PRUEBA DE DEFINICIÓN DE NIVELES MATEMÁTICA

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1 PRUEBA DE DEFINICIÓN DE NIVELES MATEMÁTICA Facultad de Economía y Facultad de Ingeniería CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE PREPARACIÓN

2 SUMARIO: Unidad Página Revisión de temas de Precálculo Ecuaciones cuadráticas Ecuaciones polinómicas Ejercicios y problemas Conjunto de valores admisibles 7 Ecuaciones racionales Ecuaciones irracionales Ecuaciones bicuadráticas 5 Ejercicios y problemas 8 Intervalos Inecuaciones 4 Inecuaciones cuadráticas 9 Inecuaciones racionales 4 Ejercicios y problemas 45 Funciones básicas Introducción 49 Definición de función 5 Gráfica de una función 5 Propiedades de las funciones 54 Funciones básicas y sus características 6 Funciones seccionadas 66 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 69 Ejercicios y problemas 7 Graficación de funciones: transformaciones Técnicas de transformación 7 A. Desplazamientos 7 B. Refleiones 75 C. Estiramientos 77 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 8 Ejercicios y problemas 8 4 Funciones eponencial y logarítmica Función eponencial 86 Gráfica de función eponencial 87 Propiedades de la función eponencial 89 Transformaciones de funciones eponenciales 89

3 La función eponencial natural 9 Función logarítmica 9 Gráfica de la función logarítmica 9 Propiedades de la función logaritmo 9 Leyes de logaritmos 9 Modelación con funciones eponencial y logarítmica 95 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 96 Ejercicios y problemas 97 5 Operaciones con funciones Introducción 99 Definición de adición, diferencia, producto, cociente Composición de funciones 5 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 9 Ejercicios y problemas 6 Función inversa Función uno a uno Criterio de la recta horizontal Definición: función inversa Principio de refleión inversa 4 Regla de composición de la inversa 5 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 7 Ejercicios y problemas 8 7 Funciones trigonométricas La circunferencia trigonométrica (C.T.) Puntos terminales notables Funciones trigonométricas Gráficas de las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) 5 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos Ejercicios y problemas 8 Ecuaciones trigonométricas Ecuaciones trigonométricas 5 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 45 Ejercicios y problemas 46 9 Vectores en R y R Magnitudes escalares y vectoriales 48 Operaciones con vectores 5 Vectores coordenados unitarios 5 Producto escalar 5

4 Ángulo entre vectores 5 Producto vectorial en R 54 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 56 Ejercicios y problemas 56 Matrices Conceptos básicos 58 Algunas operaciones con matrices 6 Matrices escalonadas 64 Transformaciones elementales 65 Matrices equivalentes 66 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 67 Ejercicios y problemas 67 Sistema de ecuaciones lineales Conceptos básicos 69 Conjunto solución 7 Transformaciones elementales en un SEL 7 Operaciones o transformaciones elementales por filas en una matriz 7 Representación matricial de un SEL 7 Matriz ampliada del sistema 7 Método de eliminación de Gauss 74 Problemas de modelación que se resuelven con SEL 76 Preguntas para comprobar el logro de los objetivos 79 Ejercicios y problemas 79 Este material fue preparado por los profesores del Área de Ciencias: Mg. Lic. Jose Cuevas Lic. Walter Figueroa Mg. Ing. Armando Novoa Lic. Alejandro Serquén UPC,

5 UNIDAD DE APRENDIZAJE : REVISIÓN DE TEMAS DE INTRODUCTORIOS ECUACIONES CUADRÁTICAS. ECUACIONES POLINÓMICAS. Ecuaciones cuadráticas: La ecuación 5 es un ejemplo de ecuación cuadrática, estas ecuaciones pertenecen a la familia de ecuaciones polinómicas que estudiaremos con mayor profundidad más adelante. Resolveremos este tipo de ecuaciones de dos formas: Algebraicamente, a través los métodos de factorización, completando el cuadrado y el uso de la fórmula cuadrática. Geométricamente, usaremos el GeoGebra para mostrar que las respuestas obtenidas algebraicamente también se pueden aproimar de forma gráfica, a través de las intersecciones de la ecuación con el eje del plano cartesiano, dichas aproimaciones por lo general son muy buenas. Definición: Una ecuación cuadrática en la variable es cualquier ecuación que se puede escribir en la forma a b c donde a, b y c son números reales y a. Una solución cuadrática en se resuelve determinando sus raíces (soluciones). Las raíces de una ecuación cuadrática en son todos los valores de que satisfacen a dicha ecuación. Importante saber: En el siguiente curso de matemática de cada carrera, se trabaja con funciones de la forma y f () y dentro del análisis de funciones se requiere determinar los ceros de la función, los ceros son los valores de en la cual la función se anula, es decir, son

6 los valores en el eje X por la cual pasa la gráfica de la función. Si se trata de una función cuadrática los ceros serían determinados al resolver una ecuación cuadrática. A. Solución por factorización El método de solución de ecuaciones cuadráticas por factorización se basa en la siguiente propiedad del factor cero de números reales. Propiedad del factor cero Si a y b son números reales y a b entonces a ó b ó bien a, b En otras palabras, la propiedad del factor cero dice que el producto de dos números reales es cero si y sólo si uno de los factores (ó ambos) es cero. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo. Determine el conjunto solución de 5 por factorización. Solución algebraica. Para lograr la factorización nos ayudamos del aspa simple 5 luego y aplicando la propiedad del factor cero se tiene: ó bien de donde las soluciones de la ecuación son y. Comprobando: Para entonces 5 Para entonces 5 Así el C.S ;.

7 Solución gráfica. Comencemos por escribir y 5 en la opción de entrada del GeoGebra, obteniendo su gráfica tal como se muestra en la figura adjunta, luego escribimos la opción Interseca[c,EjeX], esta opción nos permite localizar las intersecciones de la gráfica con el eje X, donde c representa a la curva y 5. De la gráfica podemos concluir que las soluciones de esta ecuación son, y, siendo la primera solución una buena aproimación a la obtenida algebraicamente. Ejemplo. Determine el conjunto solución de. Solución algebraica: Primero le damos la forma canónica, es decir: Al factorizar se obtiene Así el CS,. ó bien, de donde Ejemplo. Determine el conjunto solución de.

8 Solución algebraica: Desarrollamos los paréntesis para darle la forma canónica Factorizando se tiene, es decir de donde /. Así el CS. En los ejemplos anteriores no hubo mayor dificultad a la hora de factorizar, sin embargo eisten ecuaciones como por ejemplo que no pueden ser factorizadas como las anteriores. Las ecuaciones de este tipo se pueden resolver mediante el método de completar cuadrados. B. Solución completando cuadrados Para utilizar este método debemos seguir los siguientes pasos:. Se debe escribir la ecuación en la forma b a c a (I) donde el coeficiente de es, a b es el coeficiente de y constante y debe estar al lado derecho de la ecuación.. Se eleva al cuadrado la mitad del coeficiente de, es decir: c es el termino a b (II) a. Se suma el valor obtenido en (II) a ambos lados de la ecuación (I), luego se factoriza y se despeja. La importancia de este método recae en el momento de la factorización, pues resulta que siempre se tendrá un cuadrado perfecto. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 4. Determine el conjunto solución de completando el cuadrado. Solución algebraica: 4

9 Paso : Al dividir entre y colocar el término constante al lado derecho se tiene:... (I) Paso : El coeficiente de es, luego. 4 Paso : Sumamos 4 en ambos lados de (I) y factorizamos el lado izquierdo Tal como lo habíamos mencionado al factorizar resulta un cuadrado perfecto, finalmente nos queda despejar 4 Así el CS,. Solución grafica: Escribimos y en la opción de entrada del GeoGebra, obteniendo la siguiente gráfica 5

10 Luego escribimos la opción Interseca[c, EjeX], y tal como podemos observar en la grafica las soluciones de la ecuación cuadrática son, 7 y, 7. Utilizando una calculadora podemos comprobar que estos valores son una buena aproimación a los encontrados de forma algebraica. Ejemplo 5. Determine el conjunto solución de. Solución algebraica: Multiplicando por y despejando el término constante, se tiene luego el coeficiente de es, entonces Así, 5 5 CS, ó CS,68,, 8 Ejemplo 6. Determine el conjunto solución de 5 4. Solución algebraica: Observamos que el coeficiente de es cero, por tal razón la solución es Inmediata, como antes, se escribe la ecuación en la forma 5 4 o sea 4 5 Sacando raíz cuadrada en ambos lados se tiene ó bien 5 5 Así, CS, 5 5 6

11 C. Solución utilizando la fórmula cuadrática En el método anterior eplicamos el proceso para determinar las posibles soluciones de ecuaciones cuadráticas completando cuadrados, este mismo método conduce a la siguiente formula, la cual será demostrada más adelante en la sesión Para saber más. Fórmula General Si a b c ; ( a ) entonces el discriminante es: b 4ac y dependiendo de este valor sabremos el número de soluciones que tendrá el conjunto solución, es decir: a. Si entonces eisten dos soluciones reales distintas y, así CS ;, donde, b b 4ac a b. Si entonces eisten dos soluciones reales iguales, así CS, donde b a c. Si entonces no eiste ninguna solución real, así CS ó CS Por lo tanto, queda claro que dado una ecuación cuadrática, podemos tener ó soluciones reales (incluyendo el caso en que las respuestas sean iguales). Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 7. Determine el conjunto solución de 5 usando la formula general. Solución algebraica: Empezamos identificando los coeficientes de la ecuación, es decir a, b 5 y c. Luego tenemos dos alternativas, reemplazar directamente en la formula ó analizar el discriminante para ver si eisten o no soluciones, lo dejamos a criterio del lector, aquí analizaremos el discriminante 5 4 7

12 Con lo cual sabemos la eistencia de soluciones, luego reemplazamos en la formula cuadrática, obteniendo, Así, el 5 5, 6 6 CS ó CS,4,.44 Ejemplo 8. Use la formula general para determine el conjunto solución de: (a) (b) 4 9 Solución algebraica (a) Dándole la forma canónica se tiene 9 6, con lo cual 6 4 9, luego la única solución es: 6 8 Así, CS (b) Dándole la forma canónica se tiene 4, con lo cual Por lo tanto el CS. Aplicaciones: El siguiente ejemplo es un problema cuya solución implica plantear y resolver una ecuación cuadrática, aquí el lector puede usar cualquier método para resolverlo. Ejemplo 9. Trayectoria de un cohete de agua: Un nuevo modelo de cohete de agua se lanza verticalmente hacia arriba, de modo que su altura (medida en pies) t segundos después del lanzamiento está dada por h ( t) 6t 84t 4 a. Determine el instante en que el cohete alcanza una altura de 84 pies. b. Cuánto tiempo permanece el cohete en vuelo? Solución: a. Del enunciado planteamos ht ( ) 84, entonces: 8

13 6t 84t t 84t 8 t 4t 8, después de simplificar tenemos una ecuación cuadrática simple de resolver, usando el método de factorización se tiene de donde t y t 4. t 4 t, Conclusión: El proyectil alcanza una altura de 84 pies, a los 4 y segundos después de su lanzamiento. b. El cohete estará en vuelo hasta cuando h ( t), luego 6t 84t 4 4t 96t, usando la formula cuadrática se tiene 4,. Veamos gráficamente 96 9,, luego, y 8 La grafica muestra la trayectoria del cohete, donde el punto A (; 4) significa que el cohete en el instante esta a 4 pies del suelo (posición de lanzamiento), 9

14 además podemos observar que el cohete permanece en vuelo hasta que toca el suelo en el punto B (4,; ), en otras palabras después de aproimadamente 4, segundos el cohete impacta con el suelo. Conclusión: El proyectil permanece en vuelo aproimadamente 4, segundos. Ecuaciones polinómicas: Sea n N, decimos que P () es un polinomio de grado n si es de la forma P n n n ( ) an an an a a donde an, an, an,, a, a son números reales llamados coeficientes con a n coeficiente principal y a termino independiente. Definición: Las ecuaciones polinómicas son igualdades de dos epresiones algebraicas donde una de ellas es un polinomio y la otra es cero, así una ecuación polinómica es de la forma a n n n n an an a a Ejemplo. Cuáles son ejemplos de ecuaciones polinómicas? 4. es una ecuación polinómica de grado es una ecuación polinómica de grado es una ecuación polinómica de grado es una ecuación polinómica de grado. 5. no es una ecuación polinómica porque hay un eponente negativo no es una ecuación polinómica porque y N. Según la definición anterior, podemos decir que ya hemos estudiado dos ecuaciones polinómicas importantes como son las ecuaciones de primer grado (ecuaciones lineales) y las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Aquí estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado mayor a poniendo en práctica las herramientas sobre factorización ya que si un polinomio de cualquier grado esta

15 factorizado, es decir, esta epresado como un producto de polinomios de grado o de grado mayor pero sin raíces reales, el cálculo de sus soluciones son inmediatas, pues sabemos que el producto de factores es igual a cero si y sólo si todos o algunos de los factores es cero. Veamos algunos ejemplos:. Ejemplo. Determine el conjunto solución de 4 Solución algebraica: Observamos que aplicando la diferencia de cuadrados en el primer término, el polinomio queda totalmente epresado como un producto de factores lineales, luego las soluciones de la ecuación son ; ; ; ; ; ; Así, el CS, ; ; Solución gráfica: Al igual que en los casos anteriores, las soluciones de dicha ecuación serán los ceros o los valores del eje X donde la gráfica de P( ) 4 se intersecta con el eje X.

16 Ejemplo. Determine los ceros del polinomio P( ) Solución algebraica: Sabemos que parar determinar los ceros debemos resolver la ecuación P ( ), por tal razón pensamos en la factorización, de donde observamos que es un factor común, luego queda factorizar una epresión cuadrática sencilla, es decir P ( ) ( ) ( )( ) igualando a cero cada factor lineal, tenemos, y, con lo cual concluimos que el polinomio tiene ceros distintos y son -,, /. 4 Ejemplo. Determine los ceros del polinomio P ( ) 5 6. Solución algebraica: Factorizando el polinomio por algún método ya estudiado, como por ejemplo el método de Ruffini, luego P ( ) de donde los ceros del polinomio son y -. Es importante recordar al lector que la epresión es estrictamente positiva, es decir, geométricamente significa que la curva y esta por encima del eje X y por tal razón no tenemos ceros reales en dicha epresión (ver figura). Ejemplo 4. Determine un polinomio de tercer grado, sabiendo que -, y son sus ceros y que el coeficiente del término de mayor grado es 5. Solución algebraica: No es difícil darse cuenta que el polinomio factorizado sería P ( ) 5.

17 Ejercicios y problemas. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. Justifique adecuadamente su respuesta. a. El conjunto solución de la ecuación 4 es. b. El conjunto solución de la ecuación 9 es ; c. El valor del discriminante en la ecuación es 8. d. Si la ecuación 4 a tiene una única solución real entonces el valor de a es 4. e. El polinomio P( ) ( ) es de grado 4 con coeficiente principal. f. Una de las soluciones de la ecuación 4 4 es. g. Sea P ( ) k tal que P( ) entonces el valor de k es.. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante el método de factorización: 4 a. b. 6 c. 5y 6y 5 d. 4t 5t e. z z t t f. 6 w w g. h. 4s i. j. s ( 6s ) 5 k. 8 7 l.. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante el método de completar cuadrados: a. 8 6 b. c. r 4 r d. y 5y e. 5 4 f. n n 4 g. t t h. 7 r r i. 9 4 j. 4 7z z

18 4. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones mediante la fórmula general: a. b. t 48 t 8 4 y y c. 7 d e. y 5y f. p p 8 g. m m 4 h. i. s s 8 j. ( t) ( ) t w w k. 5 l. y y y 5 m.,5,5,5 5. Utilice el discriminante para determinar el número de soluciones reales de las siguientes ecuaciones: a. 4 b c. 4 7 d. 6z z 4 e. 5m 8m 64 f. n n 6. De las siguientes epresiones algebraicas identifique cuáles son polinomios. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente. a. P ( ) d. f ( ) 5 b. Q ( m) m m 8 c. R( ) e. g ( ) e e f. h ( s) s s 4 7. Determine el conjunto solución (C.S.) de las siguientes ecuaciones polinómicas, utilice un método de factorización adecuado: 4 a. b. 8m c d. e f. p 5p 5p 5p 6 4

19 8. Determine los ceros de los siguientes polinomios: a. P 4 ( ) 6 b. Q ( ) 5 c. R ( t) t 8 d. S ( y) y y y 9. Determine un polinomio de grado cuatro, sabiendo que, - y son sus ceros y que el coeficiente del término de mayor grado es.. Asocie la ecuación con su gráfica: A. y B. y.5( )( ) C. y 6 8. Un arquitecto desea diseñar un plano para la construcción de una mansión, el propietario le pide que incluya dentro del plano un jardín rectangular proyectado en su patio, donde el largo del jardín debe medir el doble de su ancho y el área del jardín debe ser de m. Si el propietario esta interesado en saber cuántos metros de cerca necesita para cercar el jardín, cuál es la respuesta del arquitecto?. Un grupo de ingenieros desean diseñar un tanque de agua que consta de un cilindro circular recto con etremos semiesféricos iguales. Ellos determinan que la superficie del recipiente es S rl 4 r, donde l es el largo del cilindro y r es el radio de los etremos semiesféricos. Determine la longitud del radio de cada etremo semiesférico si se sabe que el largo del cilindro es de 8 pies y el área de la superficie es de 8 pies.. Un grupo de ingenieros determina que la producción de un pozo petrolero dependiendo del tiempo que es eplotado está modelado por la ecuación P( t) t t 8t donde P(t) son millones de barriles de petróleo que se producen por año y t representa la cantidad de años de eplotación a partir del año cero. Determine cuándo el pozo dejará de producir petróleo. 4. La constructora de las casas tiene departamentos en venta, se estima que a un precio de $ por departamento se venderán aproimadamente 8 departamentos por mes, se decide subir el precio por departamento y se estima que por cada aumento de $ se venderán tres departamentos menos a. Sea el número de veces que se aumenta el precio en $. Determine la ecuación que relacione los ingresos R (en cientos de miles) con. b. Cuántas veces tendría que aumentarse el precio para en $ para reducir los ingresos a cero? 5

20 5. El dueño de una ferretería compra cierta cantidad de varillas de fiero por S/.. Decide guardar unidades y vender el resto un precio unitario de S/ más de lo que le costó, obteniendo S/. 5 menos del monto invertido. Determine a. El precio al cuál compró las varillas de fierro. b. El número de varillas que compró. 6. Se desea construir un edificio para departamentos en un terreno rectangular cuyo perímetro es de 9 m y 5 m de área. Determine las dimensiones sobre la cual se construirá el edificio. 7. Un jardín tiene la forma de un triángulo rectángulo, el cual será cercado con pequeñas flores en todo su contorno, determine el perímetro del jardín si los lados del jardín vienen medidos (en metros) por tres números pares consecutivos 8. Una pequeña plancha metálica rectangular es 4 cm más larga que ancha, se corta en cada esquina cuadrados de 6 cm de lado, luego se doblan los bordes obteniendo una caja sin tapa. Determine a. Una ecuación que modele el volumen V en términos del ancho. b. Eiste alguna restricción para los valores que pueda tomar el ancho? c. Las dimensiones de la caja si se requiere que esta tenga un volumen de 84 cm. 9. Se lanza directamente hacia arriba una pelota desde el balcón de un edificio, la altura de la pelota medida desde el suelo después de t segundos está dada por Determine: h ( t) 6t 64t 768 a. en qué momento llega la pelota al suelo? b. cuál es el punto más alto que alcanza la pelota?, de ser necesario estime dicho valor mediante algún graficador.. Cierta especie de aves que se encuentran en un zoológico aumenta y disminuye según la ecuación N 7t t, donde N es el número de aves que hay en el tiempo t, siendo t el número de años desde el primero de enero de fecha en la cual la población de dichas aves fue estimada por primera vez. Determine a. en qué fecha la población de aves volverá a ser la misma que cuándo se estimo por primera vez? b. en qué fecha no habrá ningún ave de dicha especie en el zoológico? 6

21 ECUACIONES RACIONALES, IRRACIONALES Y BICUADRÁTICAS. Vamos a estudiar algunas técnicas para resolver ecuaciones racionales, irracionales y bicuadráticas. Para trabajar estas técnicas es necesario recordar el conjunto de valores admisibles (C.V.A.) que será de gran utilidad para saber que valores son aceptables en el conjunto solución (C.S.), este concepto toma mayor fuerza en el siguiente curso, pues permitirá comprender y trabajar el concepto de dominio de una función. Sabemos que una epresión racional es de la forma P( ) Q( ) donde tanto P () como Q () son polinomios con Q ( ). Si se trata de una epresión racional, observamos que es muy importante saber que valores puede tomar la variable tal que Q ( ), por tal razón en adelante se debe tener cuidado con las epresiones en términos de que se encuentren en el denominador de una epresión racional. Si la epresión no es racional como por ejemplo El lector debe tener bien en claro el concepto siguiente. Concepto: Para cualquier epresión algebraica, recordemos que definimos al Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.) como aquel en el que sus elementos son todos los valores que puede tomar la variable. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 5. Determine el valor de verdad o falsedad de la siguiente proposición, justificando su respuesta: El C.V.A. de un polinomio P ( ) siempre son los números reales Solución. Verdad. Cualquier polinomio P ( ) puede tomar cualquier valor en su variable (porque no tiene restricción) por lo que su CV.. A.. 7

22 Ejemplo 6. Determine el C.V.A. de las siguientes epresiones racionales: a. 4 b. c. 5 Solución. a. Observamos que el denominador es estrictamente mayor a cero, es decir 4 para todo número real, por lo tanto el: C.V.A. b. En este caso se tiene que así el C.V.A. R ; R entonces y, c. Tenemos una suma de dos epresiones racionales, para determinar el C.V.A. nos centramos en el denominador de cada epresión, es decir ( )( ) de donde y, así el C.V.A. R ; Es importante que se tenga claro que para determinar el C.V.A. de una suma, diferencia, producto y/o cociente de epresiones algebraicas, así como en el caso de ecuaciones e inecuaciones, las epresiones son analizadas una por una sin hacer algún tipo de operación, una vez determinado el C.V.A. de cada epresión se intersectan los resultados para obtener el C.V.A. de epresión en general. Para poder resolver las ecuaciones racionales se debe tener ciertas habilidades operativas, vamos a repasarlas mediante los siguientes ejemplos: Ejemplo 7. Determine el mínimo común múltiplo (MCM) de los siguientes polinomios a. 4; 4 Solución. Factorizando el primer polinomio se tiene 4, luego el menor polinomio múltiplo común es 4. b. ; 4 8 Solución. Factorizando los polinomios se tiene y luego el menor polinomio múltiplo común es 8

23 Ejemplo 8. Determine el C.V.A. y simplifique Solución. Como las epresiones son racionales, entonces para analizar el conjunto de valores admisible nos preocupamos únicamente por los denominadores de cada epresión, los cuales deben estar factorizados, esto nos lleva a la siguiente epresión es así como podemos decir que, en otras palabras el C.V.A. R ;, luego efectuando la resta se obtiene la siguiente epresión equivalente ( ) podemos observar para obtener la última epresión fue importante el manejo de MCM de polinomios. Ejemplo 9. Determine el C.V.A. y simplifique 4 Al igual que el ejemplo anterior factorizamos el primer denominador, obteniendo de donde el C.V.A. R ; ( ), luego observamos que tenemos que sumar y restar epresiones racionales, es decir sacamos el M.C.M. en el denominador y efectuamos las operaciones ( )( ) la última epresión se dice que es una epresión equivalente a la primera. Habiendo revisado el C.V.A. y el M.C.M. y usándolo para luego simplificar una epresión algebraica, podemos formalizar el proceso para resolver una ecuación racional. 9

24 Ecuaciones racionales Son aquellas ecuaciones donde uno de sus miembros es una epresión racional (formada por polinomios) y el otro es cero, es decir son de la forma P( ) Q( ). Ejemplo. Son ejemplos de ecuaciones racionales las siguientes: No son ejemplos de ecuaciones racionales las siguientes (tomándose en cuenta que no están formadas por polinomios): 4 cos sen Veamos algunos ejemplos en los cuales resolvemos ecuaciones racionales paso por paso: Ejemplo. Determine el C.V.A. y el C.S. de Solución algebraica: Paso : Determinar el C.V.A. Rápidamente observamos que, así el C.V.A. R ;. Paso : Determinar el MCM de los polinomios que están en el denominador El MCM es.

25 Paso : Multiplicar el MCM a ambos miembros de la ecuación 9 Paso 4: Verificamos si la solución satisface a la ecuación principal Comenzamos observando que pertenece al C.V.A. luego reemplazamos en la ecuación principal para verificar que la igualdad se cumple, es decir () 5 5 esto nos garantiza que la solución pertenece al conjunto solución. En caso de que no hubiera pertenecido al C.V.A. inmediatamente se le ecluye como elemento del C.S. La comprobación que se realiza reemplazando en la ecuación principal no es obligatoria de hacer pero si es muy importante para verificar nuestra respuesta. Paso 5: Finalizamos epresando el conjunto solución C. S 8 Los pasos anteriores ilustran el proceso para llegar al conjunto solución, no es una receta estricta a cumplir, sin embargo se aconseja seguirlos siempre. Ejemplo. Determine el C.V.A. y el C.S. de Solución algebraica: 4 Paso : Observamos que reduce a, factorizando, esto se C.V.A. R ;., de donde el Paso : El MCM de los polinomios del denominador es. Paso : 4

26 4 4 4 Tenemos dos posibles soluciones y. Paso4: Observamos que C.V.A. y C.V.A, con lo cual descartamos a como parte del conjunto solución quedando únicamente -, siendo este valor parte del conjunto solución, pues 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Paso 5: C. S. 4 4 Solución geométrica: 4 La grafica muestra la curva de la ecuación y, donde podemos apreciar que en hay un hueco y en la curva se va hacia el menos y más infinito (a la izquierda y derecha de dos respectivamente), esto

27 significa que la curva no toma ningún valor en el eje Y para dichos valores del eje X y por lo tanto tal como lo afirmó el C.V.A., además muestra que el único cero es -, con lo cual comprobamos que el C.S. obtenido algebraicamente es correcto. En el ejemplo anterior podemos observar el C.V.A. nos sirve para descartar soluciones que no serán parte del conjunto solución y evitar la tarea de comprobación de algunos valores, además podemos establecer como regla general en ecuaciones polinómicas y racionales que todos los valores que pertenecen al conjunto de valores admisibles (C.V.A.) son parte del conjunto solución (C.S.), evitando también la tarea de comprobación del resto de valores y simplemente (a menos que el lector cometa errores en el proceso de desarrollo) podemos colocar de manera directa el conjunto solución. Sin embargo las ecuaciones siguientes no cumplen con esta regla, pero el C.V.A. sigue ayudando a discriminar valores. Ecuaciones irracionales Son aquellas en las que alguna de sus incógnitas está afectada del símbolo radical. Veamos algunos ejemplos en los que se eplica el método de solución: Ejemplo. Determine el C.V.A. y el C.S. de 5. Solución algebraica: Paso : Determinar el C.V.A. Si el índice del radical es par entonces la epresión que esta en el interior debe ser positivo e incluso cero, esto indica que para determinar el C.V.A. debemos plantear la siguiente desigualdad es decir son todos los valores reales mayores e iguales a. Paso : Este paso tiene como estrategia dejar en un lado de la ecuación el radical y en el otro lado el resto de términos, luego elevar al cuadrado y resolver 5 5 8

28 4 7 tenemos como posibles soluciones a 4 y 7, ambos valores pertenecen al C.V.A. ya que son mayores a, sin embargo el hecho de elevar al cuadrado hace que algunas o todas las soluciones obtenidas puedan no pertenecer al C.S., por tal motivo en este tipo de ecuaciones siempre hay que comprobar reemplazando los valores obtenidos en la ecuación principal: Para 4 se tiene que , es decir es parte del C.S. Para 7 se tiene que Paso : C.V.A. ; Solución geométrica: ; C.S. 4, es decir no es parte de C.S. En general, para ecuaciones irracionales no es necesario calcular el C.V.A a menos que sea pedido. Ejemplo 4. Determine el C.S. de 4. Solución algebraica: Paso : Elevando al cuadrado y haciendo las operaciones necesarias para eliminar el radical, se tiene 4 4

29 Paso : Comprobando se tiene 4 4 4, es decir C.S. 4. Ecuaciones Bicuadráticas Una ecuación bicuadrática es una ecuación polinómica de grado cuatro de la forma 4 a b c con a. Si hacemos y y reemplazamos en la ecuación original transformamos una ecuación de grado 4 en una equivalente de grado, es decir de la forma ay by c, esta última ecuación es una ecuación cuadrática que puede ser resuelta por cualquiera de los métodos aprendidos en la sesión anterior, sin olvidar que y. Por ejemplo: Ejemplo 5. Determine el C.V.A y el C.S. de 4 4. Solución algebraica: Como se trata de una ecuación polinómica entonces el haciendo y, reemplazando y factorizando se tiene C.V.A. R, luego y y 4 y 4 y y 4 y 4. 5

30 Como entonces y son parte del conjunto solución ya que la ecuación es polinómica y ambos valores pertenecen al C.V.A, por lo C.S. ;. tanto Solución geométrica: Según la gráfica queda claro que los ceros de la ecuación y 4 4 son - y. Eiste otro tipo de ecuaciones que al hacer un cambio de variable la ecuación equivalente que resulta es una ecuación cuadrática, por ejemplo Ejemplo 6. Determine el C.V.A y el C.S. de Solución algebraica: Como tenemos un radical con índice par entonces el conjunto de valores admisibles son todos los valores mayores e iguales a cero, el cual lo epresamos en la forma siguiente C.V.A. / Por otro lado, haciendo y entonces y, con lo cual se tiene la siguiente ecuación equivalente 8y 7y 4. 6

31 Factorizando se tiene 9 4 y y luego y 4 9 ; y 4 9 ; 6 8 ; 4 Ambos valores pertenecen al C.V.A., pero por la presencia del radical hay que comprobar si satisfacen la ecuación principal Para Para se tiene 8 7 4, es decir C.S se tiene 8 7 4, es decir C.S Por lo tanto el C.S. 6 ; 8 4 7

32 Ejercicios y problemas:. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a. El C.V.A. de la epresión es b. El C.S. de la ecuación es R c. La epresión no es racional d. El C.S. de la ecuación es R. e. Sea a P ( ) tal que P ( ) entonces el valor de a es 4.. Determine el C.V.A. de las siguientes epresiones: a. E( ) f. 4 4 b. F ( ) c. d. e. E( s) P ( ) s s F t) t t ( t 5 g. 4 h. i. 4 G ( ) 4 4. Determine el C.V.A. y el C.S. de las siguientes ecuaciones racionales: a. c b. d. 8

33 e. f. 4. Determine el C.V.A. y C.S. de las siguientes ecuaciones irracionales: a. b. 5 c. 6 d. t t 4 5. Determine el C.V.A. y C.S. de las siguientes ecuaciones bicuadráticas: 4 a. 6 b c. 5 t d. 7 6 t 6. Determine el C.V.A. y C.S. de: 4 5 a. w w 6 b c. 4 6 d. 9 e. 4 f. m 4m g. t 5 t 6 h Se va ha construir una casa sobre un terreno rectangular cuya área es de m, determine: a. Una ecuación que eprese el perímetro del terreno en términos de su largo. b. El perímetro, si el largo del terreno es de 5 m. c. Las dimensiones del terreno, si se sabe que el terreno tiene como perímetro 7 m. 8. Se desea diseñar nuevos envases de yogurt, el yogurt será envasado en un recipiente cilíndrico de radio r y altura h (ambos en centímetros) y como tapa se usará una capa semiesférica de radio igual a la del cilindro, esta será enroscada a la parte cilíndrica. Se sabe que el total de material plástico a emplear en cada envase esta determinado por la ecuación S rh r y que además el contenido neto de yogur es de g. a. Se desea emplear 5,5 cm de material plástico. Plantee una ecuación que permita determinar las dimensiones del nuevo envase. (use g de material tiene un área de cm ) b. Cuáles son las dimensiones del nuevo envase?, estime mediante geogebra o una calculadora adecuada. 9

34 9. Si dos motores de agua trabajan al mismo tiempo, tardan 5 horas en desaguar un pozo. Si solo trabaja el de menor capacidad tardaría en vaciar el pozo 6 horas más que si trabajara sólo el de mayor capacidad. Si solo funciona el de mayor capacidad, determine cuántas horas demorara en vaciar el pozo.. Un tanque de petróleo puede ser llenado por una llave en minutos. Si después de cinco minutos que esta llave ha estado trabajando, se abre una segunda llave, llenando el tanque en tres minutos más. Cuánto tiempo tardaría la segunda llave sola en llenar el tanque?. El gobierno esta realizando en la cuidad B un gran proyecto que debe ser entregado lo antes posible, la constructora ganadora de la licitación urge de los materiales de construcción que son fabricados en la cuidad A. Se sabe que las ciudades están separadas 9 km y que para poder iniciar la obra los materiales solicitados deben llegar en horas a su destino, el camión que traslada los materiales desde la ciudad A recorre 54 km hasta que por razones del mal clima el chofer debe bajar la velocidad, aún así logra llegar a tiempo. Si la velocidad en el primer tramo fue mayor en km/h a la del segundo tramo. Determine las velocidades a la cuál recorrió el camión para llegar justo a tiempo.

35 INTERVALOS E INECUACIONES Intervalos: Llamamos intervalo a todo subconjunto de números reales sin huecos en su interior. Ejemplo 7. Son ejemplos de intervalos los conjuntos A ;4 ; 4;5 C ;4 pues en cada uno de ellos no hay ningún valor que falte en su B y interior, en otras palabras no hay saltos ni huecos en el interior de cada uno de ellos, en cambio el conjunto D ; 4 ; 4 4; no es un intervalo pues tiene un hueco en 4. Los intervalos son clasificados como acotados y no acotados y se pueden representar en tres formas equivalentes, la primera es llamada notación de intervalo, colocando en los etremos los números reales a y b con a b, la segunda es llamada notación de desigualdad pues se hace uso de las desigualdades ; ; o y la tercera es llamada notación gráfica pues recordemos que se usa una recta para representar al conjunto de los números reales y por consiguiente cualquier subconjunto puede ser representado sobre la recta real, en particular los intervalos. En seguida hacemos una descripción rápida de los 8 tipos de intervalos con los que vamos a trabajar. Intervalos acotados de números reales: Sean a y b números reales con a b. Notación de intervalo Tipo de intervalo Notación de desigualdad Notación gráfica a; b Cerrado a b a b a; b Abierto a b a b

36 a; b Semi abierto a b a b a; b Semi abierto a b a b Intervalos no acotados de números reales: Sean a y b números reales con a b. Notación de intervalo Tipo de intervalo Notación de desigualdad Notación gráfica a ; Cerrado por izquierda / a o / a a a ; Abierto por izquierda / a o / a a ; b Cerrado por derecha / b o / b b ;b Abierto por derecha / b o / b b

37 Operaciones con intervalos (unión e intersección). Revisemos las operaciones mediante algunos ejemplos: Ejemplo 8. Determine cuál de los siguientes conjuntos es un intervalo. a. A ;5 4;8 b. B 4; ; c. C ; ; 4 d. D ; ;5 Solución: Apoyándonos en la notación gráfica, a. queda claro que ;5 4;8 4; 8 b A es un intervalo cerrado. luego 4; ; c. 4 8 B no es intervalo. 4 luego ; ; 4 ; d. C es un intervalo semi abierto. 5 D ; ; 5 no es un intervalo. luego Conclusión: En general la unión y la intersección de intervalos no necesariamente es un intervalo. Ejemplo 9. Eprese ; 5 en notación de desigualdad y notación gráfica.

38 Solución: a. Notación de desigualdad: / 5 b. Notación gráfica: 5 Ejemplo. Eprese / en notación de intervalo y gráfica. Solución: a. Notación de intervalo: ; b. Notación grafica: Ejemplo. Eprese en notación de intervalo y de desigualdad al intervalo dado en notación gráfica Solución: a. Notación de intervalo: ; b. Notación de desigualdad: / Inecuaciones: Entendemos por inecuación a dos epresiones algebraicas conectadas por los signos de desigualdad: E.A. >E.A. ; E.A. E.A. ; E.A. <E.A. ; E.A. E.A. Un número real es una solución de una inecuación si se obtiene un enunciado verdadero al reemplazar la variable (incógnita) por dicho número. El conjunto de todos los números reales que satisfacen una inecuación es llamado conjunto solución (C.S.), y será representado mediante los intervalos. 4

39 Se empleará como método para obtener el conjunto solución el método de los puntos referenciales o puntos de referencia (P.R.), llamado también método de los puntos críticos, este método consiste en trabajar con los signos (+ ó -) sobre la recta real, el cual detallaremos al detalle más adelante. A continuación se presenta algunas propiedades que serán usadas como herramientas en el proceso de solución de una inecuación. Propiedades: Sean a ; b y c números reales.. a b a c b c. Ejemplo. 5 entonces a b a c b c. Ejemplo. 5 entonces , es decir Si c entonces a b ca cb. Ejemplo 4. 5 entonces ()() ()(5), es decir 5 4. Si c entonces a b ca cb. Ejemplo 5. 5 entonces (-4)() (-4)(5), es decir -8 - Esta propiedad nos dice que al multiplicar en una desigualdad por un número real negativo, la desigualdad debe cambiar. Frecuentemente se comete errores por tal razón debemos ser muy precavido cuando se aplique esta propiedad. 5. Si a b y b c entonces a c. Ejemplo 6. - y 7 entonces Si a b y c d entonces a c b d. Ejemplo 7. - y 5 entonces (-) + () + (5), es decir - 5 Para el resto de desigualdades, o, las propiedades anteriores se cumplen de manera similar. Se va a estudiar inecuaciones polinómicas, poniendo mayor énfasis en las lineales y cuadráticas y las reducibles a lineales o cuadráticas, finalizando con las inecuaciones racionales. 5

40 Estrategia de solución: A diferencia de las ecuaciones, en inecuaciones es aconsejable seguir con la siguiente estrategia de solución comenzando por transformar la inecuación al siguiente orden: Epresión algebraica E() Desigualdad ; ; ; Cero Es decir, colocar todos los términos en un lado de la desigualdad (derecha o izquierda), luego la epresión algebraica debe ser factorizada y finalmente aplicar el método de los valores críticos. Inecuaciones lineales: Son aquellas que involucran a polinomios de primer grado o reducibles a algunas de las formas a b ; a b ; a b o a b donde a y b son números reales con a. Obtener el conjunto solución no es tarea difícil ya que sólo consiste en despejar la variable teniendo en cuenta las propiedades anteriores, para determinar el C.V.A. hay que analizar la epresión tal y como es dada. Se analizará a continuación algunos ejemplos: Ejemplo 8. Determine el conjunto solución de 5 Solución algebraica: Al despejar se obtiene 5, en notación gráfica tenemos 5 De donde el intervalo 5 ; es el conjunto solución y el C.V.A. R. Para confirmar tomemos un valor dentro del intervalo, por ejemplo el valor de y reemplazamos en la inecuación dada () 5, esto quiere decir que es parte del conjunto solución. 6

41 Solución geométrica: Que se pueda interpretar los valores obtenidos al resolver una inecuación es de mucha importancia sobre todo cuando tenga que enfrentarse a problemas de aplicaciones en cursos posteriores, por ello desde ahora empezamos a impulsar esta forma de pensar. Usando GeoGebra, se traza la gráfica de la ecuación y 5, obteniendo la curva que se muestra en la figura, donde se observa que la curva está por encima del eje X a partir del punto A, es decir valores mayores a -,5 en eje X. Podemos concluir que resolver 5 implica determinar los valores en el eje X tal que la curva este por encima del eje X, es así como demostramos geométricamente que el conjunto solución es efectivamente el intervalo 5 ; hallado de forma algebraica. A partir de la gráfica también podemos sacar como conclusión que el C.S. de la inecuación 5 son todos los valores del eje X tal que la curva se 5 encuentre por debajo del eje X, es decir el intervalo ;. 7

42 En adelante se aconseja comprobar las soluciones algebraicas mediante el uso de GeoGebra. Ejemplo 9. Determine el conjunto solución de 5 Solución Algebraica: Cuya notación grafica es 7 Luego 7 C.S ; y C.V.A. R. Ejemplo 4. Determine el conjunto solución de 5 Solución algebraica: Cuya notación gráfica es Luego, 7; C.S y C.V.A. R. 5 Ejemplo 4. Determine el conjunto solución de Solución algebraica: Multiplicando por en cada término: 6 9 Súmanos en cada término: 6 9 Obtenemos 4, luego C.S 4; y C.V.A. R. 8

43 Ejemplo 4. Determine el conjunto solución de 4 Solución algebraica: Observamos que el De donde se tiene: C.V.A. R. Luego aplicamos la siguiente propiedad A B C A B B C Así, el C.S 4; 8 4 Inecuaciones cuadráticas: Son aquellas que involucran a polinomios de segundo grado o reducibles a algunas de las formas a b c ; a b c ; a b c o a b c donde a, b y c son números reales con a. En adelante se usará el método de los Puntos de Referencia para obtener el conjunto solución. A continuación se analizan algunos ejemplos en donde se utiliza el método nombrado. 9

44 Ejemplo 4. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: Es fácil ver que el C.V.A. R, al factorizar tenemos (I) Igualando a cero cada término se obtiene los Puntos de Referencia que son y, luego se ubican en la recta real, y se elige un valor cualquiera que esté entre los Puntos de Referencia y se reemplaza en la inecuación (I) colocando sobre la recta el signo resultante, resumimos todo en el siguiente cuadro: Intervalo Elegimos Signo en Signo en Signo en - (-)+ = (-) - = (-) (-)(-) = + ()+ = (+) - = (-) (+)(-) = - ()+ = (+) = (+) (+)(+) = + En adelante el proceso se puede hacerse de manera mental colocando únicamente los signos, es decir ( )( ) ( )( ) ( )( ) En este caso, la desigualdad en (I) indica tomar todos los signos positivos resultantes, es decir los signos que están por encima de la recta que sean positivos Luego el C.S ; ; Ejemplo 44. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación 4 Solución algebraica: 4 4

45 De donde se tiene a - y como valores críticos (o puntos de referencia) y además la desigualdad indica tomar el signo negativo, es decir El C. S. ; Solución geométrica. Trazamos la grafica de ecuación y 4, la cual se muestra en la figura adjunta a. a b. a De donde observamos que resolver 4 implica determinar los valores en el eje X tal que la gráfica de y 4 este por debajo del eje X. Ejemplo 45. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: El C.V.A. R, además se observa que no eiste ningún valor real tal que elevado al cuadrado sea menor que cero, así el C.S.. 4

46 Ejemplo 46. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: El C.V.A. R, además observamos que ecepto cuando la epresión es verdadera, pues todo número real elevado al cuadro siempre es positivo o C.S. R. cero, luego Ejemplo 47. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: El C.V.A. R, desarrollando se tiene: Positivo siempre De donde C.S.. Inecuaciones racionales: Son aquellas epresiones que tienen una de las formas P( ) Q( ) P( ) P( ) ; ; Q( ) Q( ) P( ) o Q( ) donde P () y Q () son polinomios con Q ( ). Se analiza a continuación algunos ejemplos en donde se revisará la técnica de solución usando Puntos de Referencia (o Puntos Críticos): 4

47 Ejemplo 48. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: El C.V.A. R, los valores críticos son - y, luego analizamos los signos en la recta, obteniendo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego, el C.S. ; ; Ejemplo 49. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: El C.V.A. R, efectuando se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego, el C.S. ; Ejemplo 5. Determine el C.V.A y el C.S. de la inecuación Solución algebraica: Factorizando se tiene: 4

48 El C.V.A. ; R, los valores críticos son: -, /, y Luego, el C.S. ; ; ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Aplicaciones: Ejemplo 5. Un nuevo modelo de cohete se lanza verticalmente hacia arriba, de modo que su altura (medida en pies) t segundos después del lanzamiento está dada por h ( t) 6t 84t 4 c. Durante qué tiempo el cohete esta por encima de los 84 pies? d. Durante qué tiempo el cohete esta por debajo de los 84 pies? Solución: a. Se pide los valores de t (en segundos) tal que h ( t) 84, de donde 6t 84t t 84t 8 t t 4 4 ( )( ) ( )( ) 4, ( )( ) Con lo cual concluimos que el cohete esta por encima de los 84 pies entre los 4 y segundos. b. Se pide los valores de t (en segundos) tal que h ( t) 84, analizando lo hecho en el ítem (a) se concluye a partir de la gráfica que el cohete esta por debajo de los 84 pies de altura en dos momentos, primero entre los 44

49 (incluido ) y 4 segundos y finalmente entre los y 4, (incluido 4,) segundos. Las parte a y b son presentadas gráficamente en la gráfica adjunta. Ejercicios y problemas. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. Justifique adecuadamente su respuesta. a. Si entonces. b. Si entonces. c. El C.V.A. de la inecuación es R. d. El C.S. de la inecuación es R. e. El C.S. de la inecuación f. Los conjuntos ; 4 g. Sea N es ;. y 4 representan al mismo intervalo. luego puede tomar 5 valores en el intervalo ; 4. 45

50 . Determine cuál de los siguientes conjuntos es un intervalo y de serlo epréselo en sus diversas notaciones. a. A ; ; b. B ; ; 6 4. Grafique los siguientes intervalos a. ; 5 b. ;4 c. C R 4 d. D ; ; c. ; 47 d. ; 5. Determine el C.V.A y el C.S. de las siguientes inecuaciones: a. b. c. d. 5 5 e. 4 f. 5 4 g. 5 h i. 5 5 j. k. 6 9 l. 6. La figura muestra la gráfica de la ecuación y Determine los valores en el eje X tal que: a. y b. y c. y d. y e. y Además, eplique con sus propias palabras el significado de cada uno de los resultados obtenidos. 46

51 7. En la gráfica adjunta trace la recta y y determine los valores en el eje X tal que: a. 6 b. 6 Verifique los resultados obtenidos en las partes a. y b. mediante el desarrollo algebraico. 8. Se lanza directamente hacia arriba una pelota desde el balcón de un edificio, la altura (en metros) de la pelota medida desde el suelo después de t segundos está dada por h ( t) 6t 64t 768 a. Determine durante que tiempo la pelota estuvo por encima de los 768 m. b. Plantee una inecuación que permita saber cuánto tiempo demoro la pelota en caer al suelo. c. Determine el intervalo de tiempo en qué la pelota estuvo en vuelo. 9. La empresa A&S dedicada a la producción y venta de máquinas para construcción, hace un estudio en sus ingresos, obteniendo la siguiente ecuación I 4, donde I representa el ingreso mensual en miles de dólares y el número de maquinas producidas y vendidas cada mes, además el costo de producción al por mayor de cada maquina es de 8 mil dólares. Determine el número de maquinas que debe producir y vender a la vez A&S para obtener una ganancia (ingreso - costo) de al menos mil dólares. 4. Una competencia de autos a realizarse en nuestro país indica que el recorrido será por dos tramos distintos, el primer tramo se recorrerá en una pista asfaltada y el segundo tramo es una carretera arenosa, cierto auto fue diseñado para rendir 5 kilómetros por galón en la pista asfaltada y 5 kilómetros por galón en la carretera arenosa. Se sabe que la capacidad del tanque de gasolina de dicho auto es de 7,6 galones. Suponga que eisten condiciones ideales de manejo y determine un intervalo para la distancia que pueda recorrer un auto de estas características con el tanque lleno. Interprete el resultado. 47

52 4. La relación entre las temperaturas Celsius (ºC) y Fahrenheit (ºF) está dada por la ecuación 5 C F 9 a. En Lima, se pronostica que para este mes la temperatura variará entre ºC y 5ºC. Determine el intervalo en grados Fahrenheit para el mismo periodo. b. El pronostico de la temperatura en la cuidad de Chiclayo, se dice que esta en el intervalo 77º º F 86º. Determine la temperatura en grados Celsius para este mismo periodo. 4. Cierto cultivo ha sido atacado por una fuerte plaga, se pide producir un bactericida que permita eliminar dicha plaga, un eperimento indica que a t horas de ser aplicado el nuevo bactericida, el número de bacterias que quedan esta dado por la ecuación: Determine: N ( t) t a. Después de cuántas horas el número de bacterias está por debajo de 4. b. Si es posible saber si el bactericida puede eliminar la totalidad de bacterias en dicho cultivo. 4. Un ingeniero gana $7 en cierto negocio, decide prestar por un año parte de su dinero al % y el resto lo deposita en una cuenta a plazo fijo en un banco que le paga 4% anual. Cuál es el monto mínimo que debe prestar si al cabo de un año desea obtener un ingreso por interés de al menos $ 4? 48

53 UNIDAD DE APRENDIZAJE : FUNCIONES BÁSICAS OBJETIVOS:. Identificar si una curva representa una función mediante el Criterio de la Recta Vertical.. Determinar el dominio y el rango.. Identificar y clasificar gráficamente los puntos de discontinuidad. 4. Determinar gráficamente los intervalos de monotonía. 5. Determinar gráficamente las cotas de una función. 6. Identificar y determinar en forma grafica los valores etremos (locales y absolutos) de una función. 7. Determinar la paridad y la simetría de una función. 8. Determinar gráficamente las ecuaciones de las asíntotas de una función. 9. Determinar los ceros de una función.. Conocer características y gráfica de 8 funciones básicas.. Graficar funciones seccionadas. Introducción: En esta Unidad presentaremos el concepto de función y estudiaremos las principales propiedades de las funciones básicas; se recomienda a los interesados estar dispuestos a habituarse a la terminología que se utiliza para describir a las funciones. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de ingeniería, finanzas, economía, estadística, medicina, química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Por ejemplo cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en soles, ello nos permite saber cuántas unidades de determinado producto podemos comprar; si lo llevamos al plano cartesiano, podemos escribir esta correspondencia como una ecuación de función ", en otras palabras: y f () donde y representa la cantidad de productos o artículos comprados a un precio en soles. Si asumimos que en plano cartesiano la curva que describe a f esta dada por: 49