Los números irracionales

Transcripción

1 Los úmeros irracioales Los úmeros irracioales E las matemáticas de la Educació Secudaria Obligatoria se preseta los úmeros irracioales como aquellos que o so racioales, es decir, aquellos que o se puede poer e forma de fracció. Como es muy habitual hablar de la expresió decimal de ua fracció (que es o bie decimal exacta o bie decimal periódica), se dice tambié de los irracioales que tiee ua expresió decimal ifiita o periódica, o sea, que tiee ifiitas cifras decimales que o forma período. De este modo, es fácil costruir úmeros de este tipo, por ejemplo: 1, ; 0, Si embargo, el ejemplo clásico de úmero irracioal es la raíz de dos. Vamos, el úmero cuyo cuadrado es dos. E las matemáticas de la Educació Secudaria Obligatoria se da por hecho que es u úmero irracioal, es decir, u úmero co ifiitas cifras decimales que o forma período. Ua calculadora cualquiera da ua aproximació de la raíz de dos co bastates cifras sigificativas. Dedicaremos uestro esfuerzo e este artículo a ir u poco más allá: demostraremos que, efectivamete, o hay igú úmero racioal cuyo cuadrado sea dos y, a partir de ahí, os pregutaremos por la existecia de los úmeros irracioales. Es decir, o daremos por hecho que todo úmero que o sea racioal es u úmero real, sio que lo demostraremos. Es la maía de los matemáticos de demostrar las cosas, siempre que se pueda. Y se puede. Ya habíamos cometado e u artículo aterior, dedicado al axioma del supremo, que ua cosecuecia de tal axioma es que os permitirá probar la existecia de úmeros irracioales. Es decir, de úmeros reales que o so racioales (o, más comúmete, que o so fraccioes). Recordemos que el cojuto Q de los racioales se defie de la siguiete forma: { p } Q = : p Z, N Recordemos tambié que fuimos capaces de demostrar que o existe igú úmero racioal cuyo cuadrado es dos. De todos modos volveremos a demostrarlo a cotiuació. Para ello supogamos, razoado por reducció al absurdo, que existe x Q tal que x =, es decir, que x = m, dode m y so aturales y que la fracció m es irreducible, es decir, ua fracció e la que mcd(m, ) = 1 (tomar ua fracció irreducible o limita la demostració, ya que si o lo fuera habría otra fracció equivalete que sí que lo sería y podríamos tomar esta 1

2 Los úmeros irracioales última como la fracció cuyo cuadrado sea dos, objeto de uestra demostració). Completemos ahora la demostració: x = m ( m ) m x = = m = De lo aterior deducimos que m es par (el doble de cualquier úmero siempre es par), co lo que m tambié es par ( te atreves a demostrar que si el cuadrado de u úmero atural es par etoces el úmero e cuestió tambié lo es?) Por tato existe k N tal que m = k. Sustituyedo teemos: (k) = 4k = k = De la misma forma que ateriormete, deducimos ahora que es par y que, por tato, tambié lo es. Hemos demostrado etoces que m y so ambos úmeros pares, pero esto etra e cotradicció co el hecho supuesto de que la fracció m sea irreducible, pues siedo tato m como úmeros pares la fracció se podría reducir aú más (dividiedo etre dos). La cotradicció aterior demuestra que x tal que x = o es racioal. Debemos supoer que será u úmero, pero o racioal. Teemos etoces, presumiblemete, el derecho a supoer que hay úmeros reales que o so racioales, es decir, que esa cosa cuyo cuadrado es dos es de verdad u úmero pero o racioal... Aclaremos esto u poco más e itetemos seguir el razoamieto (ya, ya sé que los matemáticos somos u poco retorcidos). A ver, el cojuto Q de los úmeros racioales tiee la misma estructura que el cojuto R de los úmeros reales: es u cuerpo ordeado comutativo. Es decir, que los cojutos R y Q sería idistiguibles, icluso podría ser el mismo. Esto, de mometo, os obliga a o poder afirmar la existecia de úmeros reales que o sea racioales. Puesto que hemos ecotrado algo que o es racioal, debemos demostrar que realmete es u úmero real, es decir, que existe úmeros irracioales, o lo que es lo mismo, úmeros reales que o so racioales. Sólo podremos hacerlo co la ayuda del axioma del supremo (de aquí se explica la ecesidad de itroducir este último axioma para completar la estructura del cojuto de los úmeros reales). Demostremos pues la existecia de úmeros irracioales. Hemos de isistir e que la demostració hace uso del axioma del supremo y, además, hace uso de las desigualdades de ua forma bastate técica. Pero merece la pea itetar seguirla. Es, por tato, fudametal leer y compreder co claridad todo lo que se dijo ates y después de euciar el axioma del supremo, e el artículo dedicado al mismo y ya mecioado e más de ua ocasió, pues se hará uso co profusió de todo ello.

3 Los úmeros irracioales Fialmete, aprovecharemos tambié para demostrar otro par de resultados que demostrará la abudacia de racioales e irracioales y os hará reflexioar sobre si hay más irracioales que racioales. Proposició. Existe u úmero real y positivo α tal que α =. Demostració. Sea A = {x R + 0 : x < }. U iciso: R + 0 es la semirrecta [0, + ). A es o vacío (1 A) y si x A teemos x < < de dode usado que x 0 se deduce fácilmete que x <. Por tato A está mayorado; sea α = sup A. Claramete α 1 y queda probar que α =. Sea u atural arbitrario. Como α + 1 > α, teemos que α + 1 / A, esto es ( α + 1 ) = α + α + 1 α + α + 1 obteiédose α α Por otra parte, al ser α 1 < α teemos, por defiició de supremo, que existe x A verificado que α 1 < x, pero como α 1 ( 0 tambié se tiee que α ) 1 < x y por tato que ( α ) 1 <. Así pues > ( α 1 ) = α α + 1 > α α de dode α α < 1 y co mayor motivo α α + 1 < 1 E resume, si otamos β = α α + 1, se tiee β 1, N. Si fuese β = 0 existiría, por el pricipio de Arquímedes, u atural 0 tal que 1 β < 0, es decir, β > 1 0, lo que es ua cotradicció. Así pues β = 0 y α =. 3

4 Los úmeros irracioales Puesto que, tal y como hemos demostrado más arriba, o existe igú úmero racioal cuyo cuadrado sea, deducimos que el úmero real α, que aparece e la proposició aterior, es u real o racioal, es decir, u irracioal. Si teemos e cueta que la suma de u racioal y u irracioal es irracioal y que el producto de u racioal o ulo por u irracioal es tambié irracioal ( serías capaz de comprobar ambas afirmacioes?: áimo o es difícil), la abudacia de úmeros irracioales está asegurada; de hecho se tiee el siguiete resultado al respecto, e el que se demuestra que hay siempre u irracioal etre dos úmeros reales, por cerca que estos dos últimos se ecuetre. Proposició. Dados dos úmeros reales, x e y, verificado x < y, existe siempre u úmero irracioal β tal que x < β < y. Demostració. Si uo de los úmeros es racioal y el otro irracioal, basta tomar β = x + y. Si los dos so irracioales sea z = x + y ; puede ocurrir que z sea irracioal, y bastará tomar β = z, o que z sea racioal, e cuyo caso tomaremos β = x + z. Queda cosiderar el caso e que x e y so racioales. Sea α el úmero racioal dado por la proposició aterior. Puesto que 1 < α se tiee 0 < 1 < 1, y basta α tomar β = x + y x α. A pesar de la abudacia de irracioales, igualmete, demostraremos que tambié hay u racioal etre dos reales cualesquiera o equivaletemete, que todo úmero real puede aproximarse por racioales. Teorema (Desidad de Q e R). Dados dos úmeros reales, x e y, verificado x < y, existe u úmero racioal r tal que x < r < y. Demostració. Supogamos primeramete que 0 x. Por el Pricipio de Arquímedes existe u atural 0 tal que 1 < 0 (y x) y por tato 1 < y x. Sea m 0 = mí{m N : 0 x < m} (por el propio 0 Pricipio de Arquímedes el cojuto {m N : 0 x < m} es o vacío y por el pricipio de buea ordeació de los aturales tiee míimo). Veamos que m x. Si m 0 = 1, es m 0 1 atural y por tato m 0 1 / {m N : 0 x < m}. Si m 0 = 1, se tiee m 0 1 = 0 0 x (hemos supuesto 4

5 Los úmeros irracioales que x es positivo). Se tiee etoces x < m 0 = m x + 1 < x + (y x) = y y basta tomar r = m 0 0. Supogamos ahora que x < 0. Si y > 0 podemos tomar r = 0 y si y 0, por la primera de la demostració existe u racioal s tal que y < s < x, y basta tomar r = s. Los dos últimos resultados sugiere que os pregutemos si hay más racioales que irracioales o viceversa. Hay u resultado e matemáticas que demuestra que hay más irracioales que racioales, pero esto será motivo de otro estudio e el que las matemáticas se adetra e el tortuoso camio de los cojutos ifiitos. Y aquí es dode matemáticas y filosofía, filosofía y matemáticas comieza a darse la mao. Por cierto, e este otro artículo se demuestra que el coocido y famoso úmero e tambié es irracioal. Icluimos fialmete u par de propiedades más que se podría propoer como ejercicio. 1. Sea a, b, c, d úmeros racioales verificado c + d = 0, y sea x u úmero irracioal. Qué codició debe cumplir a, b, c y d para que el úmero cx+d ax+b sea racioal? Solució. Supogamos que cx+d ax+b = p, co p Z y N. Etoces (ax + b) = (cx + d)p ax + b = cx + dp x(a cp) = dp b Como el producto de u irracioal por u racioal o ulo es irracioal, debemos de cocluir que a cp = 0 y dp b = 0, lo que sigifica que p = a c y p = d b. Luego la codició para que el úmero cx+d ax+b sea racioal es que a c = d b, o lo que es lo mismo, ad bc = 0 (obsérvese que, como c + d = 0, c y d so ambos distitos de cero).. Probar que si x es u úmero real se verifica: i) x = sup{r Q : r < x} = íf{r Q : r > x}. ii) x = sup{α R Q : α < x} = íf{r R Q : α > x}. Solució. 5

6 Los úmeros irracioales i) Sea ε R +. Etoces, por la desidad de Q e R, existe dos úmeros racioales r 1, r tal que x ε < r 1 < x < r < x + ε. Por tato, por la caracterizació de supremo e ífimo se tiee el resultado: x = sup{r Q : r < x} = íf{r Q : r > x}. ii) Sea ε R +. Etoces, por la desidad de R Q e R, existe α 1, α R Q tal que x ε < α 1 < x < α < x + ε. Por tato, por la caracterizació de supremo e ífimo se tiee el resultado: x = sup{α R Q : α < x} = íf{r R Q : α > x}. 6