Cálculo III (0253) TEMA 1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. Semestre

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1 Cálculo III (05) Semestre -009 TEMA FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL Semestre -009 Octubre 009

2 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de funciones vectoriales de una variable real La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en Ingeniería Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: quinterodavila@hotmailcom

3 INDICE GENERAL UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Vectores Cantidades escalares y vectoriales Función vectorial de una variable real 4 Ejercicios resueltos 5 Parametrización de algunas curvas 6 Ejercicios resueltos 7 Gráfica de curvas paramétricas con Graphmatica 8 Longitud, magnitud o norma de un vector 9 Producto escalar 0 Ángulo entre vectores Producto vectorial Límite de una función vectorial Continuidad de una función vectorial 4 Derivada de una función vectorial 5 Interpretación geométrica y física de la derivada 6 Integral de una función vectorial 7 Longitud de arco 8 Ejercicios resueltos 9 Gráficas de curvas paramétricas en R 0 Ejercicios resueltos Vectores canónicos Direcciones Vectores ortogonales Proyección ortogonal Cálculo de la proyección de un vector sobre otro 4 Formas de la ecuación del plano 5 Sistema de coordenadas móvil 6 Ejercicios resueltos 7 Curvatura 8 Curvatura para una recta Curvatura para una circunferencia 9 Componentes tangencial y normal de la aceleración 0 Circunferencia osculatriz y centro de curvatura Torsión Fórmulas de Frenet

4 INDICE GENERAL UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Ejercicios resueltos 4 Sistema de coordenadas polares 5 Representaciones de una curva en polares 6 Ecuación polar de una recta 7 Ecuación polar de una circunferencia 8 Distancias en coordenadas polares 9 Ecuación polar de una cónica 40 Gráficas en coordenadas polares 4 Intersección de curvas en polares 4 Forma paramétrica de una curva en polares Búsqueda de tangentes 4 Longitud de arco y área en polares 44 Resumen de fórmulas 45 Ejercicios resueltos 46 Ejercicios propuestos

5 VECTORES UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 VECTORES Definición Un vector es un objeto de la forma x = (x,x,,x n) con xi R, i =,,n Un vector es una magnitud representada por un segmento dirigido (flecha) Se caracteriza por poseer: a Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que se llama módulo, norma o tamaño del vector (ver figura ) Figura Cálculo del módulo, norma o tamaño de un vector b Una dirección, que es la recta a la que pertenece (ver figura ) c Un sentido La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos + para un lado y - para el otro (ver figura ) Figura Dirección y sentido de un vector

6 VECTORES UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 Los vectores pueden situarse en el plano, (dos dimensiones) (ver figura ), en el espacio (tres dimensiones) (ver figura 4) y hasta en dimensiones mayores a tres Los vectores que se encuentren en el plano se llamarán pares, mientras los que se ubiquen en el espacio se llamarán ternas Figura Vector en dos dimensiones Figura 4 Vector en tres dimensiones CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Diversas medidas como la temperatura, distancia, masa, tiempo, densidad, energía, área, altura, etc, se pueden representar mediante un solo número real, estas se llaman cantidades escalares Otras como la fuerza que actúa sobre un objeto, velocidad y aceleración de un cuerpo, necesitan, además de la magnitud, describir una dirección y un sentido Estas se llaman cantidades vectoriales y se logra describirla mediante coordenadas Se estudiarán con detalle algunas características de estas últimas cantidades

7 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL Definición Se define una función vectorial de variable real como: r : I R, t r(t) = (r (t),,r n(t)), donde I es un intervalo en R, r i con i =,,n es una función real de variable real con dominio I i Las funciones r i se llaman funciones coordenadas de la función r n Definición El dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones coordenadas, es decir, n D( r) = Ii = I i= Ejemplo Dada la función r(t) = ( t, t +,t ), encuentre su dominio Las funciones coordenadas vienen dadas por: Por lo tanto, r (t) = t D(r ) = [, ) r (t) = t + D(r ) = [, ) r (t) = t D(r ) = R D( r) = D(r) i = [, ) i= Definición 4 El rango o imagen de una función vectorial r es un conjunto de puntos en n R Muchas funciones vectoriales con imagen en geométricos conocidos R o R tienen como rango lugares Ejemplo Dada la función encuentre su rango o imagen r (t) = (4 cos(t), 4sen(t)), t [0, ], La imagen de la función es una circunferencia de radio 4 En efecto llamando a sus funciones coordenadas x(t) = 4 cos(t), y(t) = 4sen(t), se tiene x + y = 6 cos (t) + 6sen (t) = 6

8 FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 4 de 05 Ejemplo Dada la función r (t) = ( + t, + t, + t), t R, encuentre su rango o imagen Se puede observar que cada función coordenada corresponde a una ecuación paramétrica de una recta, en este caso, en R El rango o imagen de una función vectorial es un conjunto de puntos en llama curva Una curva puede ser representada por una o más funciones vectoriales n R, que se Ejemplo 4 Las funciones vectoriales definidas como f (t) = ( + t, t), t [0,] y g (t) = ( t, + t), t [0,] tienen el mismo conjunto imagen: el segmento de recta que une los puntos (,) y (,) Observación Una función vectorial r lleva implícita dos características fundamentales: la forma de la curva (imagen de la función) y la manera como se recorre ésta (sentido de recorrido y posición) Observación Si la función r es inyectiva, es decir, t,t I,t t r(t ) r(t ) la curva no tiene puntos de autointersección, se dirá en este caso que es una curva simple Si r(a) = r(b) se dirá que la curva es cerrada en [a,b] Ejemplo 5 La circunferencia f(t) que f(0) = f( ) = (cos(t),sen(t)) con 0 t, es una curva cerrada, ya Ejemplo 6 La curva conocida con el nombre de estrofoide (ver figura 5) imagen de la función t t t r(t) =,, t + t + no es una curva simple, se autointersecta, en efecto: r() = r( ) Figura 5 Representación gráfica de la estrofoide

9 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 5 de 05 4 EJERCICIOS RESUELTOS Dada la función r (t) = (t,t ), t R, encuentre su rango o imagen El rango o imagen en este caso viene dado por la gráfica de y = x Encuentre los valores de t para los cuales la curva t t r(t) =, t t se autointersecta Sean t = A y t = B Se tiene entonces: A B = A ( B) = B ( A) A A B = B B A A B + B A A B = 0 A B (A B)(A + B) + AB(B A) = 0 AB(B A) (B A)(B + A) = 0 (AB A B)(B A) = 0 A = B o AB = A + B Por otro lado A B = A(B ) = B(A ) AB A = A B B AB A B + B A = 0 A B AB(B A) + (B A) = 0 (AB + )(B A) = 0 A = B o AB = Se puede concluir que A + B = B = (A + ) de modo que A (A + ) = A (A + ) = (A + ) ( A) A + A = (A + A + )( A) A A + Aplicando Ruffini se tiene A + A = A A + A A + A A + A A = A =, A =, A = Buscando los puntos se tiene: A = B = (No dice nada) A = B = = = punto de autointersección Se concluye que r = r = (, )

10 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 6 de 05 En la figura 6, la circunferencia de radio a es fija y para todo valor del ángulo t, 0 < t <, P es el punto de intersección de la recta vertical que pasa por A y la recta horizontal que pasa por B Encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por P sabiendo que el punto A siempre se encuentra sobre la recta y = a y el punto B siempre se encuentra sobre la circunferencia Figura 6 Gráfica del ejercicio Se tiene que P (t) = (P (t),p (t)) = (A (t),b (t)) x y x y Las coordenadas de la curva descrita por el punto A vienen dadas por (t) = (A (t),a (t)) = (actg(t),a) A x y Aplicando semejanza de triángulos se tiene que B x(t) = ctg(t)b y(t) Como B siempre se encuentra sobre la circunferencia, entonces x = y = y y Sustituyendo y elevando al cuadrado se tiene B (t) a B (t) a B (t) a B (t) y y = y y = y B (t) a B (t) ctg (t) B (t) a B (t) ctg (t)b (t) y B (t) = asen (t), B (t) 0 Las coordenadas de la curva descrita por el punto B vienen dadas por De modo que B(t) = (B (t),b (t)) = (asen(t),asen (t)) x y P (t) = (P (t),p (t)) = (actg(t),asen (t)) x y y

11 PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 7 de 05 5 PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS a Recta La imagen de la función vectorial (t) = (x + (x x )t,y + (y y )t), t R f es una recta que pasa por los puntos (x 0,y 0) y (x,y ) recorrida en el sentido que va desde el punto (x 0,y 0) al punto (x,y ) Si se desea cambiar el sentido, basta con cambiar t por t En tal caso se obtiene la función vectorial (t) = (x + (x x )t,y + (y y )t), t R g que resulta ser una recta que pasa por los puntos (x 0,y 0) y (x,y ) recorrida en el sentido que va desde el punto (x,y ) al punto (x 0,y 0) Observación Si se desea parametrizar un segmento de recta de extremos (x 0,y 0) y (x,y ) recorrido en el sentido que va desde el punto (x 0,y 0) al punto (x,y ) se consigue usando la función vectorial f(t) = (x 0 + (x x 0)t,y 0 + (y y 0)t), t 0, b Circunferencia La imagen de la función vectorial f(t) = (h + r cos(t),k + rsen(t)), t [0, ] es una circunferencia de centro (h,k) y radio r recorrida en sentido antihorario La imagen de la función vectorial g(t) = (h + r cos(t),k rsen(t)), t [0, ] es una circunferencia de centro (h,k) y radio r recorrida en sentido horario c Elipse La imagen de la función vectorial f(t) = (h + acos(t),k + bsen(t)), t [0, ] es una elipse de ecuación recorrida en sentido antihorario (x h) (y k) + = a b La imagen de la función vectorial g(t) = (h + acos(t),k bsen(t)), t [0, ] es una elipse de ecuación recorrida en sentido horario (x h) (y k) + = a b

12 PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 8 de 05 d Parábola La imagen de la función vectorial es una parábola de ecuación f (t) = (h + pt,k + pt ), t R (x h) = 4p(y k) con sentido de recorrido de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según p sea positivo o negativo respectivamente La imagen de la función vectorial es una parábola de ecuación valor de la variable x La imagen de la función vectorial es una parábola de ecuación valor de la variable y f (t) = (t,at + bt + c), t R y = ax + bx + c con sentido de recorrido de menor a mayor f (t) = (at + bt + c,t), t R x = ay + by + c con sentido de recorrido de menor a mayor e Hipérbola La imagen de la función vectorial f (t) = (h + acosh(t),k + bsenh(t)), t R es la rama derecha de la hipérbola de ecuación (x h) (y k) = a b Observación 4 La ecuación cartesiana (en este caso la hipérbola) contiene más puntos de los que generan las ecuaciones paramétricas planteadas La imagen de la función vectorial g (t) = (h + asec(t),k + b t g(t)), < t < también es la rama derecha de la hipérbola de ecuación (x h) (y k) = a b La imagen de la función vectorial a f (t) = h + b + (t k),t, t R b es la rama derecha de la hipérbola de ecuación (x h) (y k) = a b con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable y La imagen de la función vectorial a f (t) = h b + (t k),t, t R b es la rama izquierda de la hipérbola de ecuación

13 PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 9 de 05 (x h) (y k) = a b con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable y La imagen de la función vectorial b f (t) = t,k + a + (t h), t R a es la rama superior de la hipérbola de ecuación (x h) (y k) + = a b con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable x La imagen de la función vectorial b f (t) = t,k a + (t h), t R a es la rama inferior de la hipérbola de ecuación (x h) (y k) + = a b con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable x f Cicloide La cicloide es el lugar geométrico descrito por un punto P sobre una circunferencia de radio a que gira sin deslizar sobre el eje x La función vectorial cuya imagen es la cicloide es f ( θ ) = (aθ asen( θ),a acos( θ)), 0 θ La ecuación rectangular de la cicloide es a y x = aarccos ay y, a en donde debe tomarse el signo positivo o el negativo según que θ sea menor o mayor que radianes en el arco comprendido entre θ = 0 y θ = g Hélice La hélice es la imagen de la función vectorial b f(t) = r cos(t),rsen(t), t Las funciones coordenadas satisfacen la ecuación circunferencia; b (x(t)) + (y(t)) = r, ecuación de la z(t) = t levanta el punto a altura b t, por lo tanto la curva en verá como en la figura 7 Cuando t aumenta la curva se recorre en sentido antihorario R se Observación 5 Recuerde que en cada curva para cambiar el sentido de recorrido debe cambiar el parámetro t por t, adecuando el intervalo de recorrido

14 PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 0 de 05 Figura 7 Representación gráfica de la hélice Ejemplo 7 Determine una parametrización de la curva dada por las ecuaciones (x ) + (y ) = 4 y y = (x + ) 0 y x + y = y 0 4 y = (x ) 0 y en sentido antihorario C :(x ) + (y ) = 4, y r (t) = ( + cos(t), + sen(t)), 0 t C : y = (x + ), 0 y r (s) = (0 s, s) 0 s s + + t = s + s = t r (t) = ( (t ), + t), < t + x C : y 4 + =, y 0 r (w) = (cos(w),sen(w)) w + + w + t = + w w = t r (t) = (cos(t ),sen(t )), + < t + C : y = (x ), 0 y r 4 (z) = ( + z,0 + z) 4 0 z z + t = + + z r (t) = ( + (t ),t ), + < t + 4 Por lo tanto ( + cos(t), + sen(t)) 0 t ( t +, + t) < t + r(t) = ( cos(t ), sen(t )) + < t + (t 4,t ) + < t +

15 PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 La gráfica que corresponde es la que se muestra en la figura 8: Figura 8 Representación gráfica de la curva del ejemplo 7 Ejemplo 8 y = x, x, de derecha a izquierda Forma alternativa de presentar la curva: y = x x y = x x y = x x C : y = x, x a a r (a) =, + 4 a 0 a + 4 t= a + 4 a= t 4 4 (t 4) (t 4) r (t) =, + 0 t 4 C : y = x, x r r b (b) =, b b b t= b + 4 b= t 4 4 (t 4) (t) = t +, < t 6 4 C : y = x, x r c c (c) =, c 4 6 c t= c + 4 c= t 4 4

16 PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 r (t 4) (t 4) (t) =, 6 t 8 4 Por lo tanto Otra forma: (t 4) (t 4), + 0 t 4 (t 4) r(t) = t +, < t 6 4 (t 4) (t 4), 6 < t 8 4 C : y = x, x, r (t) = ( t,t ) t C : y = x, x, r (t) = ( t, t ) < t C : y = x, x, r (t) = ( t,t ) t Por lo tanto ( t,t ) t r(t) = ( t, t ) < t ( t,t ) < t La gráfica que corresponde es la que se muestra en la figura 9: Figura 9 Representación gráfica de la curva del ejemplo 8

17 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 6 EJERCICIOS RESUELTOS Sea R la región definida por y x + y 4 x Determine una parametrización de la curva frontera de la región R en sentido horario Una forma equivalente de definir la región R es y = 4 x x y = x + 0 x y = x + x 0 Proceso de parametrización en el sentido indicado: r C : y = 4 x, x (t) = (t,4 t ), t C : y = x +, 0 x r (u) = ( u, u), 0 u u + t= u + r (t) = ( t,4 t), t C : y = x +, x 0 r (s) = ( s, + s), 0 s s + t= s + r (t) = ( t,t), t Una parametrización de la curva frontera de la región R en sentido horario es: (t,4 t ) t r(t) = ( t, 4 t) < t ( t, t) < t Al graficar la región R se tiene (ver figura 0): Figura 0 Representación gráfica de la curva del ejercicio

18 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 4 de 05 Sea la curva dada por (y ) (x ) + = y 4 4 y = (x + ) 0 y x + y = y 0 y = (x ) 0 y Determine una parametrización en sentido antihorario Gráfica de la curva (ver figura ): C : r (t) = ( + cos(t), + sen(t)), 0 t C : r (s) = ( s, s), 0 s s + + t + s = t r (t) = ( t, (t )), t + C : r (u) = (cos(u), sen(u)), u + u t + u = t r (t) = (cos(t ),sen(t )), + t + C : r (s) = ( + s,s), 0 s 4 r 4 + s t + s = t 4 (t) = ( + t, (t )), + t + Figura Representación gráfica de la curva del ejercicio En conclusión se tiene ( + cos(t), + sen(t)) 0 t ( t, (t )) < t + r(t) = (cos(t ), sen(t )) + < t + ( + t, (t )) + < t < +

19 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 5 de 05 Determine una parametrización en sentido antihorario y obtenga el gráfico de la curva x y = 4 x 4 y = 0 x 4 y x = + 4 y C : (t) = (sec(t),tg(t)), / t / r C : r (s) = (4 6s, ), 0 s / s + / + / / t + / s = t / r (t) = (4 6(t /), ), / t + / C : r (u) = ( + cos(u), sen(u)), / u / / / 6 u / 6 / + 5 / 6 + u = t 5 / 6 r (t) = ( + cos(t 5 / 6), sen(t 5 / 6)), + / t + 4 / C : r (w) = ( + 6w, ), 0 w / w / + 4 / w = t 4 / r (t) = ( + 6(t 4 / ), ), + 4 / t + 4 / 4 En conclusión se tiene (sec(t),tg(t)) / t / (4 6(t / ), ) / < t + / r(t) = ( + cos(t 5 / 6), sen(t 5 / 6)) + / < t + 4 / ( + 6(t 4 /, ) + 4 / < t < + 4 / El gráfico se presenta a continuación en la figura : Figura Representación gráfica de la curva del ejercicio

20 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 6 de 05 4 Determine una parametrización en sentido antihorario y obtenga el gráfico de la curva x + y = x 0 y x + = 0 0 x 4 (y ) x = y 4 x = y 5y + 4 y 4 Curva : x + y =, x 0 r (A) (cos(a),sen(a)), A = Curva : y x + = 0, 0 x Curva : Curva 4: r (B) = (B, + B), 0 B 4 (y ) x =, y 4 (C) = (cos(c), + sen(c)), 0 C r x = y 5y + 4, y 4 r (D) = ( D +, D), D Usando un solo parámetro se tiene: C: x + y =, x 0 r (t) (cos(t),sen(t)), t = C: y x + = 0, 0 x C: C4: r x = (y ) +, y 4 (t) = ((t ), + (t )), t + 4 (y ) x =, y 4 (t) = (cos(t ), + sen(t )), + t + r x = y 5y + 4, y 4 r 4 Por tanto: (t) = ( (t ) +, (t )), + t 4 + r(t) t r (t) t + r(t) = r(t) + t + r4 (t) + t 4 + Su gráfico se muestra a continuación en la figura

21 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 7 de 05 Figura Representación gráfica de la curva del ejercicio 4 5 Determine una parametrización en sentido horario y obtenga el gráfico de la curva y + x + = x x y = y 0 x y 4 = 0 x C : y = x +, x 0 r (t) = ( + t,t), 0 t C : y = x +, 0 x r (s) = (s, s) 0 s s + t = s + s = t r (t) = (t, t), < t C : x = y +, y 0 (w) = ( w +, w) r 0 w w + t = w + w = t r (t) = ( t 4t + 5, t), < t 4 r C : y = x, x 4(z) = ( z, z ) z z t = z + + z = t r 4 (t) = ( + t, (t ) ), < t + C 5 : x = y +, y 0 (w) = ( w +,w) r w 0 + w t = w w = t 4 r 5 (t) = ( (t 4 ) +,t 4 ), + < t 4 + Por lo tanto

22 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 8 de 05 (t, t) 0 t (t, t) < t r(t) = ( t 4t + 5, t) < t ( + t, (t ) ) < t + ( (t 4 ) +,t 4 ) + < t 4 + La gráfica que corresponde es la que se muestra en la figura 4: Figura 4 Representación gráfica de la curva del ejercicio 5 6 Una curva C está definida por y = cos(x) x, 4 y = x x 0, 4 x + y = y, Parametrice la curva C en sentido antihorario Proceso de parametrización en el sentido indicado: C : y = cos(x), x r (t) = ( t,cos(t)), t 4 4 r C : y = x, 0 x (u) = ( u, u), 0 u r (t) = ( (t + ), (t + )), t u t u =

23 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 9 de 05 + = r = C :(x ) y, y 0 (s) ( cos(s), sen(s)), 5 5 r (t) = ( + cos(t + ), sen(t + )), t s s + + t = s Una parametrización de la curva frontera de la región R en sentido antihorario es: ( t,cos(t)) t 4 r(t) = ( (t + ), (t + )) t ( + cos(t + ), sen(t + )) t Al graficar la región R se tiene (ver figura 5): Figura 5 Representación gráfica de la curva del ejercicio 6 7 Sea la curva cuya trayectoria viene definida por x + y = 6y 60 8 y 0 x = y 4 0 y 8 y + 4 = x 4 y 0 6(x + ) + (y 4) = 6 x Dé una parametrización para la curva en sentido horario Proceso de parametrización en el sentido indicado: C : x + y = 6y 60 x + (y 8) = 4, 8 y 0 r (t) = (cos(t),8 + sen(t)), 0 t Sentido horario: r (t) = (cos(t),8 sen(t)), t 0

24 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 0 de 05 x = y 4 4 y 8 C,C :x = y 4 x = y y 4 r (s) = (, 8) + s(, 4) = ( s, 8 4s), 0 s r (w) = (0, 4) + w(, 4) = (w, 4 4w), 0 w 4 r (t) = ( t, 8 4t), 0 t 0 w w + t r t = w + w = t (t) = ((t ),4 4(t )) = (t,8 4t), t r 4 C : y + 4 = x y = x 4, 4 y 0 (v) = (v, v 4), v Sentido horario : r (v) = ( v, v 4), v v r 4 r 5 4 (t) = ( (t 4),(t 4) 4), t 6 t = v + 4 v = t 4 (y 4) C 5 : 6(x + ) + (y 4) = 6 (x + ) + =, x 6 (u) = ( + cos(u),4 + 4sen(u)), u 6 u r 5 t = u u = t 6 (t) = ( + cos(t 6 ),4 + 4sen(t 6 )), 6 t 6 + Una parametrización de la curva en sentido horario es: ( cos(t), 8 sen(t)) t 0 ( t, 8 4t) 0 t r(t) = (t, 8 4t) t ( (t 4),(t 4) 4) t 6 ( + cos(t 6 ), 4 + 4sen(t 6 )) 6 t 6 + Al graficar la curva se tiene (ver figura 6): Figura 6 Representación gráfica de la curva del ejercicio 7

25 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 8 Una curva C está definida por y = sen(x) x 0, y = x x 0, x + (y + ) = x, 0 Parametrice la curva C en sentido horario Proceso de parametrización en el sentido indicado: C : y = sen(x), 0 x r (t) = (t,sen(t)), 0 t C : y = x, 0 x r (u) = ( u, u), 0 u u + + t = u + r (t) = ( (t ), (t )), t + C : x + (y ) =, x 0 r (s) = (cos(s), sen(s)), 5 5 s s t s = r (t) = (cos(t ), sen(t )), + t + Una parametrización de la curva frontera de la región R en sentido horario es: (t, sen(t)) 0 t r(t) = ( (t ), (t )) t (cos(t ), sen(t )) + < t + Al graficar la región R se tiene (ver figura 7): Figura 7 Representación gráfica de la curva del ejercicio 8

26 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 9 Una curva C está definida por y = tg(x) x 0, 4 (x ) + y = y, 0 4 y = (x ) y 0, 8 Parametrice la curva C en sentido antihorario Proceso de parametrización en el sentido indicado: C : y tg(x), 0 x = r (t) = ( t, tg(t)), t C :(x ) + y =, y 0 r (s) = ( + cos(s), sen(s)), s 0 s t = s r (t) = ( + cos(t + ),sen(t + )), 0 t 4 r 8 4 C : y = (x ), 0 y (u) = ( + u( ),u), 0 u u + + t = u + r (t) = ( + (t )( ),t ), t + Una parametrización de la curva frontera de la región R en sentido antihorario es: ( t, tg(t)) t 0 4 r(t) = ( + cos(t + ), sen(t + )) 0 t ( + (t )( ),t ) t + 4 Al graficar la región R se tiene (ver figura 8): 4 Figura 8 Representación gráfica de la curva del ejercicio 9

27 GRÁFICA DE CURVAS PARAMÉTRICAS CON GRAPHMATICA UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 7 GRÁFICA DE CURVAS PARAMÉTRICAS CON GRAPHMATICA La gráfica de curvas dadas en forma paramétrica es sencilla usando el graficador Graphmatica Si se quiere graficar la circunferencia de ecuación x + y = 9, se deben indicar sus ecuaciones paramétricas y el intervalo del parámetro tome los valores En este caso: x = * cos(t); y = * sin(t) 0, *pi { } El ambiente de trabajo de Graphmatica puede apreciarse en la figura 9 Para buscar aspectos generales del uso de Graphmatica ingrese en la dirección wwwjoseluisquinterocom y en el link docencia en la asignatura Cálculo III descargar el archivopdf correspondiente Figura 9 Ambiente de trabajo de Graphmatica 8 LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR Definición 5 La longitud, magnitud o norma de un vector es una cantidad escalar asociada con el tamaño del vector y se puede calcular como x n = x + x + + x

28 LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 4 de 05 El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R (ver figura 0) Si P = (x,y,z), del teorema de Pitágoras se tiene que OP = OR + z, aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR se obtiene OR = x + y y reemplazando esta última ecuación en la primera: OR = x + y + z Como la norma de un vector es no negativa se tiene que P = OP = x + y + z TEOREMA (PROPIEDADES DE LA NORMA) a x = 0 x = 0 b x > 0 x 0 c λ x = λ x ( λ escalar real) d x + y x + y (Desigualdad triangular) Observación 6 x se dice unitario si y sólo si x = TEOREMA Sea x n R, entonces x x es unitario Figura 0 Norma de un vector en tres dimensiones usando el teorema de Pitágoras

29 PRODUCTO ESCALAR UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 5 de 05 9 PRODUCTO ESCALAR Definición 6 Dados los vectores x = (x,x,,x n) y y = (y,y,,y n) se define el producto escalar x y, por x y = x y + + x y = x y n n i i i= n TEOREMA (PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR) a x y = y x b ( λ x) y = λ ( x y) c x ( y + z) = x y + x z d x x 0 e x x = 0 x = 0 Observación 7 x x = x 0 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Definición 7 Sean A y B dos vectores de R o R no nulos, el ángulo θ entre los vectores coordenados A y B es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde θ es un ángulo entre 0 y 80 TEOREMA 4 Si A y B son vectores coordenados de R no nulos, entonces Demostración Por la ley de los cosenos se tiene que + cos( θ ) = A B B A A B B A = A + B A B cos( θ) De modo que (ver figura ) + cos( θ ) = A B B A A B

30 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 6 de 05 Demostración Figura Ángulo entre dos vectores usando la norma de vectores Si A = (a,a,a ) y B = (b,b,b ) son vectores de R, entonces B A = (b a ) + (b a ) + (b a ) = (b + b + b ) + (a + a + a ) (b a + b a + b a ) Reemplazando se tiene que = B + A (b a + b a + b a ) A + B B A + (b a + ba + ba ) (ba + ba + ba ) A B cos( θ ) = = = A B A B A B PRODUCTO VECTORIAL Considere el problema de encontrar un vector X = (x,y,z) perpendicular a dos vectores no nulos y no paralelos A = (a,a,a ) y B = (b,b,b ) Como A X = B X = 0, el problema se reduce a la solución del sistema de ecuaciones dado por ax + ay + az = 0 b x + b y + b z = 0 Se puede eliminar z multiplicando la primera ecuación por b y la segunda por a y luego sumándolas se obtiene (ab ab )x + (ab ab )y = 0 (*)

31 PRODUCTO VECTORIAL UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 7 de 05 De forma semejante, se puede eliminar y y (ab ab )x + (ab ab )z = 0 (**) Se ve fácilmente que para cualquier constante k, x = k(ab ab ), y = k(ab ab ), z = k(ab ab ) es una solución para el sistema formado por (*) y (**) Como se puede ver hay infinitas soluciones a este sistema todas ellas múltiplos escalares Cuando k = la solución se define como el producto vectorial A B Por lo anterior, A B es un vector perpendicular tanto a A como a B (ver figura ) Figura Producto vectorial de dos vectores Definición 8 Para cualquier par de vectores A y B de R el producto vectorial de A por B se define como A B = (ab ab,ab ab,ab ab ) Observación 8 a Si A o B es el vector nulo, entonces es claro que A B = 0 b Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces B = λ A para algún escalar λ, por tanto

32 PRODUCTO VECTORIAL UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 8 de 05 A B = A ( λ A) = (a,a,a ) ( λa, λa, λa ) = (a ( λa ) a ( λa ),a ( λa ) a ( λa ),a ( λa ) a ( λa )) = ( λa a λa a, λa a λa a, λa a λ a a ) = (0,0,0) Se tiene entonces que si A B son vectores paralelos entonces A B = 0 Usando determinantes se tiene que i j k A B = a a a b b b TEOREMA 5 (PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL) a A A = 0 Sean A, B y C vectores de R y λ un número real b 0 A = A 0 = 0 c B A = A B d A ( B + C) = A B + A C e ( λ A) B = λ ( A B) = A ( λ B) Observación 9 El producto cruz o vectorial en general no cumple la propiedad asociativa, es decir, A ( B C) ( A B) C Relacionando al producto vectorial con el producto escalar se tiene A B + ( A B) = A B (Identidad de Lagrange) TEOREMA 6 Si A y B son vectores de R y θ es el ángulo entre los vectores A y B, entonces A B = A B sen( θ) Demostración A B = A B ( A B) = A B A B cos ( θ ) = A B ( cos ( θ)) = A B sen ( θ) De modo que A B = A B sen( θ)

33 PRODUCTO VECTORIAL UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 9 de 05 La fórmula anterior para A B tiene una interpretación geométrica para lo cual se construirá el paralelogramo determinado por A y B (ver figura ) El área de dicho paralelogramo es base por la altura, donde la base es A y la altura es B sen( θ), entonces el área del paralelogramo es A B = A B sen( θ) Para el cálculo del área de un triángulo de vértices a, b y c se tiene que ÁREA = AB AC Figura Aplicación geométrica del producto vectorial LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL El límite de una función vectorial en un punto t 0 de su dominio es una simple extensión vectorial del límite de una función real TEOREMA 7 Sea r(t) = (r (t),,r n(t)), lím r(t) = L = (l,,l n) si y sólo si lím r(t) i = li t t 0 t t 0 A efectos de cálculo, se evalúa el límite coordenada a coordenada, es decir lím r(t) = lím r (t),, lím r n(t) t t 0 t t0 t t 0

34 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 0 de 05 Ejemplo 9 Si se tiene sen(t) r(t) = t,t, t, sen(t) lím r(t) = lím t,lím t,lím = (0,0,) t 0 t 0 t 0 t 0 t TEOREMA 8 Si f(t) y g(t) son funciones vectoriales de una variable real tales que lí m f(t) = b y lí m g(t) = c, entonces: t t 0 t t 0 a lí m[ f(t) ± g(t)] = lí m f(t) ± lí m g(t) = b + c t t0 t t0 t t0 b lí m( f(t) g(t)) = lí m f(t) lí m g(t) = b c t t0 t t0 t t0 c lí m( f(t) g(t)) = lí m f(t) lí m g(t) = b c (para t t0 t t0 t t0 R solamente) CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición 9 Sea t0 D( r) Se dirá que r es continua en t 0 si y sólo si lím r(t) = r(t 0 ) t t 0 Ejemplo 0 Estudie la continuidad de sen(t) t,t, si t 0 r(t) = t (0,0,0) si t = 0 sen(t) lím r(t) = lím t,t, = (0,0,) r(0) t 0 t 0 t, por lo tanto la función no es continua en t 0 = 0 TEOREMA 9 La función r es continua en t 0 si y sólo si sus funciones coordenadas r i son continuas en t 0

35 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 4 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL La derivada se define en forma similar a la de funciones reales de variable real Definición 0 Se define la derivada de r en t 0, denotada por r dr '(t 0) o bien por (t dt 0 ), como el límite: r(t0 + h) r(t 0) r (t0 + h) r (t 0) r n(t0 + h) r n(t 0) r'(t 0) = lím = lím,, h 0 h h 0 h h r (t0 + h) r (t 0) r n(t0 + h) r n(t 0) ' ' = lím,,lím = (r (t 0),,r n(t 0)) h 0 h h 0 h Ejemplo Siendo r(t) = ( cos(t), sen(t)) se tiene r'(t) = ( sen(t),cos(t)) TEOREMA 0 Sean f(t) y g(t) funciones vectoriales de variable real, derivables, y α (t) una función real de variable real, entonces: a ( f(t) ± g(t))' = f '(t) ± g'(t) b ( α (t) f(t))' = α '(t) f(t) + α (t) f '(t) c ( f(t) g(t))' = f(t) g'(t) + f '(t) g(t) d ( f(t) g(t))' = f(t) g'(t) + f '(t) g(t) (para R solamente) 5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA DE LA DERIVADA Se dice que r'(t 0) es el vector director de la recta tangente a la curva r(t) en el punto t 0 La ecuación de la recta tangente a r(t) en t 0 viene dada por f( α ) = r(t ) + αr '(t ), α R 0 0 Ejemplo Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva r(t) punto r( 4 ) ( ) ( ) 4 4 r ( ) = a, a y r '( ) = a, a, por lo tanto la recta tangente tiene ecuación vectorial: = (acos(t),asen(t)) en el

36 INTEPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA DE LA DERIVADA UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 ( ) ( ) f ( α ) = a, a + α a, a, α R Si el parámetro t es el tiempo y r(t) es la posición instantánea de un cuerpo entonces: La velocidad instantánea es v(t) = r'(t) La rapidez instantánea es v(t) = v(t) La aceleración instantánea es a(t) = r''(t) 6 INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición Sea r(t) = (r (t),,r n(t)) Se define la integral de r(t) sobre [a,b] como r(t)dt = r (t)dt,, r n(t)dt b b b a a a Ejemplo El vector posición de una partícula viene dado por r(t) = (sen(t),cos(t),) a Elimine el parámetro t, dé una ecuación en coordenadas cartesianas que relacione las componentes de r e identifique la curva obtenida 9x + y = 9, z = elipse b Calcule donde c = (,0,) / 0 ( c r(t))dt / / (6 + sen(t))dt = 6t cos(t) = LONGITUD DE ARCO Definición Sea C la curva definida por r(t) en un intervalo abierto I, tal que r'(t) existe y sea continua en I Si la curva C satisface las hipótesis anteriores entonces la longitud de curva comprendida entre r(a) y r(t) está dada por

37 LONGITUD DE ARCO UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: de 05 t s(t) = r '( α) dα a Ejemplo 4 Calcule la longitud de una circunferencia de radio a Una parametrización para la circunferencia es r(t) = (acos(t),asen(t)) con 0 t Luego r'(t) = ( asen(t),acos(t)) y su longitud será: s = r '(t) dt = ( asen(t)) + (acos(t)) dt = a dt = a Definición Dada una curva r(t), se puede reparametrizar usando s como parámetro; se llama a ésta la parametrización intrínseca de la curva Ejemplo 5 La curva r(t) = ( cos(t), sen(t), 4t) es una hélice, reparametrizarla en función de la longitud de arco t t t, s(t) = r'( α) dα = 9sen ( α ) + 9cos ( α ) + 6dα = 5 dα = 5t de modo que t = s /5 Por lo tanto en función de la longitud de arco se tiene la función vectorial s s 4 r(s) = cos,sen, s TEOREMA Si r(s) es la parametrización intrínseca de una curva C entonces r'(s) = Demostración Sea s (t) = h(t) Si r(s) = r(h(t)), entonces Se sabe que s(s (t)) = t, entonces se obtiene en consecuencia Por lo tanto r'(s) = r'(h(t))h'(t) s'(s (t))(s (t))' =, h'(t) = (s (t))' = = s'(s (t)) r'(h(t)) r'(h(t)) r'(s) = r'(s) = r'(h(t))

38 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 4 de 05 8 EJERCICIOS RESUELTOS Sean a 0, a b = a c y a b = a c Se puede concluir que b = c? Sean a = (a,a,a ), b = (b,b,b ), c = (c,c,c ) a b = a c ab + ab + ab = ac + ac + ac a (b c ) + a (b c ) + a (b c ) = 0 a b = a c (ab ab,ab ab,ab ab ) = (ac ac,ac ac,ac ac ) (a (b c ) a (b c ),a (b c ) a (b c ),a (b c ) a (b c )) = (0,0,0) Sea el sistema de ecuaciones a (b c ) + a (b c ) + a (b c ) = 0 a (b c ) a (b c ) = 0 a (b c ) a (b c ) = 0 a (b c ) a (b c ) = 0 Si se suman todas las ecuaciones se tiene (a a + a )(b c ) + (a + a a )(b c ) + ( a + a + a )(b c ) = 0 Esta ecuación se satisface si b = c o si se cumple que a a + a = 0 a + a a = 0 a + a + a = 0 Como el determinante de la matriz del sistema es (4 0) la única solución es a = 0 Como por hipótesis a 0, se puede concluir que b = c En qué puntos la recta tangente a la curva r(t) = (t t,t,t + t ) es paralela al plano x + y + z + = 0? r'(t) = ( t,6t, + t) y el vector normal del plano es N = (,,) Para que se verifique la relación de paralelismo se debe tener que r'(t) N = 0 De modo que ( t, 6t, + t) (,,) = 0 t + 6t + + t = 0 t 8t 6 = 0 Aplicando resolvente: De modo que 8 ± ± 6 8 ± 4 4 ± 4 t = = = = t =, t =

39 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 5 de 05 Los puntos son r(t ) y r(t ) Demuestre que si r(t) es constante entonces r(t) y r'(t) son ortogonales Sea r(t) = k, entonces r(t) = k r(t) r(t) = k Si se deriva se tiene que r(t) r'(t) + r '(t) r(t) = 0 r(t) r'(t) = 0 y de acuerdo a lo visto en puntos anteriores los vectores r(t) y r'(t) son ortogonales 4 Sea el arco Calcule su longitud t c (t) =,, 0 t t + t + t 4t (t + ) tt 4t t c(t) =, c (t) ; ; = = t + t + (t + ) (t + ) (t + ) (t + ) 4 4 6t + 4 8t + 4t 4t + 8t + 4 (t + ) (t + ) c (t) = = = = = (t + ) (t + ) (t + ) (t + ) (t + ) l = dt = arctg(t) = c 0 (t + ) 0 5 Dada la curva definida por r(t) = (t t, t ), calcule: a Los valores de t para los cuales r(t) se autointersecta, es decir, r(t ) = r(t ) siendo t t Sean A = t y B = t Se tiene que A A = B B A B (A B) = 0 Entonces se obtiene (A B)(A + AB + B ) = 0 A = B o A + AB + B = 0 Por otro lado se tiene que Sustituyendo: A = B A = B o A = B A A + A = 0 A = ± De modo que los valores de t son t = y t = b La longitud del lazo entre r(t ) y r(t ) Si r'(t) = (t,6t) entonces

40 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 6 de 05 4 L = (t ) + 6t dt = 9t 8t t dt = 6 (t + )dt = 0 6 Halle la longitud de arco de la hélice cónica C de ecuaciones paramétricas dadas por t x(t) = ae cos(t), y(t) = ae sen(t), z(t) = ae, (a > 0) desde el punto (0,0,0) hasta el punto (a,0,a) t t t r (t) = (ae cos(t),ae sen(t),ae ), t 0 t t t t r' (t) = (ae (cos(t) sen(t)), ae (cos(t) + sen(t)), ae ), t 0 t t t r' (t) = a e (cos(t) sen(t)) + a e (cos(t) + sen(t)) + a e t = ae (cos(t) sen(t)) + (cos(t) + sen(t)) + t t = ae cos t cos(t)sen(t) + sen (t) + cos (t) + cos(t)sen(t) + sen (t) + = ae r' (t) dt = ae dt t t t b ae dt = lím ae dt = lím ae = a lím ( e ) = a b b b b b t t 7 Una parametrización en sentido antihorario para la curva C definida por y = cos(x) x, 4 y = x x 0, 4, x + y = y, viene dada por la función vectorial ( t,cos(t)) t 4 r(t) = ( (t + ), (t + )) t ( + cos(t + ), sen(t + )) t + Usando la función vectorial r(t), construya la función r' (t) r'' (t) Paso Cálculo de r'(t) (, sen(t)) t 4 r' (t) = (, ) < t ( sen(t + ), cos(t + )) < t

41 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 7 de 05 Paso Cálculo de r''(t) (0, cos(t)) t 4 r'' (t) = (0,0) < t ( cos(t + ), sen(t + )) < t + Paso Cálculo de r' (t) r'' (t) sen(t) cos(t) t 4 r' (t) r'' (t) = 0 t 0 t Una partícula se mueve con vector posición / r(t) = ta + t B + t A B donde A y B son dos vectores unitarios fijos que forman un ángulo de / Calcule el tiempo empleado para desplazarse una distancia de unidades de longitud de arco desde la posición inicial r(0) Paso Cálculo de r' (t) y r' (t) / r' (t) = A + tb + t A B / / r' (t) = r' (t) r' (t) = A + tb + t A B A + tb + t A B / = A A + t( A B) + t ( A ( A B)) + t( B A) + 4t ( B B) / / + 4t t ( B ( A B)) + t (( A B) A) + 4t t (( A B) B) + 4 t ( A B) ( A B) Paso Uso de propiedades para el cálculo de r'(t) Propiedades a usar: A A = A =, B B = B =, A B = B A, A B = A B cos( ) = 4 A B = A B sen( ) =, ( A B) ( A B) = A B = A ( A B) = ( A B) A = 0, B ( A B) = ( A B) B = 0 De manera que /

42 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 8 de 05 / / / / r' (t) = + t + t 0 t 4t 4t t 0 t 0 4t t t 4 4 r' (t) = + t + t + 4t + 4 t = 4t + 4t + = (t + ) r' (t) = t + Paso Cálculo de s(t) t t t r' 0 r (0) 0 s(t) = (t) dt = (α + )d α = ( α + α ) = t + t = Por lo tanto t + t = t + t = 0 (t + 4)(t ) t = 4 ó t = Como t debe ser mayor o igual a cero, entonces se toma t = 9 Sea r(s), s I, una parametrización por longitud de arco de una curva C Pruebe que los vectores r'(s) y r''(s) son ortogonales Si r(s) es una parametrización por longitud de arco, se tiene que r'(s) = Como la norma de este vector es constante, entonces es ortogonal con r''(s) 0 Sea a un vector unitario y constante y r(t) una curva tal que r(t) a = e Sabiendo que el ángulo θ entre r'(t) y a es constante, con 0 < θ <, pruebe que (n) n t r' (t) r'' (t) r (t) a = e, n r' (t) r' (t) t t t t r(t) a = e r' (t) a = e r'' (t) a = e r''' (t) a = e t t t r' (t) a = e r' (t) cos( θ ) = e r' (t) = e sec( θ) (n) t n t r (t) a = e 4t r' (t) r' (t) = r' (t) = 4e sec ( θ) 4t 4t 4t r' (t) r' (t) = 4e sec ( θ) r' (t) r'' (t) = 6e sec ( θ) r' (t) r'' (t) = 8e sec ( θ ) Por lo tanto 4t r' (t) r'' (t) 8e sec ( θ) = = r' (t) r' (t) 4t 4e sec ( θ) n t n t e = e r' r'' r (n) (t) (t) (t) a r' (t) r' (t)

43 GRÁFICAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS EN R UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 9 de 05 9 GRÁFICAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS EN R Para construir curvas definidas mediante una función vectorial se estudian, siguiendo los delineamientos de funciones de una variable, las funciones coordenadas x(t), y(t) El esquema a seguir, contiene ciertos detalles: I Información de r(t): a Dominio de r(t) denotado como D(r) b Corte con los ejes: Eje x: Encuentre t D( r) tal que y(t) = 0 Eje y: Encuentre t D( r) tal que x(t) = 0 c Signo Tome en cuenta los valores de t donde hay cortes con algún eje así como los valores de t para los cuales r(t) no es continua d Simetrías: Si D( r) es simétrico y r( t) = ( x(t), y(t)), la curva es simétrica respecto del origen Si D( r) es simétrico y r( t) = ( x(t),y(t)), la curva es simétrica respecto del eje y Si D( r) es simétrico y r( t) = (x(t), y(t)), la curva es simétrica respecto del eje x e Asíntotas y puntos asintóticos: Si t 0 = ± (si está dentro del dominio de la función vectorial) entonces: Si lí m x(t) = k y lí m y(t) = ±, x = k es una asíntota vertical t t 0 t t 0 Si lí m y(t) = k, y = k es una asíntota horizontal lí m x(t) = ± y t t 0 t t 0 y(t) Si lí m x(t) = ±, lí m y(t) = ±, lí m = m y lí m[y(t) mx(t)] = b con m t t 0 t t 0 t t 0 x(t) t t 0 y b finitos entonces y = mx + b es una asíntota oblicua Si lí m x(t) = a y lí m y(t) = b, (a,b) es un punto asintótico t t 0 t t 0 Si r(t) no es continua en t 0 entonces: Si lí m x(t) = k y lí m y(t) = ± o lí m x(t) t t 0 t t 0 t t + 0 = k y lí m y(t) t t + 0 = ±, x = k es una asíntota vertical Si lí m x(t) = ± y lí m y(t) = k o t t 0 t t 0 asíntota horizontal lí m x(t) = ± y t t + 0 lí m y(t) = k, y = k es una t t + 0

44 GRÁFICAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS EN R UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 40 de 05 y(t) Si lí m x(t) = ±, lí m y(t) = ±, lí m = m y lí m[y(t) mx(t)] = b con m t t 0 t t 0 t t 0 x(t) t t 0 y b finitos entonces y = mx + b es una asíntota oblícua Si lí m x(t) = a y lí m y(t) = b, (a,b) es un punto asintótico t t 0 t t 0 Si r(t) no es continua en t 0 entonces: Si lí m x(t) = k y lí m y(t) = ± o lí m x(t) t t 0 t t 0 t t + 0 = k y lí m y(t) t t + 0 = ±, x = k es una asíntota vertical Si lí m x(t) = ± y lí m y(t) = k o t t 0 t t 0 lí m x(t) = ± y t t + 0 lí m y(t) = k, y = k es una t t + 0 Si Si asíntota horizontal t t + 0 lí m x(t) = ±, t t 0 t t + 0 lí m y(t) = ±, t t 0 lí m x(t) = ±, lí m y(t) = ±, y(t) lí m = m y t 0 x(t) t t t + 0 finitos entonces y = mx + b es una asíntota oblícua lí m x(t) = a y t t 0 punto asintótico lí m y(t) = b o t t 0 lí m[y(t) mx(t)] = b o t t 0 y(t) lí m = m y lí m[y(t) mx(t)] = b con m y b t t + x(t) 0 lí m x(t) = a y t t + 0 lí m y(t) = b, (a,b) es un t t + 0 II Información de r'(t): a Cálculo de r'(t) b Dominio de r'(t) denotado como D(r ) c Tangentes y puntos cuspidales Si x'(t 0) = 0, t D( r' ), con y'(t 0) 0, entonces se tiene una tangente vertical 0 de ecuación x = x(t 0) al gráfico en r(t 0 ) Si y'(t 0) = 0, t D( r' ), con x'(t 0) 0, entonces se tiene una tangente 0 horizontal de ecuación y = y(t 0) al gráfico en r(t 0 ) Si r'(t 0) = (0,0), t0 D( r' ), entonces se tiene un punto cuspidal (pico) al gráfico en t 0 d Crecimiento y decrecimiento de r(t) Tome en cuenta los valores de t donde x'(t) = 0 o y'(t) = 0 así como los valores de t para los cuales r (t) no es continua e Valores máximos y mínimos Tome en cuenta los valores de t, ( t D( r' )), para los + cuales x'(t) = 0 y x'(t )x'(t ) < 0 así como los valores de t para los cuales y'(t) = 0 + y y'(t )y'(t ) < 0, donde t es un número cercano a t y menor que t y t + es un número cercano a t y mayor que t

45 GRÁFICAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS EN R UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 4 de 05 III Información de la concavidad de r(t) a Cálculo de la segunda derivada d y b Concavidad de r(t) Tome en cuenta los valores de t donde (t) = 0 así como los dx valores de t para los cuales d y (t) no es continua dx c Puntos de inflexión Tome en cuenta los valores de t para los cuales d y + d y (t) = 0 y dx d y (t ) (t ) < 0, donde t es un número cercano a t y menor que t y t + es un dx dx número cercano a t y mayor que t IV Gráfico de r(t) Ejemplo 6 Estudie en forma detallada y grafique la curva t t r(t) =,, t t indicando el sentido del recorrido I Información de r(t): a Dominio: R {,} b Corte con los ejes: Eje x: y = 0 t = 0 Eje y: x = 0 t = 0, r(0) = (0,0) Pasa por el origen c Signo: t - 0 x y Cuadrante II I I III d Simetrías: ( t) ( t) t t r( t) =, =, ( t) ( t) t + t La curva no presenta ningún tipo de simetría e Asíntotas y puntos asintóticos: Verticales: t lím t t t, lím t t = = + t lím t t + t, lím t + t = = Por tanto x = es asíntota vertical de la curva cuando t y cuando t +

46 GRÁFICAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS EN R UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 4 de 05 Horizontales: t t t t lím, lím, lím, lím t = t = t = + t = t t t + t + Por lo tanto y = es una asíntota horizontal de la curva cuando t Oblicuas: t lím t t = +, lím = + t t t t t t ( t ) t t t t ( t) t t t lím t m = lím = lím = lím( + t) = t =, lím = t t + t + t t t ( + t) t t + t t t + t t b = lím = lím = lím = lím t t t t t t t t t t t t t t (t ) t ( t) t = lím = lím = lím = lím = lím = t t t t t t t ( + t)( t) t ( + t) Por lo tanto y = x es una asíntota oblícua de la curva cuando t II Información de r'(t): a Cálculo de r'(t): t( t ) + t t t t + t t x'(t) = = = ( t ) ( t ) ( t ) t( t) + t t t + t t t t( t) y'(t) = = = = ( t) ( t) ( t) ( t) Por lo tanto, b Dominio: R {,} t t( t) r'(t) =, ( t ) ( t) c Tangentes y puntos cuspidales: Verticales: x'(t) = 0 t = 0, y'(0) = 0 La curva no tiene tangentes verticales Horizontales: 4 y'(t) = 0 t = 0 ó t =, x'() = La curva tiene una tangente horizontal en 4 r() (, 4) Puntos cuspidales: r'(0) = (0, 0) d Crecimiento y decrecimiento de r(t): t = de ecuación y = 4 x y e Valores máximos y mínimos: x(0) = 0 es un valor mínimo para la función x y(0) = 0 es un valor mínimo e y() = 4 es un valor máximo para la función y

47 GRÁFICAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS EN R UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 4 de 05 IIIInformación de la concavidad de r(t): a Cálculo de la segunda derivada: dy ( ) d dt dx ( t ) dx t dt ( t ) 4t d y ( t ) = = =, t 0, t dx b Concavidad de r(t): t - 0 d y dx c Puntos de inflexión: No tiene IV Gráfico de r(t): (ver figura 4) Figura 4 Representación gráfica de la curva del ejemplo 6 Ejemplo 7 Estudie en forma detallada y grafique la curva t t r(t) =,, t t indicando el sentido del recorrido I Información de r(t): a Dominio: R {,} b Corte con los ejes: Eje x: y = 0 t = 0, r(0) = (,0) Eje y: x = 0 t =, r( ) = (0, )

48 GRÁFICAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS EN R UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 44 de 05 c Signo: t - 0 / x y Cuadrante III IV IV III I d Simetrías: ( t) ( t) t t r( t) =, =, ( t) ( t) t t La curva no presenta ningún tipo de simetría e Asíntotas y puntos asintóticos: Verticales: t t = = t lím 0, lím t t t t t = = + t lím 0, lím t + t + t Por lo tanto x = 0 es una asíntota vertical de la curva cuando t y cuando t + Horizontales: t t t t lím =, lím =, lím = +, lím = t t t t t t t + t + Por lo tanto y = es una asíntota horizontal de la curva cuando t Oblicuas: t t lím =, lím = t t t t t t lím = +, lím = + t t t + t + t t t t t t t t t (t ) t (t + )(t ) t (t + ) m = lím = lím = lím = lím = (t )(t ) (t )(t ) t t t t (t + ) (t ) t + t 4t + b = lím = lím = lím t t t t t t t (t )(t + t ) t + t = lím = lím = t (t )(t + ) t t + Por lo tanto y = x + es una asíntota oblicua de la curva cuando t II Información de r'(t): a Cálculo de r'(t): (t ) (t )t t 4t + t t + t (t t + ) x'(t) = = = = (t ) (t ) (t ) (t ) t(t ) t t t t t t t(t ) y'(t) = = = = (t ) (t ) (t ) (t ) Por lo tanto,

49 GRÁFICAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS EN R UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 45 de 05 b Dominio: R {,} (t t + ) t(t ) r'(t) =, (t ) (t ) c Tangentes y puntos cuspidales: Verticales: x'(t) < 0 t D( r) La curva no tiene tangentes verticales Horizontales: y'(t) = 0 t = 0 ó t =, x'(0) =, x'() = La curva tiene una tangente horizontal en r(0) = (, 0) de ecuación y = 0 y otra en r() (, 4) ecuación y = 4 Puntos cuspidales: No tiene d Crecimiento y decrecimiento de r(t): t - 0 x y e Valores máximos y mínimos: y(0) = 0 es un valor máximo e y() = 4 es un valor mínimo para la función y IIIGráfico de r(t): (ver figura 5) = de Figura 5 Representación gráfica de la curva del ejemplo 7

50 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 46 de 05 0 EJERCICIOS RESUELTOS 4 Estudie en forma detallada y grafique la curva 4t 4t r(t) =,, 4 4 t t indicando el sentido del recorrido I Información de r(t): a Dominio: R {,} b Corte con los ejes: Eje x: y = 0 t = 0 Eje y: x = 0 t = 0, r(0) = (0,0) Pasa por el origen c Signo: t - 0 x y Cuadrante IV II I III d Simetrías: 4( t) 4( t) 4t 4t r( t) =, =, = ( x(t),y(t)) ( t) ( t) t t La curva es simétrica respecto del eje y Intervalo de estudio [0, ) e Asíntotas y puntos asintóticos: 4t 4t lím = 0, lím = 0, t + 4 t 4 t + t (0,0) es un punto asintótico 4t 4t lím = 0, lím = 0 4 t 4 t t t 4t 4t 4t 4t lím = +, lím = +, lím =, lím = t t t t t t t + t + Oblicuas: 4t 4 t 4 4t ( t ) t 4t t 4 t t 4 4t( t ) m = lím = lím = lím t = 4t 4t 4t 4t 4t( t) b = lím = lím = lím t 4 4 t 4 t t t t ( t)( + t)( + t ) 4t = lím = t (t + )( + t ) Por lo tanto y = x es una asíntota oblicua de la curva cuando t

51 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 47 de 05 II Información de r'(t): a Cálculo de r'(t): ( t ) + 4t4t 4 4t + 6t 4 + t 4( + t ) x'(t) = = = = ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) t( t ) + 4t 4t 8t 8t + 6t 8t + 8t 8t( + t ) y'(t) = = = = ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) Por lo tanto, 4 4 4( + t ) 8t( + t ) r'(t) =, 4 4 ( t ) ( t ) b Crecimiento y decrecimiento de r(t): t 0 x + + y + + dy dx + + c Valores máximos y mínimos: y(0) = 0 es un valor mínimo para la función y III Gráfico de r(t): (ver figura 6) Figura 6 Representación gráfica de la curva del ejercicio

52 EJERCICIOS RESUELTOS UCV FIUCV CÁLCULO III (05) - TEMA Pág: 48 de 05 5 Estudie en forma detallada y grafique la curva t t r(t) =,, t t indicando el sentido del recorrido I Información de r(t): a Dominio: R {,} b Corte con los ejes: Eje x: y(t) = 0 t= 0 Eje y: x(t) = 0 t = 0 La curva pasa por el origen c Signo: d Simetrías: t - 0 x y Cuadrante IV I IV II ( t) ( t) t t r( t) =, =, ( t) t ( t) + t La curva no presenta ningún tipo de simetría e Asíntotas y puntos asintóticos: Horizontales: t t t t lím = +, lím = 0, lím =, lím = 0 t t t t t t t + + t Por tanto y = 0 es asíntota horizontal de la curva cuando t y t + Verticales: t t t t lím, lím, lím, lím t = t = t = t = + t t t + t + Por lo tanto x = es una asíntota vertical de la curva cuando t Oblicuas: t t t t lím lím lím lím t = + t = t = t = + t t t + t + t t t t t t (t ) t t t( t) m = lím = lím = lím = t( + t) t t t t ( + t) t t t b = lí m + = lí m = lí m t ( t) t t t (t ) (t ) t(t + t ) t(t + )(t ) t(t + ) = lí m = lí m = lí m = t (t ) t (t + )(t ) t (t + ) 4