,009% diario. Es decir: 0, , , , , ,25 0,45 ( 0,25 0,30 0,45) 0, , , ,30 = 0, , Representa una volatilidad anual del 31,13% si asumimos una media de 240 días de cotización al año Para calcular el VaR paramétrico hay que aceptar la hipótesis de que los rendimientos de la cartera se distribuyen mediante una normal, y calcular cuántas desviaciones típicas tiene dicha distribución para el índice de confianza indicado. 0, = 0,3113 En la Figura 2 representamos el histograma de frecuencias de los rendimientos de la cartera y lo comparamos con una fig. 2 Histograma de los rendimientos de la cartera frente a una distribución normal. Se distribución normal puede comprobar que la distribución de la cartera es muy similar a la normal, por lo que podemos utilizar la metodología paramétrica. La Pr. Dr. Pablo García Estévez 2 de 6

3 tabla 2 es una tabla de doble entrada. En las columnas se han situado los diferentes grados de confianza, y en las filas los diferentes horizontes temporales. En la segunda fila se ha insertado el cálculo NSTD que indica el número de desviaciones típicas que existen en una distribución normal para el grado de confianza asignado. Por ejemplo, en el 99% de toda la distribución están comprendidas 2,33 desviaciones típicas. En otras palabras, si a la media se le suma y resta 2,33 veces la desviación típica, se obtiene un rango que comprende el 99% de la distribución. Tabla 2 G. confianza días 99% 98% 95% 90% NSTD 2,33 2,05 1,64 1, ,94 196,93 190,90 180, ,34 278,50 269,97 255, ,83 440,34 426,86 404, ,67 880,68 853,72 808, , , , ,87 Aplicando la ecuación del VaR paramétrico para carteras se pueden calcular las diferentes pérdidas máximas para cada uno de los grados de confianza, y los diferentes horizontes temporales de la tabla anterior. Por ejemplo, la máxima pérdida que puede tener la cartera de euros, en cinco días y para un grado de confianza del 95%, es de 426,86 euros: , ,95 Raíz (5) = 426,86 Cálculo del VaR mediante simulación histórica. El procedimiento para el cálculo del VaR mediante la simulación histórica es el siguiente: 1. Identificación de las series temporales de las variables que afectan al valor del activo. 2. Calculo de los rendimientos en cada periodo. Se utiliza para realizar este cálculo las tasas de variación continuas: P Rto = Ln P ix ( i 1) X Donde P ix es el valor i esimo de la serie de la variable X. 3. Generación de los pesos simulados. A los valores actuales se les aplica las n-1 tasas de variación calculadas anteriormente, obteniendo n-1 escenarios. 4. Cálculo de los valores patrimoniales para cada escenario. 5. Cálculo de las pérdidas o ganancias para cada valor patrimonial. 6. Calculo del percentil del vector de pérdidas y ganancias. Veamos un ejemplo: Analicemos una cartera de euros invertida íntegramente, a finales de agosto de 2004, en un fondo de inversión indiciado al índice AIAF de bonos y obligaciones empresariales con vencimiento superior a 2 años. Los datos que recibe el inversor son mensuales y se puede albergar la sospecha de que la distribución de los rendimientos mensuales no se comporta como una normal. Para comprobarlo se construye el diagrama de frecuencias de los rendimientos mensuales del índice AIAF, y se compara con fig. 3 Histograma de frecuencias de los rendimientos mensuales del índice AIAF desde octubre de 1991 hasta noviembre de 2001 una distribución normal. La Figura 3 muestra este diagrama de frecuencias. Pr. Dr. Pablo García Estévez 3 de 6

4 Nuestras sospechas se confirman, ya que el gráfico de barras se asemeja muy poco a la figura de la distribución normal. Esto condiciona elegir la metodología de cálculo del VaR y obliga a rechazar la metodología paramétrica. Por lo tanto, en este ejemplo emplearemos la simulación histórica. En la Tabla 3 se sitúa en la columna B el índice AIAF, y en la C el rendimiento mensual de éste índice, calculado a través de la siguiente fórmula: Rto = Ln(Precio mes actual / Precio mes pasado) Tabla 3 A B C D E F 1 Fechas AIAF Rendimiento Simulación Cartera P Y G OCT 11,56 4, , NOV 11,756 1,68% 4, ,2 169, DIC 11,626-1,11% 4, , , ENE 11,603-0,20% 4, ,466-19, FEB 11,322-2,45% 4, , , MAR 11,051-2,42% 3, , , ABR 11,202 1,36% 4, , , MAY 4,28 1,18% 1, ,972 43, JUN 4,11-4,05% 1, , , JUL 4,07-0,98% 1, ,397-33, AGO 4,13 1,46% 1, ,238 50,841 El último precio, de agosto de 2004, se sitúa al principio de la columna D de la Tabla, columna que se denomina simulación. Esta técnica proyecta el comportamiento pasado del índice hacia el futuro, por lo que los incrementos y decrementos del índice ya están fijados. El precio del siguiente día se calcula teniendo en cuenta el primer rendimiento que hubo en la serie de datos utilizada, y el segundo precio simulado se calcula con el segundo rendimiento de la serie de datos. La ecuación que utilizamos para calcular los nuevos precios es la siguiente: Nuevo precio = Precio mes pasado e Rendimiento Así, por ejemplo, el primer precio simulado se calcula como Y el segundo precio Y así sucesivamente. 4,13 e 0,0168 = 4,20 4,20 e -0,011 = 4,154 Una vez que se ha simulado la nueva serie de precios del índice AIAF se puede calcular el valor simulado de la cartera en cada momento. Estos cálculos aparecen en la columna E. Con estos datos podemos calcular la serie simulada de pérdidas y ganancias mensuales, calculando las diferencias correlativas de los valores de la cartera, que se sitúan en la columna F. Una vez calculada esta serie se puede calcular el VaR con un índice de confianza del 95%, con solo calcular el quinto percentil de la serie de pérdidas y ganancias. El valor del VaR (95%) es de 526,20 euros de pérdida. Es decir que la máxima pérdida que el inversor puede tener en un mes comprando esta cartera es de 526,2 euros. Simulación por MonteCarlo mediante la simulación de MonteCarlo utiliza números aleatorios para simular las variaciones de las variables con las que se calcula el precio de la cartera. Se puede resumir esta técnica en los siguientes pasos: 1. Identificar las variables creadoras de valor de la cartera y tomar una serie histórica de precios 2. Calcular los rendimientos diarios con el logaritmo neperiano del cociente de los precios. 3. Calcular la frecuencia acumulada de los rendimientos en la serie histórica tomada Pr. Dr. Pablo García Estévez 4 de 6

5 4. Generar tantos números aleatorios como simulaciones se quiera realizar. Cada número aleatorio representa una frecuencia acumulada que está asignada a un rendimiento en concreto 5. Utilizar ese rendimiento para calcular la variación de los precios 6. Calcular la serie de pérdidas y ganancias con los precios simulados 7. Calcular el percentil adecuado que represente el Valor en Riesgo. Veamos un ejemplo: El 29 de abril de 2004 un inversor quiere calcular el VaR, a través de la simulación de MonteCarlo, de una cartera que compra 9 futuros mini del S&P 500. Para esto toma la serie de precios de cierre de este índice desde el 28 de noviembre de 1997, y calcula los rendimientos diarios con el logaritmo neperiano de los precios diarios correlativos. Con la serie de los rendimientos construye el histograma de frecuencias, que resulta ser el que se representa en la Tabla 4. Tabla 4 Incremento Frecuencia Acumulada Incremento Frecuencia Acumulada -7,0% 1 0,06% 0,0% ,84% -6,5% 0 0,06% 0,5% ,21% -6,0% 0 0,06% 1,0% ,82% -5,5% 1 0,12% 1,5% ,88% -5,0% 1 0,19% 2,0% 74 94,50% -4,5% 0 0,19% 2,5% 43 97,19% -4,0% 3 0,37% 3,0% 16 98,19% -3,5% 5 0,69% 3,5% 12 98,94% -3,0% 12 1,44% 4,0% 9 99,50% -2,5% 23 2,87% 4,5% 2 99,63% -2,0% 43 5,56% 5,0% 3 99,81% -1,5% 92 11,31% 5,5% 2 99,94% -1,0% ,18% 6,0% 1 100,00% -0,5% ,29% El paso siguiente es generar número aleatorios. Se generan números aleatorios para realizar días de simulación. Cada número aleatorio representa una frecuencia acumulada y por tanto un incremento. Por ejemplo, el primer número aleatorio es 0, , que representa una frecuencia acumulada de 58,40%. Si localizamos esta frecuencia en la tabla de frecuencia acumulada anterior, vemos que corresponde a un incremento del 0,5%. El precio del S&P 500, que en la fecha del análisis estaba en 1.113,89 puntos, se incrementará en esa cantidad, y el nuevo precio será de 1.119,47 puntos ,89 e 0,005 = 1.119,47 Con este procedimiento se calculan todos los precios de los días simulados, y a continuación se calcula el valor de la cartera multiplicando por 9 el S&P 500, obteniendo la serie de valores de la cartera. Se calculan las pérdidas y ganancias, como la diferencia de los diferentes precios correlativos, y el quinto percentil de esta serie de pérdidas y ganancias, para derivar el VaR con un índice de confianza del 95%. resulta ser de 1.313,73 euros. Es decir la máxima pérdida que se puede tener en la cartera, con una probabilidad del 95% y en un día, es de 1.313,73 euros. Tabla 5 A B C D E 1 Nº aleatorios Incremento SP500 Cartera P Y G , ,01 3 0, ,50% 1.119, ,23 50,22 4 0, ,00% 1.130, ,48 101,25 5 0, ,00% 1.130, , , ,50% 1.136, ,51 51,03 Pr. Dr. Pablo García Estévez 5 de 6

6 Cálculo de la ETL NT8 Riesgo y CAPM Como ya se ha señalado, la ETL son las siglas inglesas que se refieren a la Pérdida Esperada en Cola (Expected Tale Loss) y representa el promedio de los valores negativos que exceden al VaR por la izquierda. Su cálculo no está exento de complejidad, pero se puede resumir en los siguientes puntos: 1. Calcular el VaR para una cartera en un periodo determinado 2. Calcular las pérdidas y ganancias de los últimos n periodos 3. Extraer las pérdidas que excedan por la izquierda al VaR 4. Calcular el promedio de esas pérdidas Tomamos el primer cuatrimestre del IBEX 35 y calculamos el VaR paramétrico con un índice de confianza del 95% y una desviación típica de 60 días. Se construye la serie de pérdidas y ganancias diarias como diferencia entre los valores correlativos del índice. Por último, observamos, para cada día, los 60 valores de pérdidas y ganancias inmediatamente posteriores, y de esta serie de valores extraemos los que tienen un valor inferior al VaR de ese día. El promedio es la ETL. Lógicamente, y tomando el concepto de VaR, la ETL debe comprender el porcentaje complementario al índice de confianza. Es decir, si hemos calculado un VaR al 95%, la ETL debe contener el 5% de los valores de pérdidas y ganancias. La Figura 4 muestra la representación de la ETL (línea fina), del VaR (línea gruesa), y de las pérdidas y ganancias (+). Observamos que existen algunas pérdidas que se sitúan por debajo de la línea del VaR. La ETL es el promedio de esas pérdidas y como tal, se situará siempre por debajo del VaR. Cuando se calcula la ETL para una serie larga se cumplen las características que se han comentado en este epígrafe. Tomando la serie del IBEX 35 desde enero de 1990 hasta abril de 2004 se obtienen valores. Al realizar el VaR paramétrico, al 95% de confianza y tomando 60 días para el cálculo de la desviación típica, se observa que el 5,17% de las pérdidas y ganancias diarias se sitúan por debajo del nivel del VaR. fig. 4 Representación del VaR y de la ETL para periodos de 60 días del IBEX-35 desde abril de 2003 hasta abril de La ETL es una mejor medida para la adecuación del riesgo de los gestores ya que, aunque con el VaR al 95% se consigue que la adecuación responda al 95% de los casos, uno de los casos del 5% restante puede tener tal magnitud de pérdida que arruine la cartera o la empresa. La ETL mitiga en alguna medida este problema al aumentar el capital asignado a la adecuación del riesgo. Pr. Dr. Pablo García Estévez 6 de 6

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