Introducción al análisis de la varianza (ANOVA)

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1 Introducción al análisis de la varianza (ANOVA) Albert Sorribas Departament de Ciències Mèdiques Bàsiques Universitat de Lleida última versión: 6 de febrero de 2014 Índice 1. Introducción Objetivos del método Análisis en el caso de un factor Notación Sumas de cuadrados Estimación de la varianza Distribución de F bajo la hipótesis nula Tabla del ANOVA Evolución del peso en personas anoréxicas (ANOVA de un factor) Prueba de igualdad de varianzas Contrastes Diseños con dos factores Ejemplos e interpretación del ANOVA de dos factores Ejercicios Apéndice: Funciones auxiliares Generación de experimentos de uno y dos factores Gráficos de medias por grupos

2 1. Introducción Una de las situaciones más comunes en diseño de experimentos consiste en controlar distintos factores (condiciones experimentales) y medir una respuesta con el objetivo de determinar si los factores considerados son responsables de una variación en la respuesta media. Por ejemplo, podemos medir la producción total en distintas parcelas experimentales definidas por el tipo de abono, situación y variedad plantada. En otro ejemplo, podemos medir la concentración de un metabolito en pacientes sometidos a distintos tramientos para verificar qué tratamiento es más efectivo en conseguir variar dicha concentración en los pacientes. Este tipo de problemas son un caso particular de los modelos lineales, donde se consideran factores qualitativos en el modelo. Vamos a ver el ejemplo más sencillo. Supongamos que estamos evaluando dos nuevos tratamientos respecto a un tratamiento de referencia (control). Diseñamos el experimento repartiendo al azar entre los tratamientos a un conjunto de voluntarios. Una vez finalizado el tratamiento, se mide una variable respuesta y se evalúa si hay diferencias entre los distintos tratamientos. Si los tratamiento no se diferencian del tratamiento de referencia, entonces la j ésima observación del tratamiento T i puede ponerse como y ij = µ + ɛ i (1) donde ɛ i sigue una N(0, σ). Un ejemplo de esta situación la podemos ver en la fig.1. Puede apreciarse que en cada nivel del factor (los grupos experimentales) los resultados son distintos pero que la distribución es similar en todos ellos. El análisi de la varianza debe determinar si las diferencias son estadísticamente significativas o no Y Factor Figura 1: Ejemplo de un experimento donde el efecto del factor considerado no parece ser muy importante Si el tratamiento tiene un efecto, entonces el modelo puede formularse como: y ij = µ + α i + ɛ i (2) 2

3 donde α i seria el efecto (aditivo) del tratamiento T i. En este caso, la distribución de resultados en el grupo T i seguiria una normal N(µ + α i, σ). Por ejemplo, en la fig.2 se muestra un caso en el que se aprecia un efecto evidente del factor, siendo evidente que la distribución de los resultados es claramente distinta para cada grupo experimental Y Factor Figura 2: Ejemplo de un experimento donde el efecto del factor considerado es evidente El modelo puede incluir otros factores. Por ejemplo, si queremos considerar el género como un posible factor, podríamos poner: y ijk = µ + α i + β j + ɛ ij (3) Ahora β j seria el efecto del género (p.e. β 1 para hombres y β 2 para mujeres. y ijk indicaría la k ésima observación en el grupo T i para el género G j. El término ɛ ij seguiria una N(0, σ) igual para todos los grupos. En la fig.3 puede verse un ejemplo donde tendríamos un efecto del primer factor, mientras que el segundo factor no determinaría un cambio en la respuesta. 3

4 Y 12.5 F F1 Figura 3: Ejemplo de un experimento con dos factores. Se muestra la media y el IC para cada combinación de factores Finalmente, si consideramos que hombres y mujeres (factor F1) responden de manera distinta a los tratamientos (factor F2), podríamos considerar un término de interacción: y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ɛ ij (4) donde γ ij indicaría el efecto de la interacción entre el tratamiento T i i el género G j. En este caso, el comportamiento de las observaciones en los hombres (grupo 1) bajo el primer tratamiento seguiria una N(µ + α 1 + β 1 + γ 11, σ). Un ejemplo de esta situación puede apreciarse en la fig.4. 4

5 25 Y 20 F F1 Figura 4: Ejemplo de un experimento con dos factores con interacción. Se muestra la media y el IC para cada combinación de factores 1.1. Objetivos del método En función de los datos disponibles, se trata de ajustar un modelo lineal que considere los factores de interes. El ajuste proporciona un valor de los efectos y posibles interacciones y permite verificar si son distintos de cero. En tal caso, podremos concluir que el efecto es significativo y que debe tenerse en cuenta para entender el comportamiento de las observaciones. Por otra parte, deberemos poder determinar que niveles del factor proporcionan un efecto más importante. En el ejemplo de los tratamientos, deberemos estimar que tratamiento tiene un efecto superior al tratamiento de referencia y si los tratamientos que estamos probando son distintos entres si. Además, deberemos verificar si los efectos son similares o no para hombres y mujeres. 2. Análisis en el caso de un factor Para introducir la lógica y la interpretación del ANOVA, nos centraremos en el caso del diseño de un factor con k niveles. Este es un caso muy común en diseño experimental donde disponemos de un grupo control y diversos tratamientos. En este caso el factor es el tratamiento y los niveles son cada tratamiento (incluyendo el control) Notación En la tabla 1 introducimos la notación básica en este caso. En este caso n 1 = n 2 = n 3, es decir el diseño está balanceado. Este no es un requisto necesario, pero si recomendable. Las medias de cada grupo i son: y i. = ni j=1 yij n i 5

6 Cuadro 1: Tractament y 11 y 21 y 31 y 12 y 22 y y 1n1 y 2n2 y 3n3 y 1. y 2. y 3. Y la media global es: i y.. = i ni j yij 2.2. Sumas de cuadrados Para poder discutir los conceptos básicos asociados al ANOVA vamos a considerar un ejemplo sencillo. Supongamos que tenemos los datos siguientes (fig.5): Figura 5: Ejemplo de un experimento donde el efecto del factor considerado no parece ser muy importante 6

7 Vamos a introducir varios conceptos importantes. En primer lugar, vamos a considerar la variabilidad total que correspondería a las observaciones en el caso de que el factor no tuviese un efecto sobre las medias. En este caso, podemos calcular loque se conoce como suma de cuadrados total de la siguiente forma: SCT = (y ij y.. ) 2 (5) i j La SCT puede descomponerse de la siguiente forma: SCT = ((y ij y i. ) + (y i. y.. )) 2 (6) i j Desarrollando el cuadrado: y por tanto: SCT = i SCT = i ((y ij y i. ) 2 + (y i. y.. ) 2 + 2(y ij y i. )(y i. y.. )) (7) j (y ij y i. ) 2 + j i (y i. y.. ) 2 + j i 2(y ij y i. )(y i. y.. ) (8) Si desarrollamos el último término vemos que es nulo, por lo que obtenemos: SCT = (y ij y i. ) 2 + (y i. y.. ) 2 (9) i j i j Finalmente: El término SCT = i (y ij y i. ) 2 + i j SCD = i j n i (y i. y.. ) 2 = SCD + SCE (10) (y ij y i. ) 2 (11) se conoce como suma de cuadrados dentro de los grupos (within groups) y representa la suma de las desviaciones cuadráticas de las observaciones respecto de las medias de su grupo. Por otra parte, el término SCE = n i (y i. y.. ) 2 (12) i se conoce como suma de cuadrados entre grupos (between groups) y representa la variabilidad de las medias de cada grupo con respecto a la media general. Intuitivamente, si las medias son iguales la SCE será baja y la variabilidad dentro del grupo (SCD) será similar a la total (SCT). Cuando las medias se alejen por efecto del factor, entonces la SCE será mayor Estimación de la varianza En el modelo lineal que estamos considerando, la variabilidad dentro de cada grupo se considera N(0, σ). Vamos a ver que tenemos dos maneras de estimar σ 2 cuando no existe efecto del factor. En este caso, podemos considerar que las observaciones de cada grupo son muestras de una misma variable N(µ, σ). Si disponemos de distintas muestras de una variable, podemos estimar su varianza como: j 7

8 Donde ˆσ 2 = s 2 = (n 1 1)s (n 2 1)s (n k 1)s 2 k k (n k 1) s 2 i = j (y ij y i. ) (n i 1) Por lo tanto, la ecuación 13 es equivalente a ˆσ 2 = s 2 i j = (y ij y i. ) 2 = SSD n k n k Veamos ahora el problema desde otra perspectiva. Para simplificar la demostración, consideraremos que el diseño está balanceado, es decir: n 1 = n 2 =... = n k = n. Se cumple que la varianza de la media sería: σy 2.. = σ2 n σ2 y = n σ y 2.. (16) Podemos obtener una estimación de σ y 2.. haciendo (13) (14) (15) ˆσ y 2.. = i (y i. y.. ) 2 k 1 Por lo tanto, dado que n 1 = n 2 =... = n k = n, podemos escribir: σ 2 = n i (y i. y.. ) 2 k 1 (17) (18) Finalmente σ 2 = i n i(y i. y.. ) 2 k 1 = SCE k 1 Tenemos, por lo tanto dos estimaciones de σ 2. Por una parte SCE SCD k 1, y por otra n k. Bajo la hipóteis nula de ausencia de efecto del factor, ambas estimaciones deberían coincidir. Por otra parte, la SCE aumentará, como hemos comentado anteriormente, cuando el efecto sea mayor. Por lo tanto el cociente F = SCE/(k 1) SCD/(n k) Debería se bajo cuando no existen efectos (SCE 0) y alto cuando las medias son distintas en los distintos niveles del factor (SCE > SCD) Distribución de F bajo la hipótesis nula Bajo la hipótesis nula de ausencia de efectos, el estadístico F calculado como: (19) (20) F = SCE/(k 1) SCD/(n k) (21) sigue una distribució F de Fisher con k 1 y n k grados de libertad. La demostración de este resultado queda fuera del ámbito de estas notas. Sin embargo, podemos comprobarlo empíricamente. Para ello, podemos generar una serie de datos aleatorios que se correspondan con una situación determinada. Por ejemplo, podemos suponer que ɛ sigue una N(0, 2) y que el diseño corresponde al caso de un factor con tres niveles (k = 3). Supongamos también que en cada grupo dispone 8

9 de 30 observaciones. Para cada caso, calculamos SCE y SCD y el valor de F. Caso en que el factor no tiene efecto sobre las medias, entonces el resultado de F (que será distinto en cada muestra) debe seguir una distribución F de Fisher con 2 y 57 grados de libertad. Cuando existen efectos, la distribución de F será distinta. El resultado de las simulaciones se muestra en la fig.6. Asímismo, se muestran los resultados para el caso k = 8 (fig.7). Figura 6: Se generan 3000 casos de un experimento de un factor y tres niveles. En cada caso, se indica el efecto de los distintos niveles. Se puede apreciar que cuando el efecto es nulo, el valor de F sigue la distribución teórica prevista. Cuando existen efectos significativos, el valor de F se aleja de la distribución esperada en ausencia de efectos. 9

10 Figura 7: Se generan 3000 casos de un experimento de un factor y ocho niveles. En cada caso, se indica el efecto de los distintos niveles. Se puede apreciar que cuando el efecto es nulo, el valor de F sigue la distribución teórica prevista. Cuando existen efectos significativos, el valor de F se aleja de la distribución esperada en ausencia de efectos Tabla del ANOVA Los cálculos para el análisis de la varianza se disponen un una tabla (tabla ANOVA). Para el caso de un factor con k niveles, esya tabla es: Cuadro 2: Tabla del análisis de la varianza de un factor Fuente Suma cuadrados Grados libertad Cuadrados medios F SC g.l. k Entre grupos i=1 n i(y i. y.. ) 2 k 1 SQEG/k-1 k ni Dentro grupos i=1 j=1 (y ij y i. ) 2 N k SQDG/N-k k ni Total i=1 j=1 (y ij y.. ) 2 N-1 SQEG/k 1 SQDG/N k En el caso de R, esta tabla aparecerá como: Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Factor Residuals

11 La SCD aparece como Residuals, mientras que la SCE tiene el nombre del factor (en este caso Factor). Df se refiere a los grados de libertad, y Sum sq. a la suma de cuadrados. En este caso, SCE=2.7 y SCD= En este ejemplo, k=3, por lo que la SCE tiene 2 grados de libertad. En cada grupo tenemos 5 observaciones, por lo que n=3*5=15 y la SCD tiene 15-3=12 grados de libertad. Ms Sq indica las sumas de cuadrados divididas por sus grados de libertad. Finalmente F = SCE/(k 1) SCD/(n k) = 2,7/2 112,9/12 = 1,35 = 0,14 (22) 9,41 En este caso, la distribución teórica es una F de Fisher con 2 y 12 grados de libertad. La probabilidad de obtener un valor superior a 0.14 puede calcularse como > round(1-pf(0.14,2,12),3) [1] que es el valor que aparece en la columna P r(> F ) de la tabla. Este resultado indica que aunque un resultado de 0.14 o superior se observaría en un 87 % de los casos y, por lo tanto, no es indicativo de una desviación muy grande respecto a lo que se espera bajo la hipótesis nula de ausencia de efectos. Veamos otro caso donde las diferencias son significativas: Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Factor * Residuals Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 En este ejemplo, p = 0,021. Por lo tanto, podemos concluir que la desviación de los resultados respecto a lo que se espera en ausencia de efectos no entra dentro de lo que parece razonable (sólo un 2.1 % de los casos tendrían una discrepancia igual o superior a la observada en los datos). En este caso, concluimos que existe un efecto significativo del factor Evolución del peso en personas anoréxicas (ANOVA de un factor) Como primer ejemplo, consideraremos los datos en anorexia disponibles en la libreria MASS. En este fichero se recogen los datos de la evolución del peso de distintas personas en función de tres tratamientos. Los detalles pueden obtenerse mediante el comando help(anorexia) en R. Veamos en primer lugar cual es la distribución del aumento de peso para cada tratamiento (fig.8): > library(ggplot2) > library(mass) > ggplot(anorexia,aes(x=treat,y=postwt-prewt)) + + geom_boxplot(aes(fill=treat)) 11

12 20 Postwt Prewt 10 0 Treat CBT Cont FT 10 CBT Cont FT Treat Figura 8: Variación del peso en función del tratamiento Es útil considerar los valores medios y su intervalo de confianza (fig.9) 1 : > ggplotmeans1f(anorexia,f1='treat',var='postwt-prewt') 1 Las funciones ggplotmeans1f y ggplotmeans2f no estan incluidas en la librería ggplot2. Se incluyen en un apéndice y deben ejecutarse antes de utilizarlas para obtener las gráficas de medias. 12

13 8 Postwt Prewt 4 Treat CBT Cont FT 0 4 CBT Cont FT Treat Figura 9: Variación de la media de peso y su IC en función del tratamiento Los IC dan una primera idea del posible efecto de los tratamientos. Se observa en la fig.9 que el tratamiento en familia (FT) produce un aumento medio mayor respecto al control y que el tratamiento cognitivo no parece conseguirlo. Para evaluar esta observación debemos ajustar un modelo lineal y realizar algunos cálculos: > res <- lm((postwt-prewt)~treat,data=anorexia) > anova(res) Analysis of Variance Table Response: (Postwt - Prewt) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Treat ** Residuals Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 En la instrucción lm indicamos que queremos ajustar un modelo de variación del peso en función del tratamiento. Los resultados del análisis de la varianza indican que la dispersión de las medias de los grupos es muy superior a la de las observaciones en los grupos, sugiriendo que hay un efecto del tratamiento. En la fila del tratamiento, observamos un valor significativo inferior a 0.05 para el efecto del tratamiento y concluimos que el aumento de peso dependen del tratamiento. Pero,? qué tratamiento es mejor?. Para responder a esta pregunta debemos estimar la diferencia de medias entre tratamientos. Esto lo podemos hacer mediante la instrucció: > TukeyHSD(aov(res)) 13

14 Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = res) $Treat diff lwr upr p adj Cont-CBT FT-CBT FT-Cont Podemos ver que el IC de la diferenecia de las medias entre FT y Control se sitúa entre 2.09 y 13.34, indicando que este tratamiento consigue aumentar el peso medio. No es así para el tratamiento CBT ya que el IC de la diferencia de medias respecto al Control incluye el valor 0. Gráficamente (fig.10): > plot(tukeyhsd(aov(res))) 95% family wise confidence level FT Cont FT CBT Cont CBT Differences in mean levels of Treat Figura 10: IC de las diferencias de medias entre los tratamientos 2.7. Prueba de igualdad de varianzas El análisis de la varianza requiere que las varianzas de los distintos grupos sean iguales. Podemos verificar la igualdad de varianzas en los tres tratamientos mediante del test de Levene. Es preciso cargar la libreria car: > library(car) > with(anorexia, + levenetest(postwt-prewt,treat) + ) 14

15 Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) group Podemos observar que los datos permiten aceptar la hipótesis de igualdad de varianzas (p=0.6). Por lo tanto, la aplicación del análisis de la varianza es correcta Contrastes 3. Diseños con dos factores Una vez que hemos introducido las ideas fundamentales del análisis de la varianza, podemos explorar casos más completos. Vamos a considerar ahora el caso de dos factores. Para ello, consideraremos los datos ToothGrowth disponibles en R. En estos datos se recoge el crecimiento de los dientes de conejillos de indias en función de la dosis devitamina C que ingieren y del suplemento alimenticio mediante el que ingieren dicha vitamina. Podemos representar mediante boxplots la variación de la longitud en función de ambos factores (fig.11): > ggplot(toothgrowth,aes(x=factor(dose),y=len)) + + geom_boxplot(aes(fill=factor(supp))) 30 len 20 factor(supp) OJ VC factor(dose) Figura 11: Variación de la longitud de los dientes en función del suplemento vitamínico y la dosis Tambien es útil representar los medias con su intervalo de confianza (fig.12): > ggplotmeans2f(toothgrowth,f1='dose',f2='supp',var='len') 15

16 30 25 len 20 supp OJ VC dose Figura 12: Variación de la longitud de los dientes en función del suplemento vitamínico y la dosis Podemos apreciar que la media de longitud se incrementa con la dosis y que la diferencia entre los dos suplementos es importante a dosis bajas pero parece desvanecerse a dosis altas. Plantearemos un modelo donde se consideren tanto la dosis como el suplemento y su posible interacción: > res <- lm(len~factor(dose)+factor(supp),data=toothgrowth) > anova(res) Analysis of Variance Table Response: len Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(dose) < 2e-16 factor(supp) Residuals factor(dose) *** factor(supp) *** Residuals --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 La tabla de ANOVA tiene ahora otro aspecto. Dado que tenemos dos factores, la suma de cuadrados se descompone en la variabilidad entre dosis (primer factor) y entre suplemento (segundo factor). La suma de cuadrados residual corresponde a la variabilidad dentro de los grupos. Ahora valoramos dos hipótesis. Por una parte el efecto de la dosis y por otra la del suplemento alimenticio. En ambos casos, obtenemos p < 0,05, por lo que podemos concluir que tanto la dosis como el suplemento tienen un efecto significativo. 16

17 La fig.12 sugiere que existe interacción, ya que la diferencia de medias para dosis alta es nula. Para evaluar la interacción, el modelo se especifica: > res.int <- lm(len~factor(dose)*factor(supp),data=toothgrowth) > anova(res.int) Analysis of Variance Table Response: len Df Sum Sq Mean Sq factor(dose) factor(supp) factor(dose):factor(supp) Residuals F value Pr(>F) factor(dose) < 2e-16 *** factor(supp) *** factor(dose):factor(supp) * Residuals --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Podemos ver que el término de interacción es significativo (p=0.022). Por lo tanto, concluimos que las diferencias entre medias de cada suplemento dependen de la dosis. Podemos comparar dos modelos jerárquicos mediante: > anova(res,res.int) Analysis of Variance Table Model 1: len ~ factor(dose) + factor(supp) Model 2: len ~ factor(dose) * factor(supp) Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) * --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 El modelo de interacción tiene más parámetros que el modelo sin interacción. En esta nueva prueba se valora si el hecho de considerar más parámetros introduce una diferencia significativa en el ajuste del modelo. Como p = 0,22 podemos concluir que si, y por lo tanto seleccionar el modelo con interacción com el más adecuado Ejemplos e interpretación del ANOVA de dos factores Para empezar, consideraremos la situación en que la variabilidad intragrupo es alta y trabajamos con muestras pequeñas (fig.13). En esta figura, se presentan los resultados de cuatro casos generados al azar de la situación ɛ se distribuye según una N(0, 3) y n = 5 en cada grupo. Hemos considerado que el efecto de F1 es α = (5, 3, 0), mientra que para el segundo factor F2 es β = (0, 2). En este caso, definios que no hay interacción entre ambos factores. Por lo tanto, al representar las medias esperaíamos ver dos rectas paralelas descendentes. Podemos observar que los cuatro resultados difieren bastante. Incluso en la gráfica fig.13(c) parece que tenemos interacción y que para F2=1, los efectos son divergentes del caso F2=2. 17

18 Podemos ver que el efecto para F1 es significativo, pero no para F2. La interacción no es, aunque lo parezca, significativa. Comparemos ahora el ANOVA para el caso (a). Ahora, tanto el efecto de F1 como el de F2 son significativos. Además, la interacción es significativa. Que está sucediendo? Com siempre que trabajamos con resultados obtenidos con pocas observaciones, las conclusiones no se corresponden con la realidad ya que disponemos de poca información. En este caso, solo obtendremos resultados consistentes con la realidad si aumentamos el tamaño muestral. Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) F F F1:F Residuals Cuadro 3: Caso (c) N(0,3) y n=5 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) F F F1:F Residuals Cuadro 4: Caso (a) N(0,3) y n=5 Figura 13: Ejemplos de resultados con dos factores (primer factor con tres niveles y segundo factor con dos niveles. En este caso, σ = 3 y n = 5. Podemos observar que los distintos experimentos dan resultados relativamente distintos. Ver texto En la fig.14 podemos apreciar que los resultados son más similares en los cuatro casos. En este segundo 18

19 ejemplo, hemos generado muestras de la misma situación anterior, pero co n = 20. Veamos los ANOVA resultantes para los cuatro casos: Figura 14: Ejemplos de resultados con dos factores (primer factor con tres niveles y segundo factor con dos niveles. En este caso, σ = 3 y n = 20. Podemos observar que los distintos experimentos dan resultados más consistentes. Ver texto Caso (a): Caso (b): Caso (c): Caso (d): Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) F F F1:F Residuals Cuadro 5: Caso (a) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) F F F1:F Residuals Cuadro 6: Caso (b) 19

20 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) F F F1:F Residuals Cuadro 7: Caso (c) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) F F F1:F Residuals Cuadro 8: Caso (d) Figura 15: Ejemplos de resultados con dos factores (primer factor con tres niveles y segundo factor con dos niveles. En este caso, (a) y (c) σ = 3, (b) y (d) σ = 0,5. n = 5 En todos los casos. Podemos observar que los distintos experimentos dan resultados más consistentes cuando σ es menor. Para σ altas es necesario utilizar muestras más grandes. Ver texto En la fig.16(a), la tabla de ANOVA es: Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) F F F1:F Residuals

21 Figura 16: Ejemplos de resultados con dos factores (primer factor con tres niveles y segundo factor con dos niveles. Ver texto Figura 17: Ejemplos de resultados con dos factores (primer factor con tres niveles y segundo factor con tres niveles. Ver texto 21

22 4. Ejercicios Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(supp) factor(dose) factor(supp):factor(dose) Residuals

23 5. Apéndice: Funciones auxiliares 5.1. Generación de experimentos de uno y dos factores > Sim.ANOVA.1F <- function(k=3,n=5,mu=10,sigma=1,effects){ + f <- rep(1:k,n) + f <- sample(f,k*n) + fun <- function(j) mu + effects[j] + rnorm(1,0,sigma) + y <- 1:(k*n) + for (i in 1:(k*n)) y[i] <- fun(f[i]) + data.frame(factor=factor(f),y=round(y,1)) + } > Sim.ANOVA.2F <- function(k=c(3,3),n=5,mu=10,sigma=1,effects1,effects2,inter) { + f1 <- sort(rep(1:k[1],k[2]*n)) + f2 <- rep(1:k[2],k[1]*n) + fun <- function(i,j) mu + effects1[i] + effects2[j] + inter[i,j] + rnorm(1,0,sigma) + y <- 1:(n*k[1]*k[2]) + for (i in 1:(n*k[1]*k[2])) y[i] <- fun(f1[i],f2[i]) + data.frame(f1=factor(f1),f2=factor(f2),y=round(y,1)) + } 5.2. Gráficos de medias por grupos > library(ggplot2) > ggplotmeans2f <- function(df,f1,f2,var,fun="mean_cl_normal") { + ggplot(df,aes_string(x=f1,y=var)) + + stat_summary(aes_string(colour=f2,shape=f2,group=f2), fun.data = fun, size=1.1) + + stat_summary(aes_string(colour=f2,shape=f2,group=f2), fun.y=mean, geom="line", size=1.1 + } > ggplotmeans1f <- function(df,f1,var,fun="mean_cl_normal") { + ggplot(df,aes_string(x=f1,y=var)) + + stat_summary(aes_string(colour=f1,group=f1),fun.data = fun, size=1.1) + + stat_summary(aes_string(colour=f1,group=f1),fun.y=mean,geom="point", size=1.1) + } 23