MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Funciones de Variable Compleja. Departamento de Matemáticas. Mapeo. Continuidad. Derivada.

Transcripción

1 MA3002

2 variable compleja Cuando el dominio una función f es un conjunto números complejos y cuando el codominio mismo es también el conjunto números complejos diremos que f es una función variable compleja o simplemente que f es una función compleja. Como la imagen un elemento en el dominio z = x + y i es un número complejo w = f (z), entonces w be ser la forma: w = f (z) = u(x, y) + v(x, y) i don u(x, y) es la parte real w y v(x, y) es la parte imaginaria. dominio y z w = f (z) x v w imagen u

3 Ejercicios Escriba las siguientes funciones en la forma f (z) = u + v i: f (z) = 6 z i f (z) = 7 z 9 i z i f (z) = z 2 3 z + 4 i f (z) = 3 z z f (z) = z 3 4 z f (z) = z + 1/z f (z) = z 4 f (z) = z z+1

4 Gráficas Parte real f (z) = 6 z i Parte imaginaria Argumento Módulo 1

5 Gráficas Parte real f (z) = z 2 3 z + 4 i Parte imaginaria Argumento 1 Módulo 1

6 Ejemplo 3 anterior realizado en la calculadora TI.

7 Ejercicios Evalue la función f (z) en los valores dados. f (z) = 2 x y 2 + (x y 3 2 x 2 + 1) i en: z 1 = 2 i, z 2 = 2 i y z 3 = i f (z) = (x /x) + (4 x 2 2 y 2 4) i en: z 1 = 1 + i, z 2 = 2 i y z 3 = i f (z) = 4 z + i z + Re(z) en: z 1 = 4 6 i, z 2 = i y z 3 = 2 7 i f (z) = e x cos(y) + e x sen(y) i en: z 1 = π i/4, z 2 = 1 π i y z 3 = 3 + π i/3

8 En las siguientes figuras se ilustran las soluciones los problemas 1 y 3 anteriores en la TI. Observe la diferencia entre las finiciones la función f y la forma evaluarla.

9 Transformaciones l plano complejo Note que ante la imposibilidad graficar en R 4 no es posible graficar una función variable compleja. Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes rectas en el plano complejo. Por ejemplo, la función w = f (z) = z 2 = (x + y i) 2 = (x 2 y 2 ) + 2 x y i Aquí u(x, y) = x 2 y 2 y v(x, y) = 2 x y. Ilustremos cómo se mapea el segmento que va (2, 0) a (2, 1), en rojo en la figura. y v z = x + y i f (z) = u + v i x y u v x u

10 Ejercicios Para la función f (z) = z 2 encuentre la imagen la ĺınea indicada: y = 2 x = 3 x = 0 y = 0 x = y y = x

11 complejas como fluidos Una función compleja w = f (z) se pue interpretar como un flujo un fluído bidimensional consirando el número complejo f (z) como un vector basado en el punto z. A veces, será conveniente ilustrar el flujo con vectores normalizados. Por ejemplo, la función w = f (z) = z 2 generaremos el flujo graficando en cada punto z = (x, y) el vector (u esc, v esc ) = 1 2 w (u, v). y x y u v w u esc v esc x

12 una función Suponga que f (z) está finida en una vecindad z o, excepto posiblemente en el mismo z o. Entonces se dice que f (z) posee como ĺımite L en z o, escrito como lim f (z) = L z z o si cada aproximación ɛ a L existe distancia δ cercanía a z o manera que todo valor z 1 que esté a una distancia z o menor que δ tendrá una evaluación f (z 1 ) que cuya aproximación a L es menor que ɛ. En terminos matemáticos: 0 < z 1 z o < δ garantiza que L f (z 1 ) < ɛ

13 Propiedas l límite una función Suponga que las funciones f (z) y g(z) están finidas en una vecindad z o y ambas poseen ĺımite en z o y que entonces: lim f (z) = L 1 y z z o lim z zo (f (z) + g(z)) = L 1 + L 2 lim z zo (f (z) g(z)) = L 1 L 2 Si L 2 0, lim z zo f (z) g(z) = L 1 L 2 lim z zo g(z) = L 2

14 Ejercicios Determine cada uno los ĺımites siguientes o argumente en su caso porqué no existe. lim z i (4 z 3 5 z z i) lim z 1 i 5 z 2 2 z+2 z+1 lim z i z 4 1 z i lim z 1+i z 2 2 z+2 z 2 2 i lim z 0 z z lim z 1 x+y 1 z 1

15 En las siguientes figuras se ilustran las soluciones los problemas 2 y 3 anteriores en la TI. Recuer que expresiones fraccionarias el problema potencial es el valor l nominador: si es diferente cero, pomos calcular el ĺımite evaluando, pero si el nominador se evalua en cero entonces bemos hacer un tratamiento adicional. Conviene almacenar por sedo el numerador y nominador. Cuando ambos se evaluan en cero, se be cancelar factores tanto arriba como abajo; ello hay que dividir cada uno entre el factor (z z o ) y trabajar la expresión restante. En el segundo problema el ĺımite es L 2 = 8/5 16/5 i y en el tercero es L 3 = 4 i.

16 en un punto Se dice que la función f (z) es continua en el punto z o si: lim f (z) = f (z o ) z z o Ejemplos funciones continuas? Toda función polinomial es continua en la totalidad los puntos l plano complejo: las funciones racionales, que son cociente entre dos polinomios, son continuas en todos los puntos l plano complejo, excepto en aquellos puntos don el nominador se hace cero.

17 una función en un punto Supóngase que f (z) es una función variable compleja finida en la vecindad un punto z o. La rivada f (z) en el punto z = z o es f f (z o + z) f (z o ) (z o ) = lim z 0 z siempre y cuando tal ĺımite exista.

18 Ejercicios Obtenga la fórmula la rivada cada una las siguientes funciones por medio ĺımites. f (z) = z 2 f (z) = 1/z

19 En las siguientes figuras se ilustran el cálculo la rivada por medio su finición ĺımite. Note que a veces es importante obligar a una simplificación extra a la expresión antes evaluar en z = 0.

20 Propiedas la rivada Las reglas rivación funciones complejas son las mismas que las usadas en el cálculo en variables reales: d dz c = 0 y d dz c f (z) = c f (z) d dz (f (z) + g(z)) = f (z) + g (z) d dz (f (z) g(z)) = f (z) g(z) + g (z) f (z) ) d dz ( f (z) g(z) = g(z) f (z) f (z) g (z) (g(z)) 2 d dz f (g(z)) = f (g(z)) g (z) Para n entero: d dz zn = n z n 1

21 Ejercicios Por fórmulas, obtenga la rivada las siguientes funciones. f (z) = 4 z 3 (3 + i) z 2 5 z + 4 f (z) = 5 z 3 i z 3 + (8 i) z 2 6 i f (z) = (2 z + 1)(z 2 4 z + 8 i) f (z) = (z i z 3 )(z 4 + i z z 2 6 i z) f (z) = (z 2 4 i) 3 f (z) = (2 z 1/z) 6 f (z) = 3 z 4+8 i 2 z+i f (z) = 5 z2 z z 3 +1

22 En la siguientes figura se ilustra el cálculo la rivada por fórmula. De hecho, por calculadora.

23 Ejercicios Determine en qué puntos no son rivables las siguientes funciones. f (z) = f (z) = f (z) = z3 +z f (z) = z z 3 i 2 i z 2 2 z+5 i z z 2 +4 z 4+3 i z 2 6 z+25

24 Gráficas Parte real f (z) = z z 3 i Parte imaginaria Argumento Módulo Diagrama simplificado polos y ceros (Posición y orn) 1 1

25 Gráficas Parte real f (z) = 2 i z 2 2 z + 5 i z Parte imaginaria Argumento Módulo Diagrama simplificado polos y ceros (Posición y orn) 1 1

26 Gráficas Parte real f (z) = z3 + z z Parte imaginaria Argumento Módulo

27 Gráficas f (z) = z i z 2 6 z Parte real Argumento Parte imaginaria Módulo 1 1

28 En vista que las funciones son racionales (es cir,el cociente dos polinomios en z, don no aparece el conjugado z, ni su parte real suelta ni la parte imaginaria) la clave está en ver dón el nominador se hace cero. Esas raíces son los puntos don la expresión completa no tiene rivada.

29 en un punto Supóngase que f (z) es una función variable compleja finida en la vecindad un punto z o. La función f (z) se dice anaĺıtica en el punto z o si f (z) es rivable en z = z o y amás lo es en todo punto una vecindad z o. Una función f (z) se dice una función entera, si es anaĺıtica en todo punto l plano complejo. Los polinomios son funciones enteras.

30 Ejercicios Argumente porqué la función f (z) = z no es rivable en ningún punto. Argumente porqué la función f (z) = z 2 no es anaĺıtica en ningún punto.