Técnicas Cuantitativas para el análisis de los mercados

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1 cap.6 18/1/05 13:56 Página Técnicas Cuantitativas para el análisis de los mercados El que no aplica nuevos remedios debe esperar nuevos males: porque el tiempo es el máximo innovador Francis Bacon INTRODUCCIÓN En el mundo actual, tan importante como conocer los diferentes mercados y los productos que se negocian en ellos, es entender las diferentes técnicas matemáticas que permiten conocer la exposición de una cartera al riesgo, o poder anticipar los rendimientos futuros de un producto financiero con el objetivo de seleccionar una cartera que optimice la rentabilidad. El presente capítulo está orientado a dar a conocer alguna de las técnicas matemáticas más utilizadas en la actualidad para el estudio de los mercados. En primer lugar, realizaremos una breve introducción a los números aleatorios, que son de vital importancia en las predicciones de los mercados y constituyen la base de la simulación de MonteCarlo, una técnica ampliamente utilizada en diferentes disciplinas como las ingenierías, la física o la economía. Ciertamente, en los últimos años la simulación de MonteCarlo ha pasado a ser la herramienta preferida por los analistas financieros, debido a su eficacia, su potencia de modelización y su sencillez. En el siguiente epígrafe trataremos del Valor en Riesgo, comúnmente conocido como el VaR. Hoy en día, el VaR se considera una herramienta estandarizada para el cálculo del riesgo. El VaR muestra el valor de la máxima pérdida que se puede obtener, para una probabilidad y un índice de confianza dado. Su importancia viene acreditada por la recomendación del Comité de Basilea II, en la que especifica que el cálculo del riesgo para adecuar el capital de una entidad financiera se debe realizar mediante técnicas como el Valor en Riesgo.

2 cap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión Por último, y como colofón de esta obra, desarrollaremos tres casos: uno con el índice IBEX 35, otro con una cartera de bonos, y un tercero con bonos de cupón variable, también llamados FRN (Floating Rate Note). En los tres casos calcularemos el VaR y realizaremos una simulación para determinar el precio esperado y la rentabilidad esperada LOS NÚMEROS ALEATORIOS Las variables aleatorias Las variables aleatorias discretas Una variable ξ se define como aleatoria discreta si puede tomar los valores x 1, x 2,, x N, teniendo cada uno de estos valores una probabilidad asignada P 1, P 2,, P N. Podemos representar la variable aleatoria ξ como: ξ = donde P i son las probabilidades de que la variable ξ tome el valor x i. ( χ 1 χ 2... χ N p 1 p 2... p N ) Estas probabilidades deben cumplir dos reglas: 1. Siempre denen ser positivas: P(x) >0 2. La suma de todas las probabilidades debe ser igual a la unidad: N j=1p (x j ) = 1 Como hemos visto en capítulos anteriores, el cálculo de la esperanza matemática y de la varianza es fundamental para determinar el rendimiento esperado y el riesgo de los productos financieros. Veamos con un ejemplo el cálculo de la esperanza matemática y de la varianza de una variable aleatoria. Definamos a la variable aleatoria X con la siguiente matriz: X = ( /6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 La variable x puede tomar los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y cada uno de los posibles valores que puede adoptar x tiene como probabilidad 1/6. La esperanza matemática se calcula como la suma ponderada por las probabilidades de los valores posibles; es decir: ) E(X)= 6 j=1 x j p j = 3,5

3 cap.6 18/1/05 13:56 Página 271 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados La varianza se calcula como la suma de las diferencias cuadráticas de los valores respecto a su media, multiplicado por la probabilidad. Es decir: σ 2 = 6 j=1 [x i E(x i )] 2 p j = 2, Las variables aleatorias continuas La variable ξ es continua si puede tomar cualquier valor dentro del intervalo (a, b). Toda variable aleatoria continua queda definida si se da el intervalo (a, b) y la función de probabilidad P(x) llamada función de densidad de la probabilidad de la variable aleatoria ξ. También en este caso se deben cumplir las dos reglas anteriores: 1. Todas las probabilidades deben ser positivas: P(x i ) > 0 2.La probabilidad de que la variable aleatoria ξ esté dentro del intervalo (a, b) debe ser uno: P {a < ξ < b} = b' a p(x)dx = 1 Supongamos un intervalo (a, b ) dentro del intervalo (a, b). La probabilidad de que la variable aleatoria ξ esté comprendida dentro del intervalo (a, b ) se calcula de la siguiente manera: P {a < ξ < b } = b a p(x)dx La probabilidad se calcula como la integral de la probabilidad definida en el intervalo estudiado. Esta probabilidad se representa en la Figura 1. Fig. 1. Probabilidad de que una variable aleatoria x esté dentro del intervalo (a, b )

4 En la Figura 2 se pueden observar dos representaciones de la distribución normal para a = 0 y valores de sigma de 0,5 y 1. Vemos que, al tomar valores más pequeños, la distribución se apuntala tomando una forma más cúrtica que para valores cercanos al uno. Recorcap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión La esperanza matemática en el caso de las variables aleatorias continuas se resuelve con la siguiente ecuación: E (ξ) = b a x p(x)dx La variable aleatoria normal La variable aleatoria normal está definida en el intervalo (- + ) y tiene como función de densidad la siguiente: donde: 1 P (x) = e 2πσ (x a) 2 2σ 2 a es un número que hace que la curva se desplace por el eje de abscisas; σ modifica la forma de la curva Fig. 2. Representación de dos distribuciones normales, para diferentes valores de σ. (Fuente: Elaboración propia)

5 cap.6 18/1/05 13:56 Página 273 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados demos que el área que encierra P(x) es igual a 1. Por tanto, al disminuir sigma aumenta el máximo de la curva, pero se hace más estrecha. La esperanza matemática de la normal es a, mientras que su varianza es el cuadrado de sigma. Empíricamente se demuestra que el 99,7% de toda la distribución está dentro del rango formado por la media, más menos tres veces la desviación típica. Esto es lo que se conoce como la regla de las tres sigmas. Dicho de manera matemática: a+3σ P(x)d = 0,997 a 3σ La conclusión de esta regla es evidente: es casi imposible conseguir un valor ξ que difiera de su media en más de tres veces la desviación típica LA SIMULACIÓN Introducción En 1903 nació en Budapest una de las más brillantes mentes matemáticas que ha vislumbrado el siglo XX: John Von Neuman. El joven John (Janos en húngaro) destacó en su infancia por ser un niño prodigio, con una memoria asombrosa que le hacía sobresalir en la escuela por encima de sus compañeros. Ya con cinco años era capaz de realizar mentalmente operaciones con números de más de ocho cifras. De origen aristocrático, estudió en los mejores institutos de Hungría y destacó en matemáticas, por lo que no fue sorprendente que acabase como profesor de matemáticas aplicadas en la Universidad de Berlín, cargo que ejerció desde 1927 hasta En esta fecha viajó como profesor invitado a la Universidad de Pricenton, en los Estados Unidos y allí decidió fijar su residencia cuando Hitler subió al poder en También fue en este momento cuando cambia su nombre, Janos, por la traducción inglesa de John, nombre por el que ha sido conocido posteriormente. En Pricenton coincide con las mentes más preclaras de las matemáticas del siglo XX, contactando con Albert Einstein y Alan Turing, entre otros. Amigo de la comunicación, los que le conocieron lo describen como una persona afable y brillante, con una mente muy rápida en los análisis, y siempre dispuesto a colaborar con otros investigadores, aunque su faceta más destacable es la curiosidad por lo nuevo. Hizo aportaciones a la mecánica cuántica, especialmente el concepto de anillos de operadores (actualmente conocido como álgebra de Neuman), y es conocido también por su trabajo de iniciación de las matemáticas aplicadas, principalmente la estadística y el análisis numérico. También destacó en la termodinámica, la teoría de los ordenadores y la cibernética. Inventó el concepto de cerebro electrónico tomando el relevo de la investigación iniciada por Leibniz, Babbage, Ada Byron y Turing. En esta línea, mejoró el primer ordenador digital del mundo, el ENAC y aportó sus conocimientos para la construcción del MANIAC, creando el concepto de programa o software. Pero su fama llegaría a su apogeo en 1944 cuando publica junto con Oskar Morgenstern la Teoría de Juegos.

6 cap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión Es en 1940 cuando, junto con Stanislaw Ulam, matemático de origen polaco, describe y pone nombre al método de simulación de MonteCarlo, con el fin de resolver ciertos problemas de protección nuclear que eran demasiado costoso para ser resueltos explícitamente, o demasiados complejos para ser tratados de forma analítica. El nombre fue elegido por la similitud del proceso que ellos describían con los principios que rigen el casino de Mónaco. John Von Neuman muere víctima del cáncer en 1957, dejando un legado impresionante en diversos campos de la ciencia, como la física y la informática, sin olvidarnos de las aplicaciones de sus teorías en ciencias sociales como la Economía La generación de números aleatorios Podemos definir la simulación como una técnica numérica para realizar experimentos. Para llevarla a cabo se debe construir un modelo que ofrezca un resultado en función de unas variables. La ventaja de la simulación reside en que se puede modificar cualquier valor del modelo y observar el comportamiento del resultado ante estos cambios. La simulación es un sustituto apropiado para la evaluación matemática de un modelo en muchas situaciones, y aunque también involucra suposiciones, éstas son tratables. El uso de la simulación nos permite proporcionar una percepción clara a ciertos problemas de toma de decisiones, donde la evaluación matemática de un modelo no es posible. Hay que considerar la simulación como una herramienta de investigación que permite conocer y analizar el comportamiento de un sistema. La simulación comienza con la construcción de un modelo descriptivo del sistema real objeto de análisis, para luego, durante el proceso de análisis, poder modificarlo para estudiar su comportamiento ante variaciones. La simulación es recomendable cuando la realidad representada es muy compleja, tiene variables no lineales, o alguna de éstas son aleatorias. La simulación de modelos utiliza como herramienta principal los números aleatorios distribuidos generalmente de manera uniforme, que toman valores entre 0 y 1. Desde hace tiempo, los investigadores han ideado formas para generar números aleatorios, como lanzar objetos de un tamaño determinado en un plano dividido horizontalmente con líneas y contar el número de veces que el objeto pisaba una de estas líneas; incluso se construyeron ruletas mecánicas movidas por motor. El problema de todos estos sistemas mecánicos es la lentitud en la generación de los números y la imposibilidad de repetir una serie grande de números aleatorios. Sea cual sea el procedimiento elegido para generar números aleatorios, éstos deben enfrentarse a un test para certificar su bondad como número aleatorio. A modo de ejemplo, un test que se puede aplicar en los números aleatorios es contar el número de números cero, uno, dos, tres... hasta nuve que hay en el conjunto de números aleatorios. Si son verdaderamente aleatorios, tiene que existir una tendencia hacia la equidistribución. Es decir, la cantidad de números cero, uno debe ser aproximadamente la misma. Por ejemplo, supongamos que una tabla de números aleatorios tiene N cifras y que el número de ceros es V 0, el número de unos es V 1, el número de doses es V 2, y así sucesivamente. Se puede definir la suma como: S = 9 i=0 (V i 0,1N) 2

7 cap.6 18/1/05 13:56 Página 275 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados La teoría de las probabilidades permite predecir los límites entre los que puede estar comprendida esta suma, que no puede ser excesivamente grande ni pequeña. Recordemos que si los números son verdaderamente aleatorios, la esperanza matemática de cada V i debe ser de 0,1N Ejemplo de la bondad de la generación de números aleatorios Utilizando una hoja EXCEL hemos generado 500 números aleatorios de nueve cifras cada uno. Por tanto, tendremos cifras. Hemos contado cada uno de los guarismos obtenidos y el resultado es el que se describe en la Tabla 1. Tabla El histograma que obtenemos de estos resultados se muestra en la Figura 3: Fig. 3. Histograma de frecuencias La suma definida anteriormente da un resultado de: S = 9 i=0 (V i 0, ) 2 = La desviación típica, definida como la raíz cuadrada de la varianza, adopta un valor de 45,23. Como se puede observar, los diferentes números no tienen una distribución muy uni-

8 cap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión forme y, además, no todos están muy cerca de la que debería ser la esperanza matemática, 450. La suma definida tiene un valor muy grande. Esta tabla de números no se puede considerar como una tabla de números verdaderamente aleatorios, pero sí pseudoaleatorios Métodos de generación de números aleatorios Métodos aproximados John Von Neuman sugirió el método del cuadrado medio, usando las operaciones aritméticas de un ordenador. Su idea fue tomar el cuadrado del número aleatorio y tomar los dígitos ubicados en el medio. Por ejemplo, si tenemos el número y lo elevamos al cuadrado, se obtiene ; nuestro número será 9.769, y así sucesivamente. Estos números se consideran pseudoaleatroios o quasi-aleatorios. Durante el siglo XX los investigadores comenzaron a utilizar ordenadores digitales para generar números aleatorios. En 1955 RAND Corporation publica una lista de un millón de números aleatorios construida mediante una ruleta electrónica: un disco giratorio dividido en 10 sectores es parado en seco, y se anota el número que queda en un punto de referencia. Hoy en día, el analista puede generar números aleatorios de manera sencilla utilizando un ordenador personal Generación de números aleatorios con Microsoft Excel Se pueden generar números aleatorios con la hoja de cálculo de Microsoft. El usuario puede obtenerlos de dos maneras: mediante una instrucción o mediante un procedimiento. Si escribimos en cualquier celda de la hoja de cálculo la siguiente instrucción: = Aleatorio( ) la hoja de cálculo nos devolverá un número aleatorio comprendido entre 0 y 1. Cada vez que modifiquemos cualquier celda de esa hoja de cálculo, por ejemplo, escribiendo simplemente en cualquier celda un número, cambiará el número aleatorio que aparece en la celda donde hemos puesto la instrucción. Si deseamos generar números aleatorios mediante un procedimiento, deberemos haber instalado la opción Análisis de datos en el programa de instalación de Microsoft Excel. Si no lo hubiéramos hecho, podemos poner el CD-ROM del programa en el lector de CD y ejecutar el programa de instalación añadiendo la opción Análisis de datos. Una vez instalado, cuando tenemos abierta una hoja de cálculo, hacemos clic en el menú Herramientas y elegimos Análisis de datos.

9 cap.6 18/1/05 13:56 Página 277 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados Fig. 4. Contenido del menú Herramientas de Microsoft Excel Al elegir Análisis de datos aparecerán diferentes herramientas que Excel nos ofrece para analizar conjuntos de datos. De todas estas elegimos Generación de números aleatorios. Aparece una caja de diálogo como la que se representa en la Figura 5. Fig. 5. Caja de diálogo para generar números aleatorios en Excel Siguiendo el manual de ayuda del propio programa podemos saber qué función tiene cada uno de los campos que se observan en esta herramienta:

10 cap.6 18/1/05 13:56 Página 278 En Número de variables introduzca el número de columnas de valores que desee incluir en la tabla de resultados. Si no introduce ningún número, Microsoft Excel rellenará todas las columnas del rango de salida que se haya especificado. En Cantidad de números aleatorios introduzca el número de puntos de datos que desee ver. Cada punto de datos aparecerá en una fila de la tabla de resultados. Si no introduce ningún número, Microsoft Excel rellenará todas las columnas del rango de salida que se haya especificado. Haga clic en el método de distribución que desee utilizar para crear los valores aleatorios. Dentro de este campo podemos elegir entre: Uniforme: Caracterizado por los límites inferior y superior. Se extraen las variables con probabilidades iguales de todos los valores del rango. Una aplicación normal utilizará una distribución uniforme en el rango Normal: Caracterizado por una media y una desviación estándar. Una aplicación normal utilizará una media de 0 y una desviación estándar de 1 para la distribución estándar normal. Bernoulli: Caracterizado por la probabilidad de éxito (valor p) en un ensayo dado. Las variables aleatorias de Bernoulli tienen el valor 0 ó 1. Por ejemplo, puede trazarse una variable aleatoria uniforme en el rango Si la variable es menor o igual que la probabilidad de éxito, se asignará el valor 1 a la variable aleatoria de Bernoulli; en caso contrario, se le asignará el valor 0. Binomial: Caracterizado por una probabilidad de éxito (valor p) durante un número de pruebas. Por ejemplo, se pueden generar variables aleatorias Bernoulli de número de pruebas, cuya suma será una variable aleatoria binomial. Poisson: Caracterizado por un valor lambda, igual a 1/media. La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia para caracterizar el número de incidencias por unidad de tiempo; por ejemplo, el ritmo promedio al que llegan los vehículos a una garita de peaje. Frecuencia relativa: Caracterizado por un límite inferior y superior, un incremento, un porcentaje de repetición para valores y un ritmo de repetición de la secuencia. Discreta: Caracterizado por un valor y el rango de probabilidades asociado. El rango debe contener dos columnas donde la columna izquierda deberá contener valores y la derecha probabilidades asociadas con el valor de esa fila. Debe tener en cuenta que la suma de las probabilidades deberá ser 1. En el campo Parámetros introduzca un valor o valores para caracterizar la distribución seleccionada. Si quiere escribir un valor a partir del cual se generen los números aleatorios, escríbalo en el campo llamado Iniciar con. Podrá volver a utilizar este valor para generar los mismos números aleatorios más adelante. En Rango de salida introduzca la referencia correspondiente a la celda superior izquierda de la tabla de resultados. Microsoft Excel determinará el tamaño del área de resul bolsa, mercados y técnicas de inversión

11 cap.6 18/1/05 13:56 Página 279 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados tados y mostrará un mensaje si la tabla de resultados reemplaza datos ya existentes. Alternativamente haga clic en En una hoja nueva para insertar una hoja nueva en el libro actual y pegar los resultados comenzando por la celda A1 de la nueva hoja de cálculo. Para asignar un nombre a la nueva hoja de cálculo, escríbalo en el cuadro. También puede hacer clic En un libro nuevo para crear un nuevo libro y pegar los resultados en una hoja nueva del libro creado. Por ejemplo, si deseamos tener cinco grupos de números aleatorios, que cada grupo contenga quince números aleatorios y que éstos estén generados mediante una distribución normal con media 0 y desviación típica 1, podemos escribir los siguientes datos en la caja: Fig. 6. Generación de una matriz de 15 5 números aleatorios mediante distribución Normal (0, 1) Si además queremos que estos números aparezcan en la hoja de cálculo, comenzando en la celda A1 y terminando en la E15, podemos hacer clic en la alternativa Rango de salida y escribir el rango en el campo disponible para ello. Al final, obtendremos los números aleatorios en una forma parecida a la que se refleja en la Figura 7.

12 cap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión Fig. 7. Resultado de la generación de números aleatorios La simulación histórica Esta técnica de simulación analiza la evolución del activo en el pasado y lo proyecta hacia el futuro, asumiendo que el comportamiento histórico del valor es un estimador del comportamiento futuro. El analista debe calcular la variación diaria de cada uno de los componentes de la cartera y asumir que esa variación se repetirá en el futuro a partir de la fecha del análisis. Supongamos un inversor que quiere analizar a 30 de diciembre de 2003 la inversión de una cartera que invierte el 31% en el índice de la Banca, el 36% en el índice de las compañías de Telecomunicaciones y el 34% en el índice de Petróleo y Gas. Cada uno de estos índices marca la evolución de las empresas que cotizan dentro de ese segmento de cotización, y la cartera que se pretende comprar se desglosa en función de los precios en la fecha de la compra, como se muestra en la Tabla 2. Tabla 2 Sector Banca Comunicaciones Petróleo y Gas Valor Cartera Inversión 30,43% 36,10% 33,47% 100% Cotización (30/12/2003) 948,86 844, , ,00 Cantidad

13 cap.6 18/1/05 13:56 Página 281 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados Es decir, a los precios que tienen los índices en la fecha de la compra, el inversor comprará valores del índice Banca, del índice Comunicaciones y de Petróleo y Gas. Para calcular los rendimientos durante el último año de la cartera se calcula el logaritmo neperiano del cociente entre precios correlativos, en una base de datos que contenga los precios históricos de cada uno de los índices. En la Tabla 3 se muestra este trabajo. En la columna A están reflejados todos los días laborables del año 2003, en la columna B el índice de la Banca para cada fecha, en la columna C el índice de Comunicaciones para cada fecha, en la columna D el índice de Petróleo de Gas para cada fecha y por último, en la columna E el valor de la cartera. El montante de la cartera se calcula con la siguiente expresión: Cartera = I Banca I Comunicaciones I Petróleo Tabla 3 A continuación, se calculan los rendimientos diarios de cada uno de los componentes de la cartera. Para calcular este rendimiento se utiliza la siguiente expresión: Rendimiento = Ln (Precio de hoy / Precio de ayer)

14 cap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión Los resultados se muestran en la Tabla 4. Tabla 4 La simulación histórica se basa en la proyección de los rendimientos pasados hacia el futuro, y con ellos se calcula el nuevo precio que será el resultado de la siguiente expresión: Precio de hoy = e Rendimiento Precio de ayer La Tabla 5 muestra los resultados. Con las 249 simulaciones del valor de la cartera se puede calcular el rendimiento esperado, la desviación típica y, en definitiva, el comportamiento esperado de la misma.

15 cap.6 18/1/05 13:56 Página 283 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados Tabla El método de simulación de MonteCarlo Introducción El Método de MonteCarlo consiste en realizar una simulación utilizando números aleatorios para determinar el comportamiento futuro de las variables analizadas. Existen varios métodos de MonteCarlo, por lo que más que método, sería más conveniente denominarle técnica de simulación de MonteCarlo. Le llamaremos MonteCarlo Dirigido cuando los números aleatorios utilizados para simular el comportamiento de una variable se combinen con la función que represente la distribución de frecuencias de las variaciones de la variable. Y MonteCarlo Camino Aleatorio cuando los números aleatorios se utilicen sin combinarlos con la función de distribución de las frecuencias de las variaciones de la variable. El método MonteCarlo Dirigido se desarrolla con los siguientes pasos: 1. Especificar las variables a estudiar. 2. Estimar la distribución de probabilidad que explica el comportamiento de las variables. 3. Calcular las probabilidades acumuladas de cada una de las variables. 4. Generar un número aleatorio. 5. Vincular el número aleatorio con las variables cuya probabilidad acumulada sea menor o igual al número aleatorio obtenido. 6. Repetir el experimento para obtener el número deseado de valores muestrales.

16 cap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión Sin embargo, en el método MonteCarlo Camino Aleatorio se plantea la ecuación de variación de la variable y sobre ella se utiliza el número aleatorio para determinar el tamaño de la variación. Un ejemplo es la simulación de los tipos de cambio entre dos monedas, cuya ecuación sería: Tc 1 = Tc 0 + [Volatilidad RND (Volatilidad / 2)] 2 donde: Tc 1 y Tc 0 son los tipos de cambio en el momento 1 y el momento 0, y RND es un número aleatorio entre 0 y 1. Esta ecuación ofrece un camino aleatorio en la evolución de los tipos de cambio. Si el tipo de cambio de referencia entre el dólar y el euro es la paridad y la volatilidad anual es del 22%, se puede calcular la evolución simulada del tipo de cambio para los siguientes treinta días, tal y como aparece en la Figura 8. Fig. 8. Simulación de la evolución del tipo de cambio dólar euro Análisis de diferentes productos financieros mediante la simulación de MonteCarlo en Excel La técnica de MonteCarlo sirve para analizar todo tipo de productos, entre ellos las opciones exóticas y los productos estructurados. La mayoría de las opciones exóticas no pueden ser valoradas mediante Black Scholes, ya que no se adecuan a los requerimientos exigidos por la fórmula y, aunque se han desarrollado ecuaciones paramétricas para su

17 cap.6 18/1/05 13:56 Página 285 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados valoración, el método de MonteCarlo es una técnica válida para encontrar el precio de estos productos. Veamos cómo a través de la simulación de MonteCarlo se puede analizar el precio de diferentes opciones exóticas Opción americana no estándar Supongamos que tenemos un Warrant a siete años. El precio de ejercicio es de 30 dólares entre principio del año tercero y finales del cuarto, 32 dólares en los siguientes dos años, y 33 dólares en el año final. El precio actual del subyacente es de 29 euros y el tipo de interés libre de riesgo, el 3%. En primer lugar, se calcula el histograma de frecuencias de los rendimientos del subyacente, que se muestra en la Tabla 6. Tabla 6 Rendimientos Relativas Acumuladas -6,0% 0% 0% -5,0% 1% 1% -4,0% 2% 3% -3,0% 5% 8% -2,0% 7% 15% -1,0% 12% 27% 0,0% 28% 55% 1,0% 24% 79% 2,0% 13% 92% 3,0% 5% 97% 4,0% 2% 99% 5,0% 1% 100% Como podemos observar, el histograma de los rendimientos se aleja mucho de la figura que dibujaría una distribución normal. Con este histograma de frecuencias y MonteCarlo Dirigido se puede simular el comportamiento del precio del subyacente durante la vida de la opción, y decidir para cada nivel de precio alcanzado, según las características de la opción, si se ejerce o no la misma.

18 cap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión Fig. 9. Histograma de frecuencias de las variaciones del precio El modelo de MonteCarlo exige realizar numerosos ciclos de simulación para tener los suficientes resultados que nos permitan calcular la perfomance del producto. Por ejemplo, en un ciclo cualquiera se pueden haber generado unos números aleatorios que ofrezcan una evolución de los precios como la representada en la Tabla 7. Tabla 7 Año Precio ejercicio Subyacente Beneficio seis meses un año año y medio - 17,25 0 dos años - 19,58 0 dos años y medio 30 19,58 0 tres años 30 19,58 0 tres años y medio 30 22,22 0 cuatro años 30 22,22 0 cuatro años y medio 32 25,22 0 cinco años 32 32,04 0,04 cinco años y medio 32 36,37 4,37 seis años 32 51,11 19,11 seis años y medio 33 51,11 18,11 siete años 33 37,30 4,30

19 cap.6 18/1/05 13:56 Página 287 técnicas cuantitativas para el análisis de los mercados En la primera columna se muestran los diferentes semestres hasta completar los siete años. El análisis se podría haber realizado con periodos más pequeños, por ejemplo días, pero buscando la comodidad de la lectura se ha reducido a semestres. Es evidente que si se utilizan periodos más pequeños se consigue un análisis del precio más perfecto. En la segunda columna aparece el precio de ejercicio tal como está especificado en el contrato. En la tercera columna aparece el precio del subyacente calculado como MonteCarlo Dirigido, utilizando números aleatorios y usando el histograma de frecuencias. Por ejemplo, si el número aleatorio es 0,2345, vemos en el histograma de frecuencias que al considerar este número como si fuese una frecuencia acumulada, le corresponde una variación del 1% diario, que representa una variación de : 0, = 0,135 2 Esta variación se aplica al precio del subyacente para obtener el siguiente precio. Si generamos 13 números aleatorios podemos determinar, utilizando la técnica de MonteCarlo dirigido, el camino aleatorio dirigido del precio del subyacente. Con esta evolución de los precios se puede analizar el beneficio que obtiene el inversor si ejerce la opción. En la última columna se calcula el beneficio en el caso de poder ejercerse la opción. Las características de ésta no permitían su ejercicio hasta el tercer año, momento en el cual tendría diferentes precios de ejercicio con el transcurrir del tiempo. Obtenemos, por tanto, diferentes posibles beneficios de la opción en función de si es ejercida en ese momento. Lo que se obtiene son capitales futuros que hay que actualizar. Empleamos la capitalización continua para actualizar cada uno de los beneficios futuros, a través de la ecuación: Valor actual = Beneficio e-tiempo Tipo interés En la Tabla 8 aparecen las actualizaciones realizadas para este ciclo: Podemos suponer que cada uno de los valores actuales obtenidos son equiprobables, ya que la probabilidad de aparición está de manera subyacente al utilizar la frecuencia acumulada para determinar la variación. Al ser 10 posibles capitales (tantos como beneficios), el valor actual medio será la suma de los valores actuales dividida entre 10. En este caso, 3,808 euros. Al realizar 100 simulaciones como ésta, obtenemos que la esperanza matemática de los precios simulados es de 11,11 euros, con una desviación típica de 18,77 euros.

20 cap.6 18/1/05 13:56 Página bolsa, mercados y técnicas de inversión Tabla 8 Año Precio ejercicio Subyacente Beneficio Valor Actual seis meses no 29 0 un año no 29 0 año y medio no 17, dos años no 19, dos años y medio 30 19, tres años 30 19, tres años y medio 30 22, cuatro años 30 22, cuatro años y medio 32 25, cinco años 32 32, , , cinco años y medio 32 36, , , seis años 32 51, , , seis años y medio 33 51, , , siete años 33 37, , , SUMA 38, Opciones sobre opciones Una opción sobre una opción proporciona al propietario el derecho a adquirir una opción (de compra o de venta) en una fecha determinada y con una prima determinada. Supongamos que el IBEX 35 está a puntos y se quiere valorar una opción sobre la opción del IBEX con precio de ejercicio 8.500, prima 100 y vencimiento a 18 días. El propietario tiene derecho a adquirir por 100 euros la opción de compra sobre el IBEX 35 a puntos. Para calcular el precio de este producto financiero utilizaremos una binomial y la repetiremos un número determinado de veces; las volatilidades de cada binomial las simularemos mediante MonteCarlo. Con los precios históricos del IBEX desde 1990 se obtiene el histograma de la volatilidad, medida como la desviación típica anualizada de los rendimientos diarios de los últimos 30 días. En la Tabla 9 se muestra el histograma de frecuencias de la volatilidad del IBEX 35. La representación gráfica de este histograma de frecuencias proporciona la volatilidad del IBEX 35, que se muestra en la Figura 10.