Física I. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choque. Ing. Alejandra Escobar UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA

Transcripción

1 Física I Cantidad de Movimiento, Impulso y Choque UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA Ing. Alejandra Escobar

2 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Anteriormente se explicó cómo se deducen los conceptos de trabajo y energía a partir de las leyes de Newton. Ahora veremos cómo se deducen dos conceptos análogos, los cuales son impulso y cantidad de movimiento, partiendo de igual manera de las leyes de Newton. v A1 v B1 v A1 v B1 A F A B A B A B F B (a) (b) (c) En la figura (a) un cuerpo A que se desliza sobre una superficie horizontal lisa, está alcanzando a un cuerpo B. en la figura (b) ambos cuerpos A y B están en contacto. En la figura (c) el cuerpo B se mueve por delante del cuerpo A. En la figura (b), durante el choque el cuerpo A ejerce sobre el cuerpo B una fuerza F B, y el cuerpo B ejerce sobre el cuerpo A una fuerza F A. Estas fuerzas forman una pareja de fuerzas de acción y reacción, que en virtud de la tercera ley de Newton, son de igual valor y de sentido opuesto, de la siguiente manera: F A = F B Pero las fuerzas no son constantes. Ambas son nulas naturalmente antes del contacto y pequeñas en el primer instante del mismo, después las dos aumentan hasta un valor máximo, y por último se anulan cuando los cuerpos se separan. Presión de Choque Es cuando una fuerza varía con el tiempo debido a un choque o contacto entre dos cuerpos. El efecto que esta fuerza produce sobre un cuerpo es comunicarle una aceleración rápidamente variable. Según la segunda ley de Newton, se tiene en todo instante durante el choque: F A = m A dv A dt ; F B = m B dv B dt

3 o sea; F A dt = m A dv A ; F B dt = m B dv B Estas relaciones se deben cumplir en cualquier intervalo de tiempo infinitesimal, desde el comienzo del contacto t i, hasta el final del mismo t f. Por tanto: Impulso t f v Af t f v Bf F A dt = m A dv A ; F B dt = m B dv B t i v Ai t i t f t f F A dt = m A (v Af v Ai ) ; F B dt = m B (v Bf v Bi ) t i t i El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada sobre un cuerpo. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso. Su unidad es N. s ó Kg. m s. Cantidad de Movimiento v Bi t i I = Fdt ; I = F t = F(t f t i ) t f La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa de un cuerpo. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad. La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento. Su unidad es Kg. m s. p = mv Relación entre Impulso y Cantidad de Movimiento El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como:

4 I = p = p 2 p 1 Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa: Conservación de la Cantidad de Movimiento F t = p F = p 2 p 1 t 2 t 1 Si se considera de nuevo la ecuación de impulso y la figura (b), y según la tercera ley de Newton donde las fuerzas F A y F B son iguales en magnitud pero en sentido contrario, por consiguiente: I(F A ) = I(F B ) y, según la relación de impulso y cantidad de movimiento se puede decir que, m A v A2 m A v A1 = (m B v B2 m B v B1 ) m A v A1 + m B v B1 = m A v A2 + m B v B2 Observando la ecuación anterior se puede afirmar que el primer miembro de la misma representa la cantidad de movimiento total del sistema antes del choque, y el segundo miembro de la ecuación representa la cantidad de movimiento del sistema después del choque. Según esto la cantidad de movimiento total de los cuerpos que chocan no se modifica durante el choque. El enunciado de la Ley de la Conservación de la Cantidad de Movimiento nos dice que: La cantidad de movimiento total de un sistema solo puede ser modificada por fuerzas exteriores que actúen sobre el mismo. Cuando las fuerzas interiores son iguales y opuestas, y actúan durante tiempos iguales, producen variaciones de las cantidades de movimiento iguales y opuesta que se compensan entre sí. Por lo tanto la cantidad de movimiento de un sistema aislado es constante en magnitud, dirección y sentido.

5 Ejercicio de Impulso y Cantidad de Movimiento 1. Una pelota de beisbol que pesa 125 g y se mueve horizontalmente con una velocidad de 24 m s es golpeada por un bat. Su velocidad después de abandonar el bat es de 30 m s en sentido opuesto al de su movimiento inicial. Calcular: a. Cuál es la impulsión del golpe? b. Si el bat y la pelota estuvieron en contacto durante 0,001 s, Cuál es la fuerza que el bat aplico sobre la pelota? (suponer fuerza constante). I = p = p 2 p 1 = m(v 2 v 1 ) 1 Kg I = (125 g g ). (30 m s 24 m s ) = 0,75 Kg. m s I = F t F = I t m 0,75 Kg. = s = 750 N 0,001 s 2. Sean, en la figura m A = 1 Kg; m B = 2 Kg; v A1 = 5 m s; v B2 = 2 m s. Ambos cuerpos chocan y luego del mismo permanecen unidos. Calcular cual es la velocidad final de los cuerpos. Según la ley de la conservación de la cantidad de movimiento, y sabiendo que v A2 = v B2 = v 2, por permanecer los cuerpos unidos después del choque: m A v A1 + m B v B1 = m A v A2 + m B v B2 m A v A1 + m B v B1 = (m A + m B )v 2 v 2 = m Av A1 + m B v B1 m A + m B v 2 = 1 Kg. 5 m s + 2 Kg. 2 m s = 3 1 Kg + 2 Kg m s

6 CHOQUE El choque se define como la colisión entre dos o más cuerpos. Este es un fenómeno de interacción interacción interna entre dos o más cuerpos, en que al menos uno de ellos está en movimiento durante un intervalo de tiempo relativamente corto. Los choques se caracterizan por conservar constante la cantidad de movimiento, lo que no ocurre con la energía cinética. Según estos se presentan tres tipos de choques con base a que se conserve o no la energía cinética, estos tipos son: choque elástico, choque inelástico y choque perfectamente inelástico. Choque Elástico Se dice que ocurre un choque elástico cuando la energía cinética permanece constante, es decir se conserva la energía cinética y la cantidad de movimiento. En este tipo de choque no se producen deformaciones de los cuerpos que chocas o no se genera calor. Esto es un caso extremo. Los únicos choques perfectamente elásticos conocidos son los que tienen lugar entre partículas atómicas y subatómicas, y aun estos pueden no ser perfectamente elásticos si las energías de las partículas que chocan son suficientemente grandes. Condiciones del Choque Elástico: Si al chocar dos cuerpos A y B se produce un choque perfectamente elástico si se cumple que la disminución de la energía cinética de un cuerpo es igual al aumento de energía cinética del otro. La disminución de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al aumento de la cantidad de movimiento del otro. 1 2 m A(v 2 A2 v 2 A1 ) = 1 2 m B(v 2 B2 v 2 B1 ) (conservación de la energía) m A (v A2 v A1 ) = m B (v B2 v B1 ) (conservación cantidad de movimiento) Si el choque no es perfectamente inelástico, la velocidad relativa después del choque disminuye, y se define el coeficiente de restitución (e) para un par de cuerpos que chocan, como la razón, cambiada de signo, de la velocidad relativa después del choque a la velocidad relativa antes del choque. Si se dividen las dos ecuaciones anteriores se obtiene lo siguiente:

7 v A1 + v A2 = v B1 + v B2 v A1 v B1 = (v A2 v B2 ) donde, v A1 v B1 es la velocidad relativa antes del choque, y v A2 v B2 velocidad relativa después del choque. Así se define el coeficiente de restitución como: e = v A2 v B2 v A1 v B1 El coeficiente de restitución cumple con las siguientes condiciones: Choque elástico si: 0 < e < 1. Choque perfectamente inelástico si: e = 0. Choque perfectamente elástico si: e = 1. En el caso de que el movimiento sea de caída libre, si se deja caer una pelota sobre un plano horizontal fijo, es decir que ha chocado en realidad con la tierra, la masa de esta es tan grande que su velocidad no se ha modificado prácticamente con el choque, entonces el coeficiente de restitución para este choque solo viene expresado con respecto a las velocidades de la pelota, y es: e = v 2 v 1 La velocidad relativa es simplemente la adquirida por la pelota al caer libremente desde una altura y 1, es decir que: v 1 = 2gy 1. Si después de chocar la pelota adquiere una altura y 2, la velocidad relativa es: v 2 = 2gy 2. Entonces el coeficiente de restitución nos queda: Choque Inelástico e = 2gy 2 = y 2 2gy 1 y 1 Se dice que un choque es inelástico cuando se conserva la cantidad de movimiento pero no la energía cinética, la cual puede aumentar o disminuir. En este caso se produce una deformación permanente o se genera calor.

8 Choque Perfectamente Inelástico Se dice que ocurre un choque perfectamente inelástico cuando se conserva la cantidad de movimiento, y además los cuerpos al chocar permanecen unidos y se mueven así después del choque a una velocidad constante. Ejercicios de Choque 1. Dos cuerpos de masa m A = 1 Kg y m B = 2 Kg poseen velocidades de v A1 = 5 m s y v B2 = 2 m s antes del choque. Se desean estudiar dos casos: a. Supongamos que el choque es perfectamente inelástico. Calcular la velocidad final de ambos bloques y cuanta energía se convirtió en calor. b. Suponiendo que el choque es perfectamente elástico. Calcular la velocidad final de A y B después del choque. Caso a. Choque perfectamente inelástico. Según la conservación de la cantidad de movimiento se tiene que: m A (v A2 v A1 ) = m B (v B2 v B1 ) m A v A1 + m B v B1 = m A v A2 + m B v B2 Por ser un choque perfectamente inelástico se sabe que: v A2 = v B2 = v 2, entonces: m A v A1 + m B v B1 = (m A + m B )v 2 v 2 = m Av A1 + m B v B1 m A + m B v 2 = 1 Kg. 5 m s + 2 Kg. 2 m s = 3 1 Kg + 2 Kg m s Calculemos la cantidad de energía cinética que se convirtió en calor Calor = K i K f = [( 1 2 m Av 2 A1 ) + ( 1 2 m Bv 2 B1 )] [ 1 2 (m A + m B )v 2 2 ] Calor = [( Kg(5 m s) 2 ) + ( Kg(2 m s) 2 )] [ 1 2 (1 Kg + 2 Kg)(3 m s) 2 ] Caso b. Choque perfectamente elástico. Calor = 16,5 J 13,5 J = 3 J Según la conservación de la cantidad de movimiento se tiene que: m A (v A2 v A1 ) = m B (v B2 v B1 ) m A v A1 + m B v B1 = m A v A2 + m B v B2

9 1 Kg. 5 m s + 2 Kg. 2 m s = 1 Kg. v A2 + 2 Kg. v B2 9 Kg. m s = v A2 + 2v B2 (Ec. 1) Según el coeficiente de restitución tenemos que: e = v A2 v B2 v A1 v B1 = 1 (v A2 v B2 ) = v A1 v B1 v A2 v B2 = v A1 + v B1 v A2 v B2 = 5 m s + 2 m s v A2 v B2 = 3 m s (Ec. 2) De la ecuación 1 y 2 planteamos un sistema de ecuaciones y calculamos las velocidades luego del choque para cada cuerpo. Péndulo Balístico { v A2 + 2v B2 = 9 v A2 v B2 = 3 ( 1) {v A2 + 2v B2 = 9 v A2 v B2 = 3 { v A2 + 2v B2 = 9 v A2 + v B2 = 3 3v B2 = 12 v B2 = 12 3 = 4 m s v A2 + v B2 = 3 v A2 = v B2 3 v A2 = 4 3 = 1 m s Un péndulo balístico es un dispositivo que permite determinar la velocidad de un proyectil. Este péndulo está constituido por un bloque grande de madera, de masa M, suspendido mediante dos hilos verticales, como se ilustra en la figura. El proyectil, de masa m, cuya velocidad v se quiere determinar, se dispara horizontalmente de modo que choque y quede incrustado en el bloque de madera. Si el tiempo que emplea el proyectil en quedar detenido en el interior del bloque de madera es pequeño en comparación con el período de oscilación del péndulo (bastará con que los hilos de suspensión sean suficientemente largos), los

10 hilos de suspensión permanecerán casi verticales durante la colisión. Supongamos que el centro de masa del bloque asciende a una altura h después de la colisión. Entonces, conocidos las masas del proyectil y del bloque y el ascenso de este después del choque, la velocidad del proyectil viene dada por: v = (1 + M ) 2gh (Ec. 1) m Durante el choque se conserva la cantidad de movimiento o momento lineal del sistema, de modo que podemos escribir: mv = (m + M)V (Ec. 2) Después del choque, en el supuesto de que ángulo máximo de desviación del péndulo no supere los 90º, el principio de conservación de la energía nos permite escribir: 1 2 (M + m)v2 = (M + m)gh (Ec. 3) Resolviendo el sistema de ecuaciones entre 1 y 2 con respecto a v, obtenemos fácilmente el resultado de la ecuación 1.