FUNCIONES ELEMENTALES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "FUNCIONES ELEMENTALES"

Transcripción

1 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) E F G H 0 (5, ) (, ) 5 I J K L LINEALES L : y = L : y = ( ) + 5 L : +y = 0 L : y = + CUADRÁTICAS C : y = C : y = ( + )( +5) C : y =, > 0 C : y = π, > 0 DE PROPORCIONALIDAD INVERSA P.I. : y = P.I. : y = P.I. : y = P.I. : y =, > 0 RADICALES R : y = + R : y = + R : y = EPONENCIALES E : y = E : y = 0,5 E : y = ,95 Unidad 0. Funciones elementales

2 A 8 L B 8 R C 8 L D 8 C E 8 P.I. F 8 E G 8 C H 8 E I 8 L J 8 P.I. K 8 P.I. L 8 R Cada uno de los siguientes enunciados corresponde a una gráfica de las de arriba. Identifícala.. Superficie (cm ) de un círculo. Radio en centímetros.. Aumento de una lupa. Distancia al objeto, en centímetros.. Temperatura de un cazo de agua que se deja enfriar desde 00 C. Tiempo en minutos.. Número de amebas que se duplican cada hora. Se empieza con una. 5. Longitud de un muelle (dm). Mide dm y se alarga 75 mm por cada kilo que se le cuelga.. Dimensiones (largo y ancho, en centímetros) de rectángulos cuya superficie es cm.. D. E. F. H 5. A. J Página 8. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: y = + y = c) y = d) y = e) y = f) y = g) y = + h)y = i) y = j) y = k) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l. Á [, c) ] d) [, ] e) ] «[, f) ) «(, g) Á h) Á {0} i) Á {0} j) Á {, } k) l > 0 Página 9. Representa esta función: f () = +, é [, 0) +, é [0, ], é (, 7) Unidad 0. Funciones elementales

3 UNIDAD 0. Haz la representación gráfica de la siguiente función: +, < g() =, Ó Página 50. Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera: y = Ent () + y = Ent ( + 0,5) c) y = Ent ( ) d) y = Ent () y = Ent () + y = Ent ( + 0,5) c) y = Ent ( ) d) y = Ent () Unidad 0. Funciones elementales

4 . Representa: y = Mant () 0,5 y = Mant () 0,5 c) y = 0,5 Mant () 0,5 Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al entero más próimo. Su gráfica tiene forma de sierra. y = Mant () 0,5 y = Mant () 0,5 c) y = 0,5 Mant () 0,5 Página 5. Representa: y = Representa gráficamente: y = ß ß 8 0 Unidad 0. Funciones elementales

5 UNIDAD 0 Página 5. Representa y =. A partir de ella, representa: y = + 5 y = y = 0 8. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa: y = y = + 8 Unidad 0. Funciones elementales 5

6 Página 5. Representa y =. A partir de ella, representa: y = y = c) y = y = c) 8 8. Representa y = /. A partir de ella, representa: y = y = c) y = y = c) Unidad 0. Funciones elementales

7 UNIDAD 0 Página 5 5. Representa y =. A partir de esta gráfica, representa estas otras: ( 8) ( +) y = y = 8 y = Representa y =. A partir de esta gráfica, representa estas otras: y = +5 y = c) y = d) y = ( ) 9 9 y = c) d) 7 9 Unidad 0. Funciones elementales 7

8 Página Si y = f () pasa por (, 8), di un punto de: y = f (), y = f ( + ), y = f (), y = f (), y = f (), y = f ( ), y = f ( ) + y = f() 8 (, ) y = f( + ) 8 (, 8) y = f() 8 (, ) y = f() 8 (, ) y = f() 8 (, 8) y = f( ) 8 (, 8) y = f( ) + 8 (, ) 8. Representa: y = + 8 y = + 0 y = + 8 Representamos y = 8 y = 8 y = 8 y = y = y = y = y = Unidad 0. Funciones elementales

9 UNIDAD 0 y = + 0 Representamos y = 8 y = 8 y = ( 0) 9 9 y = y = y = Página 5. Si f () = 5 + y g () =, obtén las epresiones de f [ g()] y g [ f ()]. Halla f [ g()] y g [ f ()]. f [g()] = f [ ] = 5 + g [ f ()] = g [ 5 + ] = ( 5 + ) f [g()] = 79; g [ f ()] =. Si f () = sen, g () = + 5, halla f g, g f, f f y g g. Halla el valor de estas funciones en = 0 y =. f g () = sen ( + 5); f g(0) = 0,9; f g() = 0, g f () = sen + 5; g f (0) = 5; g f () = 5,8 f f () = sen (sen ); f f (0) = 0; f f () = 0,79 g g () = ( + 5) + 5; g g (0) = 0; g g () = 8 Unidad 0. Funciones elementales 9

10 Página 57. Representa y =, y = / y comprueba que son inversas. y = y = y = /. Comprueba que hay que descomponer y = en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta y =. Averigua cuáles son. y = si 0 y = si < 0 y = + y = + y = y = y = y = y = + y = +. Si f () = + y g() =, comprueba que f [g ()] =. Son f () y g () funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + ) está en la gráfica de f y que el punto (a +, está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y =. f [g()] = f ( ) = ( ) + = Son funciones inversas. y = + y = 0 Unidad 0. Funciones elementales

11 UNIDAD 0 Página 59. La masa de madera de un bosque aumenta en un 0% cada 00 años. Si tomamos como unidad de masa vegetal (biomas la que había en el año 800, que consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 00 años, la función M =, t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t epresado en siglos a partir de 800 (razona por qué). Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 800 (, t = ) y cuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo son iguales. Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 900, 990, 000, 00 y 550. M =, t Buscamos el valor de t para el cual, t = :, t = 8 ln (,) t ln = ln () 8 t ln (,) = ln () 8 t =,7 ln, Cuando pasen,7 00 = 7 años, se habrá triplicado la masa de madera. Esto es, en el año = 7. Buscamos el valor de t para el cual, t = = :, t = 8 ln (,) t = ln () ln 8 t ln (,) = ln () 8 t =,7 ln, Hace,7 00 = 7 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, en el año = t = 8 M =, =, t = =,9 8 M =,,9, t = = 8 M =, =, t = = 8 M =, 0, t = =,5 8 M =,,5 0, 00 Unidad 0. Funciones elementales

12 . Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de una cierta sustancia radiactiva, M = m 0,7 t (t epresado en miles de años), el periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad la sustancia radiactiv es de, aproimadamente, 500 años. Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad (aproimadamente) al cabo de 500 años (t =,5). M = m 0,7 t Si t = 0 8 M = m 0,7 0 = m m Si t = 0,5 8 M = m 0,7,5 m 0,5 = La cantidad inicial se ha reducido (aproimadamente) a la mitad en 500 años. Unidad 0. Funciones elementales

13 UNIDAD 0 Página 7 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: y = y = + ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = + Á {, 0} Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, 5} f ) Á {, } Halla el dominio de definición de estas funciones: y = y = c) y = d) y = ] [/, c) ] d) 0] Halla el dominio de definición de estas funciones: y = 9 y = + + c) y = d) y = 5 e) y = f ) y = 9 Ó 0 8 ( + ) ( ) Ó 0 8 Dominio = ] «[, + + Ó 0 8 Dominio = Á c) Ó 0 8 ( ) Ó 0 8 Dominio = [0, ] d) 5 Ó 0 8 ( + ) ( 5) Ó 0 8 Dominio = ] «[5, e) > 0 8 > 8 Dominio = ) f) > 0 8 ( ) > 0 8 Dominio = 0) «(, Unidad 0. Funciones elementales

14 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Los dominios son, por orden: [, ]; ) «(, y [, Los recorridos son, por orden: [0, ], (0, y [0, 5 De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. Escribe el área del octógono que resulta en función de. Cuál es el dominio de esa función? su recorrido? A () = Dominio: (0, ). Recorrido: (8, ) Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, / y cm. Escribe la función que da el volumen del envase en función de. Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. Cuál es su recorrido? V () = Dominio: (0, 0). Recorrido: (0, 000) Gráfica y epresión analítica 7 Asocia a cada una de las gráficas su epresión analítica. y =,5 y = c) y = 0,5 d) y = I II III II c) I d) IV III IV Unidad 0. Funciones elementales

15 UNIDAD 0 8 Asocia a cada gráfica la epresión analítica que le corresponda entre las siguientes: I y = + y = 0,75 c) y = log d) y = II II III c) IV d) I III IV Página 8 Representación de funciones elementales 9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: y = + + y = + + c) y = + 5 d) y = + + Vértice: (, 0) Cortes con los ejes: (, 0), (0, ) Vértice: (, ) Cortes con los ejes: (0, ); ( 7 ; 0); ( + 7 ; 0) Unidad 0. Funciones elementales 5

16 c) ( Vértice:,. Cortes con los ejes: ( 5, 0) ) d) ( 9 Vértice:,. ) Cortes con los ejes: (0, ); (, 0); (, 0) 8 0 Representa las siguientes funciones en el intervalo indicado: y =, [0, ] y =, Ó y =, [0, ] y =, Ó Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 si < y = si 0 Ì < y = ( 5)/ si Ó si Ó Unidad 0. Funciones elementales

17 UNIDAD 0 Representa: (/) + si Ì ( + )/ si < y = y = (/) si > + si Ó Representa las siguientes funciones: y = y = c) y = d) y = + c) d) Representa las siguientes funciones: y = y = + c) y = + d) y = 8 Unidad 0. Funciones elementales 7

18 c) d) 8 5 Haz una tabla de valores de la función y =. A partir de ella, representa su función inversa y = log. 0 /9 / 9 /9 / 9 log 0 8 y = (0, ) y = log (, 0) Representa gráficamente las siguientes funciones: y = 0, y =, 0 y,,78,7 0, 0, 0, y = 0, 8 Unidad 0. Funciones elementales

19 UNIDAD 0 f() =, Composición y función inversa 7 Considera las funciones f y g definidas por las epresiones f () = + y g() =. Calcula: ( f g) () ( g f ) ( ) c) ( g g) () d) ( f g) () 5 c) g (g()) = d) f (g()) = Dadas las funciones f () = cos y g() =, halla: ( f g) () ( g f ) () c) ( g g) () f [g()] = cos g[ f ()] = cos c) g[g()] = 9 Halla la función inversa de estas funciones: y = y = + 7 c) y = = y 8 y = 8 f () = = y y = 7 8 f () = 7 + c) = y 8 y = 8 f () = + Unidad 0. Funciones elementales 9

20 0 Representa la gráfica de y = log / a partir de la gráfica de y = ( ). y = ( ) 5 y = log / Comprueba que las gráficas de y= e y= ( ) son simétricas respecto al eje O. y = ( ) 8 y = (0, ) Transformaciones en una función Representa f () = y, a partir de ella, representa: g() = f () h() = f ( + ) f () = 0 Unidad 0. Funciones elementales

21 UNIDAD 0 Esta es la gráfica de la función y = f (): Representa, a partir de ella, las funciones: y = f ( ) y = f () + A partir de la gráfica de f () = /, representa: g() = f () h() = f ( ) c) i() = f () d) j() = f () f () = g () = f () Unidad 0. Funciones elementales

22 c) h() = f ( ) i () = f () d) j() = f () 5 Representa la función f () = y dibuja a partir de ella: g() = f ( + ) h() = f () f () = g () = + h() = Unidad 0. Funciones elementales

23 UNIDAD 0 Página 9 Representa las funciones: y = + y = Utiliza la gráfica de y =. 0 8 y = + y = y = 0 8 y = y = y = 7 Representa las siguientes funciones: y = ) y = ( + c) y = d) y = 0 8 ( 0, ) ( 0, 8) Unidad 0. Funciones elementales

24 c) d) y = (0, ) 8 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log : y = + log y = log ( ) c) y = log d) y = log ( ) y = + log (, 0 ) y = + log y = log 5 y = log ( ) = y = log 5 y = log ( ) Unidad 0. Funciones elementales

25 UNIDAD 0 c) y = log y = log 5 y = log d) y = log ( ) y = log ( ) = y = log La epresión analítica de esta función es del tipo y = + b. a Observa la gráfica y di el valor de a y b. a = b = Valor absoluto de una función 0 Representa la función y = 5 y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: y = + 5 si < 5 5 si Ó Unidad 0. Funciones elementales 5

26 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: y = y = y = si < + si Ó 8 0 y = + si < si Ó 8 0 Representa y define como funciones a trozos : y = y = + c) y = d) y = si < y = y = si Ó si < + si Ó c) y = + si < d) y = si Ó si < + si Ó Unidad 0. Funciones elementales

27 UNIDAD 0 Representa la función: si < y = + si Ó Puedes definirla como valor absoluto? 8 0 Sí. y = Representa estas funciones: y = y = c) y = + d) y = + Mira el ejercicio resuelto número 5. 5 c) d) 5 Unidad 0. Funciones elementales 7

28 PARA RESOLVER 5 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: si Ì si < y = y = si > si Ó c) y = si Ì si < < si Ó c) dividendo resto Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la divisor divisor + función y = de esta forma: y = Comprueba que su gráfica coincide con la de y = / trasladada unidad hacia la izquierda y hacia arriba. y = y = Unidad 0. Funciones elementales

29 UNIDAD 0 7 Representa las siguientes funciones utilizando el procedimiento del problema anterior. y = y = c) y = d) y = y = = + y = = c) y = = + d) y = = Unidad 0. Funciones elementales 9

30 8 Con las funciones: f () = 5 g() = h() = + hemos obtenido, por composición, estas otras: p () = 5 ; q() = 5; r() = + Eplica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r. p = g f q = f g r = h g 9 La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0; 0,5) y (;,7). Calcula k y a. Representa la función. 0,5 = k a 0 0,5 = k 8,7 = k a,7 = k a k = 0,5 a =, La función es y = 0,5 (,) 0 Halla la función inversa de las siguientes funciones: y = y = + = y ; = y ; log = y y = + log 8 f () = + log = + y ; = y ; log ( ) = y 8 f () = log ( ) 0 Unidad 0. Funciones elementales

31 UNIDAD 0 Página 70 Busca la epresión analítica de estas funciones: f () = si Ì f () = si > si Ì si > Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una de estas epresiones: y = arc sen 0,8 y = arc sen ( 0,9) c) y = arc cos 0, d) y = arc cos ( 0,75) e) y = arc tg,5 f ) y = arc tg ( 7) 0,9 rad 8 5 7' 8", rad 8 9' 9" c),0 rad 8 8 5' 59" d), rad 8 8 5' 5" e),9 rad 8 7 ' 7" f ), rad 8 8 5' " Obtén el valor de estas epresiones en grados, sin usar la calculadora: y = arc sen y = arc cos c) y = arc tg d) y = arc sen ( ) e) y = arc cos ( ) f) y = arc tg 0 0 c) 5 d) 90 e) 0 f ) 0 La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido de,8 euros por m, y en octubre, de,8 por m. Escribe la función que da el importe de la factura según los m consumidos y represéntala. Cuánto pagarán si consumen 8 m? y =,8 + 0, ( ) y (8) =,9 euros Unidad 0. Funciones elementales

32 IMPORTE (euros) CONSUMO (m ) y =,8 + 0, ( ) = 0, + 7, 5 Midiendo la temperatura a diferentes alturas, se ha observado que por cada 80 m de ascenso el termómetro baja C. Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 0 C, cuál será la temperatura en la cima? Representa gráficamente la función altura-temperatura y busca su epresión analítica. TEMPERATURA ( C) 0 h T (h) = 0 ; T (800) = 5,5 C ALTURA (m) Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máima altura? ALTURA (m) 0 80 metros. c) segundos TIEMPO (s) Unidad 0. Funciones elementales

33 UNIDAD 0 7 La dosis de un medicamento es 0,5 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máimo de 5 g. Representa la función peso del paciente-cantidad de medicamento y halla su epresión analítica. y = 0,5 hasta un máimo de 5 g: 0,5 = 5 8 = 0 kg DOSIS (g) y = 0,5 0 < < 0 5 Ó PESO (kg) 8 El coste de producción de unidades de un producto es igual a (/) euros y el precio de venta de una unidad es 50 (/) euros. Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas, y represéntala. Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. Los ingresos por la venta de unidades son (50 (/)) euros. B () = 50 ( ) = El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = = 5 Deben venderse 5 unidades. 9 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá electrodomésticos menos. Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máimos? En este caso vendería 90 electrodomésticos a 50 euros cada uno; luego los ingresos serían de = euros. I () = (00 + 0) (00 ) = ( = decenas de euros) c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 = = = euros a 0 Unidad 0. Funciones elementales

34 50 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. Representa la función tiempo-distancia. Busca su epresión analítica. DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) f () = (/0) si 0 Ì Ì 0 si 0 < Ì 50 /0 ( 70) si 50 < Ì 70 5 Un cultivo de bacterias comienza con 00 células. Media hora después hay 5. Si ese cultivo sigue un crecimiento eponencial del tipo y = ka t (t en minutos), calcula k y a y representa la función. Cuánto tardará en llegar a bacterias? y = ka t t = 0, y = = k a 0 8 k = 00 t = 0, y = = 00 a 0 8 a 0 =,5 8 a =,5 /0 8 a,05 La función es y = 00,05. N.º BACTERIAS Si y = = 00,05 50 =,05 log 50 8 = 80 min log,05 Tardará 80 minutos, aproimadamente. TIEMPO (min) Unidad 0. Funciones elementales

35 UNIDAD 0 5 Un negocio en el que invertimos 0 000, pierde un % mensual. Escribe la función que nos da el capital que tendremos según los meses transcurridos, y represéntala. Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mitad? y = ,9 CAPITAL ( ) TIEMPO (meses) Si y = = ,9 0,9 log 0,5 = 0,5 8 =,98 meses log 0,9 Tardará 7 meses, aproimadamente. Página 7 CUESTIONES TEÓRICAS 5 Si f () = y g() = log, cuál es la función ( f g) ()? ( g f ) ()? ( f g) () = (g f ) () = 5 Dada la función f () = +, halla f (). Representa las dos funciones y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del. er cuadrante. f () = ( ), Ó 8 y = ( ), y = y = + 8 Unidad 0. Funciones elementales 5

36 55 Dada la función y = a, contesta: Puede ser negativa la y? la? Para qué valores de a es creciente? c) Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = a? d) Para qué valores de se verifica 0 < a < siendo a >? La y no puede ser negativa, la sí. a > c) (0, ) d) Para < 0. 5 Calcula en las siguientes epresiones: arc sen = 5 arc cos = 0 c) arc tg = 7 d) arc sen = 75 π e) arc cos = rad f ) arc tg =,5 rad c),078 d) 0,9 e) f ),0 PARA PROFUNDIZAR 57 Una parábola corta al eje de abscisas en = y en =. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? y = k ( ) ( ) = k ( + ) Vértice 8 = = 8 y () = k = 8 k = La ecuación es: y = ( + ) = + 58 Halla el dominio de definición de estas funciones: + 9 y = y = + Ó 0 > > 0 + Ó 0 Dominio = ] «(, + Ì 0 Ì < 0 Unidad 0. Funciones elementales

37 UNIDAD 0 9 Ó 0 Ó 9 > 0 9 Ó 0 Dominio = 0) «[9, 9 Ì 0 < 0 < 0 59 Representa y epresa en intervalos las funciones: y = y = y = si Ó 0 y = + si < 0 si Ì 0 si 0 < < si Ó 0 Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 0 t). Obtén la epresión analítica. INGRESOS CARGA (t) f () = 0 si 0 Ì Ì 0 [0 ( 0)] si 0 < Ì 0 Es decir: f () = 0 si 0 Ì Ì 0 0 si 0 < Ì 0 Unidad 0. Funciones elementales 7

38 Página 7 AUTOEVALUACIÓN. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: y = y = La función está definida para los valores de tales que Ó 0. Resolvemos la inecuación: Dom = 0] «[, Los valores de que anulan el denominador no pertenecen al dominio de la función. = 0 8 ( ) = 0 Dom = Á {0, } > 0 > 0 0 = 0 =. Representa gráficamente las siguientes funciones: + si < y = + y = si Ó La recta y = + corta al eje en =. Para valores menores que, cambiamos el signo de la ordenada. Por ejemplo: (, ) 8 (, ). y = + y = + Para valores menores que, la gráfica es una parábola de vértice (0, ). Para valores mayores que, es una recta. 8 Unidad 0. Funciones elementales

39 UNIDAD Representa y =. A partir de ella, dibuja la gráfica de y = = + y = y = + (*) (*) +5 La gráfica de y = es como la de y = trasladada unidades a la derecha y unidades hacia abajo.. Ponemos al fuego un cazo con agua a 0 C. En 5 minutos alcanza 00 C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. Representa la función que describe este fenómeno y halla su epresión analítica. Di cuál es su dominio y su recorrido TEMPERATURA ( C) TIEMPO (min) La gráfica pasa por los puntos (0, 0) y (5, 00). Hallamos la ecuación de esta recta: 00 0 Pendiente: = 8 8 y = 8( 0) Para valores de mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8 8 y = 00 Epresión analítica: f() = si 0 Ì < 5 00 si 5 Ì Ì 5 Dominio: f () está definida para valores de entre 0 y 5, ambos incluidos. Por tanto, Dom f = [0, 5]. Recorrido de f = [0, 00] Unidad 0. Funciones elementales 9

40 5. El precio de venta de un artículo viene dado por la epresión p = 0,0 ( = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). Si se fabrican y se venden 500 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? Representa la función n - de artículos-ingresos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máimos? Si se venden 500 artículos, su precio será: p(500) = 0,0 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = = INGRESOS I() = p = 0, N.º DE ARTÍCULOS c) Hallamos el vértice de la parábola: = = 00 artículos 0,0 y = 00 0,0 00 = 00 cientos de euros Deben fabricar 00 artículos para obtener unos ingresos máimos (0 000 euros).. Depositamos en un banco al % anual. Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del tiempo. Qué tipo de función es? En cuánto tiempo se duplicará el capital? t C = ( + 8 C = (,0) t. 00 ) Es una función eponencial creciente, por ser a > = 5 000,0 t 8 =,0 t log 8 log = t log,0 8 t = =,9 log,0 Tardará años en duplicarse. 0 Unidad 0. Funciones elementales

41 UNIDAD 0 7. Dadas f () = + y g () =, halla: f [g ()] g [ f (5)] c) f g d) g f ( f [g()] = f = f ( ) = + = g[f (5)] = g ( ) = g() = = c) f g() = f [g()] = f = + = + d) g f () = g[ f()] = g( ) = ) ( ) + Unidad 0. Funciones elementales

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1 Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 x a) y = y = x + x (x ) c) y = d) y = e) y = x + x + 3 5x x f) y = x x

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

Página 267 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones:

Página 267 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 0 Página 7 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: y = y = c) y = + ( ) d) y = e) y = f) y = + + 5 + Á {, 0} Á {} c) Á {

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página PARA EMPEZAR, REFLEIONA RESUELVE Problema Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: - Cotas, supremo (ínfimo) y etremos absolutos en 1,1 0 f. Indica las características de la siguiente función: : Cipri

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

10Soluciones a los ejercicios y problemas

10Soluciones a los ejercicios y problemas 0Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice

Más detalles

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170 PÁGINA 70 Pág. P RACTICA Representación de rectas Representa las rectas siguientes: a) y b) y c) y d) y c) b) a) d) Representa estas rectas: c) a) y 0,6 b) y c) y, d) y d) a) b) Representa las rectas siguientes,

Más detalles

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO página / Problemas Tema Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO Hoja. Calcula las medidas de un rectángulo cuya superficie es de 40 metros cuadrados, sabiendo que el largo es 6 metros mayor que el triple

Más detalles

Máximo o mínimo de una función

Máximo o mínimo de una función Análisis: Máimos, mínimos, optimización 1 MAJ00 Máimo o mínimo de una función 1. Dados tres números reales cualesquiera r 1, r y r, hallar el número real que minimiza la función D( ) ( r ) ( r ) ( r 1

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES Página 05 REFLEIONA RESUELVE A través de una lupa Mirando un objeto pequeño (un capuchón de bolígrafo, por ejemplo) a través de una lupa situada a 0 cm, este se ve notablemente ampliado.

Más detalles

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5 58 EJERCICIOS DE FUNCIONES FUNCIONES y GRÁFICAS. Construir una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones: a) y=3+ b) f()= c) y= -4 d) f(). Completar la siguiente tabla (obsérvese el primer

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

TEMA 5: FUNCIONES ELEMENTALES. 1- Las siguientes gráficas corresponden a funciones. Sus ecuaciones son: a) b) c) d)

TEMA 5: FUNCIONES ELEMENTALES. 1- Las siguientes gráficas corresponden a funciones. Sus ecuaciones son: a) b) c) d) TEMA 5: FUNCIONES ELEMENTALES INTRODUCCIÓN; CONCEPTO DE FUNCIÓN 1- Las siguientes gráficas corresponden a funciones. Sus ecuaciones son: Asigna a cada gráfica su ecuación haciendo uso, sucesivamente, de:

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS Página 0 PARA EMPEZAR, REFLEIONA RESUELVE Problema Modificando la escala, representa la función: : tiempo transcurrido y: distancia al suelo correspondiente

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES FUNCINES PLINÓMICAS RACINALES EJERCICIS PRPUESTS. Estudia y representa la siguiente función cuadrática: f(). Es una parábola con las ramas hacia arriba, pues a 0. El vértice es el punto V, 5 8. El eje

Más detalles

Tema 10 Funciones elementales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Tema 10 Funciones elementales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato TEMA 0 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIÓN EJERCICIO : Indica cuáles de las siuientes representaciones corresponden a la ráica de una unción. Razona

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

9 Estudio de funciones

9 Estudio de funciones Solucionario 9 Estudio de funciones ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 0 0 b) 4 0 c) 0 d) 0 7 9 a) (, ) b) (, 4] c) (, ] [0, ] d) (, ) (4, ) 9.II. Halla el valor en radianes

Más detalles

12 ESTUDIO DE FUNCIONES

12 ESTUDIO DE FUNCIONES ESTUDI DE FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS. Representa las siguientes funciones lineales e indica el valor de sus pendientes. a) y b) y 5 y = + y = 5 c) y a) m 0 b) m 5 c) m y =. Representa estas funciones

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. n N, ( a 0 ) m a. m Z, n N

Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. n N, ( a 0 ) m a. m Z, n N EXPONENCIALES Y LOGARITMOS FUNCIÓN EXPONENCIAL Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. Potencias de eponente natural: a n = a. a. a... a n N n veces Potencias

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x +

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x + EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS).- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: Tt t

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 11 Y 12

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 11 Y 12 Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero Matemáticas 4º E.S.O. ACTIVIDADES DE LOS TEMAS Y. Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: y = - ; b) y = ; c) y = +. Representa

Más detalles

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción.

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción. Recuerdas qué es? Coordenadas de un punto Un punto del plano viene definido por un par ordenado de números. La primera coordenada es la abscisa del punto, la segunda coordenada es la ordenada del punto.

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f (x) 3x 1 b) g(x) x c) h(x) x 3

EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f (x) 3x 1 b) g(x) x c) h(x) x 3 0 FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS 0. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f () b) g() c) h() a) D(f) R; Recorrido (f) R b) D(g) R; Recorrido (g) [0, ) c) D(h) R; Recorrido (h) R 0. 0. Calcula

Más detalles

10.- FUNCIONES ELEMENTALES

10.- FUNCIONES ELEMENTALES 0.- FUNCIONES ELEMENTALES.- DOMINIO DE DEFINICIÓN +. Halla el dominio de definición de f() = - 5 + 6 Solución: El dominio es R -{,3}. Halla el dominio de definición de f() = -6 Solución: El dominio es

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

BLOQUE III Funciones y gráficas

BLOQUE III Funciones y gráficas BLOQUE III Funciones y gráficas. Características globales de las funciones 9. Rectas e hipérbolas 0. Función cuadrática Características globales de las funciones. Funciones Considera los rectángulos con

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función exponencial

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función exponencial LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función eponencial La función eponencial es de la forma f () = a, tal que a > 0, a El valor a se llama base de la función

Más detalles

que asocia a cada número entero su triple menos dos:

que asocia a cada número entero su triple menos dos: Dada la función f que asocia a cada número entero su triple menos dos: a) Escribe la epresión que nos proporciona f 0,, b) Calcula la imagen para ) Dada la siguiente función : ), ) y 0) a) Calcula b) Determina

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 142

7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 142 PÁGINA 142 Pág. 1 Las representaciones gráficas de las funciones son una forma muy sencilla y visual de describir muchos fenómenos de la vida cotidiana. Por ejemplo, la temperatura del agua con la que

Más detalles

11 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

11 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD EJERCICIOS PROPUESTOS. A qué valor tiende la función f ()? 5 a) Cuando se acerca a. c) Cuando se acerca a. b) Cuando se aproima a 5. d) Cuando se aproima a. a) se aproima

Más detalles

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. Página Completa la siguiente tabla: Nº- de vídeos 0 6 7 8 9 0 Coste no socios 0, 7, 0, 7, 0, Coste socios 6 7 8 9 0 Completa en tu cuaderno la gráfica de la derecha, representando los resultados con

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS B, 4º ESO. (Septiembre 2011)

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS B, 4º ESO. (Septiembre 2011) EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS B, º ESO. (Septiembre ) ARITMÉTICA. Realiza las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible 9 e). Realiza los siguientes ejercicios con potencias 9 e) 9 8.- Realiza

Más detalles

Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado.

Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado. Funciones EJERCICIOS 00 Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado. Expresión algebraica: y = x 3 x o f(x) = x

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1 Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente: 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A 3,6 3,6 0, 0, Ent() 4 3 0 Dec() 0,4 0,6 0, 0, 3,6 3,6 0, 0, Signo() A

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES 1º BACH MATE I

LAS FUNCIONES ELEMENTALES 1º BACH MATE I FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I º Bach. LAS FUNCIONES ELEMENTALES º BACH MATE I Son funciones? EJERCICIO : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función.

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

FUNCIÓN LINEAL. Funciones 2 INTRODUCCIÓN FUNCIÓN LINEAL. f : R R / f(x) mx b

FUNCIÓN LINEAL. Funciones 2 INTRODUCCIÓN FUNCIÓN LINEAL. f : R R / f(x) mx b Funciones INTRODUCCIÓN FUNCIÓN LINEAL Observamos que: La longitud que se alarga un resorte es proporcional a la fuerza que se hace para alargarlo. El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

Recuerda lo fundamental

Recuerda lo fundamental 0 Otras funciones elementales Recuerda lo fundamental Curso:... Fecha:... OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones cuadráticas tienen por ecuación y =... Se representan mediante

Más detalles

FUNCIÓN LINEAL. Ejercicio nº 1.- Representa estas rectas: b) y x 2. Ejercicio nº 2.- Representa gráficamente estas rectas: Ejercicio nº 3.

FUNCIÓN LINEAL. Ejercicio nº 1.- Representa estas rectas: b) y x 2. Ejercicio nº 2.- Representa gráficamente estas rectas: Ejercicio nº 3. FUNCIÓN LINEAL Ejercicio nº.- Representa estas rectas: a) y x b) y x c) y 4 Ejercicio nº.- Representa gráficamente estas rectas: a) y x b) y x 4 c) y Ejercicio nº.- Representa gráficamente las siguientes

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 114

5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 114 5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 4 Pág. P RACTICA Ecuaciones: soluciones por tanteo Es o solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. a) 5 b) 4 c) ( ) d) 4 4 a)? 0? 5 no

Más detalles

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 0 PRPIEDADES DE LAS FUNCINES PARA EMPEZAR Copia y completa la tabla, y representa la gráfica de la función. Se trata de una función continua? Figura 3 4 5 N.º de puntos f() hace corresponder a cada natural

Más detalles

Dominio de una función

Dominio de una función Dominio de una unción Ejercicio nº.- Averiua cuál es el dominio de deinición de las siuientes unciones: a) Ejercicio nº.- Halla el dominio de deinición de las siuientes unciones: a) 9 Ejercicio nº - Halla

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()

Más detalles

TEMA 8: FUNCIONES. Para establecer correctamente la relación que supone una función se pueden utilizar varios métodos:

TEMA 8: FUNCIONES. Para establecer correctamente la relación que supone una función se pueden utilizar varios métodos: TEMA 8: FUNCIONES Una función es una relación entre dos magnitudes, x e y, que asigna a cada valor de x, un único valor de y. Estas magnitudes reciben el nombre de variables, siendo x la variable independiente,

Más detalles

8Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 160

8Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 160 PÁGINA 60 Pág. La compañía que suministra agua a una urbanización oferta dos posibles tarifas mensuales: TARIFA A fijos más 0,0 /m TARIFA B 0 fijos más 0,0 /m 0 COSTE ( ) Coste con B Coste con A 0 0 CONSUMO

Más detalles

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA. EJERCICIOS DE REPASO MATEMÁTICAS.- º ESO ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.. Sergio trabaja horas todas las semanas

Más detalles

Funciones y gráficas

Funciones y gráficas Funciones y gráficas Contenidos 1. Relaciones funcionales Concepto y tabla de valores Gráfica de una función Imagen y antiimagen Expresión algebraica Relaciones no funcionales 2. Características de una

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 4 5 5 6 Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas Bloque Números 1 Resuelve: a. Si tomas como valor de 11. 1 la aproximación. 1, qué errores absoluto y relativo has cometido?. Solución: 0. 000; 0. 0%

Más detalles

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de Caso 3: En la ecuación general a b c, a 0 b 0, obtenemos a c, a 0. 10 = + = 8 6 4 = -1 3 - -1 1 3-1 Por ejemplo si a = 1 c = obtenemos. El gráfico de, es el mismo que el de desplazado unidades hacia arriba.

Más detalles

Examen funciones 4º ESO 12/04/13

Examen funciones 4º ESO 12/04/13 Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +

Más detalles

4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA

4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA Función Lineal Ecuación de la Recta 4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para epresar el cambio que se produce en las

Más detalles

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez Ejercicios de Matemática para Bachillerato Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Se pretende mediante este material contribuir a que los estudiantes que se preparan de

Más detalles

Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3

Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3 EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 6y 0. Represéntala gráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 6y 0

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS Página 9 REFLEIONA RESUELVE A vueltas con la noria Modificando la escala, representa la función: : tiempo transcurrido y: distancia al suelo correspondiente

Más detalles

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27.

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27. . Determina el dominio de la función:. f() = -. f() =. f() = 4. f() = -6. f() = 6. f() = + 7. f() = - 8. f() = e 9. f() = + 0. f() = -. f() = -. f() = -. f() = + 4. f() = +. f() = + 6. f() = - + 7. f()

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

8 Representación de funciones

8 Representación de funciones 8 Representación de unciones ACTIVIDADES INICIALES 8I Escribe los siguientes cocientes menor que el grado de Q(): a) + + a) + + P() ( + ) P( ) Por tanto: + Q( ) + P ( ) Q ( ) como R ( ) C ( ) + con C()

Más detalles

Problemas de funciones para 2º E.S.O

Problemas de funciones para 2º E.S.O Problemas de funciones para 2º E.S.O 1º) Esboza una representación gráfica de las siguientes funciones: a) La altura a la que se encuentra el asiento de un columpio, al pasar el tiempo. b) La temperatura

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

Problemas Tema 8 Enunciados de problemas de continuidad y límite de funciones

Problemas Tema 8 Enunciados de problemas de continuidad y límite de funciones página 1/11 Problemas Tema 8 Enunciados de problemas de continuidad y límite de funciones Hoja 1 1. Razona de manera justificada el dominio de la siguientes funciones. a) f ()=ln( ) b) f ()= ( 2)( 3) c)

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133 PÁGINA 33 Pág. P RACTICA Comprueba si x =, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = 4 3x 4y = 0 a) b) 5x + y = 0 4x + 3y = 5 x y = 4 a) ( ) = 5? 4 No es solución. 5x + y = 0 5 =

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles