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1 TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura de agua de una vivienda depende de la cantidad de agua gastada. En estos ejemplos, la epresión depende de puede cambiarse por es función de. Una función es una relación de dependencia entre dos conjuntos numéricos que asigna a cada elemento del primero un único elemento del segundo. Por ejemplo, hacer corresponder a cada día su temperatura máima; a cada tiempo de duración de una llamada telefónica, su precio; a cada número real su triple,, Llamamos función real de variable real a una regla que asigna a cada elemento (variable independiente) de un subconjunto D de números reales, un único número real y (variable dependiente). Se simboliza: f : D R y f () Al conjunto D se le llama conjunto o inicial dominio. Si al elemento de D le corresponde el elemento y, decimos que y es la imagen de, o que es una antiimagen de y. Debemos saber calcular las imágenes de los elementos del conjunto inicial y las antiimágenes de los elementos del conjunto final. Esto se puede hacer a partir de: 1) Una tabla de valores. ) Una gráfica. 3) Una fórmula. Por ejemplo, si consideramos la función que a cada número real,, le asigna su triple, f : R R podemos escribir:, o más abreviadamente: 3. 3 Esta fórmula se denomina epresión analítica de f. Ojo!: No todas las gráficas representan funciones; debemos comprobar que todos los valores de tienen una sola imagen: Estas dos gráficas sí representan funciones, ya que si levantamos verticales en cada valor de sólo cortamos la gráfica una vez Sin embargo, las dos siguientes no corresponden a funciones pues hay elementos de que tienen más de una imagen 1/11 IBR IES LA NÍA

2 1º) La siguiente tabla representa la evolución de la temperatura de un enfermo: Día Temperatura 38 39, , ,5 a) Identifica la variable independiente y la dependiente. b) Haz un gráfica que refleje la evolución de la temperatura del enfermo. Tiene sentido unir los puntos? º) Sea f la función representada en la figura. Halla: a. La imagen por f de 0, y b. Las antiimágenes por f de y e y 1 c. La epresión analítica de f( 3º) Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. Justifica la respuesta: 4º) Epresa mediante una función: a) Asignar a cada número real el cuadrado de dicho número. b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0 1 y la tarifa por minuto, de 0. c) Asignar a un nº el cuadrado del perímetro del triángulo equilátero que tiene por lado dicho número. 5º) Considera las siguientes funciones y calcula las imágenes de -3 y 1, y las antiimágenes de -5 y 5 por cada una de ellas: a) b) + 3 c) 5 d) 6º) Un médico dispone de 1 hora diaria para consulta. El tiempo que podría, por término medio, dedicar a cada enfermo, depende del número de ellos que acudan: 1 enfermo 60 minutos; enfermos 30 minutos; 3 enfermos 0 minutos Así hasta un máimo de 30 enfermos. Si llamamos al número de enfermos e y al de minutos dedicados a cada enfermo escribe la epresión funcional que eiste entre ellas Cómo es la variable independiente, continua o discreta? Dibuja la gráfica Tiene sentido unir los puntos de la gráfica con una línea? 7º) Un granjero va a cerrar un terreno rectangular de 80 m con una valla. Uno de los lados linda con la carretera, por lo que le pone una valla especial que cuesta 15 por metro, y el resto de la valla vale 10 el metro. Epresa, en función del lado que linda con la carretera,, el precio total de la valla. /11 IBR IES LA NÍA

3 . DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN En general, en la epresión de una función no se suele indicar ni el conjunto inicial. Estos conjuntos suelen determinarse según el tipo de función y la forma en que se eprese. 1 Por ejemplo, en la función real de variable real no se puede sustituir por 0, o en la función g ( + tampoco. Así pues, 0 no puede estar en el conjunto inicial o dominio de ninguna de estas funciones. En una función real de variable real, f (, el dominio es el subconjunto de números reales que tienen imagen por f. El recorrido o imagen de f ( es el conjunto de valores que son imágenes de los elementos del dominio. En el ejemplo anterior, la función g ( sólo tiene imágenes positivas o cero, por tanto sólo Rec( g) 0,+ pertenecerán al recorrido los números mayores o iguales que 0: [ ) Cuando una función está epresada con su gráfica, determinar su dominio es observar el conjunto de valores reales del eje de abscisas que tienen imagen. Un procedimiento visual consiste en proyectar la gráfica sobre el eje de abscisas; en este D ( f ), 5, +. caso ] ] ] [ Para el recorrido haríamos un procedimiento similar pero proyectando sobre el eje de ordenadas; en este caso Rec( f ), ] ] Cuando una función viene dada por su epresión analítica: o o o Si es una función polinómica tiene por dominio todo R, al estar siempre definidas las operaciones suma, multiplicación y potencia de números reales. Si es una función racional, es decir, su epresión es el cociente de dos polinomios, el dominio está formado por todos los números reales que no anulan el denominador. Si es una función irracional, es decir, presenta un radical que contiene a la variable independiente, depende de que el índice de la raíz sea par o impar. Si es par el dominio son los valores de que hacen el radicando positivo o nulo. Si es impar, no hay ninguna restricción por parte de la raíz. 8º) En la figura se representa la función f: a) Indica su dominio y su recorrido. b) Halla la imagen de -, -1 y 3 c) Halla la antiimagen o antiimágenes de - y 0. 9º) Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones a partir de su gráfica: 3/11 IBR IES LA NÍA

4 10º) Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: a. f () 3 b. 3 + c. d º) A partir de las gráficas, halla: a) El dominio y el recorrido de las funciones. b) f (), f (6), f (7), f ( 3 ), f ( 9 ), f (0), f (), f ( ) c) g ( 4), g ( ), g (0), g (), g ( 3), g (0) 1º) Halla el dominio de las siguientes funciones: a. b c d. + 3 e f. + g. 9 h. + 9 i. 5 j. f () 6 3 k. f () l /11 IBR IES LA NÍA

5 3. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN 3.1 PERIODICIDAD: Considera la función representada en la figura. Las imágenes de -,0,,4,. coinciden. También coinciden las imágenes de -3,-1,1,3,. De hecho la imagen de cualquier número real coincide con la de +, +4,.Decimos que esta función es periódica, con período fundamental. Una función f es periódica de período T si cumple que: f(f(+t) Desde el punto de vista gráfico, son funciones que se repiten cada cierto intervalo de amplitud T. Ejemplo: Aquí tienes las gráficas de dos funciones periódicas. Indica su período fundamental 13º) Indica cuáles de las funciones del ejercicio 9 de la página 4 son periódicas y averigua su período fundamental. 14º) Halla el período fundamental de la función f dada por la siguiente gráfica: 3. SIMETRÍAS Considera la función f representada en la figura. Cualquier número real que consideremos y su opuesto tienen la misma imagen. Decimos que la función es par y la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas. Una función es par si verifica f( f( 5/11 IBR IES LA NÍA

6 En esta otra gráfica cualquier número real que consideremos y su opuesto tienen imágenes opuestas. Decimos que la función es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen. Una función es impar si verifica f( f( Ejercicios 15º) Estudia la simetría de las funciones dadas por las siguientes gráficas: 16º) Estudia la simetría de las funciones del ejercicio 9 página 4. 17º) Completa, si es posible, la gráfica de las siguientes funciones para que f( sea una función a) par b) impar 18º) A partir de esta gráfica representa dos funciones: a. Una función periódica de período fundamental 5. b. Una función par. 19º) Estudia la simetría de las siguientes funciones: 4, ( ) 3 3 f,, + 3, /11 IBR IES LA NÍA

7 3.3 MONOTONÍA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y EXTREMOS Se dice que f es creciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera 1 y de dicho intervalo se verifica que si 1 < entonces f ( 1 ) f ( ). Se dice que f es decreciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera 1 y de dicho intervalo se verifica que si 1 < entonces f ( 1 ) f ( ). Una función tiene un máimo relativo en 1 si eiste un intervalo que contiene a 1, tal que f ( 1 ) en dicho intervalo. Una función tiene un mínimo relativo en si eiste un intervalo que contiene a, tal que f ( ) en dicho intervalo. 0º) Las gráficas de las funciones 3, 3 +, + son: a) Da los intervalos de monotonía de las tres. b) Estudia los etremos relativos y absolutos. 1º) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos de: º) Analiza dominio, recorrido, periodicidad, simetrías, intervalos de monotonía y etremos relativos: 7/11 IBR IES LA NÍA

8 4. OPERACIONES CON Dadas dos funciones reales de variable real f y g se definen las operaciones adición, sustracción, multiplicación y división de la siguiente forma: Adición: ( f + g)( + g( Sustracción: ( f g)( g( Multiplicación: ( f g)( g( División: ( f : g)( g( Estas funciones están definidas cuando pertenece al dominio de f y g simultáneamente. En el caso del cociente además se debe cumplir que g ( 0. Ejercicio: 3º) Dadas las funciones diferencia de ellas. 1, g (, calcula la función suma f + g, la función f f g, la función producto f g y la función cociente, y halla el dominio de cada una g 5. COMPOSICIÓN DE En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir otra operación, absolutamente diferente a las anteriores, llamada composición de funciones. Si f y g son dos funciones reales de variable real se llama función compuesta de f y g, y se escribe g f, a la función que se obtiene aplicando g a la imagen de por f: ( g f )( g (f compuesta con g) Observa en el esquema anterior que la eistencia de la función g f está garantizada siempre que esté en el D(f) 8/11 IBR IES LA NÍA

9 y además el Re c ( f ) esté contenido en D(g). Análogamente se define la función g compuesta con f : ( f g)( f [ g( ] 4º) Dadas las funciones 3 y g ( 7, halla si es posible ( f g)( ), ( g f )( ), ( g f )(0). 5º) Dadas las funciones + y g (, calcula: a) ( g f )() c) ( f g)( 3) b) ( g f )( d) ( f g)( 6º) Si f () + 3 y 1 g() + 1, obtén la epresión analítica de g f y f g 7º) Calcula las funciones compuestas que se indican a continuación, siendo + 5, g (, h ( + 3 : a) g f d) h g b) f g e) g h f c) h g f 8º) Dadas las funciones y g (, calcula las composiciones f g y g f. 6. FUNCIÓN INVERSA Consideremos la función f que asigna a cada número real el doble de dicho número. También podemos considerar la función que a cada número real le asigna su mitad. Representamos esta función por f y la llamamos función inversa de f. f : R R f : R R Luego, si la función f hace corresponder al nº su imagen yf(, la función al nº yf( el valor original (de alguna manera Dada una función f( se llama función inversa de f(, a otra función f ( que cumple: ( f f )( y 1 ( f f )( No todas las funciones admiten inversa, sólo aquellas que no tengan elementos del dominio con la misma imagen f hará corresponder f invierte el proceso realizado por f ) 9/11 IBR IES LA NÍA

10 (inyectivas). De lo contrario, para un valor de y habría varios posibles valores de, y una función. f no sería No tiene inversa Sí tiene inversa En general: Para calcular la función inversa de una función se intercambia por y, y se despeja y en función de. Para comprobar si la función obtenida es efectivamente la inversa de la original, justificamos que se obtiene la identidad al componerlas en los dos sentidos: ( f f )( y ( f 1 f )(. 9º) Comprueba que las funciones que hemos definido como ejemplo al iniciar este apartado son inversas. 30º) Calcula, si es posible, la función inversa de f () y de g 3 () 3. 31º) Calcula la función inversa de f () 3 + y representa gráficamente las dos en los mismos ejes de coordenadas. 3º) Calcula la función inversa de las siguientes funciones: 3, h() º) Dadas las funciones 5, g(), comprueba que ( g f ) 1 g f 1 g ( +, CALCULA EL DOMINIO DE LAS SIGUIENTES : a) f () 3 4 b) f () 9 + c) f () d) f () 5 10/11 IBR IES LA NÍA

11 + 7 e) f () + 4 f) g) h) f () f () f () + 3 i) f j) f () 3 7 k) f () + 3 l) f () + 6 () + 3 m) f () n) f () /11 IBR IES LA NÍA

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