, o más abreviadamente: f ( x)

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download ", o más abreviadamente: f ( x)"

Transcripción

1 TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura de agua de una vivienda depende de la cantidad de agua gastada. En estos ejemplos, la epresión depende de puede cambiarse por es función de. Una función es una relación de dependencia entre dos conjuntos numéricos que asigna a cada elemento del primero un único elemento del segundo. Por ejemplo, hacer corresponder a cada día su temperatura máima; a cada tiempo de duración de una llamada telefónica, su precio; a cada número real su triple,, Llamamos función real de variable real a una regla que asigna a cada elemento (variable independiente) de un subconjunto D de números reales, un único número real y (variable dependiente). Se simboliza: f : D R y f () Al conjunto D se le llama conjunto o inicial dominio. Si al elemento de D le corresponde el elemento y, decimos que y es la imagen de, o que es una antiimagen de y. Debemos saber calcular las imágenes de los elementos del conjunto inicial y las antiimágenes de los elementos del conjunto final. Esto se puede hacer a partir de: 1) Una tabla de valores. ) Una gráfica. 3) Una fórmula. Por ejemplo, si consideramos la función que a cada número real,, le asigna su triple, f : R R podemos escribir:, o más abreviadamente: 3. 3 Esta fórmula se denomina epresión analítica de f. Ojo!: No todas las gráficas representan funciones; debemos comprobar que todos los valores de tienen una sola imagen: Estas dos gráficas sí representan funciones, ya que si levantamos verticales en cada valor de sólo cortamos la gráfica una vez Sin embargo, las dos siguientes no corresponden a funciones pues hay elementos de que tienen más de una imagen 1/11 IBR IES LA NÍA

2 1º) La siguiente tabla representa la evolución de la temperatura de un enfermo: Día Temperatura 38 39, , ,5 a) Identifica la variable independiente y la dependiente. b) Haz un gráfica que refleje la evolución de la temperatura del enfermo. Tiene sentido unir los puntos? º) Sea f la función representada en la figura. Halla: a. La imagen por f de 0, y b. Las antiimágenes por f de y e y 1 c. La epresión analítica de f( 3º) Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. Justifica la respuesta: 4º) Epresa mediante una función: a) Asignar a cada número real el cuadrado de dicho número. b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0 1 y la tarifa por minuto, de 0. c) Asignar a un nº el cuadrado del perímetro del triángulo equilátero que tiene por lado dicho número. 5º) Considera las siguientes funciones y calcula las imágenes de -3 y 1, y las antiimágenes de -5 y 5 por cada una de ellas: a) b) + 3 c) 5 d) 6º) Un médico dispone de 1 hora diaria para consulta. El tiempo que podría, por término medio, dedicar a cada enfermo, depende del número de ellos que acudan: 1 enfermo 60 minutos; enfermos 30 minutos; 3 enfermos 0 minutos Así hasta un máimo de 30 enfermos. Si llamamos al número de enfermos e y al de minutos dedicados a cada enfermo escribe la epresión funcional que eiste entre ellas Cómo es la variable independiente, continua o discreta? Dibuja la gráfica Tiene sentido unir los puntos de la gráfica con una línea? 7º) Un granjero va a cerrar un terreno rectangular de 80 m con una valla. Uno de los lados linda con la carretera, por lo que le pone una valla especial que cuesta 15 por metro, y el resto de la valla vale 10 el metro. Epresa, en función del lado que linda con la carretera,, el precio total de la valla. /11 IBR IES LA NÍA

3 . DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN En general, en la epresión de una función no se suele indicar ni el conjunto inicial. Estos conjuntos suelen determinarse según el tipo de función y la forma en que se eprese. 1 Por ejemplo, en la función real de variable real no se puede sustituir por 0, o en la función g ( + tampoco. Así pues, 0 no puede estar en el conjunto inicial o dominio de ninguna de estas funciones. En una función real de variable real, f (, el dominio es el subconjunto de números reales que tienen imagen por f. El recorrido o imagen de f ( es el conjunto de valores que son imágenes de los elementos del dominio. En el ejemplo anterior, la función g ( sólo tiene imágenes positivas o cero, por tanto sólo Rec( g) 0,+ pertenecerán al recorrido los números mayores o iguales que 0: [ ) Cuando una función está epresada con su gráfica, determinar su dominio es observar el conjunto de valores reales del eje de abscisas que tienen imagen. Un procedimiento visual consiste en proyectar la gráfica sobre el eje de abscisas; en este D ( f ), 5, +. caso ] ] ] [ Para el recorrido haríamos un procedimiento similar pero proyectando sobre el eje de ordenadas; en este caso Rec( f ), ] ] Cuando una función viene dada por su epresión analítica: o o o Si es una función polinómica tiene por dominio todo R, al estar siempre definidas las operaciones suma, multiplicación y potencia de números reales. Si es una función racional, es decir, su epresión es el cociente de dos polinomios, el dominio está formado por todos los números reales que no anulan el denominador. Si es una función irracional, es decir, presenta un radical que contiene a la variable independiente, depende de que el índice de la raíz sea par o impar. Si es par el dominio son los valores de que hacen el radicando positivo o nulo. Si es impar, no hay ninguna restricción por parte de la raíz. 8º) En la figura se representa la función f: a) Indica su dominio y su recorrido. b) Halla la imagen de -, -1 y 3 c) Halla la antiimagen o antiimágenes de - y 0. 9º) Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones a partir de su gráfica: 3/11 IBR IES LA NÍA

4 10º) Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: a. f () 3 b. 3 + c. d º) A partir de las gráficas, halla: a) El dominio y el recorrido de las funciones. b) f (), f (6), f (7), f ( 3 ), f ( 9 ), f (0), f (), f ( ) c) g ( 4), g ( ), g (0), g (), g ( 3), g (0) 1º) Halla el dominio de las siguientes funciones: a. b c d. + 3 e f. + g. 9 h. + 9 i. 5 j. f () 6 3 k. f () l /11 IBR IES LA NÍA

5 3. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN 3.1 PERIODICIDAD: Considera la función representada en la figura. Las imágenes de -,0,,4,. coinciden. También coinciden las imágenes de -3,-1,1,3,. De hecho la imagen de cualquier número real coincide con la de +, +4,.Decimos que esta función es periódica, con período fundamental. Una función f es periódica de período T si cumple que: f(f(+t) Desde el punto de vista gráfico, son funciones que se repiten cada cierto intervalo de amplitud T. Ejemplo: Aquí tienes las gráficas de dos funciones periódicas. Indica su período fundamental 13º) Indica cuáles de las funciones del ejercicio 9 de la página 4 son periódicas y averigua su período fundamental. 14º) Halla el período fundamental de la función f dada por la siguiente gráfica: 3. SIMETRÍAS Considera la función f representada en la figura. Cualquier número real que consideremos y su opuesto tienen la misma imagen. Decimos que la función es par y la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas. Una función es par si verifica f( f( 5/11 IBR IES LA NÍA

6 En esta otra gráfica cualquier número real que consideremos y su opuesto tienen imágenes opuestas. Decimos que la función es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen. Una función es impar si verifica f( f( Ejercicios 15º) Estudia la simetría de las funciones dadas por las siguientes gráficas: 16º) Estudia la simetría de las funciones del ejercicio 9 página 4. 17º) Completa, si es posible, la gráfica de las siguientes funciones para que f( sea una función a) par b) impar 18º) A partir de esta gráfica representa dos funciones: a. Una función periódica de período fundamental 5. b. Una función par. 19º) Estudia la simetría de las siguientes funciones: 4, ( ) 3 3 f,, + 3, /11 IBR IES LA NÍA

7 3.3 MONOTONÍA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y EXTREMOS Se dice que f es creciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera 1 y de dicho intervalo se verifica que si 1 < entonces f ( 1 ) f ( ). Se dice que f es decreciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera 1 y de dicho intervalo se verifica que si 1 < entonces f ( 1 ) f ( ). Una función tiene un máimo relativo en 1 si eiste un intervalo que contiene a 1, tal que f ( 1 ) en dicho intervalo. Una función tiene un mínimo relativo en si eiste un intervalo que contiene a, tal que f ( ) en dicho intervalo. 0º) Las gráficas de las funciones 3, 3 +, + son: a) Da los intervalos de monotonía de las tres. b) Estudia los etremos relativos y absolutos. 1º) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos de: º) Analiza dominio, recorrido, periodicidad, simetrías, intervalos de monotonía y etremos relativos: 7/11 IBR IES LA NÍA

8 4. OPERACIONES CON Dadas dos funciones reales de variable real f y g se definen las operaciones adición, sustracción, multiplicación y división de la siguiente forma: Adición: ( f + g)( + g( Sustracción: ( f g)( g( Multiplicación: ( f g)( g( División: ( f : g)( g( Estas funciones están definidas cuando pertenece al dominio de f y g simultáneamente. En el caso del cociente además se debe cumplir que g ( 0. Ejercicio: 3º) Dadas las funciones diferencia de ellas. 1, g (, calcula la función suma f + g, la función f f g, la función producto f g y la función cociente, y halla el dominio de cada una g 5. COMPOSICIÓN DE En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir otra operación, absolutamente diferente a las anteriores, llamada composición de funciones. Si f y g son dos funciones reales de variable real se llama función compuesta de f y g, y se escribe g f, a la función que se obtiene aplicando g a la imagen de por f: ( g f )( g (f compuesta con g) Observa en el esquema anterior que la eistencia de la función g f está garantizada siempre que esté en el D(f) 8/11 IBR IES LA NÍA

9 y además el Re c ( f ) esté contenido en D(g). Análogamente se define la función g compuesta con f : ( f g)( f [ g( ] 4º) Dadas las funciones 3 y g ( 7, halla si es posible ( f g)( ), ( g f )( ), ( g f )(0). 5º) Dadas las funciones + y g (, calcula: a) ( g f )() c) ( f g)( 3) b) ( g f )( d) ( f g)( 6º) Si f () + 3 y 1 g() + 1, obtén la epresión analítica de g f y f g 7º) Calcula las funciones compuestas que se indican a continuación, siendo + 5, g (, h ( + 3 : a) g f d) h g b) f g e) g h f c) h g f 8º) Dadas las funciones y g (, calcula las composiciones f g y g f. 6. FUNCIÓN INVERSA Consideremos la función f que asigna a cada número real el doble de dicho número. También podemos considerar la función que a cada número real le asigna su mitad. Representamos esta función por f y la llamamos función inversa de f. f : R R f : R R Luego, si la función f hace corresponder al nº su imagen yf(, la función al nº yf( el valor original (de alguna manera Dada una función f( se llama función inversa de f(, a otra función f ( que cumple: ( f f )( y 1 ( f f )( No todas las funciones admiten inversa, sólo aquellas que no tengan elementos del dominio con la misma imagen f hará corresponder f invierte el proceso realizado por f ) 9/11 IBR IES LA NÍA

10 (inyectivas). De lo contrario, para un valor de y habría varios posibles valores de, y una función. f no sería No tiene inversa Sí tiene inversa En general: Para calcular la función inversa de una función se intercambia por y, y se despeja y en función de. Para comprobar si la función obtenida es efectivamente la inversa de la original, justificamos que se obtiene la identidad al componerlas en los dos sentidos: ( f f )( y ( f 1 f )(. 9º) Comprueba que las funciones que hemos definido como ejemplo al iniciar este apartado son inversas. 30º) Calcula, si es posible, la función inversa de f () y de g 3 () 3. 31º) Calcula la función inversa de f () 3 + y representa gráficamente las dos en los mismos ejes de coordenadas. 3º) Calcula la función inversa de las siguientes funciones: 3, h() º) Dadas las funciones 5, g(), comprueba que ( g f ) 1 g f 1 g ( +, CALCULA EL DOMINIO DE LAS SIGUIENTES : a) f () 3 4 b) f () 9 + c) f () d) f () 5 10/11 IBR IES LA NÍA

11 + 7 e) f () + 4 f) g) h) f () f () f () + 3 i) f j) f () 3 7 k) f () + 3 l) f () + 6 () + 3 m) f () n) f () /11 IBR IES LA NÍA

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función TEMA 3 FUNCIONES 3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Halla dominio e imagen de las funciones

Halla dominio e imagen de las funciones Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Halla dominio e imagen de las funciones y Como no está definido si, es decir, si El recorrido o imagen será el conjunto de todos los

Más detalles

3ª Parte: Funciones y sus gráficas

3ª Parte: Funciones y sus gráficas 3ª Parte: Funciones y sus gráficas Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones

Estudio Gráfico de Funciones Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES FUNCINES PLINÓMICAS RACINALES EJERCICIS PRPUESTS. Estudia y representa la siguiente función cuadrática: f(). Es una parábola con las ramas hacia arriba, pues a 0. El vértice es el punto V, 5 8. El eje

Más detalles

Funciones. El Diario. La gripe española. LA VERDAD Muertes anuales por gripe

Funciones. El Diario. La gripe española. LA VERDAD Muertes anuales por gripe Funciones La gripe española Salamanca, 98. Dos enfermeras, una de ellas con evidentes signos de agotamiento, realizaban el cambio de turno en el hospital. La enfermera saliente, Carmen, le daba unas pautas

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN

Más detalles

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

10 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 0 PRPIEDADES DE LAS FUNCINES PARA EMPEZAR Copia y completa la tabla, y representa la gráfica de la función. Se trata de una función continua? Figura 3 4 5 N.º de puntos f() hace corresponder a cada natural

Más detalles

Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones

Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones Dadas las siguientes funciones gráficas, asocia cada función con su gráfica: a) f() = b) g() = - c) h() = 3 a) La 3; b) La ; c) La De las siguientes

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f (x) 3x 1 b) g(x) x c) h(x) x 3

EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f (x) 3x 1 b) g(x) x c) h(x) x 3 0 FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS 0. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f () b) g() c) h() a) D(f) R; Recorrido (f) R b) D(g) R; Recorrido (g) [0, ) c) D(h) R; Recorrido (h) R 0. 0. Calcula

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

Funciones y gráficas. Objetivos. Antes de empezar

Funciones y gráficas. Objetivos. Antes de empezar 9 Funciones y gráficas Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer si una relación entre dos variables es una función o no. Distinguir la variable independiente y la dependiente. Expresar una función

Más detalles

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5 58 EJERCICIOS DE FUNCIONES FUNCIONES y GRÁFICAS. Construir una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones: a) y=3+ b) f()= c) y= -4 d) f(). Completar la siguiente tabla (obsérvese el primer

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos

Más detalles

49 http://iedonboscohunter.hol.es

49 http://iedonboscohunter.hol.es 49 http://iedonboscohunter.hol.es MODULO PRECALCULO SEGUNDA UNIDAD Funciones Algebraicas Había un hombre en Roma que se parecía mucho a César Augusto; Augusto se enteró de ello, mandó buscarlo y le preguntó.

Más detalles

BLOQUE III Funciones y gráficas

BLOQUE III Funciones y gráficas BLOQUE III Funciones y gráficas. Características globales de las funciones 9. Rectas e hipérbolas 0. Función cuadrática Características globales de las funciones. Funciones Considera los rectángulos con

Más detalles

9 Estudio de funciones

9 Estudio de funciones Solucionario 9 Estudio de funciones ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 0 0 b) 4 0 c) 0 d) 0 7 9 a) (, ) b) (, 4] c) (, ] [0, ] d) (, ) (4, ) 9.II. Halla el valor en radianes

Más detalles

1. Representa gráficamente las funciones f (x) =3x + 2 y g(x) = -3x + 2. De qué depende que una función lineal sea creciente o decreciente?

1. Representa gráficamente las funciones f (x) =3x + 2 y g(x) = -3x + 2. De qué depende que una función lineal sea creciente o decreciente? UD 4 Funciones. Características globales 4º ESO (opción A) 1. Representa gráficamente las funciones f (x) =3x + 2 y g(x) = -3x + 2. De qué depende que una función lineal sea creciente o decreciente? 2.

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

0 7, que no tiene sentido. Así, al número 0 no se. puede asociar por esta regla, ningún número real. La función definida por la expresión x + asocia

0 7, que no tiene sentido. Así, al número 0 no se. puede asociar por esta regla, ningún número real. La función definida por la expresión x + asocia FUNCIONES Notas redactadas por A. Diego M. I. Platzeck para el curso de Matemática General. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS. El concepto de función que vamos a estudiar está en la base de la matemática, de otras

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Una de las aplicaciones más comunes de los conceptos relacionados con la derivada de una función son los problemas de optimización.

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD Función Eponencial y Función Logarítmica 9 Alicia rió. "No sirve de nada intentarlo - dijo -; uno no puede creer cosas imposibles." - "Me atrevería a decir que no tienes

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

representación gráfica de funciones

representación gráfica de funciones representación gráfica de funciones Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las funciones polinómicas y racionales.

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado.

Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado. Funciones EJERCICIOS 00 Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado. Expresión algebraica: y = x 3 x o f(x) = x

Más detalles

Funciones y gráficas. Objetivos

Funciones y gráficas. Objetivos 8 Funciones y gráficas Objetivos En esta quincena aprenderás a: Conocer e interpretar las funciones y las distintas formas de presentarlas. Reconocer el dominio y el recorrido de una función. Determinar

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

CAPÍTULO VI. Funciones

CAPÍTULO VI. Funciones CAPÍTULO VI Funciones FUNCIONES 1. Indicar si las siguientes expresiones son o no funciones indicando razonadamente por qué. ( ) a) f : Z N : x x 2 + 1 b) f : Z R : x 1 x 2 c) La recta que pasa por los

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 2009

Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 2009 Resolución del eamen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 2009 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * de junio de 2009 Opción A Ejercicio Sea la igualdad

Más detalles

12 ESTUDIO DE FUNCIONES

12 ESTUDIO DE FUNCIONES ESTUDI DE FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS. Representa las siguientes funciones lineales e indica el valor de sus pendientes. a) y b) y 5 y = + y = 5 c) y a) m 0 b) m 5 c) m y =. Representa estas funciones

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x +

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x + EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS).- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: Tt t

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Funciones. 1. Definición de función. Imágenes y antiimágenes página 185. 2. Representación gráfica de una función página 188

Funciones. 1. Definición de función. Imágenes y antiimágenes página 185. 2. Representación gráfica de una función página 188 Funciones E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Definición de función. Imágenes y antiimágenes página 8. Representación gráfica de una función página 88.. Funciones polinómicas página 9.. Funciones racionales

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela Definición de función Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada en D, ha eactamente un par ordenado (, ) en W que tiene a en la primera posición. Terminología Definición

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez Ejercicios de Matemática para Bachillerato Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Se pretende mediante este material contribuir a que los estudiantes que se preparan de

Más detalles

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1 Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 x a) y = y = x + x (x ) c) y = d) y = e) y = x + x + 3 5x x f) y = x x

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Ejercicios para aprender a derivar

Ejercicios para aprender a derivar Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos:

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

MATEMÁTICAS 3º DE ESO UNIDAD 9

MATEMÁTICAS 3º DE ESO UNIDAD 9 MATEMÁTICAS 3º DE ESO UNIDAD 9 1. Cuál de los siguiente puntos corresponde al valor (2,-2)? 2. Indica cuáles de los siguientes puntos pertenecen al segundo cuadrante. d) D. e) E. f) F. 3. Las coordenadas

Más detalles

Posteriormente el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) fue el primero que utilizó el símbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos.

Posteriormente el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) fue el primero que utilizó el símbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos. Una función en matemáticas, es un término que se usa para indicar la relación entre dos o más magnitudes. El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue el primero que utilizó el término

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES Tema 4 Funciones. Características - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente,

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A Bloque II Actividades de síntes: Anális Solucionario OPCIÓN A A.. a) Escribe la función f(x) x 4 x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 0? c) Para qué números

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 4 5 5 6 Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170 PÁGINA 70 Pág. P RACTICA Representación de rectas Representa las rectas siguientes: a) y b) y c) y d) y c) b) a) d) Representa estas rectas: c) a) y 0,6 b) y c) y, d) y d) a) b) Representa las rectas siguientes,

Más detalles

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción.

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción. Recuerdas qué es? Coordenadas de un punto Un punto del plano viene definido por un par ordenado de números. La primera coordenada es la abscisa del punto, la segunda coordenada es la ordenada del punto.

Más detalles

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas.

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas. Guía para el eamen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías matemáticas aplicadas. Septiembre 23 Índice. Instrucciones.. Objetivo....2. Requisitos....3. Característicasdeleamen...

Más detalles

i. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0

i. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0 TRABAJO PRÁCTICO Nº1 1. Identificar la pendiente y ordenada al origen de las siguientes rectas. Graficar y escribir para cada una dominio, imagen, crecimiento, decrecimiento, raíces. a. y = 2x + 1 d. y

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles