FACTORIZACIÓN. Capítulo TRILCE

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1 TRILCE Cpítulo FACTORIZACIÓN Ftorizr un polinomio s somponrlo n os o más polinomios llmos ftors, tl moo qu, l multiplirlos, s otng l polinomio originl. Ejmplo : y ( y)( y) Ants ftorizr y ftorizo ftors Pu notrs qu si multiplimos (+y)(-y) s otin y qu vin sr l polinomio originl (l ftorizión y l multipliión son prosos invrsos). Ftor Primo Es qul polinomio qu no s pu somponr n otros polinomios. Ejmplo : y no s primo (s pu somponr). y s primo (no s pu somponr). Propis :. El númro máimo ftors primos qu tin un polinomio stá o por su gro. Así por jmplo : 6 6 los más tin ftors primos.. Los polinomios linls (primr gro) nsrimnt son primos.. Sólo s pun ftorizr los polinomios no primos. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN I. Métoo l Ftor Común S pli uno n toos los términos l polinomio s rpit l mismo ftor, l qu s nomin ftor omún. Pr ftorizr, s tr término l polimonio l ftor omún, (si ést tuvis ifrnts ponnts, s lig l mnor ponnt). Ejmplo :. Ftorizr : y + z + w. Soluión : y+z+w "" ftor omún s tr "". Ftorizr : y y z y w Soluión : y y 7 7 y z y w ftor omún s tr "y " tnrmos : y (y y z w) polinomio ftorizo mnor ponnt. Ftorizr : Sol. grupno : (+)+(+) ftor omún : + s tr (+) tnrmos : (+)(+) polinomio ftorizo (y+z+w) polinomio ftorizo 9

2 Álgr II. Métoo ls Intis En st so, s utilizn ls intis lgris (Proutos Notls); pro n form invrs, s ir tnino l prouto s luln los ftors qu l iron orign. S pu utilizr ulquir Prouto Notl stuio; pro los qu s utilizn on más fruni los rormos n l siguint uro : Prouto Notl Polinomio Ftorizo Difrni Curos : (+)(-) Trinomio Curo Prfto : (TCP) ( ) Sum o Difrni Cuos : ( )( ) Ejmplo : Soluión :.Ftorizr : y 0 9 ( 9)( ) Soluión : ( ) y ( y)( y) polinomio ftorizo. Ftorizr : 0 Soluión : ) Asp Dol : S pli polinomios l form : A By Cy D Ey F s otinn os ftors trinomios. ()() ( ) polinomio ftorizo. Ftorizr : 7 Soluión : ( )( 9) polinomio ftorizo Rgl : * S somponn n os ftors : A ; Cy ; F * Mint trs sps, s omprun: By, D, Ey. Ej. Ftorizr : 0 y y 6 y 8 III. Métoo ls Asps ) Asp Simpl : S pli trinomios, otniénos ftors inomios. Rgl : s somponn os los términos, n os ftors, lugo s lul l sum l prouto n sp, tl qu s igul l término no sompusto l trinomio. Ej. Ftorizr : 0 9 Soluión : 0 y y 6 y 8 y -y - Comproions : Asp -y + 6y = y Asp -y - y = -y Asp - 0 = -6 lugo, tnrmos : (+y+)(-y-) 0

3 TRILCE ) Asp Dol Espil Gnrlmnt, s pli polinomios urto gro l form : A B C D E S otinn os ftors trinomios sguno gro. Rgl : * S somponn : sum l prouto n sp. * L sum otni s rst A y E, lugo s lul l C. * L ifrni qu rsult s sompon n os ftors pr omprorlos on : B y D. Ejmplo : Ftorizr : 9 6 Soluión : 9 6 Cso B : ofiint prinipl posils ros : Rgl pr ftorizr : ivisors T. inpnint ivisors ofiint prinipl ) S lul los posils ros y s ompru si lguno nul l polinomio, por jmplo : Si s nul pr : = (-) s ftor = - (+) s ftor = / (-) s ftor ) Al polinomio o, s l ivi ntr l ftor o ftors inomios otnios n l primr pso, l oint st ivisión s l otro ftor l polinomio. Ejmplos :. Ftorizr : 6 7 Soluión : IV. Comproión : Asp qu s rst 9, otniénos Asp.. Asp. +. = ( )( ). Métoo los Divisors Binomios o Evluión Binómi S pli polinomios ulquir gro, gnrlmnt on un sol vril, simpr qu tngn por lo mnos un ftor linl (primr gro). "Cros" un Polinomio Son los vlors l vril qu nuln l polinomio. Pr otnr los posils "ros" un polinomio, tnrmos : Cso A : ofiint prinipl = posils ros : ivisors l término inpnint * Posils ros (ofiint prinipl= ).,,, 6 ivisors 6 * S ompru qu s nul pr: = (-) s ftor. * S ivi por Ruffini l polinomio ntr (-) : - = 0 * Finlmnt tnmos : ( )( 7) Ftorizr : ftor fltnt * Posils ros (ofiint prinipl ) :,,, 6 Divisors "" ( ) Divisors "6" * S ompru qu s nul pr: /. * S ivi por Ruffini ntr : -. * Finlmnt, tnmos :

4 Álgr ) Si prn ponnts prs trtrmos formr TCP. Ejmplo : Ftorizr : Soluión : 8 IV. (ftor fltnt) tnrmos : ( )( ). Métoo los Artifiios En st so, no istn rgls fijs. S pli uno ls rgls ntriors no son fáils plir; pro s pu romnr lo siguint : ) Si os o más términos s rpitn onstntmnt, s sugir hr mio vril. Ejmplo : Ftorizr : ( ) ( ) Soluión : ( ) Hmos : ++ = s lig l ltr qu s s mnos :,, rmplzno : ( ) ( ) ( ) - ( ) omo : = ++ (++)[ (++)- ] Tnmos : ( ) ( ) pr formr TCP, nsitmos : ( )( ) Artifiio Summos y rstmos : 8 TCP ( ) ( ) ( )( ) y ftorizo ) Si prn ponnts imprs, prourmos formr sum o ifrni uos. Ejmplo : Ftorizr : Soluión : * Como hy ponnts imprs, usmos sum o ifrni uos. * Si " " l ftorizn " ", pr " ". Artifiio : summos y rstmos. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

5 TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Inir l númro ftors primos : P(; y) 7 y y ) ) ) ) ) 6 0. Sñlr un ftor primo, l ftorizr : F(; y) y y y ) y ) y - ) ) - y ) y 0. Inir un término un ftor primo : R(; y) 6 y y y y ) y ) y ) ) y ) 0. Ftorizr : y y F(;y) y y y y y El ftor primo qu más s rpit s : ) y + ) y - ) ( y) ) + y ) - y 0. Ftorizr : F(; y) ( y ) (y ) Un ftor primo s : ) + y ) - y ) + ) y ) y Ftorizr : F(; y) ( y) ( y) y Un ftor primo s : ) + y ) - y ) + y ) - y ) Ftorizr : F() ( ) ( ) Un ftor primo s : ) - ) - ) + ) + ) Si l polinomio : F() (m ) (m ) Es ftoril min un sp simpl (n los ntros), más : m Z m. Inir un ftor primo. ) + ) + 7 ) + ) + ) Ftorizr : F(;y) ( y) 8y ( y) y L sum sus ftors primos s : ) + y ) + y ) + y ) + y ) + y 0. Ftorizr : F() 6 El término inpnint uno sus ftors primos s : ) - ) - ) 6 ) -6 ) -. Ftorizr : F() 6 L sum ofiints uno sus ftors primos s : ) ) ) ) 7 ) 9. Ftorizr : F() 6 9 L sum sus ftors primos s : ) 6 - ) 8 - ) + ) + 7 ) -. Ftorizr : P() 6 08 inir l ftor primo rptio. ) - ) - ) + ) - ) +. Ftorizr : F() ( ) ( ) L sum ftors primos linls s : ) + ) + ) ) + ) -. Inir l sum ftors primos : 7 ( ) ) + 6 ) - ) - ) )

6 Álgr 6. Dr l sum los ftors primos : ( - )( - ) ) + 7 ) - 7 ) - ) + 7 ) + 7. Dr un ftor primo : ) ) ) ) ) 8. Dr un ftor primo : ( ) ( ) ( ) ) + ) ) + + ) ) 9. Ftorizr : ( + )( + )( + )( + ) - inir qu l sum los términos linls sus ftors primos. ) 6 ) 0 ) 8 ) 0 ) 0. Cuántos ftors linls tin : ) ) ) ) ). S : R() ( ) ( 7) ( Iniqu l númro ftors primos : ) ) ) ) ) ) ( 6). Iniqu l númro ftors primos linls : 8 P(;y) y y y 6 y ) ) ) ) ) 8. Inir un ftor primo : F(;y) 7 y y y ) y ) y y ) ) y y ) y 6 y. Ftorizr : F(;) 7 Inir l ftor primo myor gro. ) ) ) ). Ftorizr : F() ( ) ) ( ) ( ) Inir l vlor numério un ftor primo, pr =. ) ) 0 ) ) - ) Hy os orrts 6. Un ftor : s : ) - ) + ) + ) + ) Uno los ftors 8 6 s: ) ) ) ) ) 8. Ftorizr : R( ;y) y ( Iniqu l sum ftors primos. ) ( y ) ) ( y ) y ) y ) ( y ) ) ( y ) ) ( y y ) 9. Ftorizr : 6 P(m) m 7m 8 Inir l término linl uno los ftors primos urátios. ) m ) -m ) m ) 8m ) -m 0. Al ftorizr un polinomio n l onjunto los númros ntros, mint l proiminto l sp simpl, s rliz lo siguint : 8 ( )

7 TRILCE Entons un ftor primo l polinomio s: ) - ) + ) + ) + ) +. Al ftorizr : ( )( 7)( 6)( ) 0 uno los ftors linls s : ) - ) + 7 ) + 6 ) + ) -. Ftorizr : ( ) ( ) 79 Iniqu l sum toos sus ftors primos: ) (+) ) (+) ) (+) ) (+) ) (+). Iniqu un ftor primo : A() ( )(6 )( )( ) ) + ) - ) + ) + ) 6. Hllr l prouto los ofiints l ftor primo myor término inpnint l polinomio. P() ) ) ) 8 ) ). Si s sumn lgrimnt, los ofiints y los términos onstnts los trs ftors inomios, n los qu pu somponrs l polinomio : , s otin : ) ) 9 ) 0 ) ) Ftorizr : P() Iniqu l inomio qu no s ftor. ) - ) + ) - ) + ) Toos son ftors 7. Dtrminr l númro ftors primos l siguint polinomio : P() ) ) ) ) ) 8. Inir l sum ofiints un ftor primo : P() 0 0 ) ) ) ) 7 ) 9. Hllr l númro términos un ftor primo n Q : 7 6 F(n) n n n n n ) ) ) ) ) 6 0. En uánto isminuy l númro ftors primos : ( - )( - )( - ) (6 + ); si l rstmos 0? ) En ) En ) En ) En ) No vrí iho númro. Sñl un ftor primo : P(m;n) m(m mn ) n(n mn ) ) m + n ) m - n ) mn + ) ) m n. Un ftor : s : m mn n ( y 6 y y y ) ) y y ) y ) y ) y y ) y y. Al ftorizr : K uno sus ftors s : 09 6 ) + ) - ) - ) - ) +. Dsomponr n ftors : y y yz yz ) (-z)(z-y)(+y)(+z) ) (-z)(+z)(+y)(y-z) ) (+z)(+y)(y-)(z-y) ) (z-)(y-z)(-y)(+z) ) N.A. yz z y z z

8 Álgr. Dsomponr n os ftors : ( y) y( y). Iniqu un ivisor : 0 R() ( ) ) ( y )( y y y ) ) ( y )( y y y ) ) ( y )( y y y ) ) ( y )( y y y ) ) ( y )( y y y ) 6. Ftorizr : ( ) ( ) ( ) ( ) inir l sum los ftors : ) ) ) ) ) 7. Ftorizr : A(;y;z) ( y) (y z) (z y ) Iniqu l númro ftors primos otnios. ) ) ) ) ) 8. Ftorizr : R() ( ) ( 9) ( )( ) Inino un ftor primo. ) + ) + 8 ) + 7 ) + ) Hy orrts 9. Ftorizr : ( ) y( y )( y ) (y ) ( ) Iniqu l númro ftors primos. ) ) ) ) ) 0. Ftorizr l polinomio : P() ; y r omo rspust l sum ofiints l ftor gro. ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ). Inir l vlor numério qu form uno los ftors primos : ( ) ; pr : = -. ) - ) - ) 0 ) ). Dr l sum los ofiints l ftor primo mnor gro n : 7 ( ) ( ) ) 7 ) 7 ) 8 ) 7 ) Más un s orrt. Sñl U. l término myor gro un ftor primo l polinomio : 7 P() ) ) ) ) ) 6. Ftori n l mpo los númros rls: P() ( ) ( 9) ( Sñl l númro ftors primos : ) 0 ) ) 8 ) 6 ) 7 ) 6. Ftorizr inir l númro ftors primos rionls : 0 P() ) ) ) ) ) 7. Sñl l sum ofiints un ftor primo : F() 7 ) 8 ) 6 ) ) ) 6

9 TRILCE 8. El polinomio : P() ( )( )( ) ( ) Lugo ftorizrlo tom l form : Clulr : + n. n n ( ) ( n ) ) - ) - ) ) ) 60. Proporion uno los ftors primos : M(;;) ( ( ) ) ) ) ) ) ) - 9. Sñl un ftor : ( ) ( ) ) ) ) ) ) 7

10 8 Álgr Clvs Clvs