Subdirección Académica Instrumentación Didáctica para la Formación y Desarrollo de Competencias Profesionales Periodo escolar: Agosto Diciembre 2017

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1 Subdirección Académica Instrumentación Didáctica para la Formación y Desarrollo de s Profesionales Periodo escolar: Agosto Diciembre 2017 CODIGO: ID-ACF-090 VERSIÓN: 00 Nombre de la asignatura: Álgebra Lineal Plan de estudios: 2010 Clave de la asignatura: ACF 090 Horas teoría horas prácticas créditos: Caracterización de la asignatura El álgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas. Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximar a través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar, graficar y resolver que uno no lineal, de allí la importancia de estudiar álgebra lineal. Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y de aplicaciones de la ingeniería. Está diseñada para el logro de siete competencias específicas dirigidas a la aprehensión de los dominios: números complejos, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, base y dimensión de un espacio vectorial y transformaciones lineales. Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que se aplicarán en ecuaciones diferenciales y en otras materias de especialidad.

2 2. Intención didáctica La asignatura de Álgebra Lineal se organiza en cinco unidades: El primer tema es Números complejos, en donde se utilizan estos números, sus representaciones y las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería. El tema dos que lleva por nombre Matrices y Determinantes; utiliza las matrices, sus propiedades, el determinante y operaciones entre ellas, para resolver problemas de aplicación en las diferentes áreas de las matemáticas y de la ingeniería. El tercer tema de nombre Sistemas de Ecuaciones Lineales; resuelve problemas de aplicaciones en ingeniería sobre sistemas de ecuaciones lineales para interpretar las soluciones y tomar decisiones con base en ellas, utilizando los métodos de Gauss-Jordan, matriz inversa y regla de Cramer. El cuarto tema Espacios Vectoriales, comprende el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que generaliza y hace abstracción de operaciones que aparecen en diferentes áreas de la matemática mediante las propiedades de la adición y multiplicación por un escalar. Construir, utilizando el álgebra de vectores, bases de un espacio vectorial y determinar la dimensión del espacio correspondiente. El tema número cinco Transformaciones Lineales, se aplican transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una matriz de reflexión, dilatación y rotación.. de la asignatura Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.

3 4. Análisis por competencias específicas No.: 1 Descripción: Utiliza los números complejos, sus representaciones operaciones entre ellos para tener una base de conoc a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferen aplicaciones de ingeniería. Temas y subtemas para desarrollar la competencia específica Actividades de aprendizaje (que hace el alumno) Actividades de enseñanza (que hace docente) Desarrollo de competencias genéricas Horas teórico práctica 0.- Encuadre Deberá ser partícipe de las dinámicas realizadas en la primera clase de curso, en donde se definirán los criterios de evaluación y las reglas del curso Definición y origen de los números complejos Operaciones fundamentales con números complejos 1..- Potencias de i módulo o valor absoluto de un número complejo. Investigar el origen y la definición del término número imaginario Realizará operaciones fundamentales en forma rectangular. Realizar investigación del tema y citar algunos ejemplos. Deberá ser claro y objetivo en los criterios que utilizará para evaluar la materia y las reglas que deben respetar los alumnos durante el curso. Obtener una lluvia de ideas a partir de la investigación realizada acerca del concepto de número imaginario. Explicar un ejemplo de cada operación con número complejo de la forma rectangular. Mostrar ejemplos de potencias de i que faciliten al alumno su comprensión del tema Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas. Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente Capacidad de trabajo en equipo. 1 2

4 1.4.- Forma polar y exponencial de un número complejo Teorema de De Moivre, potencia y extracción de raíces de un número complejo Ecuaciones polinómicas. Realizar investigación de operaciones fundamentales y forma de representación gráfica de números complejos en forma polar y exponencial. Investigar el tema de De Moivre, y realizar ejemplos de los temas encontrados. Realizar estudio del cálculo de ecuaciones polinómicas, y realizar ejemplos para práctica. Dar por lo menos dos ejemplos de operaciones fundamentales de números complejos en su forma polar y exponencial, así como su representación gráfica. Dar dos ejemplos del teorema de De Moivre, y dos ejemplos del cálculo de raíces de números complejos. Resolverá por lo menos dos ejemplos de ecuaciones polinómicas. 4 Indicadores de alcance Valor del indicador A. Examen 60 % B. Actividades en clase (ejercicios) 20 % C. Actividades extra clase (ejercicios) 20 %

5 4.1a Niveles de desempeño Desempeño Nivel de desempeño Indicadores de alcance Valoración numérica Excelente Resolver de manera correcta el 100% de ejercicios del examen, Notable Resolver de manera correcta el 90% de los ejercicios del alcanzada Bueno examen, Resolver de manera correcta el 80% de los ejercicios del examen, Suficiente Resolver de manera correcta el 70% de los ejercicios del examen, no alcanzada Insuficiente No cumplió con el mínimo de los criterios de evaluación en los apartados anteriores. 69 o menos. 4.1b Matriz de evaluación Evidencia de aprendizaje % Indicador de alcance Evaluación formativa de la competencia A B C Examen 60 X El docente revisará el examen Actividades en clase 20 X El docente revisará los ejercicios Actividades extra clase 20 X El docente revisará los ejercicios Total

6 No.: 2 Descripción: Utiliza las matrices, sus propiedades, el determinante y operaciones entre ellas, para resolver problemas de aplicación en las diferentes áreas de las matemáticas y de la ingeniería. Temas y subtemas para desarrollar la competencia específica Actividades de aprendizaje (que hace el alumno) Actividades de enseñanza (que hace docente) Desarrollo de competencias genéricas Horas teórico práctica Definición de matriz, notación y orden Operaciones con matrices 2..- clasificación de las matrices Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz Cálculo de la inversa de una matriz. Realizar investigación del concepto de matriz. Investigar el tema de operaciones con matrices y realizar dos ejemplos de cada operación. Realizar investigación de los diferentes tipos de matrices que hay según su arreglo y dimensión. Investigar y realizar ejemplos de transformación de matrices por renglón y escalonada reducida. Investigar el procedimiento para encontrar la inversa de Explicar que significador tiene una matriz en relación con casos de aplicación real. Realizar un ejemplo de cada operación fundamental de matrices. Dar dos ejemplos de matriz cuadrada y matriz rectangular, explicar sus características que las definen. Dar por lo menos dos ejemplos de matriz escalón y matriz escalonada reducida. Explicar un ejemplo del procedimiento de matriz Procesar e interpretar datos Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. 2

7 2.6.- Definición de determinantes de una matriz Propiedades de los determinantes Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta Aplicación de matrices y determinante una matriz. inversa utilizando método de Gauss- Jordan, y método de la Adjunta. Investigar y explicar la definición y propiedades de los determinantes. Realizar ejercicios para calcular menores y cofactores de una matriz. Investigar para demostrar la relación entre el valor del determinante de una matriz con la existencia de la inversa de la misma. Explicar y resolver ejercicios de aplicación relacionados con su especialidad utilizando los conceptos de matriz y determinante. Realizar por lo menos dos ejemplos del cálculo de determinantes. Explicar con dos ejemplos por lo menos las propiedades de los determinantes. Mostrar la relación entre el valor del determinante de una matriz con la existencia de la inversa de la misma. Resolver una serie de ejercicios de aplicación de matrices y determinantes sobre modelos económicos, crecimiento poblacional, teoría de grafos, criptografía entre otras. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones Reconocimiento de conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Argumentar con contundencias y precisión. 2 2 Indicadores de alcance Valor del indicador A. Examen 60 % B. Actividades en clase (ejercicios) 20 % C. Actividades extra clase (ejercicios) 20 %

8 4.2a Niveles de desempeño Desempeño Nivel de desempeño Indicadores de alcance Valoración numérica Excelente - Resolver de manera correcta el 100% de ejercicios del examen, Notable - Resolver de manera correcta el 90% de los ejercicios del alcanzada Bueno - examen, Resolver de manera correcta el 80% de los ejercicios del examen, Suficiente - Resolver de manera correcta el 70% de los ejercicios del examen, no alcanzada Insuficiente - No cumplió con el mínimo de los criterios de evaluación en los apartados anteriores. 69 o menos. 4.2b Matriz de evaluación Evidencia de aprendizaje % Indicador de alcance Evaluación formativa de la competencia A B C Examen 60 X El docente revisará el examen Actividades en clase 20 X El docente revisará los ejercicios Actividades extra clase 20 X El docente revisará los ejercicios Total

9 No.: Descripción: Resuelve problemas de aplicaciones en ingeniería sobre sistemas de ecuaciones lineales para interpretar las soluciones y tomar decisiones con base en ellas, utilizando los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz inversa y regla de Cramer. Temas y subtemas para desarrollar la competencia específica Actividades de aprendizaje (que hace el alumno) Actividades de enseñanza (que hace docente) Desarrollo de competencias genéricas Horas teórico práctica.1.- Definición de sistemas de ecuaciones lineales.2.- Clasificación de los sistemas de ecuaciones, lineales y tipos de solución..- Interpretación geométrica de las soluciones..4.- Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, Realizar una investigación sobre la clasificación de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Graficar las ecuaciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en un mismo plano e identificar el tipo de solución según la gráfica. Utilizar un graficador para visualizar geométricamente e interpretar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los métodos propuestos. Analizar las características de un Definir sistemas de ecuaciones lineales. Explicar la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y los tipos de solución. Comentar y mostrar la interpretación gráfica de los tipos de solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales. Ejemplificar el algoritmo de los métodos de solución de Gauss y Gauss-Jordan Procesar e interpretar datos Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías

10 Inversa de una matriz y regla de Cramer sistema de ecuaciones lineales y elegir el método de solución adecuado para resolverlo. Utilizar software matemático para resolver problemas de sistemas de ecuaciones lineales..5.- Aplicaciones Resolver problemas de aplicación en ingeniería de sistemas de ecuaciones lineales e interpretar su solución. Analizar, plantear y resolver los sistemas de ecuaciones lineales de fenómenos modelados acorde a su especialidad. de la información. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones Reconocimiento de conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Argumentar con contundencias y precisión. 4 Indicadores de alcance Valor del indicador A. Examen 60 % B. Actividades en clase (ejercicios) 20 % C. Actividades extra clase (ejercicios) 20 % 4.a Niveles de desempeño

11 Desempeño Nivel de desempeño Indicadores de alcance Valoración numérica Excelente Resolver de manera correcta el 100% de ejercicios del examen, Notable Resolver de manera correcta el 90% de los ejercicios del examen, alcanzada Bueno Resolver de manera correcta el 80% de los ejercicios del examen, Suficiente Resolver de manera correcta el 70% de los ejercicios del examen, no alcanzada Insuficiente No cumplió con el mínimo de los criterios de evaluación en los apartados anteriores. 69 o menos. 4.b Matriz de evaluación Evidencia de aprendizaje % Indicador de alcance Evaluación formativa de la competencia A B C Examen 60 X El docente revisará el examen Actividades en clase 20 X El docente revisará los ejercicios Actividades extra clase 20 X El docente revisará los ejercicios Total Descripción: Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura

12 No.: algebraica que generaliza y hace abstracción de operaciones que aparecen en diferentes áreas de la matemática mediante las propiedades de la adición y multiplicación por un escalar. Construir, utilizando el álgebra de vectores, bases de un espacio vectorial y determinar la dimensión del espacio correspondiente. Temas y subtemas para desarrollar la competencia específica Actividades de aprendizaje (que hace el alumno) Actividades de enseñanza (que hace docente) Desarrollo de competencias genéricas Horas teórico práctica Definición de espacio vectorial y propiedades Definición de subespacio vectorial y propiedades 4..- Combinación lineal, dependencia e independencia lineal. Comprender el concepto de espacio vectorial, por medio de la ejemplificación conjuntos de vectores que cumplan con los diez axiomas de espacio vectorial. Establecer analogías entre los espacios y subespacios vectoriales con la notación de conjuntos y subconjuntos e indentificar si un conjunto de vectores son o no subespacios vectoriales de un espacio vectorial. Escribir vectores como combinación lineal de otros y determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente. Utilizar los conceptos de matrices y Analizar el concepto de espacio y sus propiedades Analizar y demostrar, mediante matrices, cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente. Procesar e interpretar datos Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, 2 1

13 4.4.- Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram Schmidt. determinantes para determinar la independencia lineal de un conjunto de vectores. Identificar cuando es que un conjunto genera un espacio vectorial. Determinar si un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial. Graficar el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales y establecer la relación entre la gráfica y la dimensión del espacio de solución. Utilizar el proceso de ortonormalización de Gram Schmidt. Utilizar software matemático para encontrar la matriz de transformación y realizar el proceso de ortonormalización de Gram Schmidt. Calcular la dimensión y una base de un espacio vectorial. Dadas dos bases de un mismo espacio vectorial, calcular la matriz de cambio de base. Explicar el producto interno y propiedades. Mostrar y ejemplificar el algoritmo de ortonormalización y ortogonalización de Gram Schmidt. algorítmico, heurístico, analítico y sintético. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones Reconocimiento de conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Argumentar con contundencias y precisión

14 Indicadores de alcance Valor del indicador A.- Examen 60 % B.- Actividades en clase (ejercicios) 20 % C.- Actividades extra clase (ejercicios) 20 % 4.4a Niveles de desempeño Desempeño Nivel de desempeño Indicadores de alcance Valoración numérica Excelente Resolver de manera correcta el 100% de ejercicios del examen, Notable Resolver de manera correcta el 90% de los ejercicios del examen, alcanzada Bueno Resolver de manera correcta el 80% de los ejercicios del examen, Suficiente Resolver de manera correcta el 70% de los ejercicios del examen, no alcanzada Insuficiente No cumplió con el mínimo de los criterios de evaluación en los apartados anteriores. 69 o menos. 4.4b Matriz de evaluación Evidencia de aprendizaje % Indicador de alcance Evaluación formativa de la competencia A B C Examen 60 X El docente revisará el examen Actividades en clase 20 X El docente revisará los ejercicios Actividades extra clase 20 X El docente revisará los ejercicios Total

15 No.: 5 Descripción: Aplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una matriz de reflexión, dilatación y rotación. Temas y subtemas para desarrollar la competencia específica Actividades de aprendizaje (que hace el alumno) Actividades de enseñanza (que hace docente) Desarrollo de competencias genéricas Horas teórico práctica Introducción a las transformaciones lineales Núcleo e imagen de una transformación lineal La matriz de una transformación lineal Aplicación de las transformaciones Identificar cuándo una transformación es una transformación lineal. Definir y obtener el núcleo y la imagen de una transformación lineal, así como la nulidad (dimensión del núcleo) y el rango (dimensión de la imagen). Utilizar software matemático para encontrar el núcleo y la imagen de una transformación lineal. Representar una transformación lineal como una matriz. Resolver aplicaciones de transformaciones lineales de Explicar el concepto de transformación lineal, las propiedades que los definen y relacionarlas con otros operadores Analizar y explicar las transformaciones lineales y mostrar las características que debe cumplir un conjunto de vectores para pertenecer al núcleo y/o la imagen de una transformación lineal. Mostrar y ejemplificar que una transformación lineal de varias variables se puede representar en forma matricial. Mostrar y ejemplificar la aplicación de las Procesar e interpretar datos Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético

16 lineales: Reflexión, dilatación, contracción y rotación. reflexión, dilatación, contracción y rotación. transformaciones lineales en la geometría. Haciendo reflexiones, dilataciones, contracciones y rotaciones de vectores. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones Reconocimiento de conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Argumentar con contundencias y precisión. Indicadores de alcance Valor del indicador A.- Examen 60 % B.- Actividades en clase (ejercicios) 20 % C.- Actividades extra clase (ejercicios) 20 %

17 4.5a Niveles de desempeño Desempeño Nivel de desempeño Indicadores de alcance Valoración numérica Excelente Resolver de manera correcta el 100% de ejercicios del examen, Notable Resolver de manera correcta el 90% de los ejercicios del examen, alcanzada Bueno Resolver de manera correcta el 80% de los ejercicios del examen, Suficiente Resolver de manera correcta el 70% de los ejercicios del examen, no alcanzada Insuficiente No cumplió con el mínimo de los criterios de evaluación en los apartados anteriores. 69 o menos. 4.5b Matriz de evaluación Evidencia de aprendizaje % Indicador de alcance Evaluación formativa de la competencia A B C Examen 60 X El docente revisará el examen Actividades en clase 20 X El docente revisará los ejercicios Actividades extra clase 20 X El docente revisará los ejercicios Total

18 5. Fuentes de información y apoyos didácticos Fuentes de información Variable Compleja, Murray R. Spiegel, Ed. McGraw-Hill Variable Compleja y Aplicaciones, Ruel V. Churchill, Jame Ward Brown, Ed. McGraw-Hill Del Valle, J.C. (2012), Álgebra Lineal para Estudiantes de Ingeniería y Ciencias Grossan, S.I. (2012), Álgebra Lineal, (7 a Ed.), México. Mc. Graw-Hill Poole, D. (2011), Álgebra Lineal una Introducción moderna, ( a Ed.), México. Cengage Learning. Apoyos didácticos: Pintarrón Proyector Lap-Top Software

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