Sucesiones en R. j. armando Velazco. Bitácora personal de matemáticas

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1 Sucesiones en R j. armando Velazco Bitácora personal de matemáticas 2 de febrero 206

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3 .. Sucesiones de números reales. Una sucesión numérica en un conjunto S es una función, cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N y su codominio (también llamado contradominio o rango) está contenido en S. En particular nuestro interés se centrará en sucesiones en R es decir, sucesiones que van de N a R. Definición. Una sucesión de números reales es una función definida en el conjunto de los números naturales N y su codominio será un subconjunto de los números reales R Se denotará a una sucesión numérica por {x n } n, aunque es frecuente encontrar en algunos textos la notación (x n ). A x n se le conoce como término general de la sucesión y en muchos casos nos brindará la regla de correspondencia que define a la sucesión. Ejemplo. Sea {x n } n una sucesión con término general x n dado por Entonces, elementos de esta sucesión son x n = n {, 2, 3,..., n,...} Ejemplo. Sea {x n } n una sucesión con término general x n dado por Entonces, elementos de esta sucesión son x n = n 2 {, 4, 9,..., n 2,...} Ejemplo. Es posible definir una sucesión proporcionando el primer elemento (o los primeros n elementos) y dar una fórmula para el elemento x n+ en términos de los anteriores, así tenemos sucesiones como x =, x 2 = x n+ = x n + x n Que origina los términos de la conocida (e interesante) sucesión de Fibonacci {,, 2, 3, 5, 8, 3,...} Tales sucesiones reciben el nombre de Sucesiones recurrentes. Ejemplo. Otro ejemplo de sucesiones recurrentes es el siguiente, sea x = x n+ = + (x n ) 2 3

4 .2. Sucesiones convergentes La noción de límite es crucial en el desarrollo y aplicaciones del análisis y el cálculo. Por ello nos resulta de vital importancia. Definición. Una sucesión {x n } n numérica en R es convergente si existe un punto x 0 que satisfaga la siguiente propiedad: Para todo ɛ > 0 existe un N N tal que si n N entonces x n x 0 < ɛ A tal punto x 0 (en algunos textos L) le llamaremos punto límite de la sucesión o simplemente límite de la sucesión. Denotaremos que un punto x 0 es el límite de una sucesión de la siguiente manera lím x n = x 0 Si una sucesión no tiene un punto límite, entonces se dice que la sucesión es divergente o que diverge. Observación. De la definición anterior es importante destacar que La definición de convergencia implica, intuitivamente, que x n x 0 x n x 0 0 Otro punto a destacar es que la elección de N depende, del valor de ɛ ɛ juega el papel del error que podemos tolerar a medida que nos aproximamos al límite de la sucesión, en caso de que este último exista. Note que, en el caso de una sucesión convergente, la condición x n x 0 < ɛ implica que x n (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) y viceversa. Ejemplo. Sea la sucesión x n = proponemos como límite de esta sucesión el punto n x 0 = 0, así, sea ɛ > 0 dado, por la propiedad arquimediana es posible hallar un N ɛ N tal que < ɛ N ɛ Ahora, si n N ɛ se tiene que Lo que implica que n 0 = n < N ɛ < ɛ lím n = 0 Hasta ahora se ha hecho referencia a que una sucesión convergente tiene un punto límite, lo que no excluye la posibilidad de que tenga otros puntos límite, veremos en el resultado siguiente que no puede suceder tal caso. 4

5 Proposición.2.: Si una sucesión {x n } n es convergente, entonces su punto límite es único. Demostración. Suponga lo contrario, es decir, que existen 2 puntos limite x 0 y x 0, de tal modo que lím x n = x 0 y lím x n = x 0 con x 0 x 0. Sea ɛ := x 0 x 0 2 entonces ɛ > 0 y existen, por definición, un N N tal que que, si n N entonces x n x 0 < ɛ y un N 2 N tal que que, si n N 2 entonces x n x 0 < ɛ. Sea ahora N N = max{n, N 2 } entonces, si n N x 0 x 0 = x 0 x n + x n x 0 x n x 0 + x n x 0 < 2ɛ = x 0 x 0 Lo que es una contradicción. Así, el límite de una sucesión convergente es único. Vistos como subconjuntos de R las sucesiones convergentes tienen un comportamiento lo suficiente peculiar como para caracterizarlas. Teorema : Sea {x n } n una sucesión convergente, entonces la sucesión es acotada. Demostración. Dado que {x n } n es convergente entonces existe el punto límite x 0 tal que para todo ɛ > 0 existe un N N tal que si n N entonces En particular, si ɛ = entonces x n x 0 < ɛ x n x 0 < x n x 0 < x n < + x 0 Con lo que se ha construido una cota para un subconjunto de los elementos de la sucesión. Por otro lado, tenemos que {x, x 2,..., x N } es un conjunto finito y, en el que existe la posibilidad de que no se cumpla que x k x 0 < ; k =, 2,..., N sin embargo, podemos tomar como cota del conjunto de los elementos de la sucesión a Con lo que se tiene que M := max{x, x 2,..., x N, + x 0 } x n M n N Y así la convergencia de la sucesión nos conduce a que la misma está acotada. Observación 2. El recíproco no es cierto, en general, el hecho de que una sucesión esté acotada no implica que la sucesión sea convergente: considere como contraejemplo a la sucesión de término general x n = ( ) n la cual no es convergente. 5

6 .3. Sucesiones numéricas y orden La relación de orden de los reales juega un papel importante para analizar el comportamiento de las sucesiones, así tenemos la siguiente Definición. Sea {x n } n una sucesión de números reales. Se dice que la sucesión {x n } n es creciente si los elementos de la sucesión satisfacen las siguientes desigualdades es decir, si x x 2... x n x n... m, n N; m < n x m x n. Análogamente, decimos que una sucesión es decreciente si se satisface que o de otra manera x x 2... x n x n... m, n N; m < n x m x n. Se dice que {x n } n es monótona si la misma es creciente o decreciente. Ejemplo. La sucesión x n = n es decreciente, pues Para probarlo en general, nótese que En cambio la sucesión x n = n n n n + n + n. es creciente, pues y en general observe que n n + n + n + 2 n(n + 2) (n + )2 n 2 + 2n n 2 + 2n + n lo que se cumple n N. La relación entre que una sucesión sea convergente, monotóna y acotada viene dada en el siguiente teorema Teorema 2 (Teorema de convergencia monótona): Sea {x n } n una sucesión monotona, entonces {x n } n es convergente si y solo si es acotada. 6

7 Demostración. Supongase que la sucesión {x n } n es monótona y convergente, entonces por el teorema la sucesión es acotada. Recíprocamente, si la sucesión es monótona y acotada es necesario analizar un caso para la sucesiones crecientes y otro para las decrecientes. Así CASO I La sucesión {x n } n es creciente, por lo que vista como subconjunto de los números reales es no vacío y además acotado, por lo que cumple entonces, en particular, la propiedad de la mínima cota superior, sea x = sup{x n : n N} entonces, para un ɛ > 0, x ɛ no es una cota superior del conjunto {x n : n N} y por lo tanto existe un N N tal que x ɛ < x N y dado que la sucesión es creciente, entonces x N x n cuando n N, pero ello implica que x ɛ < x N x n x < x + ɛ n N Y en particular de las desigualdades anteriores obtenemos que x n x < ɛ n N Cómo ɛ es arbitrario podemos concluir que lím x n = x, es decir, la monotonia de la sucesión y el que esté acotada nos conduce a que la misma es convergente. CASO II Puede el lector hacer la prueba en detalle, por analogía, con el CASO I, o bien, tomar en cuenta que si {x n : n N} es decreciente entonces { x n : n N} es creciente. De la demostración del teorema anterior tenemos de inmediato corolario que nos permitirán hallar límites de sucesiones monotonas y acotadas. Corolario.3.: i)si {x n } n es una sucesión creciente y acotada, entonces lím x n = sup{x n : n N} ii) Si {x n } n es una sucesión decreciente y acotada, entonces lím x n = inf{x n : n N}.4. Álgebra de límites de sucesiones numéricas Ahora se examinará como el proceso de límite interactua con las operaciones de adición, multiplicación substracción y división de sucesiones, antes necesitamos la siguiente Definición. Sean X = {x n } n, Y = {y n } n sucesiones de números reales. Se definen La sucesión suma de X e Y dada por X + Y := {x n + y n } n 7

8 La sucesión diferencia (o resta) de X e Y dada por X Y := {x n y n } n Si p R se define la sucesión múltiplo de X dada por La sucesión producto de X e Y dada por p X := {p x n } n X Y := {x n y n } n Por último, si Y = {y n } n es una sucesión tal que y n 0 n N se define la sucesión cociente (o división) de X e Y por X Y = {x n y n } Y ahora se enuncia la herramienta que nos ayudará a calcular límites cuando las sucesiones sean convergentes y las operaciones entre las mismas tengan sentido. Teorema 3 (Álgebra de Límites): i) Sean X = {x n } n, Y = {y n } n sucesiones convergentes, cuyo límite es x 0 y y 0 respectivamente. Entonces las sucesiones X ± Y, X Y convergen a x 0 ± y 0, x 0 y 0 respectivamente. ii)si p R entonces la sucesión p X converge a p x 0 iii)si Z = {z n } n es una sucesión convergente, con límite z 0 y tal que z n 0 para todo n N entonces la sucesión := Z z n converge a. z iv)si el cociente de X e Z tiene sentido, entonces la sucesión X converge a x Z z Demostración. Se probará el caso de la sucesión producto y iii) dejando lo demás como ejercicio para el lector. Así para el producto de sucesiones tenemos que dado que X = {x n } n, Y = {y n } n son convergentes, entonces ambas sucesiones son acotadas (), entonces existe M R + tal que x n M y y n < M para todo n ( por qué?). y así M + x 0 > 0, además, para todo ɛ > 0 existe N, N 2 N tales que x n x 0 < ɛ y y n y o < ɛ en particular, si N = max{n, N 2 } Y entonces, x n x 0 < ɛ M + x 0 y y n y 0 < ɛ M + x 0 x n y n x 0 y 0 = x n y n y n x 0 + y n x 0 x 0 y 0 y n x n x 0 + x 0 y n y 0 para todo n N. < M ɛ M + x 0 + x ɛ 0 M + x 0 = ɛ 8

9 A continuación se mostrará que si Z = {z n } n es una sucesión convergente, con límite z 0 0 y tal que z n 0 para todo n N entonces la sucesión := Z z n converge a. Dado z que {z n } n es convergente, tomemos ɛ 0 = z 0 2 > 0, entoces existe N N tal que si n N entonces z n z 0 < ɛ 0. De la desigualdad triangular tenemos entonces que Más aún y así tenemos que ɛ 0 z n z 0 z n z 0 2 z 0 z n z n 2 z 0 z n z 0 = z n z 0 z n z 0 = z n z 0 z n z 0 2 z 0 2 z n z 0 para todo n N Ahora, si tomamos un ɛ > 0 existe un N 2 N tal que si n N 2 entonces Así, sea N = max{n, N 2 } entonces z n z 0 < 2 ɛ z 0 2 z n z 0 < 2 z 0 2 z n z 0 < ɛ Como ɛ > 0 es arbitrario se sigue entonces que lím z n = z 0 Teorema 4: Sea la sucesión {x n } n convergente, con límite x 0. Entonces la sucesión { x n } n converge a x 0. Demostración. Se sigue de la desigualdad triangular que x n x 0 x n x 0 n N Y por lo tanto la convergencia de {x n } n implica la convergencia de { x n } n. Teorema 5: Sea {x n } n una sucesión de números reales convergente, con límite x 0 y tal que x n 0 n N entonces, la sucesión { x n } n converge a x 0 9

10 Demostración. La sucesión {x n } n es no negativa lo que implica que x 0 0. Se debe considerar dos casos, cuando x 0 = 0 (queda como ejercicio para el lector) y el caso x 0 > 0 que se demostrará a continuación. Dado que {x n } n es convergente entonces, para ɛ > 0 tenemos que existe k N tal que si n k, n N entonces, como x 0 > 0 x n x 0 < ɛ x Ahora, queremos estimar la diferencia x n x 0 con respecto a ɛ > 0 entonces, dado que xn x 0 = ( x n x 0 )( x n + x 0 ) xn + x 0 = x n x 0 xn + x 0 y además, x n + x 0 x 0 se tiene entonces que x n x 0 ( x0 ) x n x 0 < ɛ..5. Algunos criterios de convergencia y resultados auxiliares para determinar convergencia de sucesiones A continuación se expondrán algunos resultados que sirven como pautas para determinar el límite de sucesiones ó al menos, determinar si son o no convergentes. Proposición.5.: Si {x n } n es una sucesión convergente de números reales y si x n 0 para todo n N, entonces lím x n = x 0 0 Demostración. Ejercicio para el lector. (sugerencia: demostrar por contrapositivo) Teorema 6: Si {x n } n y {y n } n son sucesiones convergentes de números reales y además x n y n para todo n N, entonces lím x n lím y n Demostración. Consideremos la sucesión {z n } n := {y n x n } n entonces z n 0 para todo n N y por el teorema 3 esta sucesión es convergente, luego entonces como se quería demostrar. 0 lím z n = y 0 x 0 x 0 y 0 0

11 El siguiente resultado nos dice que si una sucesión {y n } está comprimida entre dos sucesiones que convergen al mismo límite, entonces también debe converger al mismo límite. Teorema 7 (Teorema de compresión): Sean {x n } n,{y n } n y {z n } n sucesiones de números reales. Supongase que {x n } n y {z n } n son sucesiones convergente y además que lím x n = lím z n y si para algún k N tal que n k, n N se tiene que x n y n z n entonces la sucesión {y n } es convergente y además lím y n = lím x n = lím z n Demostración. Sea lím x n = lím z n = u entonces, para ɛ > 0 la convergencia de {x n } n y {z n } n nos garantiza que existen k, k 3 N tales que si n k y n k 2 entonces se tiene respectivamente que x n u < ɛ y z n u < ɛ Sea ahora k 2 = max{k, k, k 3 }, así, para n k 2 tenemos que y entonces Como se quería demostrar. x n y n z n u ɛ < x n y n z n < u + ɛ y n u < ɛ Ejemplo. Considere la sucesión x n = sen(n) unos cuántos cálculos nos indicarán que tal n sucesión cambia de signo conforme avanzamos en los valores de n sin embargo notemos que sin(n) n sin(n) n n. Como una aplicación directa del teorema anterior tenemos entonces que sin(n) lím = 0 n Proposición.5.2: Sean {x n } n,{y n } n sucesiones en R. Suponga que lím x n = 0 y que {y n } n es una sucesión acotada. Entonces lím x n y n = 0. Demostración. Sea M tal que y n M. Por otro lado, para ɛ/m existe N N tal que Así x n 0 < ɛ si n N x n y n 0 = x n y n = x n y n < ɛ M M = ɛ

12 Bibliografía [] Bloch E. The real numbers and real análysis. New York: Springer Verlag. [2] Davidson K. Real analysis and its applications Theory in practice. New York: Undergraduate texts in mathematics, Springer Verlag. 2