ESPACIOS VECTORIALES

Transcripción

1 ESPACIOS VECTORIALES Espacio ectorial real. Es un conjunto V no acío cuyos elementos reciben el nombre de ectores dotado de dos operaciones: ª.- Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades: I. Asociatia: (u ) w u ( w) II. Conmutatia: u u III. IV. Elemento neutro: Hay un elemento en V tal que u u Elemento opuesto: Cada elemento u tiene su elemento opuesto u tal que u (-u),es decir, (V, ) es un grupo conmutatio. ª Una operación externa llamada producto de números reales por ectores que asocia a cada número real y a cada ector u el ector u y que erifica las siguientes propiedades: I. Distributia respecto a la suma de escalares: ( ).u u u II. Distributia respecto a la suma de ectores:.(u ) u III. Asociatia para escalares:.(u) ()u IV. Elemento neutro:.u u A los números reales se les llama escalares. Por cumplir las propiedades mencionadas diremos que la terna (V,, ) es un espacio ectorial. Ejemplos: En el conjunto R definimos las operaciones siguientes: (x, x ) (y, y ) (x x, y y ) λ.(x, x ) (λx, λx ) puede comprobarse que se erifican todas las propiedades enunciadas por lo que la terna (R,, ) es un espacio ectorial real. Igualmente ocurre si consideramos R {(x, x, x ); x, x, x εr} con las operaciones: (x, x, x ) (y, y, y ) (x x x, y y y ) λ.(x, x, x ) (λx, λx, λx )

2 En general, el conjunto R n {(x, x,..., x n ); x, x,...,x n εr} con las operaciones habituales definidas en los ejemplos de antes es un espacio ectorial. Son también espacios ectoriales: - El conjunto de todas las funciones polinómicas con las operaciones (f g)(x) f(x) g(x) (λ.f)(x) λ.f(x) - El conjunto de los números complejos. - El conjunto de los ectores libres del plano o del espacio. - etc. Subespacio ectorial. Dado un espacio ectorial V, un subconjunto S, es un subespacio ectorial de V cuando es espacio ectorial respecto de las operaciones definidas en V. Para comprobar si un subconjunto es subespacio ectorial, no es necesario comprobar las ocho propiedades fundamentales. El siguiente teorema sire para caracterizar los subespacios ectoriales: Un subconjunto S es un subespacio ectorial de V si se erifican estas dos propiedades: ª Si u y son elementos de S entonces uεs ª Si λεr y uεs entonces λuεs Combinaciones lineales. Consideremos un espacio ectorial V y sea S{u, u,...u n } un conjunto de ectores de V. Se llama combinación lineal de estos al ector x obtenido de la siguiente forma: x u u... n u n. donde,,... n son números reales. Ejercicio: Sean los ectores u (-, ); (, 5) y w (7, -) ectores de R. Forma combinaciones lineales con ellos. Haremos combinaciones lineales de estos ectores eligiendo números reales cualesquiera, por ejemplo, x u w (-, ) (, 5) (7, -) (, -) y -5u w -5(-, ) (, 5) (7, -) (4, -)

3 El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de u, u,...u n se representa por u, u,... u n o bien por L ( u, u,..., u n ) y es un subespacio ectorial de V. Se le llama subespacio engendrado por u, u,...u n y el conjunto {u, u,...u n } es un sistema de generadores de dicho subespacio. Ejemplo: Si consideramos los ectores de R u (, -, ); u (,, ), cualquier ector x (x, x, x ) de L u, u ) cumplirá la siguiente relación: ( (x, x, x ) (, -, )(,, ), y de ahí resulta: x x x Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas del subespacio. Dependencia lineal. Un conjunto de ectores u, u,...u n de un espacio ectorial V se dice que es libre si la relación u u... implica que... u n n n es decir, que no hay ninguna combinación lineal de ellos que dé como resultado el ector cero, salo las que tienen todos los coeficientes nulos. En este caso se dice que los ectores u, u,...u n son linealmente independientes. Un conjunto de ectores es ligado si existen escalares,,..., n, no todos nulos, que erifican la relación u u.... También se dice que los ectores u n n citados son linealmente dependientes. Teorema: Un conjunto de ectores son linealmente dependientes sí y solo sí alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. Ejercicio: Tres ectores de un espacio ectorial u, y w erifican la relación u-4w. Son linealmente dependientes?.

4 4 Es claro que son linealmente dependientes porque la relación indicada es una combinación que da como resultado el ector cero y existen coeficientes no nulos. (es este caso todos). Además, se puede expresar alguno de ellos como combinación lineal de los otros. Basta con despejarlo en la relación dada: u-4w; w -u 4 Propiedades de la dependencia lineal. Si entre los ectores u, u,...u n figura el ector, son linealmente dependientes. Un solo ector, si es distinto de cero, es linealmente dependiente. Dos ectores de R son linealmente dependientes sí y solo sí tienen las respectias componentes proporcionales. Estudio de la dependencia lineal. La dependencia lineal de un conjunto de ectores podemos estudiarla aplicando las transformaciones de Gauss. Si llegamos a obtener un cuadro de ectores de modo que en la diagonal no haya ningún cero y debajo de la diagonal todas las componentes sean nulas, el conjunto de ectores es libre. Si resulta algún ector con todas sus componentes nulas se trata de un conjunto ligado. Ejemplo: Estudiemos la dependencia lineal de los ectores (-,, ), (, -, ) y (,, -) En la última transformación hemos cambiado el orden de los ectores segundo y tercero. Ahora tenemos todos los elementos de la diagonal principal distintos de cero y debajo de dicha diagonal ceros, por tanto, los ectores son linealmente independientes. Base y dimensión de un espacio ectorial. Sea V un espacio ectorial. Un conjunto de ectores {u, u,...u n } es una base de V si se cumple: º) Los ectores son linealmente independientes. º) Todo ector de V puede expresarse como combinación lineal de u, u,...u n.

5 5 Ejemplo: En el espacio ectorial R los ectores (, ) y (, ) constituyen una base ya que se erifican las dos condiciones señaladas: - Son linealmente independientes. - Cualquier ector (x, y) de R puede expresarse como combinación lineal de ellos; en efecto, (x, y) (, ) (, ) y resoliendo se obtiene x; y x y x Existen los números buscados (escalares) y por tanto, ( x, y) x(, ) (, ) Estos escalares reciben el nombre de coordenadas del ector (x, y) respecto de la base {(, ), (, )} Un espacio ectorial puede tener muchas bases distintas pero todas tienen el mismo número de ectores. Teorema de la base: Todas las bases de un espacio ectorial tienen el mismo número de ectores. Dimensión de un espacio ectorial es el número de ectores que forman la base. La dimensión del espacio ectorial R es dos. En el espacio ectorial R los ectores (,, ), (, 4, ) y (,, ) constituyen una base como puede comprobarse. La dimensión de R es tres. Bases canónicas: En R los ectores e (, ) y e (, ) forman una base que recibe el nombre de base canónica de R. En R la base canónica la forman los ectores e (,, ), e (,, ) y e (,, ). En general, la base canónica de R n la forman los ectores: e (,,,..., ) e (,,,..., ) e (,,,..., )... e n (,,,..., ) Debe adertirse la diferencia entre sistema de generadores y una base.

6 Dos ectores linealmente independientes de R forman una base del espacio ectorial R. Tres ectores l i. de R forman una base del espacio ectorial R. En general, n ectores l. i. constituyen una base de R n. Rango de un sistema de ectores. Se llama rango de un sistema de ectores S {u, u,...u n } al número máximo de ectores l. i. que hay entre ellos, es decir, es la dimensión del espacio ectorial que engendran. Para calcular el rango podemos utilizar el método de Gauss. Una ez conseguida la matriz escalonada, el rango es el número de ectores ( filas) no nulos. Ejemplo: Halla el rango del sistema de ectores: S {(-,, -, ), (-,, -, ), (, -,, -), (-,,, ), (-,,, )} (intercambiamos filas adecuadamente) Una ez escalonada la matriz emos que hay cuatro filas no nulas, luego el rango es 4. Ejercicios resueltos..- Determina x e y para que el ector (,, x, y) pertenezca al subespacio engendrado por los (, 4, -5, ) y (,,, ) El ector (,, x, y) ha de ser combinación lineal de (, 4, -5, ) y de (,,, ), luego

7 7 (,, x, y) (, 4, - 5, ) (,,,) y resulta el sistema 4 5 x y Resolemos el sistema formado por las dos primeras ecuaciones: y sumando se obtiene - 4 ; - ; 4-8 ; ; 5 y lleando los alores obtenidos a las ecuaciones tercera y cuarta obtenemos: x y Sea S {(,, ), (,, )}. Halla las ecuaciones paramétricas de L(S). Cualquier ector (x, x, x ) de L(S) cumplirá la siguiente relación: ( x, x, x ) (,, ) (,,) y de ahí x x x que son las ecuaciones paramétricas del subespacio L(S)..- Halla un sistema de generadores del espacio ectorial { x, x, x ) R ; x t s; x t s; x t ; t,s R} F s ( (x, x, x,) (t s, t s, t s) (t, t, t) (-s, s, s) t(,, ) s(-,, ) luego un sistema de generadores es S{(,, ), (-,, )}

8 4.- Prueba que los ectores (,,, ), (,,, ), (-,,, ) y (,,, ) son linealmente dependientes. Escribe la relación de dependencia De la ª matriz pasamos a la ª simplemente intercambiando filas. Finalmente obtenemos una fila formada por ceros, luego los ectores son linealmente dependientes. Necesariamente uno de ellos será combinación lineal de los otros restantes. Probamos la siguiente relación: (,,, ).(,,, ).(-,,, ) λ.(,,, ) lo que nos llea al siguiente sistema de ecuaciones: λ λ λ λ y operando en las dos primeras ecuaciones con el alor de λ que resulta, llegamos a y se obtiene -; Podemos comprobar también que los alores obtenidos de y de erifican la 4ª ecuación del sistema, por tanto, la relación de dependencia es: (,,, ) -.(,,, ).(-,,, ).(,,, ) O bien,.(,,, ).(,,, ) -.(-,,, ) -.(,,, ) (,,, ) La relación de dependencia puede obtenerse directamente al aplicar el método de Gauss como amos a er: Intercambiamos filas y las ponemos en el orden que se indica: 8

9 ( 4 ) Vemos que la expresión ( 4 - ) - conduce al ector cero, por tanto, - 4 -, es decir, que es la misma relación que hemos obtenido antes. 5.- En el espacio ectorial R 4 consideramos el conjunto 4 { ( x, y, z, t) R ; x y z } F t Prueba que F es un subespacio ectorial de R 4 Si (x, y,z, t) x y z - t x y z - t y (x, y, z, t ) son elementos de F se erifica que : Y entonces sumando, ( x x ) ( y y ) ( z z ) ( t t ) lo que implica que el ector ( x x, y y, z z, t t ) F o lo que es lo mismo ( x, y, z, t) ( x, y, z, t ) F y se cumple la ª propiedad. Si (x, y,z, t) es un elemento de F se cumple que x y z t Para cualquier número real λ se cumplirá que λ.(x y z - t) y de ahí que.( λx) ( λy) λz ( λt) luego el ector ( λ x, λy, λz, λt) F o bien λ.( x, y, z, t) F y se cumple la ª propiedad que caracteriza a todo subespacio ectorial. luego F es un subespacio ectorial de R 4..- Demuestra el siguiente teorema: Un conjunto de ectores son linealmente dependientes sí y solo sí alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros Solución.

10 - Supongamos que son linealmente dependientes. Entonces, u u... u r r y algún i Si suponemos que podemos escribir: u u u... luego u es combinación lineal de u, u,..., u r. r u r - Supongamos ahora que uno de ellos es combinación lineal de los demás, por ejemplo, u λ u λ u... λ u r r. Entonces podemos `poner:. u λ u λ u... λ u r r donde ya hay un coeficiente distinto de cero y, por tanto, u, u,..., u r son l.d. Ejercicios propuestos..- En el conjunto R se definen las operaciones siguientes: ( x, y) ( x, y ) ( x x, y y ); λ.(x, y) ( λx,) Comprueba que R no es espacio ectorial respecto de las operaciones definidas..- Sea (-, 5,, ). Determina si (,,, ), (4,,,), (,,, ).- Prueba que los ectores u (,, -), u (, 5, -) y u (, -, ) son l.i. 4.- Dados los ectores u (,,, ), u (,, -, ), u (,,,) de R 4 a) Determina si forman un conjunto libre o ligado. b) Da un ector,, no nulo, de modo que {u, u, u, } sea un conjunto ligado. c) Da un ector, w, de modo que {u, u, u, w} sea libre. d) Expresa x (,, 4, ) como combinación lineal de u, u, u y w. 5.- Calcula x e y para que los siguientes ectores de R 4 sean l.d. u (5, x, -4, -), u (,, x, ) y u (-, y, -, ).- Determina por el método de Gauss la dimensión y una base del subespacio ectorial engendrado por los ectores (,,, ), (,,, ), (-,,, ) y (,,, ) 7.- Sea el conjunto H {(,, ), (, 5, 7), (, -, ) }

11 a) Estudia si constituye un sistema de generadores de R. b) Halla una base y la dimensión de L(H)<H> Sea el conjunto {( x y, x, y, - y) R ; x, y R} F. Deduce una base de F Halla la dimensión y una base de F {(x, y, z, t) R ; x y z - t }.- Dados los ectores (, -, ), (, 4, -5) y (,, -) de R, hallar una base del subespacio que engendran y completarla hasta obtener una base de R..- Da una base del subespacio ectorial de R 4 siguiente: { x, x, x, x ); x x x, x x x } E x ( 4 4 4