Coordinación de Matemática II (MAT022)

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1 Coordiació de Matemática II (MAT0) Primer semestre de 03 Semaa 0: Lues 7 de Mayo Vieres 3 de Mayo CÁLCULO Coteidos Clase : Coordeadas paramétricas. Áreas e coordeadas paramétricas. Clase : Ejercicio y repaso. CLASE. Coordeadas paramétricas II. Si C es ua curva paramétrica cerrada y simple descrita por las ecuacioes x = f (t ) y = g (t ) a apple t apple b diremos que ella es descrita e el setido positivo si se describe e forma atihoraria y descrita e el setido egativo si se describe e el setido horario. Ejemplo.. La curva x = cos(4t ), y = se(4t ) para t [0, /] es ua curva cerrada simple descrita e el setido positivo. E cambio x = se(4t ),y = cos(4t ) para t [0, /] es ua curva cerrada simple descrita e el setido egativo. Defiició.. Parametrizar ua curva cartesiaa C es ecotrar fucioes f, g : [a,b]! R tales que C = x,y R : x = f (t ),y = g (t ) para t [a,b] Las parametrizacioes o so úicas, por ejemplo C : x = t 3 y = t 6 t R

2 y C : x = t y = t t R ambas so parametrizacioes de la gráfica de la parábola y = x. Ejercicio.. Parametrizar la curva Ejercicio.. Parametrizar la curva x a + y b = x /3 + y /3 = a /3 Alguas curvas tiee parametrizacioes estádar, por ejemplo, la gráfica de ua fució Graf f = x, f (x) R : x Dom f tiee la parametrizació Graf f : x = t y = f (t ) t Dom f Otra tipo de curvas que se puede parametrizar de maera estádar, so las gráficas de ecuacioes polares, si r = f ( ) co, etoces x = r cos,y = r se( ) para, es decir C : x = f (t )cost y = f (t )set t, es ua parametrizació de la gráfica polar. Ejemplo.. La gráfica de la cardioide r = + cos se puede describir mediate las ecuacioes paramétricas x = ( + cost )cost y = ( + cost )sit para t [0, ] y es ua curva cerrada simple descrita e setido positivo.. Áreas e coordeadas paramétricas E esta secció presetamos ua fórmula cuya demostració la dejaremos para Mat04 (auque es posible realizarla e este curso dividiedo la regió e subregioes más simples) que trata sobre el área ecerrada por ua curva paramétrica. Teorema.. Sea f (t ), g (t ) fucioes defiidas e [a,b] y derivables por tramos tales que C : x = f (t ) y = g (t ) t [a,b] describe ua curva cerrada simple orietada e setido positivo etoces A = Z b a f (t ) g (t ) f 0 (t ) g 0 (t ) dt = Z b a f (t ) g 0 (t ) f 0 (t ) g (t ) dt es el área ecerrada por la curva. MAT0 (Cálculo)

3 Ejercicio.3. Muestre que al usar la fórmula aterior e x = f (t )cost C : y = f (t )set t, se obtiee el área ecerrada por la ecuació polar r = f ( ) co, Observació.. Z b a f (t ) g 0 (t )dt = Z b a f 0 (t ) g (t )dt e efecto, basta realizar ua itegració por partes y utilizar que la curva es cerrada, de esto podemos obteer A o bie A = Z b A = f (t ) g 0 (t )dt a Z b a f 0 (t ) g (t )dt Observació.. Si la curva es recorrida e setido egativo debemos cambiar el sigo e las itegrales. Ejercicio.4. Verificar que las tres fórmulas ateriores da lo esperado para la curva x = cost,y = sit,t [0, ]. Ejercicio.5. Ecotrar el área ecerrada por la elipse y por la astroide x a + y b = x /3 + y /3 =.. U caso particular (al cual puede reducirse la demostració de la fórmula aterior) Supoga que queremos calcular el área bajo la curva paramétrica C : x = f (t ) y = g (t ) t [a,b] y sobre el eje X. Como muestra la figura: MAT0 (Cálculo) 3

4 Para utilizar uestra fórmula debemos ecerrar el área co ua curva. Para tal efecto parametrizamos las rectas y usaremos la fórmula Z A = f 0 (t ) g (t )dt ote que hemos usado el sigo cambiado porque la curva es recorrida e el setido egativo. E las rectas verticales la derivada de x (t ) es cero y e la horizotal y (t ) = 0 por lo tato la úica itegral que teemos que calcular es A = Observació.3. Si x = f (t ) fuese ivertible etoces Z b a f 0 (t ) g (t )dt t = f (x) pogamos x 0 = f (a ) y x = f (b) luego la curva descrita es la gráfica de la fució y = g (t ) = g Ä f (x) ä para x [x 0,x ] y como sabemos el área de la regió bajo la gráfica de ua fució y sobre el eje X es dada por Z x Ä A = g f (x) ä dx x 0 si hacemos el cambio de variables u = f (x) equivaletemete f (u ) = x etoces f 0 (u )du = dx reemplazado A = Z x Ä g f (x) ä dx = x 0 Z b a g (u ) f 0 (u )du que es la fórmula aterior. Ejemplo.3. Calcular el área ecerrada por la cicloide C : x = a (t set ) y = a ( cost ) t [0, ] y el eje X. Desarrollo: Utilizado la fórmula aterior Z A = f 0 (t ) g (t )dt 0 Z = a ( cost ) dt 0 = 3 a CLASE Ejercicios y repaso. MAT0 (Cálculo) 4

5 Coordiació de Matemática II (MAT0) Primer semestre de 03 Semaa 0: Lues 7 de Mayo Vieres 3 de Mayo COMPLEMENTO Coteidos Clase : Sucesioes: Defiició, otació. Cocepto de covergecia y límite de sucesioes. Subsucesioes. Clase : Ejercicios y repaso. CLASE. Sucesioes Cosidere el problema de aproximar el valor de p a través del siguiete método: Sabemos que p I = [,], dividamos el itervalo e dos subitervalos de igual logitud = digamos I 0 = î ó, 3 00 y I = î 3,ó. Es fácil ver que p I 0 llamemos I a tal itervalo. Ahora bie, como p I podemos dividir I e dos subitervalos I 0 y I 00 ambos de logitud logitud I =, al cual perteezca p le llamamos I 3. Repitamos e forma iductiva tal operació de esta maera obteemos itervalos I tales que p I además la logitud de I =. Sea x,y los extremos derecho e izquierdo del itervalo I etoces x apple p apple y para todo N se sigue que esto os dice que 0 apple p x apple y x = 0 apple p x apple para todo N

6 e otras palabras, el extremo derecho de los itervalos I se va acercado al valor de p a medida que crece, así por ejemplo x 0 esta a distacia meor igual que 4 = de p. E este ejemplo, a cada úmero atural le asigamos u úmero real x que es el extremo derecho del itervalo I este tipo de asigació se llama sucesió de úmeros reales y el proceso de se va acercado es llamado covergecia. A cotiuació formalizaremos estos coceptos... Coceptos básicos Defiició.. Ua sucesió de úmeros reales es ua fució x : N! R que asocia a cada úmero atural u úmero real x () que deotaremos por x y que llamaremos el -ésimo térmio de la sucesió. Geeralmete se deota las sucesioes e la forma (x ), (x ) N, (x ) A, {x } N o (x,x,x 3,...,x,...). Debemos si embargo, distiguir etre ua sucesió que es ua fució y el cojuto de los valores que toma la sucesió (el recorrido de tal sucesió) so objetos diferetes que puede cofudirse, por ejemplo: Cosidere la sucesió X : N! R,! X () = ( ) si bie esta fució toma solo dos valores debemos distiguirla del cojuto {,} que sería el recorrido de tal sucesió, quizás lo que deje mas e claro la diferecia etre estos objetos, sea que e la fució existe u cierto orde e el que se asume los valores e cambio e el cojuto o. Es posible defiir ua sucesió listado los primeros térmios de ella y deteiedoos cuado la regla de formació de la sucesió sea clara por ejemplo (,4,6,8,...) deotará la sucesió de los úmeros pares. U método mas satisfactorio para defiir ua sucesió es especificar ua fórmula para el térmio -ésimo de la sucesió por ejemplo () N Tambié existe otro método para defiir sucesioes llamado método iductivo e el que se defie el térmio x + basadose e ua fórmula recursiva coocidos alguos valores de la sucesió, por ejemplo, podemos defiir la sucesió de los pares mediate la fórmula x =, x + = + x para (ote que x =, luego x = + x = + = 4 luego x 3 = + x = + 4 = 6, etc). Otro ejemplo de este tipo de defiicioes es a =, a = y a + = a + a para e el cual tomamos como base dos casos ateriores, los primeros úmeros de esta sucesió será: a = a = a 3 = a + a = + = a 4 = a 3 + a = + = 3 a 5 = a 4 + a 3 = 3 + = 5 Podemos represetar ua sucesió e la recta real mostrado los valores que toma la sucesió e determiado valor de, por ejemplo la represetació para la sucesió Ä ä es mostrada e la siguiete figura: N MAT0 (Complemeto)

7 Ejemplo.. Las progresioes so u ejemplo de sucesioes por ejemplo las progresioes geométricas correspode a ua sucesió del tipo x : N! R! x = a r y las progresioes aritméticas correspode a ua sucesió de la forma x : N! R! x = a + ( )d Ejemplo.. La sucesió (,0,,0,...) tiee térmio -ésimo dado por x = ( ) es decir, correspode la la sucesió x : N! R! x = ( ) Ejemplo.3. El décimo térmio de la sucesió Ä ä correspode a. N 0 Ejemplo.4. Cosideremos la sucesió x = Ä + ä. Notemos que por el teorema del biomio x = X k =0 k k Como obteemos que! = k ( k )!k! k k = = = ( ) ( k + )( k )! ( k )!k! k ( ) ( k + ) k! k k k! De esta maera, x = + = + X apple k = k = X X apple + k! = k! k =0 k k! MAT0 (Complemeto) 3

8 E la desigualdad aterior usamos el hecho que Ahora otemos que Usado el hecho que obteemos que k apple = X X k! = + + k! k =0 k = k! k para k X k =0 De lo aterior podemos observar que para todo N. k! = + + apple + + X k! X = + k k = k = x = + < 3 < 3 Ejemplo.5. La sucesió, +,3+,4+,5+,..., correspode a la sucesió de térmio -ésimo dado por x = + Defiició.. Sea X = (x ), Y = y dos sucesioes e R y sea R. Se defie:. X como la sucesió ( x ). X + Y como la sucesió x + y 3. XY como la sucesió x y 4. Si y 6= 0 etoces defiimos X Y como la sucesió x y Así por ejemplo, si X = Ä ä e Y = () N N, etoces XY = () N = (,,,...,,...) es ua sucesió costate que solo toma el valor. Similarmete, Y /X = N. Defiició.3. Ua sucesió (x ) se dice:. Acotada superiormete, si existe u M R tal que x apple M para todo.. Acotada iferiormete, si existe u m R tal que m apple x para todo. 3. Acotada, si es acotada superior e iferiormete, esto equivale a ecotrar u K > 0 tal que x applek para todo. MAT0 (Complemeto) 4

9 Ä ä Ejemplo.6. La sucesió + o es ua sucesió acotada. Primero, es claro que 0 apple x para cada N. E los N ejemplos aterores se vió que x < 3 para cada N. Luego, x [0,3] para cada N. Ejemplo.7. ( ) N es ua sucesió acotada, a saber, x = ( ) =. Luego x [,] para cada N. Ejemplo.8. Sea a R, y defia la sucesió x = a estudiaremos si esta es o o acotada.. Sea a <. Veamos que (x ) o es acotada i superior i iferiormete. E efecto, ote que x = a >, se sigue que x = a = + d dode d > 0. Luego, x = a = ( + d ) + d, de dode podemos ver que o existe u M R tal que x apple M para todo R. E efecto, si tal M existiera, etoces M x + d obteiedo que M d. Si cosideramos > M, llegamos a ua cotradicció. d Similarmete, x + = a + = a ( + d ) apple a ( + d), de dode podemos ver que o puede existir m R tal que m apple x para todo N. La razó es similar al caso aterior (tarea).. Si a >, etoces a = +d co d > 0. Luego, x = a = ( + d ) +d, de dode podemos ver que (x ) o puede estar acotada superiormete. Note que esta acotada iferiormete por. 3. Si a [,], etoces x = a esta acotada. E efecto, x = a apple = luego x [,] para todo N. Ejercicio.. Verificar que la sucesió si + N es ua sucesió acotada. Defiició.4. Ua sucesió (x ) se dice:. Estrictamete creciete si para cada se cumple x < x +.. Creciete si para cada se cumple x apple x Estrictamete decreciete si para cada se cumple x > x Decreciete si para cada se cumple x x Moótoa si cumple co algua de las ateriores (e ocasioes se habla de mootoía estricta si es estrictamete creciete o estrictamete decreciete) MAT0 (Complemeto) 5

10 Ejemplo.9 (Series de térmios positivos). Supoga que {x } es ua sucesió de térmios positivos, es decir, x todo. Defiamos X a = x k. Etoces {a } es ua sucesió creciete. E efecto, para cada se cumple k = 0 para X+ a + a = k = x k X x k = x + 0, k = de dode obteemos que a + a. Alguos ejemplos de esto so las siguietes sucesioes a = +! +! + +! a = a = Ejercicio.. {si()} N o es ua sucesió moótoa. Ejercicio.3. ( ) N o es ua sucesió moótoa. Ejemplo.0. (,,3,4,...) es ua sucesió estrictamete creciete. Ejemplo.. (,,,3,3,3,4,4,4,4,5,...) es ua sucesió creciete. Defiició.5. Cosidere ua sucesió (x ) = (x,x,x 3,...). Ua subsucesió de (x ) es ua ueva sucesió que se forma cosiderado alguos digamos,, 3... que cumple < < 3 <... Ua subsucesió de ua sucesió correspode a efectuar ua composició (por la derecha) de la sucesió origial co ua fució Y : N! N que sea estrictamete creciete. Ejemplo.. Dada la sucesió (x ) podemos extrarer la subsucesió de los térmios de lugares pares (x,x 4,x 6,...) = (x ) tambié podemos estraer la de los lugares impares (x,x 3,x 5,...) = (x ). La primera correspode a efectuar ua composició co la fució estrictamete creciete Y : N! N,! Y () = y la seguda co la fució estrictamete creciete Y : N! N,! Y () =. Podríamos tambié cosiderar Y : N! N,! Y () = y obteemos la subsucesió (x,x 4,x 9,x 6,...) MAT0 (Complemeto) 6

11 Ejemplo.3. Cosidere la sucesió (,,,3,3,3,4,4,4,4,5,...) etoces podemos otar lo siguiete, e el lugar = está el, e el lugar + esta el, e el lugar está el 3 e el lugar esta el 4; así de maera más geeral Luego, se sigue que x =. x (+) De esta maera, la sucesió (,,3,...,,...) es ua subsucesió de (,,,3,3,3,4,4,4,4,5,...). =. Ejemplo.4. Note que (( ) (+) ) es ua subsucesió de (( ) ) sus primeros térmios so,,,,,,,... Ejemplo.5. Si (x ) es ua sucesió, etoces (x + ) = (x,x 3,...) es ua subsucesió. Similarmete, para cada k N fijo, la sucesió (x +k ) es ua subsucesió de la aterior.. El cocepto de covergecia Hablado de maera iformal, el cocepto de covergecia esta relacioado co los valores que toma la sucesió a medida que crece. Si los valores está ta cerca de u úmero L como queramos a partir de u e adelate, etoces decimos que la sucesió coverge a este L. Es esta idea la que pasamos a formalizar a cotiuació. Defiició.6. Sea (x ) ua sucesió y L u úmero real. Diremos que x coverge a L (o que el límite de la sucesió (x ) es L) si: para todo ">0existe u N N tal que, para cada N, N, implica que x L <". E tal caso usaremos la otació lim! x = L o simplemete x! L. Observació.. Note que, e la defiició aterior, x L <"es equivalete a pedir que x ]L ", L + "[. Luego, la defiició de covergecia os dice que a partir de N e adelate los valores de x (x N,x N +,x N +,...) se ecotrará e el itervalo aterior. Como esto debe valer para " ta pequeño como queramos, esto formaliza la idea de estar ta cerca de L como se quiera. Observació.. Notemos tambié que, e la defiició aterior, x L <", (x L) 0 <", x L 0 <". Esto os dice que ï ò ï ò ï ò lim x = L, lim (x L) = 0, lim x L = 0!!! Defiició.7. Ua sucesió que posee límite se dirá covergete, e caso cotrario se dice divergete. MAT0 (Complemeto) 7

12 Ejemplo.6. Cosideremos la sucesió x = a co a < pero distito de cero. Ituitivamete pareciera ser que los valores de la sucesió se acerca a cero a medida que crece; formalicemos esto. Notemos que x = a. Ya que a < ) < a, se sigue que existe algú úmero positivo d co Etoces De lo aterior obteemos Así, Etoces + d = a. X = ( + d ) = d k a k k =0 d = d. d a. x 0 = a < d. d <", "d <. Ya estamos e codicioes de mostrar que el límite de esta sucesió es cero. Sea ">0u úmero arbitrario. Si N = Äî ó ä "d + (la parte etera de mas ), etoces se cumple que "d x 0 <". E efecto, N = î ó "d + > implica que ">. Pero x "d d 0 = a < <". Así d lim a = 0! Ejemplo.7. Cosidere la sucesió x =. Ituitivamete x +!. Mostremos que eso es correcto. Notemos que, para cada etero, vale que x = + = + <. Sea ">0dado y tomemos N " = î ó " +. Si N", etoces ; luego ">. De esta maera " x = + = + < <". Así hemos demostrado que Å lim! + ã = MAT0 (Complemeto) 8

13 Ejemplo.8. Cosidere la sucesió x = ( ). Si se da varios valores de vemos que esta sucesió toma los valores y e forma alterada. Esto os da ua idea de que esta sucesió o coverge. E efecto, supogamos que ella coverge a L, es decir, que x! L. Etoces, tomado " = /4, debería existir u N N tal que para N x L < 4. Luego, si cosideramos u par mayor que N, etoces se cumplirá que L < /4, es decir que L está a ua distacia meor de /4 de. Similarmete, si cosideramos u impar mayor que N, etoces se cumplirá que L < /4, es decir que L está a ua distacia meor de /4 de. Claramete esto es imposible ya que y está a ua distacia mayor que (/4)=/. Es decir (x ) diverge. Teorema. (Uicidad). Si el límite de ua sucesió existe, etoces es úico. Prueba. Sea (x ) ua sucesió covergete y supogamos que L y L so límites de ella. Supogamos que L 6= L. Sea ">0 tal que "< L L. Por covergecia, usado "/ e la defiició de covergecia, existirá aturales N y N tales que N ) x L <"/ N ) x L <"/ Así, si max{n,n } etoces "< L L = L x + x L apple x L + x L < " lo cual es ua cotradicció. Teorema. (Álgebra de límites). Si y etoces.. 3. si B 6= 0 lim x = A! lim y = B! lim x + y = A + B! lim x y = AB! x lim! y = A B Observació.3. Es fácil mostrar que! 0. Del álgebra de límites, parte., se sigue que p. uevamete, co la sucesió aterior y la sucesió costate, obteemos que! 0 cuado! k! 0 para p N. Utilizado MAT0 (Complemeto) 9

14 Ejemplo.9. Calcular el límite de la sucesió de térmio -ésimo Desarrollo: Notemos que x = = Ä ä Ä ä = Utilizado el álgebra de límites y la observació aterior se sigue que lim! = lim! + 4 = lim! Ä lim! + = = 3.! Ä ä Notar que hemos utilizado el hecho que la sucesió + coverge a 6= 0 para utilizar parte 3., del álgebra de límites. 4 4 ä Defiició.8. Sea (x ) ua sucesió.. Diremos que (x ) tiede (o coverge) a ifiito cuado tiede a ifiito, si para todo K > 0 existe u N N tal que N implica x > K. E tal caso escribiremos lim! x =+.. Diremos que (x ) tiede a meos ifiito cuado tiede (o cogerge) a ifiito, si para todo K < 0 existe u N N tal que N implica x < K. E tal caso escribiremos lim! x =. Ejemplo.0. Cosidere la sucesió x = ( ). Etoces (x ) o coverge i a + i a. Note que a medida que crece la sucesió se altera etre úmeros positivos y egativos que va creciedo e valor absoluto. Ejemplo.. Si x = (0.5) etoces lim! x =+. E efecto, 0.5 < ) < 0.5 ) < (0.5). Así de dode se sigue etoces lo afirmado. x = (0.5) >, Observació.4. Si (x ) es ua sucesió creciete y o es acotada superiormete etoces lim! x =+. Teorema.3. Sea (x ) e y sucesioes:. Si lim! x =+ y y es ua sucesió acotada iferiormete etoces lim x + y =+! MAT0 (Complemeto) 0

15 . Si lim! x =+ y existe >0 tal que y > para todo N etoces lim x y =+! 3. Si lim! x = 0,x > 0 para todo N y existe >0 tal que y > para todo N etoces y lim =+! x.3 Alguas propiedades de las sucesioes Teorema.4. Si (x ) es ua sucesió covergete a L, etoces toda subsucesió x k coverge y tambié a L. Este teorema os etrega u criterio muy útil de divergecia. Si (x ) es ua sucesió que posee ua subsucesió divergete, etoces la sucesió diverge. Si (x ) posee dos subsucesioes que coverge a límites distitos, etoces la sucesió diverge. Ejemplo.. La sucesió (x = ( ) ) es divergete. E efecto, esta posee dos subsucesioes (x = ) y (x = ) que coverge a límites diferetes. Ejemplo.3. Si x = yx + = x para etoces (x ) o puede ser covergete. E efecto, la subsucesió (x + = ) coverge a, mietras que la subsucesió (x = /) coverge a / 6=. El siguiete teorema os dice que para grades los térmios de la sucesió coveregete permaece cerca del límite Teorema.5. Supogamos que lim! x = L. Sea a R.. Si a < L, etoces existe u N N tal que, para cada N, se cumple a < x.. Si a > L, etoces existe u K N tal que, para cada K, se cumple a > x. Teorema.6. Si lim! x = L, lim! y = L y se cumple que x apple y para N mayores que u etero fijo, etoces L apple L. Observació.5. x < y o implica ecesariamete que L < L. Por ejemplo, cosidere las sucesioes (x = ) e (y = ). Etoces x < y pero L = L = 0. MAT0 (Complemeto)

16 Teorema.7. Toda sucesió covergete es acotada. Prueba. Sea (x ) ua sucesió covergete digamos a L. Existe u N N tal que para N se cumple x L <. Etoces Tomado M = max{ x, x,..., x N x < L + para N., L + } se sigue que x applem para todo N. Ejemplo.4. Sabemos que x = coverge a. Además sabemos que + x < de dode se sigue que, para todo N, vale que de dode obteemos que x <, x [0,] Ejemplo.5. Sabemos que Notemos además que lim! = = apple = apple = Luego x 3 < 5 4 lo que implica que apple x 4, 4 Teorema.8 (Bolzao-Weierstrass). Toda sucesió acotada posee ua subsucesió covergete. Ejemplo.6. Muestre que la sucesió x = si() es divergete. MAT0 (Complemeto)

17 Desarrollo: Cosidere los itervalos I k = î k +,k + ó 6 para k sigue que cada I k debe teer u atural que llamaremos k.. Note que la logitud de Ik es >, de dode se 6 3 Se debe cumplir apple si( k ) apple. Por ser la aterior ua sucesió acotada, el teorema de Bolzao-Weierstrass dice que {si( k )} debe teer ua subsucesió covergete si kl. Como si kl, se sigue lim si k l l!. Cosidere ahora los itervalos J u = î u,u ó 6 para u N. Note que la logitud de Ju es = >, 6 3 de dode se sigue que cada J u debe teer u atural que llamaremos u. Teemos que apple si( k ) apple. Luego, como uestra sucesió es acotada, el teorema de Bolzao-Weierstrass dice que {si( u )} debe teer ua subsucesió covergete si Ä ä Ä ä u p. Como si u p apple, se sigue Claramete lim siä ä u p! p apple. lim siä ä u p! p 6= lim si kl l! Obteemos que si tiee dos subsucesioes que coverge pero a límites diferetes, así si es ua sucesió divergete. CLASE Ejercicos y repaso. MAT0 (Complemeto) 3

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