I) Ejercicios y problemas tratados en las teleclases. Teleclase 1: Funciones y ecuaciones

Transcripción

1 PREPARACIÓN PARA EL INGRESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR MATEMÁTICA MATERIAL COMPLEMENTARIO Autres: Francisc Rdríguez Meneses, Marta Álvarez Pérez, Armand Sandval Trres, Eduard Villegas Jiménez, Javier García Rusind, Aureli Quintana Valdés INTRODUCCIÓN El presente material tiene cm bjetiv frecer rientacines acerca de cóm estudiar, utilizand las 36 teleclases de repas que se transmiten para la preparación para el ingres a la Educación Superir, ls librs de texts y trs materiales que están al alcance de ls estudiantes y prfesres. El epígrafe I cntiene ls ejercicis y prblemas que serán tratads en las teleclases y algunas rientacines sbre las ideas esenciales que serán tratadas pr el teleprfesr y las actividades que se deben realizar en el estudi independiente. El epígrafe II cntiene 107 ejercicis y prblemas, rganizads pr teleclases, para el trabaj independiente. Cn esta finalidad se brindan rientacines para la etapa previa, durante y psterir a la visualización de cada una de las teleclases. Las rientacines para la etapa previa persiguen rientar hacia el bjetiv, así cm asegurar el nivel de partida necesari para la visualización; las crrespndientes a la etapa siguiente pretenden dar sugerencias útiles para la cmprensión del cntenid de la prpia teleclase; y pr últim, las que se frecen para la etapa psterir, están dirigidas a garantizar la cnslidación ulterir de la materia que se ha reactivad y refrzar sus relacines cn l estudiad cn anteriridad. De imprtancia crucial en el desarrll de este curs es que ls estudiantes traten de reslver ls ejercicis que se les prpnen pr diferentes vías, que analicen las más racinales, valren l que les ha sid útil en cada casión, ls mecanisms que tienen para cntrlar su trabaj, presten suma atención al rigr y adecuada redacción de las fundamentacines, y traten de n cmeter faltas de rtgrafía. En relación cn las fundamentacines se insiste en la necesidad de que se tme nta de ellas, pues en las teleclases se frecen, per n siempre se escriben pr raznes de espaci en la lámina. En l adelante se utilizan las siglas LT para indicar el libr de text de Matemática. Ls ejercicis de las teleclases y ls que se prpnen para el trabaj independiente han sid seleccinads de diverss materiales enviads pr prfesres que participan en la preparación de ls estudiantes para ls exámenes de ingres. La mayría han sid tmads de las clases desarrlladas pr ls teleprfesres Francisc Rdríguez Meneses, Richard Nared Castellans y Jacint Hernández Ávals, y la actuación cm asesra de Mercedes Leal Acsta. A mediads del curs se recmienda tratar de realizar ttal parcialmente ls pryects de pruebas que aparecen en Hernández Ávals, Jacint (006): Cóm estás en Matemática? Ejercicis cmplementaris de Matemática, para la 1

2 prfundización en la enseñanza preuniversitaria, y cmprbar la crrección de las respuestas cn ayuda del crrespndiente slucinari. I) Ejercicis y prblemas tratads en las teleclases Teleclase 1: Funcines y ecuacines El la intrducción de la clase el teleprfesr enfatiza en el cncept de función cm una crrespndencia entre ds cnjunts y cm un cnjunt de pares rdenads, a la vez que recuerda las frmas de representación de una función. Se presentan ds ejercicis que requieren de ls siguientes cncimients: Recncer las prpiedades de una función a partir de su gráfic (elements que la integran, imagen, cers, signs y mntnía) Recncer una función a partir de la ecuación que la caracteriza. Analizar el dmini de definición, cers y el punt de intersección cn el eje de las rdenadas a partir de la ecuación de una función. Hallar valres funcinales, es decir evaluar la ecuación de una función en un argument cualquiera para hallar su imagen. Cncer las diferentes frmas de representación (ecuación, gráfica y tabular) de una función y transferir prpiedades de una frma a tra. Es imprtante que antes de la teleclase se realicen ls ejercicis 1,,3,4,5,6 y 10. Epígrafe 1, LT 1 segunda parte. Págs Del material cmplementari se deben realizar ls ejercicis: 1 5 para repasar ls dminis numérics. 6 y 7 para practicar el cálcul numéric para repasar el cncept de función. Psterir a la teleclase, en el trabaj independiente, se deben realizar ls ejercicis del epígrafe II de este material. Ests ejercicis dan la psibilidad de trabajar algunas prpiedades de una función cuand se cnce su ecuación. La clase, cn el apy de la teleclase y el trabaj independiente que realicen ls alumns, debe permitir el cncimient de ls cncepts de función, ecuación, mntnía, dmini, imagen, signs, valres funcinales, entre trs. Recncer las prpiedades de las funcines en las diferentes frmas de representacines y el significad gemétric de ls cers, signs y la mntnía de una función. Es igualmente imprtante la realización de alguns prcedimients cm: Determinar si un par rdenad pertenece n a una función dada pr una ecuación mediante la representación gráfica. Hallar dmini, imagen, cers y el sign de una función. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes:

3 1. El siguiente gráfic crrespnde a una función f en el interval I = [ ; 7 ] Y 3,5, , X 1.1) Cmpleta el espaci en blanc cn ls signs, según cnvenga en cada cas. a) ( 7 ; 3 5, ) f b) ( ) c) ( 3 ; ) f d) ( 0 ; 5, ) 3; f f 1,) Clasifique las siguientes prpsicines en verdaderas falsas. Escriba V F en la línea dada. Justifique las que sean falsas. a) La función f es creciente en td su dmini. b) Si 1 5, < x < 5 la función f tma valres negativs. c) S x ( 1 ; 15, ) ( 5 ; 7 ) entnces f > 0. d) La función f n tiene cers. e) La función f tiene tres cers en el interval I. f) N existe un númer real y tal que ( 1 ; y ) f 1.3) Seleccina la respuesta crrecta en cada cas ) La imagen de f en el interval dad es: a) y 5, b) y 5 c) y 3 5, d) 1 y 3 5, 1.3.) En el interval J = ( 3; 7 ) la función f es: a) n negativa b) creciente c) psitiva d) decreciente 1.3.3) Si ( 0 ) [ f ( 3 ) f ( 4 )] f ( 1 ) + f ( 5 ) f A = entnces: a) A n está definid b) A, 5 c) A = 0. La función g está definida pr la expresión g ( x ) ls númers reales. lg = d) n se puede calcular ( x + ) 5 x 4 en un subcnjunt de,1) Determina cuáles de ls siguientes pares rdenads pertenecen a la función g. 6 a) A 6; b) B 1; 7 60 c) C 0; d) ; 8 D e) E ( ; 0 ) f) F ( 3; 1 ) 3

4 .) Halla las crdenadas del punt dnde el gráfic de g crta el eje de las rdenadas..3) Calcula ls cers de la función g..4) Halla el dmini de definición de la función g. Teleclase : Funcines y ecuacines. En la intrducción de la clase el teleprfesr reitera el cncept de función, las diferentes frmas de representación y las prpiedades que deben ser estudiadas. Presenta ds ejercicis en ls cuales se trabaja cn ls siguientes elements: La frma que tiene el gráfic de una función (rectas, paráblas). Cóm btener el gráfic de una función cuya ecuación es y f ( x + d ) + e del gráfic de y = f ( x ). Prpiedades del as funcines lineales y cuadráticas. Reslución de ecuacines lineales, cuadráticas y fraccinarias. = a partir Antes de la teleclase se deben revisar ls ejempls 1 5, relacinads cn las peracines cn variables, la descmpsición factrial y el trabaj cn fraccines algebraicas. Epígrafe, LT 1 segunda parte, Págs Es necesari estudiar ls ejempls 1 y (a y b) de las páginas 7 a la 3, en el LT 1, segunda parte. Del Manual de ejercicis para la educación media superir, primera parte se pueden estudiar ls ejempls Págs y realizar ls ejercicis del epígrafe.. Págs El desarrll de la clase, cn el apy de la teleclase y el trabaj independiente que realicen ls alumns, debe lgrar: Elabrar una sucesión de pass para ls prcedimients de reslución de las ecuacines lineales, cuadráticas y fraccinarias. Valrar cuáles ecuacines cuadráticas resulta mejr reslver a través de la descmpsición factrial y cuáles a través de la fórmula general usand el discriminante. Determinar el dmini de definición de las ecuacines fraccinarias desde un inici, para que al eliminar denminadres multiplicand pr un términ que puede hacerse cer para determinads valres de la variable, n se intrduzcan raíces extrañas cm resultad de esta transfrmación n equivalente. Cmprender el prcedimient algebraic para calcular ls cers de una función y el significad gemétric que ésts tienen. Cóm btener el gráfic de una función cuya ecuación es y f ( x + d ) + e del gráfic de y = f ( x ). = a partir Durante el estudi independiente se deben reslver las ecuacines rientadas pr el teleprfesr y realizar ls ejercicis, 3, 4 del epígrafe 3, páginas 3 a 34 del LT 1,

5 segunda parte. Es imprtante realizar además ls ejercicis 15, 16, 17 y 18 del epígrafe II en este material. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. La figura muestra ls gráfics de tres funcines cuyas ecuacines sn f ( x ) = x 4 x + 3, g ( x ) = ( x + 3 ) + 1 y ( x ) = x 5 h. 1.1) Haz crrespnder cada gráfic cn su ecuación 1.) Halla: a) Las crdenadas de ls punts A, B, C, D, E y F b) La abscisa de ls punts de intersección entre ls gráfics de f y h. c) Ls cers de las tres funcines. d) Ls signs de la función f e) La imagen de cada una de las funcines.. Determina cuántas slucines reales tiene cada una de las siguientes ecuacines, y cuáles de ellas pertenecen al dmini indicad? 4 x 1 a) = ( 5 x ) c) x ( x 3 ) = ( x x ) e) ( Q ) x 3 1 = x x ( x N ) b) x ( 1 + x ) = ( 4 x ) ( x Z ) x d) x ( x R ) Teleclase 3: Funcines y ecuacines x x = 3 x + 3 x + 3 x ( x R ) La teleclase presenta un primer ejercici dnde se da el gráfic de la función sen en un interval y se trabaja cn sus prpiedades, y en el segund ejercici, es necesari recncer la ecuación que crrespnde a un gráfic dad. En ambs prblemas es necesari trabajar cn las ecuacines de las funcines y calcular valres funcinales. Antes de la teleclase se recmienda seguir trabajand cn ejercicis de cálcul numéric y prpiedades generales de las funcines (Punts 16 y 31 del mement, LT 1 segunda parte). Puede cnsultarse también l referente a las prpiedades y gráfics de las funcines trignmétricas en ls epígrafes 11 y 1 del LT 10, páginas 00 a 09. Durante el desarrll de la teleclase es imprtante que el estudiante se cncentre en qué se entiende pr dmini e imagen de una función y su interpretación gráfica. De igual frma es precis que valre la influencia de ls parámetrs reales d y e en la representación grafica de una función del tip y = f ( x + d ) + e cn respect al gráfic y = f x (traslacines en la dirección de ls ejes de crdenadas). de ( ) F Y A O B E C D X 5

6 Después de la teleclase se recmienda analizar ls ejempls 1 y del LT 10, segunda parte, página 0, que frecen la psibilidad de sistematizar y fijar algunas prpiedades de la función sen. Además se sugiere reslver el ejercici 8 b) c) h), j), p), z), página 35 del LT 1, segunda parte. Realizar ls ejercicis 19 y 0 del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. El gráfic crrespnde a la función definida pr la ecuación f ( x ) = sen x en el interval 0 x π. 1.1) Cmplete ls espacis en blanc de frma tal que btengas una prpsición verdadera: a) La imagen de la función f es:. b) El mayr valr que alcanza la función f, en el interval dad, es y = en x =. c) La función f crece en el interval y decrece en 1.) Traza el gráfic de la función h, definida pr h ( x ) = cs x ( x π ) mism sistema de crdenadas. 1.3) Marca cn "X" la respuesta que cnsideres crrecta. 0, en el π 1 a) Ls gráfics de las funcines f y h se crtan en el punt Q 4 ; b) Ls gráfics de las funcines f y h se crtan cuand c) La rdenada del punt de intersección de ls gráfics de las funcines f y h es π y =. 6 d) El punt de intersección de ambs gráfics es π P 4 ; 1.4) Resuelve la siguiente ecuación en el interval dad para la función f : f π 6 ( x ) + 1 f = 0. Cada un de ls siguientes gráfics crrespnde a una función cuya ecuación tiene la frma y = lg ( x + d ) + e (d y e sn parámetrs reales) x = π 6 y y y y 0 1 x 0 3 x 1 0 x 0 1 x 6

7 8.1) Identifica el que crrespnde a la función g, definida pr ( x ) = lg ( x + ) g. 8.) Encuentra tds ls valres reales de t, para ls cuales se cumple que g t g t = g 4. ( ) ( ) ( ) 8.3) Resuelve la ecuación g ( x ) + = 1 g ( x ) Teleclase 4: Funcines y ecuacines 1. En la teleclase se resuelve un ejercici relativ a función mdular de la frma y = x + d + e, per la mayr parte de ella está dirigida a la reslución de ecuacines que requieren del dmini de las prpiedades de las ptencias y ls lgaritms. Previ a la teleclase se sugiere trabajar cn la representación gráfica de la función y = x y determinar sus prpiedades. Además se deben estudiar ls punts y 3 del mement, página 143 del LT 1, parte y reslver ls ejercicis 14 a), b), g), l) de la página 37 del LT 1, segunda parte. En el transcurs de la teleclase el estudiante debe cmprender que el prcedimient para reslver ecuacines expnenciales y lgarítmicas se basa en la inyectividad de las crrespndientes funcines, es decir, f ( a ) = f ( b ) si y sl si a = b. Se debe bservar que estas ecuacines cnducen a su vez a ecuacines lineales, cuadráticas, fraccinarias cn radicales. Después de la teleclase se sugiere reslver ls ejercicis prpuests en esta para el trabaj independiente, aprvechand tdas las vías de slución y sistematizand las prpiedades de las ptencias y ls lgaritms. Se recmienda (Mat.11, Ejercicis c), d), 3b), g) y 9 a), g) h), 13 e), k), l) Págs.49 51) Reslver ls ejercicis 1 y del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. El gráfic que se muestra en la figura crrespnde a una función definida pr una ecuación de la frma y = x + d + e (d y e sn parámetrs reales). 1.1) La ecuación crrespndiente es: y A 0 C x B 7

8 a) y = x + b) y = x + c) y = x d) y = x + 1.) Seleccina la respuesta crrecta. a) El ABC es isósceles, btusángul y tiene área A = 4 0, u. b) El ABC es equiláter, rectángul en B y tiene área c) El ABC es equiláter, ABC es agud y tiene área A = 8 0, u. A = 0, u. d) El ABC es isósceles, rectángul en B y tiene área. Resuelve las siguientes ecuacines: x x a) 7 = 1 b) a a + = Halla el cnjunt slución de las siguientes ecuacines: a) b) cs x sen x 1 sen x = lg 5 x lg x 3 = 5 3 c) ( π x 3 π ) lg 3 4 x + 1 lg 3 16 x = 9 A = 4 0, u c) 1 n + n 9 1 = Teleclase 5: Funcines y ecuacines En la teleclase se cntinúa el trabaj cn las prpiedades de las funcines reales. Para cmprender las actividades que se rientan es imprtante haber resumid las 1 x prpiedades de las funcines y = y las expnenciales de la frma y = a ( a es un x parámetr real de psitiv). Además se debe revisar el resumen de las funcines cuadráticas realizad en clases anterires. Las prpiedades de las funcines lgarítmicas se deben haber cnslidad a través de ls ejercicis que se dejarn para el estudi independiente de la teleclase anterir. Para cmprender cuánd una función psee inversa debe reactivarse el cncept de función inyectiva. En el epígrafe 14, páginas. 13 a 134 del LT 10.se explica la existencia de la inversa de una función y cóm btenerla algebraicamente. Durante el desarrll de la teleclase debe cntinuar prfundizand en: El efect de las traslacines en la dirección de ls ejes de crdenadas en el grafic de una función y = f ( x ) para btener el gráfic de una que tiene cm ecuación y = f x + d +. ( ) e 8

9 Recncer las prpiedades de una función a partir de su gráfic (dmini de definición, imagen, cers, signs, mntnía, inyectividad y la existencia de la inversa), y de manera analítica utilizand la ecuación que la define. El prcedimient algebraic para hallar la inversa de una función, asegurada su existencia. Se puede realizar el ejercici d), e) y f), página. 135 del LT 10. Reslver ls ejercicis 3, 4 y 5 del epígrafe II de este material cmplementari Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1 x + d 1. Sean las funcines definidas pr las ecuacines f ( x ) = + e parámetrs reales) y ( x ) = x 4 x + 5 g. 1.1) Determina el valr de ls parámetrs d y e si la siguiente figura muestra el gráfic de f en el interval ( 3 ; ] I =. 1.) Halla el dmini de definición y ls cers de la función f. 1.3) Seleccina la respuesta crrecta: 1.3.1) El cnjunt imagen de la función f es: a) A = { y R : y ( 1 ; ) ( ; + )} b) B = { y R : y 1 } c) C = { y R : y < 1 ó y } d) D = { y R : y } 1.3.) La función g: a) Tiene ds cers. b) N tiene cers. c) Tiene un únic cer prque el discriminante es igual a cer. d) N crta el eje de las rdenadas. 1.4) Escribe la ecuación de la función g en la frma y = ( x + d ) + e. 1.5) Traza el gráfic de g en el mism sistema de crdenadas que f. ( d y e sn 1.6) Cmprueba que ls gráfics de f y g se crtan en un únic punt. Halla sus crdenadas. x + 3. Sea la función h cuya ecuación es ( x ) = 1 h..1) Cmplete ls espacis en blanc de frma tal que btengas una prpsición verdadera: a) La imagen de la función h es. b) La función h tiene un cer en x =, y crta el eje de las rdenadas en y =. Y X 9

10 c) Para cualesquiera sean a y b, elements del dmini de h, se cumple que: h a = h b si y sl si a = b, entnces la función h es. ( ) ( ) d) La ecuación de la función inversa de la función h es. e) Si el dmini de definición de h se restringe a ls númers reales n negativs entnces la imagen su imagen es:.) Halla tds ls valres reales de x para ls cuales se cumple que ( h ( x )) = h ( x ) Teleclase 6: Funcines y ecuacines Antes de la teleclase es necesari repasar: Definición y prpiedades de ls lgaritms: (Mat.1, Parte, Mement punt 3. Pág. 143) Cóm btener el grafic de una función de la frma y lg a ( x + d ) + e = a partir del gráfic de y = lg x (Mat.11, Ejercici 8*, Pág. 47 y 48. Ejercici 5*, Pág.56) a Revisar ls cncepts de inyectividad e inversa de una función. Repasar ls prcedimients para btener la inversa de una función lgarítmica y la cmpsición de ds funcines. (Mat.10, Epígrafe 1. Págs y Mat. 11, Epígrafe. Págs ) Reslver ecuacines ecuacines expnenciales, lgarítmicas y las que intervienen varias peracines. (Mat.1, Parte, Ejempl c) y d). Pág. 9. Ejercici 14, Pág. 37) Reslver ls ejercicis 6, 7 y 8 del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. El gráfic de la función f cntiene el rigen de crdenadas y está definida pr f ( x ) = lg ( x + ) + b I = 1,5; x. (b es un parámetr real) en el interval [ ] 1.1) Halla a) La ecuación de la función f. b) La imagen de la función f en el interval I. c) La ecuación de la inversa de f en el interval. 10 1,5 d) El dmini y la imagen de la función inversa de f en el interval I 1.) Cmpleta el grafic de la función f en td su dmini de definición. Y 0 x X 1.3) Cmprueba que existe un únic valr real de la variable x para el cual se cumple que f ( x 3 ) + f ( x ) = ) Halla ( fg ) ( x ), cnciend que ( x ) = 1 x g.. Halla el cnjunt slución de las siguientes ecuacines a) lg x 3 = lg ( x + 3 ) b) 1 + lg ( x + 1 ) ( lg ) = 0 x + 1

11 x + 1 x 0 5, c) lg 3 + lg 3 = lg 7 d) 1 5 lg 3 x + 4 lg, = 0 04 x Teleclase 7: Reslución de sistemas de ecuacines En la teleclase se cmenta sbre el cncept de sistema de ecuacines, ls diferentes tips de sistemas de ecuacines estudiads y ls prcedimients para reslverls. Se presentan tres sistemas de ecuacines dnde es necesari el trabaj cn las prpiedades de las ptencias y ls lgaritms y después reslver sistemas de ds ecuacines cn ds variables y de tres ecuacines cn tres variables. Antes de la teleclase se sugiere repasar ls prcedimients para reslver sistemas de ecuacines lineales cn ds y tres variables. (Mat.1, Parte, Epígrafe 4. Ejempls 1, y 3 Págs. 4 50) Durante la teleclase, deberá atender a: Prcedimient para la reslución de sistemas de ecuacines cn ds y tres variables. Trasfrmacines equivalentes que se pueden realizar para btener un sistema de ecuacines equivalente más simple. Estrategia de trabaj para garantizar el rden adecuad en la aplicación del algritm de reslución de ls sistemas de 3 ecuacines cn 3 incógnitas, de md de tener en cuenta en cada mment cn cuál sistema de tres ecuacines transfrmad se está trabajand. Después de la teleclase se recmienda realizar ls ejercicis rientads pr el teleprfesr y realizar tras actividades cm: (Mat.1, Parte, Ejercicis 3 y 4 Pág. 5) (Mat.11, Ejercicis 16, Pág. 157; Ejercicis 14, 15 y 18, Pág. 146 ; Ejercicis 9 y 10, Pág. 13 ; Ejercicis 1 15, Pág. 1 ) Reslver el ejercici 9 del epígrafe II de este material cmplementari Se trata de hallar el cnjunt slución de diferentes tips de sistemas de ecuacines. En este cas es imprtante prfundizar en ls métds que se pueden utilizar para reslverls. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. Dads ls siguientes sistemas de ecuacines: (A) xy = 1 ( x + y ) 1 = (B) a b + 5 = 5 5 b lg ( a + b ) 1 = lg 11 (C) z = x y x + ( y ) + 1 = 1 z + 4 y 1 x + z 1 = 1,1) Cmprueba que el par rdenad 1 ; satisface el sistema de ecuacines (A).

12 1.) Cuánts pares rdenads satisfacen el sistema de ecuacines (A). Resuélvel para cmprbar tu respuesta. 1.3) Pr qué la terna rdenada de la frma ( a ; b ; 4 ) n puede ser una slución del sistema de ecuacines (C) para ningún valr real de a y de b? 1.4) Puede ser slución del sistema (B) un par rdenad ( a ; b ), dnde ls valres de a y b sean númers reales puests? Fundamenta tu respuesta. 1.5) Halla el cnjunt slución de ls sistemas de ecuacines (B) y (C). Teleclase 8: Reslución de prblemas En la teleclase se presentan tres prblemas para reflexinar sbre ls prcedimients y estrategias que se deben seguir para el trabaj cn este tip de ejercici matemátic. Se hará énfasis en de terminads mments que sn necesari en la realización de un prblema: Cmprender la situación que se plantea Determinar ls dats y l que se quiere hallar. Declarar las variables si es necesari Plantear el mdel matemátic que permite slucinar el prblema. Reslver el prblema partiend del mdel plantead, cmprbar y respnder. Antes de la teleleclas es imprtante revisar:(mat.10, Ejempls 1 y Págs. 5 y 53. Ejercicis 6, 11 y 17. Pág.56) y realizar: (Mat.1, Parte, Ejercicis 15, 18 y 0 Págs. 10 y 11) Durante el estudi independiente se deben realizar: (Mat.1, Parte, Ejercicis 4, al 30 Pág. 1) Reslver ls ejercicis 30 y 35 del epígrafe II de este material cmplementari Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. En un almacén hay 4 recipientes entre latas y frascs. Usand tds ls frascs se pueden envasar 35 L de pintura y esta misma cantidad se puede envasar usand tdas las latas. Tdas las latas tiene igual capacidad, en este cas 1 L más que ls frascs, que también sn de la misma medida. Cuánts recipientes de cada tip hay en el almacén y cual es la capacidad crrespndiente?. Una cperativa de prducción agrpecuaria sembró 35,6 ha entre hrtalizas y viandas. Pr causa de las plagas se afectarn 6,0 ha de hrtalizas las cuales fuern demlidas y utilizadas para incrementar las tierras dedicadas a viandas y pasts en 4,0 y,0 hectáreas respectivamente. Ahra, en la CPA, las tierras dedicadas a viandas duplican a las sembradas de hrtalizas, y ls pasts se incrementarn en 1,67%. Qué cantidad de tierra había dedicad la cperativa a hrtalizas, viandas y pasts antes de la afectación pr las plagas? 3. Ds grups de estudiantes de un IPUEC están recgiend papas. Al inici de la jrnada se le entregó a cada un cierta cantidad de sacs vacís. La tercera parte 1

13 de ls sacs entregads al grup B excede en 4 a la cuarta parte de ls entregads al grup A. Al terminar la sesión de camp entre ls ds grups lgrarn llenar tds ls sacs. El grup A llenó 30 sacs mens que ls que le habían sid entregads y la cantidad de sacs que lgró llenar el grup B excede en ds al dupl de ls que llenó el grup A. Cuánts sacs vacís se entregarn al inici de la jrnada a cada grup? Teleclase 9: Reslución de prblemas En la teleclase se presentan ds prblemas que se resuelven cmpletamente en la teleclase. Antes de la teleclase se sugiere analizar el ejempl 4 y reslver el ejercici 19 (Mat.10, Pág.57) para cmprender que sn prblemas análgs en situacines reales diferentes. Durante la teleclase se debe prfundizar en: La imprtancia que tiene la cnstrucción de un mdel lineal en el cas del segund prblema, y una tabla en el cas de ls tres prblemas en virtud de que se plantean ds variables que varían una cn respect a tra. El hech de que si se cnce el tiemp qué demra un prces es imprtante determinar qué parte del prces se realiza en la unidad de tiemp; esta es la estrategia que se cnce cm reducir a la unidad. Después de la teleclase se sugiere reslver el prblema prpuest para el estudi independiente y en el LT 10. (Mat.10, Ejempl 5, Pág. Ejercicis y 3. Pág.57). Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. Un hmbre y su hij, trabajand junts, pueden hacer una bra en 1 días. Trabajand separadamente, el hij tardaría 7 días más que el padre en hacer él sl la bra. Cuánt tiemp tardaría cada un trabajand separadamente?. Ds amigs están a 300 m de distancia. Si crren el un hacia el tr, se encuentran en 0 s; per, si crren en el mism sentid, el más rápid alcanza al tr en 5 min. Halla la velcidad de cada un. 3. Una piscina se puede llenar pr una llave en 4 hras, pr tra llave en 3 hras y se puede vaciar pr un desagüe en 6 hras. Si se abren simultáneamente las ds llaves y el desagüe, en qué tiemp se llenará la piscina? Teleclase 10: Reslución de prblemas En la teleclase se resuelven cmpletamente ds prblemas que se mdelan mediante sistemas de ecuacines y el tercer se rientar para el estudi independiente. Antes de la teleclase se sugiere reslver el ejercici 1 a), g), j), el ejercici a), g) y el ejercici 3a), c), h) del epígrafe 4, páginas. 51 a 5 del LT1, segunda parte. Est les permite repasar la reslución de sistemas de ds ecuacines cn ds variables, de sistemas de tres ecuacines cn tres variables y de sistemas cuadrátics. Durante la teleclase se deben tener en cuenta ls aspects señalads para la teleclase anterir. 13

14 Después se recmienda reslver el prblema prpuest en la teleclase para el estudi independiente. Seleccinar y reslver prblemas del 11, 1, 15, 19 de las páginas 54 y 55 del LT 1, segunda parte. Reslver ls ejercicis 4 44 del epígrafe II de este material cmplementari Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. El tercer añ de una facultad de Ciencias Médicas está cmpuest pr estudiantes cubans y extranjers. La tercera parte de ls cubans y la mitad de ls extranjers suman 108 estudiantes, se sabe que el dupl de ls cubans excede en 16 a ls extranjers. a) Cuánts jóvenes estudian en dicha facultad? b) Cuánts sn latinamericans si representan el 65% de ls extranjers?. La suma de las áreas de un rectángul y un cuadrad es 60 m. Si el lad del cuadrad es igual al anch del rectángul, y el dupl del lad del cuadrad y el larg del rectángul, suman 17 m, cuál es el área de cada figura? 3. En una cmpetencia rtgráfica el tripl de cada puntuación alcanzada pr ds alumns A y B suma 99,9 punts. Si ls btenids pr el alumn A representan el 85% de ls btenids pr el alumn B, qué prcentaje btuv cada alumn si el 100% es 0 punts? Teleclase 11: Reslución de inecuacines En la teleclase se puede apreciar la aplicación del prcedimient para la reslución de inecuacines a la determinación de intervals dónde ls valres de una función sn mayres, menres iguales que ls valres de tra. Previ a la visualización de esta teleclase el estudiante debe estudiar en las páginas 56 a 58 del LT 1, segunda parte 59 a la 60 del LT 10 el prcedimient para reslver inecuacines lineales. Durante la teleclase se debe reflexinar sbre: Qué es una inecuación y qué tip de inecuacines se resuelven en la teleclase. El prcedimient para reslver inecuacines lineales a través de ecuacines equivalente, l cual se hace despejand la variable, y su relación cn l aprendid sbre ls cers de las funcines lineales. La representación gráfica del cnjunt slución de una inecuación. El hech de que el análisis de ls signs de una función lineal de la frma y = mx + n cnduce a reslver una inecuación. En el estudi independiente psterir a la teleclase se debe aplicar el prcedimient estudiad a la determinación de ls intervals dónde están definidas las funcines que se indican. L esencial es determinar en ls inciss a) y b) las cndicines que deben cumplir las expresines baj el símbl de radical para que la raíz esté definida, en el cas del incis c), las cndicines que deben satisfacer simultáneamente la base y el argument de la función lgaritm. Se recmienda además realizar el ejercici 1 del epígrafe 5 de la segunda parte del LT 1 el 1 de la página 65 del LT 10, y el 3 de la 14

15 página 18 del Manual de ejercicis de Matemática para la Educación Media Superir, primera parte. Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. Halla el cnjunt slución de las siguientes inecuacines 5 x a) ( 1, 7 x 1 ) 3 ( 1 x ) b) < 9 x 3 9 c) ( x )( x + 1 ) ( x 5 ) > x ( 5 x ) 1 d) 15 ( x ) x 3 3 x Sean las funcines f y g definidas pr: f ( x ) = x 0, 4 y g ( x ) = 0, 1 + 0, 5 x 4 Halla ls valres reales de x para ls cuales se cumple que: f ( x ) g ( x ) 3. Halla el dmini de definición en cada cas: a) f ( x ) = 10 x b) g ( x ) = x + x c) Teleclase 1: Reslución de inecuacines x h ( x ) = lg x 1 En el primer ejercici se determinan ls intervals para ls cuales ls valres de una función sn menres que ls de tra. La inecuación que se btiene se resuelve cmpletamente en la teleclase. En el segund ejercici se plantean ds inecuacines fraccinarias; la primera se resuelve cmpletamente en la teleclase y la segunda se rienta para el estudi independiente. Previ a la visualización de esta teleclase el estudiante deberá estudiar en las páginas 58 a 63 del LT 1, segunda parte 61 a la 66 del LT 10 el prcedimient para reslver inecuacines cuadráticas y fraccinarias. Durante la teleclase deberá elabrar una sucesión de pass para el algritm de reslución de las inecuacines cuadráticas, relacinand l que se explica cn l aprendid sbre ls cers de las funcines cuadráticas. De igual manera debe elabrar una sucesión de pass para el algritm de reslución de las inecuacines fraccinarias. Para pder realizar ls ejercicis del estudi independiente deberá aplicar l estudiad sbre la factrización de plinmis de grad mayr que. Muy imprtante es que vuelva a leer l que se explica en la página 60 de la segunda parte del LT de grad 1. Además puede realizar ls ejercicis h), j) y 3 g),h),l) de este prpi libr. Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. Dadas las funcines f y g, definidas pr las ecuacines f ( x ) = x 10 x + 1 g ( x ) = x 11. Halla ls valres reales de la variable x para ls cuales la parábla está pr debaj de la recta. y

16 . Resuelve las siguientes inecuacines 3 + x + x a) > x 9 7 x 1 b) x x 1 Teleclase 13: Reslución de inecuacines c) 3 1 x 3 x 3 x Inicialmente se trabaja cn ejempls de inecuacines fraccinarias que se resuelven cmpletamente en la teleclase. Se prpne un ejercici para el trabaj independiente que trata de la determinación de ls intervals dnde ls valres de una función sn mayres iguales que ls de tra. Finalmente se resuelve una inecuación fraccinaria que requiere de varias transfrmacines algebraicas. El estudi independiente realizad en la clase anterir le servirá de base para cmprender ls ejercicis sbre inecuacines fraccinarias que se explican en esta teleclase. Durante la visualización deberá prestar atención a ls diferentes cass especiales que se presentan, a saber: Cuand n existen cers, bien en el numeradr bien en el denminadr. Cuand numeradr y denminadr tienen cers cmunes. Cuand un de ls cers, bien del numeradr bien del denminadr, es un cer dble, en general, de multiplicidad par. Además deberá tratar que ls signs de ls ceficientes de ls términs de mayr grad en el numeradr y el denminadr sean psitivs, multiplicand pr ( 1) cuand sea necesari y realizand el crrespndiente cambi de sentid de la desigualdad, tal cm curre en el ejercici c) de la teleclase. Psterir a la teleclase se recmienda realizar ls ejercicis 5 y 6, del epígrafe 5 del LT de grad 1, segunda parte, página 65. Reslver ls ejercicis 5 y 53 del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: x 3 x 7 1. Resuelve la inecuación 0. x 7 x. Halla el cnjunt slución de las siguientes inecuacines: x + a) < 0 x + 7 b) x ( x 10 ) ( x 5 )( x 10 ) 0 c) ( ) ( ) 0 x 5 x + 3 x 3. Halla para cuáles x R ls punts de la gráfica de la función f(x) se encuentran pr encima tcan ls punts de la gráfica de g(x). x f ( x ) = x + x y 0 g( x ) = x

17 4. Halla tdas las x R que cumplen la cndición Teleclase 14: Reslución de inecuacines x + 3 x 1 x 3 x + x Se trabaja cn inecuacines dnde aparecen expresines cn radicales y lgarítmicas. Para el estudi independiente se prpne hallar el dmini de definición de una función lgarítmica en la cual la base es una expresión que cntiene variables. El estudi independiente realizad en la clase anterir le servirá de base para cmprender la aplicación de ls prcedimients para la reslución de inecuacines, a la determinación del dmini de definición de funcines cmpuestas. Se sugiere cnsultar el mement que aparece en las páginas 147 y 148 de la segunda parte del LT 1, dnde están resumids aspects fundamentales de las funcines elementales. En la determinación del dmini de definición de funcines que se btienen a través del cciente de tras ds, hay que cnsiderar que la que se encuentra en el denminadr nunca puede anularse. También es necesari tener en cuenta cóm en el segund ejempl que se presenta deben cumplirse ds cndicines simultáneamente para el argument de la función lgaritm. En el ejercici que se deja para el estudi independiente hay que cnsiderar que la base del lgaritm tiene que cumplir ds cndicines y que el argument de la función lgaritm tiene que cumplir una. Se recmienda realizar ls ejercicis 8, 9 y 11 del epígrafe 5 del LT 1, segunda parte, página 66. Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: x Sea h la función dada pr h ( x ) = lg para ls cuales la función h está definida. ( 3 x ) 5 x 4. Halla el cnjunt slución de: lg 0 4 x 5 3. Halla el dmini de definición de la siguiente función: g ( x ) 4. Cuál es el dmini de definición de la función f? Teleclase 15: Cálcul trignmétric. Halla ls valres reales de la variable f ( x ) = = lg x + 3 lg x 3 x 16 1 x x 1 Se realiza un repas sbre el cálcul de las raznes trignmétricas de un ángul cualquiera. Para ell se utilizan ls ejempls: cs ( 930 ) y sen ( 930 ) Se prpne un ejercici para el estudi independiente dnde es necesari el trabaj cn las fórmulas de reducción, la relación entre las raznes trignmétricas de ánguls 17

18 cmplementaris y suplementaris y el cálcul de las raznes trignmétricas de un ángul cualquiera. La cmprensión del círcul trignmétric permite cmprender que: El valr de las raznes trignmétricas de un ángul n depende de la lngitud del radi del círcul. Para cada ángul existe un punt sbre el círcul trignmétric cuyas crdenadas permiten determinar las raznes trignmétricas de este ángul. En esta teleclase se repasarán las raznes trignmétricas, las relacines que se establecen entre ellas para ls ánguls cmplementaris, ls valres de estas raznes para ls ánguls ntables y las identidades trignmétricas fundamentales, que se resumen en la página 67 del LT de grad 1, segunda parte. Es imprtante que se sepa 1 cóm se btiene sen x + cs x = 1, para deducir a partir de ahí 1 + tan x = y cs x tras identidades. Además se reactivarán en esta teleclase las fórmulas de reducción para la determinación de las raznes trignmétricas de ls ánguls del II al IV cuadrante que aparecen en la página 15 del mement del LT 1, segunda parte, así cm la generalización del cncept ángul. Debe estudiar cn este prpósit las páginas 171 a 176, 179 a 18, y 185 a 193 del LT 10 el resumen que aparece en las páginas 363 a 368 del Manual de ejercicis para la Educación Media Superir, primera parte. Cn psteriridad a la teleclase debe estudiar el prcedimient para transferir amplitudes de ánguls del sistema circular al sistema sexagesimal de amplitudes de ánguls y viceversa en las páginas 185 a 187. Debe tratar de reslver ls ejercicis que se dejarn para el estudi independiente cnsiderand que se debe cmenzar pr el miembr más cmplej de las igualdades que se presentan. Se sugiere realizar el ejercici 1 a), b), c) del epígrafe 6 de la página 7 del LT 1, segunda parte, y del LT 10, ls ejercicis 1, 5 y 10, páginas 176 a 177, el ejercici 5 de la página 183 y ls ejercicis1 a), b), c) y a), b), c) de la página 188. Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: sen ( 30 ) 1. Calcula tan ( 495 ) cs ( 45 ). Cmprueba que: 11 π 5 π 3 sen + tan a) 6 4 = 1 π π cs sen 3 6 sen + cs ( k 360 ) b) cs ( 30 ) sen ( 30 + k 360 ) ( 3 1 ) 90 0 = + 18

19 sen ( α ) + cs ( 90 α ) 1 c) = sen α cs ( 180 α ) + sen α cs α 1 Teleclase 16: Identidades trignmétricas ( α k 360 ; k Z ) La teleclase está rientada a la demstración de identidades trignmétricas. Se prpne ejercicis para el estudi independiente en ls cuales es necesari hallar valres funcinales, demstrar una identidad trignmétrica y determinar ls valres admisibles de una ecuación trignmétrica. Antes de la teleclase se sugiere revisar en el mement que aparece en el LT 1, segunda parte, ls punts 8 al 31, en ls cuales se hace un resumen de ls cntenids que es necesari reactivar. Durante la teleclase se debe prfundizar en: El cncept identidad. Las diversas vías psibles para demstrar identidades. La necesidad de determinar desde un inici ls valres inadmisibles de la ecuación. Después de la teleclase se recmienda analizar ls ejempls 1 y del LT 1, segunda parte, páginas 68 y 69, ls cuales frecen la psibilidad de fijar prcedimients básics que permiten reslver este tip de ejercicis de demstración de identidades. Se sugiere que resuelvan ls ejercicis a), b), d), f), h), 3 a), b), c), y 4 d), k) de las páginas 7 y 73 de este libr. Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari.. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. Demstrar que para tds ls valres admisibles de la variable x se cumple que: sen x a) = ct x sen x cs x 1 b) = tan x sen x π x k ; k Z π x k ; k Z. Sean: 1 1 ( x ) = + y cs x sen x f g ( x ) = sen x π π a) Prueba que f = 4 y g n existe. 4 b) Demuestra que para tds ls valres admisibles de la variable x se cumple que: f ( x ) = g ( x ). c) Halla el dmini de definición de la identidad demstrada anterirmente. Teleclase 17: Ecuacines trignmétricas 19

20 Esta clase se dedica a la reslución de ecuacines trignmétricas. En el primer ejercici se prpnen cuatr ecuacines trignmétricas, ds de las cuales se resuelven cmpletamente en la teleclase. Para el estudi independiente se rienta un ejercici dnde es necesari hallar valres funcinales y reslver ecuacines trignmétricas. Antes de la teleclase se recmienda reactivar las fórmulas de reducción para la determinación de las raznes trignmétricas de ánguls cualesquiera. Durante la teleclase debe analizarse La necesidad de analizar, previ a su reslución, el tip de la ecuación dad que a veces n sn puramente trignmétricas (véase ejercicis 43 d), 44, entre trs) y su dmini de definición. La cnveniencia de reducir tdas las raznes trignmétricas que aparecen a una sla n. Después de la teleclase se recmienda analizar el ejempl 3 del LT1, segunda parte, páginas 69 a la 7 que frecen la psibilidad de fijar prcedimients básics que permiten reslver ecuacines trignmétricas. Se sugiere que resuelvan ls ejercicis 5 a), d), e) q), 6 a), c), d), l), 7 c), f), y 8 a), i) de las páginas 7 y 73 de este libr. Reslver ls ejercicis 6 63 del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. Halla el cnjunt slución de las siguientes ecuacines: a) senx + sen x = 0 b) 3 sen x = 3 cs x c) 4 sen x 1 = cs x d) 3 cs x = 7 3 senx. Sean las funcines definidas pr: f ( x ) = + 4 cs x y g ( x ) = cs x 4 π π a) Cmprueba que: f g = b) Determina ls valres de [ 0; π ] x para ls cuales se anula la función f. c) Halla tds ls valres reales que satisfacen la igualdad f ( x ) = g ( x ). Teleclase 18: Ecuacines trignmétricas En esta teleclase se cntinúa cn la reslución de ecuacines trignmétricas. En este cas se trabaja cn ecuacines dnde es tener en cuenta: La estructura de las ecuacines (peracines que intervienen) La necesidad de tmar en cuenta el dmini de las ecuacines para tmar decisines sbre las slucines. La necesidad de reducir una expresión antes de sustituirla y determinar el dmini cuand se simplifican denminadres. 0

21 Previ a la teleclase es imprtante que se reactiven ls cntenids en que persistan dificultades, retrnand a las sugerencias para el estudi dadas anterirmente. Durante su desarrll es muy imprtante que se fije en la estructura de la ecuación a reslver y discuta las diferentes vías de slución, sin lvidar efectuar la cmprbación. Cn psteriridad a la visualización se recmienda que resuelvan ls ejercicis 5 g), i), 6 f),i),k),), 8 f),g) de las páginas 74 a 76 del LT 1, segunda parte. Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. Halla el cnjunt slución de las siguientes ecuacines. a) b) 1 cs x senx 3 senx + cs 4 = sen x x + 4 = 1 + cs x. Dadas las expresines siguientes: sen P = cs x ; x = tan x cs x + sen x 1 senx a) Prueba que senx variable x. b) Determina el cnjunt. Q ; R = Q + cs x ( + cs x ) R = para un cnjunt A ( A R ) 1 de valres admisibles de la c) Halla tds ls valres reales de la variable para ls cuales se cumple que P = R. Teleclase 19: Reslución de triánguls. Grup de Teremas de Pitágras Se repasa el Grup de Teremas de Pitágras, las raznes trignmétricas, la ley de ls sens y ls csens. El Grup de Teremas de Pitágras se plantea en frma de ejercicis y se rienta que se slucine cuand se repase el cncept de semejanza de triánguls y ls criteris que caracterizan la definición. Cn anteriridad a la teleclase se deben recrdar las características y prpiedades de ls triánguls y en particular, las del triángul rectángul, entre ellas, el grup de teremas de Pitágras. Para ell se recmienda estudiar el epígrafe 7 Prpiedades gemétricas elementales, de las páginas 77 a 88 del LT 1, segunda parte. De especial interés resulta también que se reactive la ley de ls sens y la de ls csens. En la reslución de triánguls es necesari realizar cálculs y establecer relacines entre pares de ánguls. Es pr es que recmendams el ejercici 68 de este material. La esencia n es marcar V F, sin fundamenta e ilustrar cada situación planteada. Durante la teleclase es imprtante tmar nta de las fundamentacines y reflexinar sbre: Estructura de ls teremas: premisa y tesis. Frmulación del recíprc y del cntrarrecíprc de ls teremas estudiads.

22 La aplicación que tiene el grup de teremas de Pitágras, la ley de ls sens y la de ls csens a la reslución de triánguls. Cn psteriridad a la teleclase se recmienda realizar ls ejercicis del 30 al 43 de las páginas 93 a 95 del LT 1, segunda parte. Reslver el ejercici 68 del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. El triángul ABC es rectángul en C. La altura relativa a la hiptenusa es h = CD. Además se tiene: AB = c, BC = a, AC = b, CAB = α, ABC = β AD = p y DB = q CAB = γ 1.1) Fundamenta las siguientes igualdades. a) sen α = cs β b) sen β = cs α c) tan α = ct β d) tan β = ct α 1.) Demuestra que BCA ADC CDB. 1.) Cmprueba que de la semejanza de ls tres triánguls se btienen las siguientes relacines: a) h = pq. En la figura : b) a = qc y b = pc ABCD un cuadrad es un cuadrad. E CF, A FD y DE FC CE = 4 0, cm y E F = 8 0, cm c) c = a + b Calcula el área del cuadrad ABCD y el perímetr del triangul DEC. 3. El punt D pertenece a la circunferencia de centr en O y diámetr AB. CA es tangente en A a la circunferencia, B C = 5 0, dm. Halla el área de la región smbreada. Teleclase 0: Cálcul gemétric. Áreas y perímetrs DB = 3, dm y Esta clase se dedica a ejercicis en ls que se aplican ls cncimients sbre figuras gemétricas y sus prpiedades a calcular áreas de figuras planas cmpuestas. Se prpnen ds ejercicis gemétrics que se resuelven cmpletamente en la teleclase. En ests ejercicis es necesari el trabaj cn prpiedades de la circunferencia, el triángul y la mediana en un triángul. Se requiere el cálcul de áreas y de habilidades en el cálcul aritmétic cn valres aprximads. Se prpne además un ejercici gemétric para el trabaj independiente. A B C b h α β p c D q A D F O D E a B C B A C

23 Antes de la teleclase se sugiere estudiar ls cntenids que es necesari rememrar en ls punts 5 y 6 del mement que aparece en el LT 1, segunda parte. De especial interés resultan también: rectas ntables en un triángul y prpiedades en el triángul equiláter. Durante la teleclase se debe tmar nta de las fundamentacines y prestar atención a: El recncimient de palabras claves en el prblema y su significad dentr del cntext. La cnstrucción de una figura de análisis. La necesidad de establecer las fundamentacines en cada pas. Después de la visualización se sugiere hacer un resumen de las fórmulas para la determinación de ls perímetrs y áreas de las figuras planas estudiadas. Debe tenerse en cuenta la psibilidad de hacer descmpsicines de cuerps. Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. La sección transversal de una pieza tiene frma de triángul equiláter cn una perfración circular en el centr. El lad del triángul es de 6,0 cm y el radi del huec es la mitad de la distancia del centr del triángul al lad. Calcula el área de la sección transversal.. En el cuadrad MNPQ cn centr en M y N se trazan ls arcs NQ y MP de radis smbreada. MN = 4, cm respectivamente. Calcula el área 3. Haciend centr en un vértice de un triángul equiláter de 4,0 cm de lad se trazó una circunferencia de radi igual a la distancia del vértice al centr de gravedad del triángul. Calcula el área de la figura así frmada. Teleclase 1: Cálcul gemétric. Ánguls, circunferencia y círcul Se prpnen ds ejercicis gemétrics que se resuelven cmpletamente en la teleclase. En este cas es necesari trabajar cn triánguls y ánguls en la circunferencia, el terema de Tales y la relación entre la tangente a una circunferencia y el radi de cntact. Se prpne un ejercici para el trabaj independiente en el cual es necesari clasificar triánguls y cuadriláters, el cálcul de áreas y perímetr de figuras planas y el área de una región smbreada en una circunferencia. Antes de la teleclase el estudiante debe rememrar cntenids referids a ánguls, raznes trignmétricas en un triángul, circunferencia y círcul; una síntesis aparece en ls punts 19 5 del Mement del LT1, segunda parte. De igual frma debe analizar cuáles teremas tienen cm tesis cnclusión la igualdad de amplitudes de ánguls, así cm la relación entre un ángul central y un ángul inscrit sbre el mism arc de una circunferencia. Durante la teleclase se debe tmar nta de las fundamentacines y tener en cuenta: 3

24 El esbz de figuras y cuerps gemétrics que cumplan las cndicines dadas en un enunciad y la cnstrucción de las figuras gemétricas fundamentales y las rectas y punts ntables a partir de sus prpiedades esenciales. El víncul existente entre las diferentes áreas matemáticas, vist a través de ls métds empleads en la reslución de ejercicis, que pueden haber sid estudiads en unidades de Gemetría, Trignmetría, Aritmética Álgebra. Después de la teleclase de deben realizar ls ejercicis 0, 1 y del epígrafe 9 que aparecen en las páginas 115 y 116 del LT 1, segunda parte, sn alguns ejempls de ejercicis que cntribuyen a cnslidar el cntenid crrespndiente a esta clase. Reslver ls ejercicis 7 75 del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. C es un punt de la circunferencia de centr en O y diámetr AB = 10 cm. BD es tangente a la circunferencia y AC // OD. 1.1) Prueba que ls triánguls ABC y OBD tienen sus ánguls interires respectivamente iguales. 1.) Sitúa un punt E sbre el arc AB de manera que ls triánguls ABC y AEC tengas sus ánguls interires respectivamente iguales. Justifica. A C O D B 1.3) Cnciend que AC = AO = 5. 0 cm : a) Halla la amplitud de ABC b) Calcula el área de la superficie smbreada. P. La figura muestra una circunferencia de centr en O. AP, PB y AB = 40 cm sn cuerdas. La amplitud del ángul APB supera en 6, 0 la del ángul OAB. Calcula el área del triángul AOB. A O B Teleclase : Cálcul gemétric Se prpne un primer ejercici que se resuelve cmpletamente en la teleclase. En este ejercici se trabaja cn el Grup de Teremas de Pitágras y el cálcul cn valres aprximads. Para el estudi independiente se prpne un ejercici dnde es necesari trabajar cn las prpiedades del rmb. En la preparación previa a esta clase es cnveniente repasar el grup de teremas de Pitágras. También merece atención el estudi de ls cuadriláters y sus prpiedades. Durante la teleclase se debe llamar la atención sbre la descmpsición de una superficie en tras más pequeñas, cuyas áreas se pueden calcular. Deben seguirse las indicacines dadas en ejercicis anterires y n lvidar tmar nta de las fundamentacines. 4

25 Después de la teleclase ls estudiantes deben cmprbar si sn capaces de reslver de manera independiente ls ejempls 1y de las páginas 17 y 18 del y ls ejercicis, 3, 4, 10, 14 y 15 del LT 9. Reslver ls ejercicis del epígrafe II de este material cmplementari. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. Una pieza metálica se btiene de una plancha rectangular al crtarle ds sectres circulares iguales, tangentes a una diagnal cm se muestra en la figura. Calcula el área de la pieza si la diagnal de la plancha mide 15 cm y el larg 1 cm.. La diagnal menr de un rmb mide 4,0 cm y es igual a un de sus lads. a) Calcula las lngitudes de las diagnales del rmb cuya área es el dble del anterir cn las mismas cndicines. b) Calcula la lngitud de la diagnal mayr del rmb. Teleclase 3: Ejercicis de gemetría plana En la teleclase se presentan tres ejercicis. El primer es realmente simple, y es prtadr de infrmación para el segund ejercici. Se trata de ilustrar cóm al trazar las tres medianas de un triángul éste queda dividid en seis triánguls que tienen la misma área. En el segund ejercicis es imprtante recncer que la mediana de un triángul relativa a la base cincide cn las demás rectas ntables. Se trabaja además cn el terema de Pitágras y las raznes trignmétricas. El tercer requiere cncer la prpiedad sbre el radi que biseca a una cuerda, ánguls en la circunferencia, el terema de la altura, el área de un triángul rectángul y el área del círcul. Es necesari cntinuar repasand el cntenid relacinad cn triánguls, cuadriláters y ánguls en la circunferencia (Mat.1, Parte, Págs ). Reslver ls ejercicis 79 8 del epígrafe II de este material cmplementari. El bjetiv es repasar ls ánguls cn lads respectivamente paralels perpendiculares ánguls en la circunferencia y el área del círcul. Ls ejercicis que se tratan en la teleclase sn ls siguientes: 1. En el triángul ABC, que tiene un área de 4 cm, se han trazad las medianas AE, BF y AE, que se crtan en el punt G. Halla el área de la región smbreada. A F C E 5 D B