AUTOCORRELACIÓN. Autocorrelación. Contraste de Hipótesis. Test de Durbin-Watson para. autocorrelación de tipo AR(1)
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- Nicolás Nieto Peña
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1 Auocorrelación AUTOCORRELACIÓN Auore: Ángel Alejandro Juan Pérez Renaa Kizy Lui María Manzanedo Del Hoyo ESQUEMA DE CONTENIDOS Mariz Var[U] en modelo con dao de erie emporal: auocovarianza Mariz Var[U] en modelo con auocorrelación de ipo AR() Problemáica:. Mariz Var[U]. Eimadore MCO Caua de la Auocorr. Auocorrelación Deección de Auocorrelación con Miniab Méodo gráfico Conrae de Hipóei Eimación por méodo de Durbin en modelo con auocorrelación AR() Te de Durbin-Waon para auocorrelación de ipo AR() INTRODUCCIÓN En el mah-block Inroducción al MRLG vimo qué ocurría cuando fallaban la hipóei de efericidad en el érmino de perurbación. No cenraremo ahora en la hipóei de no auocovarianza (el upueo de que lo érmino de perurbación del modelo no eán correlacionado), y upondremo que el reo de la hipóei de efericidad í e cumplen. En ee mah-block aprenderemo a deecar la preencia de auocorrelación (érmino de perurbación correlacionado) en el modelo, analizaremo alguna de u poible caua, y moraremo cómo e poible reolver dicha problemáica a fin de obener eimadore de calidad. Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
2 Auocorrelación OBJETIVOS Enender en qué conie el problema de la auocorrelación y cómo afeca ée a la mariz de varianza y covarianza y a lo eimadore MCO. Conocer la caua que pueden provocar el incumplimieno de la hipóei de auocorrelación. Analizar el problema de la auocorrelación en modelo con dao de core longiudinal (erie emporal), y comprender lo concepo de auocovarianza y coef. de auocorrelación imple. Eudiar el problema de la auocorrelación de ipo AR(). Aprender a deecar, con ayuda de Miniab, la preencia de auocorrelación en un modelo, ano por medio gráfico como a ravé de conrae de hipóei. Saber reolver el problema de la auocorrelación de ipo AR() mediane el méodo de Durbin. CONOCIMIENTOS PREVIOS Apare de ear iniciado en el uo de Excel y del paquee eadíico Miniab, reula muy conveniene haber leído con profundidad lo iguiene mah-block: Regreión Lineal Múliple Inroducción al MRLG CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE El problema de la Auocorrelación Como e comenó en el mah-block Inroducción al MRLG, cuando e uiliza el modelo de regreión lineal múliple (donde uamo la noación X para la variable que acompaña al érmino independiene): Y β β β k k u reula habiual uponer que no exie correlación enre lo érmino de perurbación (hipóei de no auocorrelación), i.e.: [ u, u ] Cov[ u, u ] i j ij Cov i j j i ji Por lo que a la mariz de varianza y covarianza del érmino de perurbación e refiere, ea hipóei e raduce en el hecho de que VAR[U] erá una mariz diagonal (odo lo érmino exerno a la diagonal principal erán cero): Var [ U ] Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
3 Auocorrelación Cuando no e cumpla la hipóei anerior, diremo que el modelo preena problema de auocorrelación o correlación erial. En al cao, exiirá correlación enre do o má érmino de perurbación, por lo que la mariz de varianza y covarianza aociada ya no erá diagonal (exiirán elemeno no nulo fuera de la diagonal principal). En preencia de auocorrelación, y uponiendo que í e cumple la hipóei de Heerocedaicidad, (i.e.: que la varianza del érmino de perurbación e conane), la mariz de varianza y covarianza del érmino de perurbación erá una mariz imérica de la forma: Var n n [ U ] Ω n u i donde [ ] n n n n Var y n e el número de obervacione diponible. n n En ale condicione, el eimador MCO de B e inegado y coniene, pero no e eficiene (e decir, ya no erá el de mínima varianza, por lo que i uamo el eimador MCO en lugar del eficiene para hallar inervalo de confianza earemo perdiendo preciión ya que obendremo inervalo má grande de lo que proporcionaría el eimador eficiene). Ademá, el eimador de la varianza del érmino de perurbación,, erá egado. ˆ u Aplicación del MCG para modelo con Auocorrelación Como acabamo de ver, cuando el modelo preene problema de auocorrelación, el méodo MCO no no proporciona bueno eimadore, y erá neceario recurrir al méodo de mínimo cuadrado ponderado o generalizado (MCG) para obener eimadore de calidad: ˆ B MCG ( X Ω ) ( X Ω Y ) Por ano, reula imprecindible conocer la mariz Ω - (la invera, alvo facor ecalar, de la mariz de varianza y covarianza del érmino de perurbación) o, alernaivamene, la mariz T P - al que Ω P P (recordemo que ora opción alernaiva para hallar lo eimadore MCG e aplicar MCO obre el modelo ranformado mediane T). Sin embargo, en el cao de auocorrelación en general, no reula fácil conocer la forma concrea de la marice T y Ω -. En ee mah-block no limiaremo pue a eudiar la forma de dicha marice para un ipo frecuene de auocorrelación, el que aparece en modelo de regreión con dao de core longiudinal (erie emporal). Má concreamene, analizaremo la forma que adquieren dicha marice en lo llamado equema auorregreivo de orden o AR(). Aimimo, preenaremo una variane del méodo MCG (el llamado méodo de Durbin) que no faciliará la eimación de lo coeficiene B en modelo con equema de auocorrelación de ipo AR(). Proyeco e-mah 3 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
4 Auocorrelación Caua de la Auocorrelación Trabajo con dao de erie emporal: cuando e rabaja con dao de core longiudinal (p.e.: una variable explicaiva cuya obervacione correpondan a valore obenido en inane emporale uceivo), reula baane frecuene que el érmino de perurbación en un inane dado iga una endencia marcada por lo érmino de perurbación aociado a inane aneriore. Ee hecho da lugar a la aparición de auocorrelación en el modelo. Epecificación errónea en la pare deerminia del modelo (auocorrelación epuria): en ee aparado, cabe diinguir do iuacione:. Omiión de variable relevane: en al cao, la variable omiida paan a formar pare del érmino de error y, por ano, i hay correlación enre diina obervacione de la variable omiida, ambién la habrá enre diino valore de lo érmino de perurbación.. Epecificación incorreca de la forma funcional del modelo: i uamo un modelo inadecuado para decribir la obervacione (p.e.: un modelo lineal cuando en realidad e debería uar un modelo cuadráico), noaremo que lo reiduo mueran comporamieno no aleaorio (i.e.: eán correlacionado). Tranformacione de lo dao: deerminada ranformacione del modelo original podrían cauar la aparición de auocorrelación en el érmino de perurbación del modelo ranformado (incluo cuando el modelo original no preenae problema de auocorrelación). Trabajo con modelo dinámico: cuando e rabaja con erie emporale uele er habiual coniderar modelo de regreión que incluyan no ólo lo valore acuale ino ambién lo valore reardado (paado) de la variable explicaiva. E el cao de un modelo de reardo diribuido de orden o RD(): Y α β β β β u X X X X Oro ipo de modelo dinámico que preenaría problema de auocorrelación ería aquel que incluyee enre u variable explicaiva uno o má valore reardado de la variable dependiene. Ee oro ipo de modelo dinámico e conoce como modelo auorregreivo de orden o AR(): Y α β u X Y Y Proyeco e-mah 4 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
5 Auocorrelación Mariz VAR[U] en modelo de regreión con dao de core longiudinal Como hemo vio, una de la iuacione en que con má frecuencia uelen aparecer problema de auocorrelación e cuando e rabaja con modelo de regreión lineal que hacen uo de dao de core longiudinal (erie emporal). En eo cao, no hablaremo de covarianza enre lo érmino de perurbación u i y u j, ino de covarianza enre lo érmino u y u -, o auocovarianza de orden,, donde u - e el érmino de perurbación aociado al inane emporal -: (Obervar que Cov[u, u ] Var[u, u ] ) Auocovarianza de orden Cov[u, u - ] La auocovarianza cumple una erie de propiedade inereane:. E imérica repeco de, i.e.: Cov[u, u - ] Cov[u, u ] -. Sólo depende del número de período emporale () que hay enre lo do érmino de perurbación implicado, i.e.: Cov[u, u - ] Cov[u *, u *- ], * 3. En valor aboluo, e iempre menor o igual que la varianza, i.e.: Al conjuno formado por oda la auocovarianza {,, 3,, n- } e le denomina función de auocovarianza (donde n e el número de obervacione). Uando el concepo de auocovarianza y la propiedade aneriore, la mariz de varianza y covarianza del érmino de perurbación puede ecribire como: Var [ U ] Ω n n n n n n n n 3 n n n 3 En la expreión anerior, podemo acar como facor común el érmino, con lo que quedaría: donde Var [ U ] Ω n n n n 3 n n n 3 e el llamado coeficiene de auocorrelación imple,. El coeficiene de auocorrelación imple no e má que un coeficiene de correlación, por lo que u valor iempre eará comprendido enre y (oma el valor para ). Al conjuno formado por odo lo coeficiene de auocorrelación imple {,, 3,, n- } e le denomina función de auocorrelación imple o ACF. Proyeco e-mah 5 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
6 Mariz VAR[U] en modelo con equema de auocorrelación AR() Auocorrelación Acabamo de ver que, cuando e rabaja con modelo de regreión lineal de core longiudinal (erie emporal), la mariz de varianza y covarianza del érmino de perurbación viene deerminada por lo coeficiene de auocorrelación imple (,, 3,, n- ). El problema e que dicho coeficiene on valore deconocido a priori, por lo que -a fin de implificar aún má la expreión de la mariz Ω- e neceario recurrir a algún upueo adicional obre el ipo de auocorrelación que iguen lo érmino de perurbación. En general e uan re upueo o equema de auocorrelación: el equema auorregreivo (AR), el equema de media móvil (MA), y el equema mixo (ARMA). Nooro no cenraremo en el primero de ello. Aí, dado el modelo de regreión lineal (con dao de core longiudinal) iguiene: Y β β β k k u diremo que el érmino de perurbación aociado al inane, (u ) igue un equema auorregreivo de orden, AR(), i e una combinación lineal del érmino anerior (u - ) y de un érmino de error (ε ) que verifica lo upueo de efericidad del MRLM (ruido blanco): u ε u Se puede demorar que, cuando el érmino de perurbación igue un equema AR() con coeficiene, e cumple lo iguiene:. La varianza del érmino de perurbación e: [] (donde ε e la varianza del érmino de error ε ). Var u ε. Lo coeficiene de auocorrelación imple on: p, p,, p Aí pue, en un modelo con equema de auocorrelación AR(), la mariz de varianza y covarianza del érmino de perurbación ólo dependerá de lo parámero ε y : Var [ U ] Ω ε n n n 3 n n n 3 En concreo, la marice que no inerean para aplicar MCG (en cualquiera de u do verione) vendrán dada por: Ω Proyeco e-mah 6 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
7 Auocorrelación T P Finalmene, conviene obervar lo iguiene:. Dado que <, lo coeficiene de auocorrelación imple forman una uceión decreciene en módulo (i.e.: ).. Si < <, lo valore,,, < <, lo valore,,, negaivo. > > > > erán iempre poiivo. Por el conrario, i irán alernando u igno, comenzando por Ejemplo: Supongamo que hemo eimado por MCO, y baándono en n 6 obervacione, lo coeficiene de un MRLM. Tra realizar un análii, decubrimo que el érmino de perurbación del modelo preena un equema de auocorrelación de ipo AR(). Sabemo ademá que ε y que,6. En ea condicione, uaremo Excel para hallar la forma exaca de la mariz Var[U], aí como un gráfico donde e muere la función de auocorrelación imple o ACF: Teniendo en cuena que p, el cálculo de lo coeficiene de auocorrelación imple reula inmediao (obervar que en la hoja de cálculo hemo realizado lo cálculo para lo do poible valore del parámero, el cual viene denoado por L en la figura). Aimimo, ambién reula inmediao el cálculo de ε. En ee puno, e inereane noar que, i,6 (e decir, > ), lo coeficiene de auocorrelación imple on decreciene y iempre poiivo. Por el conrario, i -,6 (i.e.: < ), enonce dicho coeficiene van omando valore negaivo y poiivo de forma alernada (i bien on decreciene en módulo). Proyeco e-mah 7 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
8 Auocorrelación La idea aneriore e pueden apreciar con claridad en la gráfica ACF iguiene: Correlograma ACF de un equema AR() con L,6 P,7,6,5,4,3,,, Rerao () P Correlograma ACF de un equema AR() con L -,6,6,4,, -, -,4 -,6 -, Rerao () Proyeco e-mah 8 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
9 Deección de Auocorrelación por méodo gráfico con Miniab Auocorrelación Para analizar la poible preencia de auocorrelación en el modelo e uele recurrir a do écnica complemenaria: () el análii gráfico de lo reiduo (obenido al realizar la regreión por MCO), y () lo conrae de hipóei epecífico (e de Durbin-Waon, e h de Durbin, e de Breuch-Godfrey, e Q de Box-Pierce, e de Ljung-Box, ec.). Al realizar la regreión por MCO, Miniab no ofrece la opción de repreenar gráficamene lo reiduo (o, alernaivamene, lo reiduo eandarizado) frene al orden en que e ha regirado la obervación aociada. Dado que lo reiduo MCO on eimadore coniene de lo érmino de perurbación, i e aprecian en el gráfico anerior parone de comporamieno iemáico (no aleaorio) podremo afirmar que lo érmino de perurbación preenan algún ipo de auocorrelación. Ejemplo: En la abla iguiene e mueran dao referido a lo nivele de imporación (IM) y PIB (ambo en mile de millone de euro) pereneciene a la economía de la zona euro durane lo úlimo año: Al realizar la regreión por MCO de IM obre PIB, pediremo al programa que repreene gráficamene lo reiduo frene al orden de la obervación aociada: Sa > Regreion > Regreion: Ademá, guardaremo ambién lo reiduo y lo valore ajuado para IM en enda columna: En el gráfico de reiduo frene al orden de la obervación e obervan indicio claro de que lo reiduo no iguen un parón aleaorio y, por ano, de que el modelo preena problema de auocorrelación: Proyeco e-mah 9 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
10 Auocorrelación También e poible obener ee gráfico (juno con alguno má que no pueden er de uilidad a la hora de conraar ora hipóei de efericidad) mediane la opción Sa > Regreion > Reidual Plo Uando ea opción, logramo ademá que Miniab realice un e de racha y marque con aerico la preencia de parone no aleaorio en lo reiduo: Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
11 Auocorrelación A coninuación e mueran lo reulado de lo e de racha, en lo que e epecifica el ipo de comporamieno iemáico deecado: TEST. One poin more han 3, igma from cener line. Te Failed a poin: 3 TEST 3. 6 poin in a row all increaing or all decreaing. Te Failed a poin: TEST 5. ou of 3 poin more han igma from cener line (on one ide of CL). Te Failed a poin: TEST 6. 4 ou of 5 poin more han igma from cener line (on one ide of CL). Te Failed a poin: TEST 8. 8 poin in a row more han igma from cener line (above and below CL). Te Failed a poin: 6 Para conocer má dealle obre eo e podéi conular el mah-block Eadíica no paramérica o la opción de Miniab Sa > Nonparameric > Run Te. Deección de Auocorrelación mediane el e de Durbin-Waon Y β β β k u Dado el modelo de regreión lineal múliple k, el e de Durbin-Waon permie conraar i el érmino de perurbación eá auocorrelacionado egún un equema AR(), i.e., la hipóei nula indica que i el érmino de perurbación e de la forma u u ε enonce neceariamene (con lo que no habría auocorrelación egún equema AR()): H () H a : u : u AR() AR() con con > H o bien () H a : u : u AR() AR() con con < El eadíico que e uiliza para realizar dicho e e el eadíico Durbin-Waon (el cual obendremo con ayuda de Miniab). El eadíico DW e un valor comprendido enre y 4. Como e oberva en el iguiene gráfico, para valore de DW próximo a no rechazaremo Ho. Por el conrario, para valore de DW alejado de, í rechazaremo Ho (i.e., aceparemo la exiencia de auocorrelación de ipo AR()): Zona de inceridumbre Acepar H a en () > Acepar H Acepar H a en () < d L 4-d U 4-d L 4 En el gráfico anerior, d L y d U on valore abulado [ver web de abla] que dependen del número de obervacione (n), del número de regreore (k), y del nivel de ignificación (α). Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
12 Auocorrelación Añadir, finalmene, que i < DW <, el coeficiene erá poiivo (earemo en el conrae unilaeral ()), mienra que i < DW < 4, dicho coeficiene erá negaivo (earemo en el conrae ()). Una vez hallado DW, e poible uar u valor para eimar el coeficiene de auocorrelación imple mediane la expreión: ˆ DW Ademá, abemo que en un modelo con auocorrelación AR(), lo coeficiene de auocorrelación imple vienen dado por: p, p,, p, aí que una vez eimado el valor de podremo obener fácilmene eimacione para lo (n-) coeficiene de auocorrelación imple y repreenar la correpondiene función de auocorrelación imple o ACF. Por ora pare, hemo vio aneriormene que conocido el valor eimado de e poible conruir la mariz Ω - (o, alernaivamene, la mariz de ranformación T) y aplicar el méodo MCG para hallar lo eimadore del vecor de coeficiene B. El e de Durbin-Waon preena alguno problema erio que cabe ener encuena: Sólo e úil para conraar i el érmino de perurbación eá auocorrelacionado egún un equema AR(). El e no erviría para deecar oro ipo de auocorrelación. La coa d L y d U ólo on válida i el modelo de regreión inicial coniene érmino independiene (que habiualmene hemo denoado por β ). Preena zona de inceridumbre, de forma que i el eadíico DW e encuenra enre d L y d U, o enre 4-d U y 4-d L, no podremo concluir nada. Sólo e válido i odo lo regreore del modelo on deerminia. Si, p.e., enre lo regreore del modelo e incluyee la variable endógena reardada (como en el modelo Y α β X Y u ), el e no ería válido (ya que el modelo incluiría un regreor con componene aleaoria proveniene del érmino de perubación u - ). Por lo moivo aneriore, e ha dearrollado oda una erie de e complemenario al de Durbin-Waon, lo cuale pueden empleare para olucionar alguna de u limiacione. Enre ello cabe ciar lo iguiene: el e de la h de Durbin, el e de Breuch-Godfrey, el e Q de Box-Pierce, ec. Proyeco e-mah Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
13 Auocorrelación Ejemplo: Volviendo al ejemplo anerior, vamo a comprobar ahora mediane el e de Durbin-Waon- i la auocorrelación que habíamo deecado al analizar el gráfico de lo reiduo e del ipo AR(). El primer pao erá eimar el modelo mediane MCO, indicando al programa que deeamo conocer ambién el valor del eadíico DW: El oupu que obenemo e el iguiene: Regreion Analyi The regreion equaion i IM - 56,,6 PIB Predicor Coef SDev T P Conan -56,33 5,44 -,3, PIB,63,4365 8,9, S,6 R-Sq 97,9% R-Sq(adj) 97,8% Durbin-Waon aiic,65 Miniab no ha proporcionado el valor DW,65. Para un nivel de ignificación α,5, y dado que n y k, e obienen lo valore (ver abla en enlace web): d L, y d U,4. Aí pue, endremo que DW,65 < d L,, por lo que rechazaremo la hipóei nula, i.e.: hay indicio de que exie auocorrelación de ipo AR() en el érmino de perurbación. Ademá, eamo en el cao en que >. A parir del eadíico DW, podemo eimar el valor del primer coeficiene de auocorrelación imple: DW ˆ,675 Como en un modelo con auocorrelación AR(), lo coeficiene de auocorrelación imple vienen dado por: p, p,, p, ambién podremo obener eimacione para lo (n-) coeficiene y repreenar la correpondiene función de auocorrelación imple o ACF: Proyeco e-mah 3 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
14 Auocorrelación Finalmene, una eimación de la mariz Ω - (de amaño x) vendrá dada por: Ω,675,675,675,675,675,675,675,675,675,675 Conocida la mariz Ω - ería poible al meno en eoría, ya que cuando el número de obervacione e muy grande lo cálculo con marice e complican- aplicar MCG para obener lo coeficiene del vecor B. Eimación de modelo con auocorrelación AR() por méodo de Durbin Como acabamo de ver, dado un MRLM cuyo érmino de perurbación preene auocorrelación de ipo AR(), e poible eimar el parámero a parir del eadíico DW y, por ano, conruir la mariz Ω - (o, alernaivamene, T) con la cual aplicar el méodo MCG para eimar lo coeficiene del modelo inicial. En ocaione, in embargo, puede reular má eficiene eimar el vecor de coeficiene B uilizando una variane del méodo MCG que e denomina méodo de Durbin. Aí, dado el MRLM: Y β β β k k u haremo lo iguiene: con u. Eimar por MCO el coeficiene del modelo auxiliar: u ε Y α α α α α ε Y k k k k Proyeco e-mah 4 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
15 Auocorrelación. Uando el eimador de obenido, aplicar MCO en el modelo ranformado iguiene: ( Y ˆ Y ) ( ˆ) β ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ β X β X X u u ) k k k Y * β * X * X k * u * Para eviar perder la primera obervacione, ane de aplicar MCO al modelo ranformado definiremo Y * Y ˆ, y * i ˆ X i X i,, k. Ejemplo: Coninuando con el ejemplo anerior, habíamo demorado que el modelo original β preenaba auocorrelación de ipo AR() en el érmino de IM PIB u β perurbación. El primer pao erá pue eimar por MCO el modelo auxiliar: IM α α α ε IM PIB PIB Para ello, hemo de conruir la nueva columna IM(-) y PIB(-), la cuale conendrán lo mimo dao que la columna IM y PIB pero con un reardo de una unidad emporal. Para crear ea nueva columna, podemo uar la opción Sa > Time Serie > Lag: La nueva columna creada e mueran en la iguiene imagen: Del oupu obenido ólo no inerea el eimador del coeficiene, cuyo valor e,75: Regreion Analyi The regreion equaion i IM -,9,7 IM(-),54 PIB -,6 PIB(-) 9 cae ued cae conain miing value Predicor Coef SDev T P Conan -,89, -,7,8 IM(-),75,4 3,58,3 PIB,538,3,36,94 PIB(-) -,64,3 -,89,385 Proyeco e-mah 5 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
16 Uaremo ee valor para conruir el modelo ranformado: Auocorrelación ( IM,75 IM ) (,75) β β ( PIB,75 PIB ) ( u,75 u ) Crearemo pue la nueva variable IM * IM,75 IM -, y PIB * PIB,75 PIB - (denoaremo la nueva columna por IM y PIB repecivamene): Para la primera celda de la columna IM y PIB, uaremo repecivamene lo valore: Celda de IM 3, (-,75 ) 6,64 Celda de PIB 56, (-,75 ) 35,36 La nueva columna quedarán pue de la iguiene manera: Finalmene, el oupu de regreión no proporciona lo valore eimado para lo coeficiene β y β *,785 β. Por ano, podemo concluir que: β ˆ,4 y,346 /,785 8, 37 ˆ Regreion Analyi β. The regreion equaion i IM -,3,4 PIB Predicor Coef SDev T P Conan -,346 3,9-5,7, PIB,455,9 5,7, S 7,73 R-Sq 93,% R-Sq(adj) 9,8% Durbin-Waon aiic,58 Se puede comprobar ademá que, para un nivel de ignificación α,5, el nuevo eadíico DW,58 no muera indicio de auocorrelación de ipo AR() en el érmino de perurbación del modelo ranformado. Proyeco e-mah 6 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
17 Auocorrelación BIBLIOGRAFÍA [] Arí, M.; Suriñach, J.; e al (): Economería. Ed. Fundació per a la Univeria Obera de Caalunya. Barcelona. [] Carer, R.; Griffih, W.; Judge, G. (): Uing Excel for Undergraduae Economeric. ISBN: [3] Doran, H. (989): Applied Regreion Analyi in Economeric. Ed. Marcel Dekker, Inc. ISBN: [4] Gujarai, D. (997): Economería báica. McGraw-Hill. ISBN [5] Johnon, J. (): Méodo de economería. Ed. Vicen Vive. Barcelona. ISBN X [6] Kennedy, P. (998): A Guide o Economeric. Ed. MIT Pre. ISBN: 6646 [7] Novale, A. (993): Economería. McGraw-Hill. ISBN [8] Pulido, A. (): Modelo economérico. Ed. Pirámide. Madrid. ISBN [9] Uriel, E. (99): Economería: el modelo lineal. Ed. AC. Madrid. ISBN [] Wooldridge, J. (): Inroducción a la Economería: un enfoque moderno. Ed. Thomon Learning. ISBN: ENLACES hp://cv.uoc.e/modul/uw_775_3/index.hml Tabla de diribucione eadíica (incluye la del eadíico Durbin-Waon) hp:// Tabla de diribucione eadíica (incluye la del eadíico Durbin-Waon) hp:// The Economeric Journal On-Line hp:// Libro on-line: Handbook of Economeric Vol. -5 hp://ela.berkeley.edu/uer/mcfadden/dicree.hml Libro on-line: Srucural Analyi of Dicree Daa and Economeric Applicaion hp:// Online Reource for Economeric Suden hp:// Economeric Source: a collecion of link in economeric and compuing. Univeriy of Illinoi hp:// Economeric, Saiic, Mahemaic, and Forecaing hp://idea.uqam.ca/edirc/ecrix.hml Economic Deparmen, Iniue and Reearch Cener in he World: Economeric, Mahemaical Economic. Proyeco e-mah 7 Financiado por la Secrearía de Eado de Educación y Univeridade (MECD)
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