CENTRO UNIVERSITARIO DEL CENTRO DE MÉXICO. División Bachillerato. Notas de Apoyo. Matemáticas III. Luisa Edith Martínez Navarro

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Teresa Pereyra Cano
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1 CENTRO UNIVERSITARIO DEL CENTRO DE MÉXICO División Bachillerato Notas de Apoyo Matemáticas III Luisa Edith Martínez Navarro Septiembre 2015

2 Índice general Introducción 3 1. Lugares Geométricos Características de un Sistema de Ejes Coordenados Rectangular Parejas Ordenadas Igualdad y su Representación Gráfica Regularidades en conjuntos de parejas ordenadas Presentación Gráfica y Numérica Segmentos Rectilíneos Sistema Unidimensional Distancia entre dos puntos

3 Introducción Las primeras nociones de Geometría, las tenemos gracias a los Griegos. Euclides, al que actualmente se le conoce como el Padre de la Geometría, desarrolló su obra Los Elementos, que actualmente rigen la Geometría Euclidiana. Mas tarde, François Viète, desarrollo las primeras nociones de Álgebra. Fue en base a eso, que René Descartes, llegó a la conclusión de que las leyes de la naturaleza podrían expresarse en ecuaciones, y es aquí donde se reunen por primera vez, la Geométría y el Álgebra. 3

4 Capítulo 1 Lugares Geométricos 1.1. Características de un Sistema de Ejes Coordenados Rectangular El sistema de coordenadas rectangulares o cartesiandas, esta constituido por dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto 0 al que se le llama origen. Una de las rectas se acostumbra representarla en posición horizontal y se le da el nombre de eje X o eje de las abscisas; a la otra recta vertical, se le denomina eje Y o eje de las ordenadas. El nombre de cartesiano es en honor al matemático frances Descartes, pues fue él quien planteó la idea de resolver los problemas geométricos por medio del álgebra utilizando este sistema. Figura 1.1: Numeración de los cuadrantes Los dos ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Los valores de x son positivos en el primero y en el cuarto cuadrante, y negativas en el segundo y tercer cuadrante. Mientras que 4

5 1.2. PAREJAS ORDENADAS 5 los valores de y son positivas en el primero y segundo cuadrante, y negativas en el tercero y cuarto cuadrante Parejas Ordenadas En el sistema de coordenadas, la posición de un punto P en el plano queda determinada mediante una pareja de números reales (x, y) de los cuales el primero x, representa la distancia del punto P al eje coordenado Y, en tanto que el segundo, y representa la distancia del punto P al eje X Igualdad y su Representación Gráfica En el plano cartesiano, cada pareja representa un punto, y se llaman parejas ordenadas por que no es lo mismo el punto (2, 3) que el punto (3, 2), pues recordemos que el primer elemento representa a las abscisas y el segundo elemento representa a las ordenadas. Figura 1.2: Comparación de Puntos 1.4. Regularidades en conjuntos de parejas ordenadas Las parejas ordenadas tienen una amplia utilidad en el campo de la geometría, son una herramienta para ubicar puntos y/o lugares en el plano, ya sea de manera especifica o buscando los puntos por medio de medidas algebraicas. En nuestro caso, ubicaremos algunos puntos y ubicaciones geográficas en el plano. Es importante tomar en cuenta que la numeración de los cuadrantes va en sentido contrario a las manecillas del reloj.

6 6 CAPÍTULO 1. LUGARES GEOMÉTRICOS 1.5. Presentación Gráfica y Numérica Para ubicar la representación gráfica de las parejas ordenadas, es necesario recordar que tenemos cuatro cuadrantes en las que cada elemento tiene un signo. De acuerdo al signo del elemento, es el cuadrante en el que va asignado, es decir, el punto (2, 5) se encuentra en el primer cuadrante pues ambos elementos son positivos. En el caso del punto (2, 3), se encuentra en el cuarto cuadrante, pues el valor de la y es negativo.

7 Capítulo 2 Segmentos Rectilíneos 2.1. Sistema Unidimensional En el caso del capítulo anterior, tenemos el plano cartesiano, que es un sistema bidimensional (con dos ejes), cuando tenemos un sistema unidimensional estamos hablando de un solo eje, que sería solo una línea. Es un sistema con el que hemos trabajo desde que somos pequeños. Figura 2.1: Sistema Unidimensional Podemos ver en la imagen anterior que tenemos los números negativos del lado izquierdo del punto 0, también llamado origen, y los positivos del lado derecho. Este sistema es llamado línea recta o eje real. En este caso los puntos son representados por una P mayúscula, seguida de dos paréntesis entre los cuales se encuentra el eje que estamos usando, normalmente la x, es decir, P (x) Distancia entre dos puntos Cuando hablamos de sistemas unidimensionales, la distancia entre dos puntos es muy sencilla de obtener, basta con encontrar el valor absoluto de la resta de las dos ubicaciones. Si queremos obtener la distancia entre el punto P 1 (x) = 7 y el punto P 2 (x) = 15, la distancia entre ambos puntos sería: d = P 2 (x) P 1 (x) = 15 7 = 8 = 8 En el caso de sistemas bidimensionales, la fórmula para obtener la distancia es la siguiente: d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 7

8 8 CAPÍTULO 2. SEGMENTOS RECTILÍNEOS Para obtener la distancia entre los puntos P 1 (x, y) = (7, 5) y P 2 (x, y) = (4, 1), el resultado es el siguiente: x 1 y y 1 serán los elementos de P 1, y x 2 y y 2 serán los elementos de P 2 d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = (4 7) 2 + (1 5) 2 = ( 3) 2 + ( 4) 2 = = 5

9 Bibliografía [1] Hahn, J. LATEX for eveyone. Prentice Hall, New Jersey, [2] Larson, Roland E. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 2. 6a Edición. McGraw Hill. México [3] u 2.pdf 9

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