Aproximación FFF del Producto Interior Bruto de España utilizando funciones paramétricas.

Transcripción

1 Aproimació FFF del Produco Ierior Bruo de España uilizado fucioes paraméricas. Fracisco Parra Rodríguez Docor Ecoomía UNED Jefe de Servicio de Esadísicas Ecoómicas y Sociodemográficas del Isiuo Caabro de Esadísicas..- Iroducció La aproimació FFF mulivariada de Galla (98,983) presea dificulades prácicas ya que precisa de ua gra caidad de daos para ser esimada por los méodos covecioales, la reducció de grados de liberad que ocasioa el uilizar secuecias de series de seos y coseos e ua regla de difícil aplicació prácica, puede solvearse paramerizado los águlos que deermia la relació polar e u eje de res dimesioes. Se presea u ejemplo co el Produco Ierior Bruo, el empleo a iempo compleo y el sock de capial eo de la ecoomía española durae el periodo que ofrece resulado o muy alejado de la aproimació FFF mulivariada, preseado además la veaja de que puede ser implemeado e u coeo eórico de resriccioes de las variables que deermia la fució de producció..- Paramerizació de curvas Se deomia ecuacioes paramérica a aquellas ecuacioes e que las variables X e Y, cada ua separadamee, esá epresadas e fució de la misma ercera variable,, a la que se deomia variable paramérica, esas ecuacioes se represea e la siguiee forma geeral: X u( ) Y v( ) Ua ecuació paramérica permie represear curvas o superficies e el plao o e el espacio, mediae valores arbirarios (parámeros). E el uso esádar del sisema de coordeadas, ua o dos variables (depediedo de si se uiliza dos o res dimesioes respecivamee) so cosideradas como variables idepediees, mieras que la resae, a la que se deomia variable depediee, oma u valor e fució de los valores que oma las variable(s) idepediee(s). Así por ejemplo la epresió de u puo cualquiera (, y) equivale a la epresió (, f ( )). Esa represeació iee la limiació de requerir que la curva sea ua fució de X e Y, es decir que odos los valores X ega u valor y sólo u valor correspodiee e Y, y o odas las curvas cumple co dicha codició. E ua ecuació paramérica, ao X como Y so cosiderados variables depediees, cuyo resulado surge de ua ercera variable (si represeació

2 gráfica) coocida como parámero, lo que la represeació de fucioes circulares e dode u valor de X puede dar lugar a dos valores de Y. Por ejemplo, e la ecuacióy X, ua paramerizació edrá la X u( ) forma Y v( ), por lo que ua paramerizació posible sería X Y Ua circuferecia co cero e el orige de coordeadas y radio r verifica X r cos que X + Y r, y ua epresió paramérica sería Y r si La represeació paramérica de ua curva e u espacio -dimesioal cosise por ao e fucioes de ua variable que acúa como variable idepediee o parámero (habiualmee se cosidera que es u úmero real y que los puos del espacio -dimesioal esá represeados e por coordeadas reales), de la forma i fi ( ), fi : [ a, b] R, dode e i represea la i-ésima coordeada del puo geerado al asigar valores del iervalo [a, b] a. Por ejemplo, para represear ua curva e el espacio se usa 3 fucioes X u(), Y v() y Z g(). Es comú que se eija que el iervalo [a, b] sea al que a cada puo a y < b le correspoda u puo disio de la curva; si las coordeadas del puo obeido al hacer a so las mismas del puo correspodiee a b la curva se deomia cerrada. Se dice que u puo de la curva correspodiee a u valor del iervalo es u puo ordiario si las derivadas de las fucioes paraméricas eise e y so coiuas e ese puo y al meos ua es disia de 0. Si u arco de curva esá compueso solamee de puos ordiarios se deomia suave. Es comú resumir las ecuacioes paraméricas de ua curva e ua sola ecuació vecorial r ( ) f ( ) eˆ f ( ) eˆ + f ( ) eˆ +... f ( ) i i i eˆ ê dode i represea al vecor uiario correspodiee a la coordeada i-ésima. Por ejemplo, las fucioes paraméricas de u círculo uiario co cero e el orige so cos, y se. Podemos reuir esas ecuacioes como ua sola ecuació de la forma r cos( )ˆ i + si( ) ˆ ( ) j 3 Ua superficie paramerizada e R es la image de ua fució coiua S 3 defiida e ua regió D R que oma valores e R, eso es, S : ( u, v) D R S(, v) ( u, v), y( u, v), z( u, v) R ( ) 3

3 Las variables idepediees de la fució S se llama parámeros de la superficie y la propia fució S recibe el ombre de paramerizació de la superficie. La image por S de la froera de la regió D se llama borde o cooro de la superficie. Si S es iyeciva, lo que sigifica que o hay puos dobles, eoces se dice que la superficie es simple.. Paramerizació de ua fució periódica. Dadas observacioes de la variables aleaorias N( σ )., y.. A cada observació (, ) le correspode u puo P e el eje caresiao, de forma que P (, ); P (, );... P (, ) que a su vez, se hace correspoder co ua forma polar r γ (, ), siedo: r + yγ ArcTg para cada par Dado que P (, ) + i ( r cos ) + i( r si ) g(γ ) () r r, se obiee que r si( γ ) o Pudiédose esimar la variable aleaoria γ, a parir de ua epasió FFF de la forma: π π π ( π γ γ o + γ + γ + c cos + c si si es par, y ( ) si es impar. ó g J j ( γ / θ ) a + bγ + cγ + u cos( jγ ) v ssi( jγ ) j j

4 Ejemplo Uilizado el empleo equivalees a iempo compleo de la CNE de España para el periodo 97-0, vamos a cosruir dicha serie emporal a parir de la represeació e armóicos del ciclo empírico del argumeo, es decir de y g(γ ) siedo π π γ γ o + γ + γ + ( ) si es impar. c π cos + c ( π si, si es par, y E la Tabla º figura los cálculos realizados para obeer la la serie radiaes : γ Para dispoer de esa serie se ha elazado las series de coabilidad acioal base 86; base 000 y elaborada co la base 008. El elace se ha realizado uilizado como coeficiee de elace L C L

5 Tabla º. Empleo equivalee a iempo compleo Miles. Empleo equivalee oal () / γ radiaes γ radiaes FFF Empleo equivalee oal (FFF) ,7,5707, ,0,5706, ,00,5706, ,56,5705, ,59,5704, ,3,5703, ,50,570, ,40,570, ,93,570, ,3,5700, ,60,5698, ,88,5698, ,,5697, ,83,5695, ,68,5695, ,3,5694, ,57,5694, ,7,5693, ,84,5693, ,,5693, ,46,569, ,86,569, ,77,5690, ,8,5689, ,79,5689, ,80,5688, ,,5688, ,,5688, ,50,5689, ,3,5689, ,79,5689, ,4,5689, ,60,5688, ,90,5688, ,43,5688, ,67,5689, ,93,5689, ,69,5688, ,68,5686, ,0,5685, ,33,5684, Teiedo e cuea el peridograma de la serie γ radiaes (figura º) se ha esimado la siguiee aproimació de Fourier:

6 π π γ, , cos Figura º Periodograma de γ radiaes Especro de v años 9e e-007 7e-007 6e-007 5e-007 4e-007 3e-007 e-007 e frecuecia escalada La represeació del argumeo e radiaes y la edecia calcula aparece e la Figura º.

7 Figura º. Serie γ radiaes y esimació FFF,570,5705,5700,5695,5690 g radiaes g radiaes FFF,5685, La represeació de la serie de empleos equivalees a iempo compleo esimada se recoge e la figura siguiee: Figura º 3. Empleo equivalee a iempo oal Empleo equivalee oal () Empleo equivalee oal (FFF)

8 Teemos ahora observacioes de dos variables aleaorias N(, σ ) y N( σ ). y, y e.. y y y.. y (, ) A cada observació y forma que P le correspode u puo e el eje caresiao, de P (, y); P (, y );... P (, y que su vez, se hace correspoder u forma polar r siedo: ) para cada par (, y ), r + y y y ArcTg Dado que P, y ) + iy ( r cos ) + i( r se ),se obiee que: ( cos( ), y r si( ) e y g( ). r La variable aleaoria puede paramerizase eoces como y g( ) g( λ ) Las ecuacioes paraméicas sería eoces: y g( γ ) g( ) g( γ ) Esimádose los águlos co la forma geeral: π π π ( π γ γ o + γ + γ + c cos + c si si es par, y ( ) si es impar.

9 Ejemplo Uilizamos ahora las cifras de Empleo a iempo compleo y PIB e euros cosaes de la CNE (Tabla º).

10 Tabla º.- Produco Ierior Bruo e euros cosaes del año 000 y Empleo equivalee a iempo compleo Milloes de euros y miles de empleos. Produco Ierior Bruo (euros año 000) Empleo equivalee oal () y/ radiaes radiaes FFF Produco Ierior Bruo (FFF) ,873,58, ,769,559, ,437 3,58, ,667 4,530, ,055 5,53, ,38 6,538, ,85 7,534, ,4458 8,5357, ,085 9,5364, ,406 0,5376, ,8967,5384, ,678,539, ,587 3,540, ,838 4,54, ,03 5,545, ,7076 6,540, ,089 7,543, ,697 8,548, ,49 9,543, ,933 0,543, ,6637,5435, ,4979,544, ,838 3,5446, ,394 4,5453, ,586 5,5455, ,984 6,5458, ,44 7,5459, ,77 8,5459, ,06 9,5459, ,3 30,5459, ,3855 3,5460, ,544 3,546, ,8 33,5463, ,040 34,5464, ,855 35,5465, ,470 36,5467, , ,5469, , ,547, , ,5479, ,664 40,5484, ,638 4,5489,

11 Figura º4.- Periodograma de radiaes Especro de v años 7e e-005 5e-005 4e-005 3e-005 e-005 e frecuecia escalada Tediedo e cuea el especro de la serie radiaes (Figura º4), se calcula la siguiee epasió FFF: π π π π 4π 6π,50 + 0, cos + 0,003si + 0,0003si + 0,0003si La esimació de la serie represea e la Figura º5. radiaes a parir de la epasió FFF se

12 Figura º5. Serie radiaes y esimació FFF,5600,5550,5500,5450,5400,5350,5300,550, a radiaes a radiaes FFF La esimació del PIB e euros cosaes a parir del empleo aparece e la figura siguiee: Figura º 6. Produco Ierior Bruo e euros cosaes del año Produco Ierior Bruo (euros año 000) Produco Ierior Bruo (FFF)

13 Se raa ahora de esima la relació y F, z ) ( e dode y z acúa como variables eplicaivas. E ese caso las relacioes geoméricas a cosiderar so las que aparece e la figura º3. Figura º3 Se pare ahora de la represeació polar ere cada y por u modulo r + z z. que vedrá dada z y u argumeo ArcTg. de forma que se puede cosruir u uevo plao ere el modulo r y la variable depediee. r Dado que el modulo puede eer u valor diferee segú se cambie el ivel de la variable parece acosejable ormalizar dichas variables. E cosecuecia ahora eemos dos variables r e cuya represeació polar edrá a su vez u módulo ρ r + y y u argumeo y β ArcTg. r Operado ρ + z + y Las represeació polar del sisema vedría dada a parir de: y r ρ cos( β ) y ρ se β ) e ( ( ) z y g β + ()

14 Dado que g z ) (, eoces ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ) ( g g g g g y β β β + + por oro lado y dado que z ArcTg π. eoces ( ) [ ] ( ) + g g g z y π β β cosiderado ao la sucesió de águlos y β como series de Fourier, se puede afirmar que el cojuo de daos (, y, z ), puede paramerizarse e fució de ua de ellas cualesquiera, y. Supogamos que e uesro cojuo de daos la dimesió, es eógea, eoces: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] + ) ( g g g y g z β β () Siedo ( si cos o c c π π π π ( si cos o c b π π π β π β β β La paramerizació sobre la dimesió z : ( ) [ ] ( ) + ) ( g g g z y g z z z π β β π (3) Por úlimo, la paramerizació sobre y

15 z [ g( β )] + [ g( β ) g( )] y y [ g( β )] + g( β ) y y π g (4) Ejemplo 3 E el ejemplo 3 plaeamos ua esimació de la fució de producció de la ecoomía española uilizado los daos de empleo equivalee a iempo compleo, el Produco Ierior Bruo de la CNE, valorada esá úlima e euros cosaes y el Sock eo de de capial de la Fudació del BBVA valorada e miles de euros cosaes base 000, y si cosiderar el valor de la vivieda (ver abla º6).

16 Tabla º 6. Empleo equivalee a iempo compleo, Produco Ierior Bruo de la s y el Sock eo de de capial. Milloes cosaes de euros año 000 y miles de empleos. Produco Ierior Bruo (Ces) Y Empleo a iempo compleo X Sock de Capial Z

17 La esimació de la fució de producció se puede abordar resrigiedo algua de las res variables, eso es si se resrige el Empleo equivalee esaríamos e u modelo de fució de producció e el que esa magiud esaría limiado la producció acioal y lo cosideraríamos eógeo a la fució de producció, si resrigimos el sock de capial sería ese oro facor de producció el limiaivo y por ao sería eógeo, si resrigimos el PIB esaríamos ae u modelo e el que la demada agregada limiaría el PIB y ese úlimo esablecería la caidad de empleo y sock capial ecesaria para alcazar el volume aual de producció, e ese caso el PIB sería la variable eógea al modelo. E primer lugar hay que aproimar las rayecorias emporales de los águlos y β.

18 Tabla º 7.- Empleo equivalee a iempo compleo, Produco Ierior Bruo de la s y el Sock eo de de capial e logarimos y su represeació polar. Produco Ierior Bruo Empleo equivalees a iempo compleo Sock de Capial r β radiaes β FFF radiaes 97,4885 9,457,407 5,594 0,6753 0,6755 0,996 97,5668 9,4633,4765 5,6594 0,6763 0,676 0,99 973,648 9,4875,5579 5,7389 0,6767 0,6764 0, ,6965 9,497,6377 5,8058 0,6767 0,6765 0, ,709 9,4749,709 5,8465 0,6757 0,6764 0, ,7344 9,464,7565 5,8839 0,6758 0,676 0, ,764 9,456,8048 5,979 0,6758 0,6758 0, ,7769 9,489,8470 5,9358 0,6758 0,6754 0, ,7774 9,407,88 5,954 0,6754 0,675 0, ,7903 9,3844,955 5,9649 0,6754 0,675 0,944 98,7885 9,3579,9430 5,976 0,675 0,675 0, ,8040 9,3486,9707 5,9886 0,675 0,6754 0, ,860 9,3439,9958 6,006 0,6755 0,6758 0, ,8406 9,397 3,035 6,0065 0,676 0,676 0, ,8664 9,3370 3,037 6,0357 0,676 0,6763 0, ,8979 9,3509 3,0704 6,0709 0,6763 0,6765 0, ,957 9,3950 3,49 6,38 0,6765 0,6764 0, ,003 9,48 3,688 6,959 0,6765 0,676 0, ,0493 9,469 3,345 6,689 0,6760 0,6757 0, ,086 9,497 3,3004 6,343 0,675 0,675 0, ,085 9,5067 3,367 6,3994 0,6743 0,6745 0, ,53 9,49 3,434 6,437 0,6736 0,6739 0, ,036 9,46 3,4473 6,44 0,679 0,6733 0, ,59 9,456 3,48 6,4670 0,6730 0,679 0, ,57 9,474 3,50 6,5093 0,677 0,676 0, ,766 9,488 3,554 6,545 0,675 0,674 0, ,45 9,58 3,593 6,5954 0,675 0,673 0, ,583 9,565 3,6359 6,656 0,673 0,67 0, ,3046 9,605 3,6859 6,73 0,670 0,670 0, ,3539 9,6595 3,7355 6,799 0,678 0,678 0, ,3897 9,693 3,783 6,849 0,675 0,676 0, ,464 9,74 3,870 6,898 0,670 0,67 0, ,4469 9,7379 3,8704 6,9474 0,6707 0,6708 0, ,4790 9,7645 3,94 6,9985 0,6704 0,6704 0, ,546 9,7965 3,966 7,0557 0,670 0,6700 0, ,5540 9,890 4,06 7,6 0,6698 0,6696 0, ,589 9,8569 4,0656 7,756 0,6693 0,669 0, ,5976 9,856 4,3 7,099 0,6687 0,6687 0, ,5597 9,783 4,376 7,95 0,6678 0,668 0, ,5565 9,7574 4,63 7,974 0,6676 0,6674 0,9675

19 Las aproimacioes FFF se ha realizado co las siguiees fucioes: π π π π 4π 4π 0,93+ 0, cos + 0,004si 0,007cos + 0,0005si + 6π 6π 8π 0π + 0,0003cos 0,000si 0,0005cos + 0,000si π π β 0, , π π 4π 6π cos + 0,000si + 0,0004cos + 0,0003si Los resulados gráficos de las aproimacioes se recoge e las figuras º 7 y º 8. Figura º7. Serie radiaes y esimació FFF 0,9800 0,9700 0,9600 0,9500 0,9400 0,9300 0,900 0,900 0,9000 0, a radiaes a FFF Figura º8. Serie β radiaes y esimació FFF 0,6780 0,6760 0,6740 0,670 0,6700 0,6680 0,6660 0,6640 0,660 0, b radiaes b FFF

20 La obeció del modelo que resrige el empleo a iempo parcial ( ) se calcula e la abla º 8 uilizado el sisema de ecuacioes (), los resulados gráficos se icluye e las figuras º 9 y º0 Tabla º8. Paramerizació del modelo que resrige el empleo a iempo compleo. β FFF FFF Empleo a iempo compleo () Esimació de Sock de Capial Esimació del Produco Ierior Bruo 97 0,6755 0,996 9,457,403, ,676 0,96 9,4633,470, ,6764 0,94 9,4875,566, ,6765 0,968 9,497,6433, ,6764 0,995 9,4749,693, ,676 0,933 9,464,753, ,6758 0,9350 9,456,89, ,6754 0,9376 9,489,8464, ,675 0,940 9,407,8838, ,675 0,944 9,3844,95, ,675 0,9445 9,3579,9356, ,6754 0,9464 9,3486,979, ,6758 0,9479 9,3439 3,007, ,676 0,9489 9,397 3,003, ,6763 0,9495 9,3370 3,048, ,6765 0,9496 9,3509 3,0644, ,6764 0,9494 9,3950 3,6, ,676 0,9494 9,48 3,676, ,6757 0,9498 9,469 3,59 3, ,675 0,9509 9,497 3,3060 3, ,6745 0,957 9,5067 3,3703 3, ,6739 0,9550 9,49 3,44 3, 993 0,6733 0,957 9,46 3,4348 3, ,679 0,9590 9,456 3,4789 3, ,676 0,9600 9,474 3,537 3, ,674 0,960 9,488 3,556 3, ,673 0,9596 9,58 3,590 3, ,67 0,9589 9,565 3,630 3, ,670 0,9583 9,605 3,6779 3, ,678 0,958 9,6595 3,740 3, ,676 0,958 9,693 3,7893 3, ,67 0,9584 9,74 3,89 3, ,6708 0,9586 9,7379 3,869 3, ,6704 0,9587 9,7645 3,9089 3, ,6700 0,9588 9,7965 3,9560 3, ,6696 0,959 9,890 4,08 3, ,669 0,9600 9,8569 4,0788 3, ,6687 0,967 9,856 4,38 3, ,668 0,9644 9,783 4,06 3, ,6674 0,9679 9,7574 4,749 3,5609

21 Figura º9. Paramerizació del sock capial e el modelo que resrige el empleo. 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0, Sock de Capial (z) Esimació de Sock de Capial Figura º0 Paramerizació del Produco Ierior Bruo e el modelo que resrige el empleo. 4,0 3,8 3,6 3,4 3, 3,0,8,6,4,, Produco Ierior Bruo (y). Esimació del Produco Ierior Bruo La obeció del modelo que resrige del sock de capial eo ( z ) se calcula e la abla º 9 uilizado el sisema de ecuacioes (3), los resulados gráficos se icluye e las figuras º y º

22 Tabla º9. Paramerizació del modelo que resrige el sock de capial β FFF FFF Sock de Capial (z) Esimació del Empleo equivalee a iempo compleo Esimació del Produco Ierior Bruo 97 0,6755 0,996,407 9,454, ,676 0,96,4765 9,468, ,6764 0,94,5579 9,48, ,6765 0,968,6377 9,4885, ,6764 0,995,709 9,480, ,676 0,933,7565 9,4680, ,6758 0,9350,8048 9,450, ,6754 0,9376,8470 9,494, ,675 0,940,88 9,406, ,675 0,944,955 9,3847, ,675 0,9445,9430 9,363, ,6754 0,9464,9707 9,3470, ,6758 0,9479,9958 9,3357, ,676 0,9489 3,035 9,377, ,6763 0,9495 3,037 9,3336, ,6765 0,9496 3,0704 9,355, ,6764 0,9494 3,49 9,3896, ,676 0,9494 3,688 9,490, ,6757 0,9498 3,345 9,4680 3, ,675 0,9509 3,3004 9,493 3, ,6745 0,957 3,367 9,503 3, ,6739 0,9550 3,434 9,498 3, 993 0,6733 0,957 3,4473 9,4700 3, ,679 0,9590 3,48 9,4578 3, ,676 0,9600 3,50 9,4654 3, ,674 0,960 3,554 9,4868 3, ,673 0,9596 3,593 9,53 3, ,67 0,9589 3,6359 9,569 3, ,670 0,9583 3,6859 9,66 3, ,678 0,958 3,7355 9,6556 3, ,676 0,958 3,783 9,6869 3, ,67 0,9584 3,870 9,75 3, ,6708 0,9586 3,8704 9,7389 3, ,6704 0,9587 3,94 9,768 3, ,6700 0,9588 3,966 9,8004 3, ,6696 0,959 4,06 9,896 3, ,669 0,9600 4,0656 9,8476 3, ,6687 0,967 4,3 9,848 3, ,668 0,9644 4,376 9,8050 3, ,6674 0,9679 4,63 9,7480 3,5479

23 Figura º. Paramerizació del empleo equivalee a iempo compleo e el modelo que resrige el sock de capial 0,0 9,9 9,8 9,7 9,6 9,5 9,4 9,3 9, 9, 9, Empleo a iempo compleo () Esimació del Empleo equivalee a iempo compleo Figura º. Paramerizació del Produco Ierior Bruo e el modelo que resrige el sock de capial 3,8 3,6 3,4 3, 3,0,8,6,4,, Produco Ierior Bruo (y). Esimació del Produco Ierior Bruo La obeció del modelo que resrige del Produco Ierior Bruo ( y ) se calcula e la abla º 0 uilizado el sisema de ecuacioes (4), los resulados gráficos se icluye e las figuras º 3 y º4

24 Tabla º0. Paramerizació del modelo que resrige el Produco Ierior Bruo β FFF FFF Produco Ierior Bruo (y). Esimació del Empleo equivalee a iempo compleo Esimació de Sock de Capial 97 0,6755 0,996,4885 9,4485, ,676 0,96,5668 9,4705, ,6764 0,94,648 9,489, ,6765 0,968,6965 9,4945, ,6764 0,995,709 9,4659, ,676 0,933,7344 9,4603, ,6758 0,9350,764 9,453, ,6754 0,9376,7769 9,4366, ,675 0,940,7774 9,4094, ,675 0,944,7903 9,3906, ,675 0,9445,7885 9,3606, ,6754 0,9464,8040 9,3438, ,6758 0,9479,860 9,3344, ,676 0,9489,8406 9,350 3, ,6763 0,9495,8664 9,335 3, ,6765 0,9496,8979 9,3505 3, ,6764 0,9494,957 9,393 3, ,676 0,9494 3,003 9,4355 3, ,6757 0,9498 3,0493 9,475 3, ,675 0,9509 3,086 9,4958 3, ,6745 0,957 3,085 9,5003 3, ,6739 0,9550 3,53 9,4869 3, ,6733 0,957 3,036 9,4584 3, ,679 0,9590 3,59 9,4586 3, ,676 0,9600 3,57 9,4704 3, ,674 0,960 3,766 9,4897 3, ,673 0,9596 3,45 9,564 3, ,67 0,9589 3,583 9,5700 3, ,670 0,9583 3,3046 9,64 3, ,678 0,958 3,3539 9,6567 3, ,676 0,958 3,3897 9,6866 3, ,67 0,9584 3,464 9,7093 3, ,6708 0,9586 3,4469 9,7364 3, ,6704 0,9587 3,4790 9,767 3, ,6700 0,9588 3,546 9,8004 3, ,6696 0,959 3,5540 9,838 4, ,669 0,9600 3,589 9,8540 4, ,6687 0,967 3,5976 9,8450 4, ,668 0,9644 3,5597 9,793 4, ,6674 0,9679 3,5565 9,754 4,703

25 Figura º3. Paramerizació del empleo equivalee a iempo compleo e el modelo que resrige el Produco Ierior Bruo 0,0000 9,9000 9,8000 9,7000 9,6000 9,5000 9,4000 9,3000 9,000 9,000 9, Empleo a iempo compleo () Esimació del Empleo equivalee a iempo compleo Figura º4. Paramerizació del sock de capial e el modelo que resrige el Produco Ierior Bruo 4,5000 4,0000 3,5000 3,0000,5000,0000,5000 Ejemplo 4 Sock de Capial (z) A ravés de la aproimació FFF de el Produco Ierior Bruo ( recoge e la Tabla º Esimació de Sock de Capial β radiaes puede esimarse direcamee y ) a parir de (). Los cálculos ecesarios se

26 Tabla º0. Esimació del Produco Ierior Bruo a ravés de la aproimació FFF de β radiaes Produco Ierior Bruo (Ces). Empleo a iempo compleo Sock de Capial β FFF r r*g(β) 97,4885 9,457,407 0,6755 5,594, ,5668 9,4633,4765 0,676 5,6594, ,648 9,4875,5579 0,6764 5,7389, ,6965 9,497,6377 0,6765 5,8058, ,709 9,4749,709 0,6764 5,8465,70 976,7344 9,464,7565 0,676 5,8839, ,764 9,456,8048 0,6758 5,979,76 978,7769 9,489,8470 0,6754 5,9358, ,7774 9,407,88 0,675 5,954, ,7903 9,3844,955 0,675 5,9649,78 98,7885 9,3579,9430 0,675 5,976, ,8040 9,3486,9707 0,6754 5,9886, ,860 9,3439,9958 0,6758 6,006, ,8406 9,397 3,035 0,676 6,0065, ,8664 9,3370 3,037 0,6763 6,0357, ,8979 9,3509 3,0704 0,6765 6,0709, ,957 9,3950 3,49 0,6764 6,38, ,003 9,48 3,688 0,676 6,959, ,0493 9,469 3,345 0,6757 6,689 3, ,086 9,497 3,3004 0,675 6,343 3, ,085 9,5067 3,367 0,6745 6,3994 3,5 99 3,53 9,49 3,434 0,6739 6,437 3, ,036 9,46 3,4473 0,6733 6,44 3, ,59 9,456 3,48 0,679 6,4670 3, ,57 9,474 3,50 0,676 6,5093 3, ,766 9,488 3,554 0,674 6,545 3, ,45 9,58 3,593 0,673 6,5954 3, ,583 9,565 3,6359 0,67 6,656 3, ,3046 9,605 3,6859 0,670 6,73 3, ,3539 9,6595 3,7355 0,678 6,799 3, ,3897 9,693 3,783 0,676 6,849 3, ,464 9,74 3,870 0,67 6,898 3, ,4469 9,7379 3,8704 0,6708 6,9474 3, ,4790 9,7645 3,94 0,6704 6,9985 3, ,546 9,7965 3,966 0,6700 7,0557 3, ,5540 9,890 4,06 0,6696 7,6 3, ,589 9,8569 4,0656 0,669 7,756 3, ,5976 9,856 4,3 0,6687 7,099 3, ,5597 9,783 4,376 0,668 7,95 3, ,5565 9,7574 4,63 0,6674 7,974 3,55 FFF Mulivariada,4900,563,6454,696,7084,734,768,7703,7793,787,7895,8097,8307,8349,8647,8987,9535 3,008 3,0476 3,0884 3,090 3,3 3,087 3, 3,54 3,789 3,59 3,578 3,304 3,350 3,3889 3,40 3,4494 3,478 3,57 3,55 3,5937 3,5950 3,5594 3,557 E la úlima columa de la abla se ha realizado ua aproimació a ua FFF co dos variables (Galla, 98,98), cuya meodología se describe e el aeo. Ese ipo de aproimació iee el icoveiee que ecesia

27 muchas variable eplicaivas. E ese caso se ha uilizado la epasió descria e la abla siguiee: Tabla º. Aproimacio FFF mulivariada del logarimo del PIB. parámero y -,85 -,76-8,9-0,90 z 3,7 5,45,89 4,69 z -0,4 -,9 *z -,03-3,70 cos() -0,0-0,0 se() 0,0 0,79 cos(z) 0,0,0 se(z) 0,06,53 cos(*) -0,0 -,37 se(*) 0,0 0,8 cos(*z) 0,0 3,5 se(*z) -0,06-6,59 cos(+z) 0,0,4 se(+z) 0,04,45 Los resulados gráficos de ambas epasioes se represea juo a la serie origial e la Figura º5 y º6, e la primera se recoge los iveles de las series y e la seguda las diferecia e las series, que al veir epresadas e logarimos adquiere el sigificado de asa de crecimieo auales. Figura º5. Aproimació al Produco Ierior Bruo, uilizado ua fució paramerizada y la FFF mulivariada. 3,8000 3,6000 3,4000 3,000 3,0000,8000,6000,4000,000, Produco Ierior Bruo. r*g(b) FFF Mulivariada

28 Tabla º6.- Diferecias logarímicas del Produco Ierior Bruo, uilizado ua fució paramerizada y FFF mulivariada. 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0-0,0-0, ,06 Produco Ierior Bruo. r*g(b) FFF Mulivariada Los resulados so muy similares, si bie el error cuadráico medio de la aproimació FFF Mulivariada es meor (0, free a 0,004638).

29 Aeo Aproimació FFF. Galla (98,98) irodujo ua forma fucioal co capacidades muy disias a las propuesas hasa el momeo, cuyas propiedades de fleibilidad era e odos los casos locales. La forma de Fourier que uiliza Galla posee la propiedad de fleibilidad global, es decir, permie aproimar arbirariamee cerca ao a la fució como a sus derivadas sobre odo el domiio de defiició de las mismas. La idea que subyace e ese ipo de aproimacioes (que podría deomiarse semi-oparaméricas) es ampliar el orde de la base de epasió, cuado el amaño de la muesra aumea, hasa coseguir la covergecia asióica de la fució aproimae a la verdadera fució geeradora de los daos y a sus derivadas. Por raarse de ua forma Sobolev-fleible (free a la Diewer-fleibilidad de las aeriores) es capaz de esimar cosiseemee las elasicidades precio y rea sobre odo el espacio de daos (ElBadawi, Galla y Souza, 983); además, asióicamee puede coseguirse corases esadísicos isesgados (Galla, 98, 98) y la elimiació del problema de iferecias aumeadas provocado por la especificació de u deermiado modelo. Por úlimo, Galla y Souza (99) ha mosrado la ormalidad asióica de las esimacioes derivadas de la forma de Fourier. E la pare egaiva, el modelo de Fourier puede coseguir la regularidad global, pero las resriccioes paraméricas que ello implica so ecesivamee fueres (Galla, 98); si embargo, eise codicioes más débiles (que o desruye i la fleibilidad i la cosisecia de los esimadores) co las que se puede coseguir la regularidad eórica al meos sobre u cojuo fiio de puos (Galla y Golub, 983), auque la impleació de ales resriccioes resula compleja (McFadde, 985). E cualquier caso, las simulacioes de Moe Carlo realizadas por Fleissig, Kases y Terrell (997) y Chalfa y Galla (985) ha mosrado que la regió de regularidad de la forma de Fourier libre -si resriccioes de igú ipo- es mucho mayor que la correspodiee a las formas Leoief-Geeralizada o Traslog. U poliomio de Fourier viee dado por la epresió: a + j Dode k es el úmero de ciclos eóricos o armóicos que cosideramos, siedo el máimo /. π w0 es la frecuecia fudameal (ambié deomiada frecuecia agular fudameal). oma los valores eeros compredidos ere y (es decir,,, 3,...). k ( u j cos( jwo) + v j si( jwo) ) Los coeficiees de los armóicos viee dados por las epresioes: a yi, u j ( yi cos( w0i j) ), v j yi si( woi j) i i i Para cosular la orma Sebolevhp://pareo.uab.es/mcreel/Ecoomerics/ecoomerics.pdf

30 La aproimació a ua fució o periódica g() por ua serie de epasió de Fourier se realiza e Gallar (98) añadiedo es esa u érmio lieal y cuadráico. De esa forma que la aproimació uivariada se escribe como: J g( / θ ) a + b + c + u j cos( j) v j s si( j) () j El vecor de parámeros es ( a b, c, u v,...,, ) J. Supoiedo que los daos siguiera el modelo esimaría θ por míimos cuadrados, miimizado s ( θ ) ( ) y g ( / θ ) [ i K i ] i θ, u J v J de logiud K 3 + J, siedo y g( ) + e para i,,, se Dado que la variable eógea i o esa epresada e forma periódica, debe de rasformase o ormalizarse e u iervalo de logiud meor que π 0,π. i i i, [ ] La aproimació mulivariada se describe e Galla (984): A ( ) ' ' g / θ uo + b' + ' C + u0 + [ u j cos( jk ) v j si( jk ) ] Dode C A u k. La regla de formació de la secuecia { k } esá dada e 0 ' k a Galla (98) y e Galla (98) para diferees sisemas.

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