x, la identificamos como una variable

Transcripción

1 MÓDULO Ecuaciones lineales Objetivo. El estudiante será capaz de resolver ecuaciones que contienen una variable por medio de técnicas específicas y graficará ecuaciones de primer grado que contienen dos variables así como determinará la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación de una recta. Introducción Iniciaremos ahora el estudio de ecuaciones algebraicas simples y el uso de algunas técnicas que permiten encontrar el conjunto solución o conjunto de verdad, que contiene a los valores de la variable que las hacen verdaderas. El nombre de ecuación se le da a frases abiertas como +9 =. Cualquier frase en la que el símbolo = es el principal elemento de coneión, se le conoce con el nombre de ecuación. En cualquier ecuación, la parte que aparece a la izquierda del signo de igual se le conoce como miembro izquierdo de la ecuación y, el que aparece a la derecha del signo de igual, se le llama miembro derecho de la ecuación. La ecuación +7= contiene solamente una variable identificada por, por lo que la llamaremos ecuación de una variable. Recuerda que, cuando escribimos una variable acompañada de un pequeño número escrito en la parte superior derecha, como, la identificamos como una variable elevada a un eponente que, en este caso, es. Recuerda también que, si no escribimos ese pequeño número, supondremos que es uno. De este modo tiene como eponente al uno. Así, las variable, y, z y t se pueden epresar como: y z t t y z Solución de ecuaciones de primer grado que involucran sumas y restas.

2 Nuestra intención es aprender a encontrar las soluciones de ecuaciones de primer grado en una variable. El aspecto que tienen estas ecuaciones es como: a) 7 4 b) y t c) d) z z 6 7 En estas ecuaciones las variables son: a) ; b) y; c) t; d) z y su grado es uno porque es el mayor eponente que tiene asociado en cada una de las variables. Para algunas ecuaciones de primer grado en una variable, es fácil encontrar sus soluciones. A veces esta solución se ve con una simple inspección. Por ejemplo, el conjunto solución de += es {}, porque sumado a tres es cinco, pero esto no es frecuente, así que lo aconsejable al resolver ecuaciones, es ser sistemático. Por ejemplo, en la ecuación 7 9 es difícil encontrar la solución con una simple inspección. Así que mejor desarrollemos algunos procedimientos para encontrar los conjuntos solución e este tipo de ecuaciones. Empezaremos por decir que, si dos ecuaciones tienen el mismo conjunto de soluciones, entonces las ecuaciones son equivalentes. Así, dos ecuaciones equivalentes tienen el mismo conjunto de soluciones. Resolvamos la ecuación +4=7. Un primer paso sería sumar (-4) a ambos miembros de la ecuación ya que: 4+(-4)=0 Cuando se suma (-4) a cada miembro de +4=7, el lado izquierdo se vuelve, mientras que el de la derecha se hace 7+(-4)=, luego entonces {} es el conjunto solución de +4=7, porque = es el único valor que la hace verdadera. El conjunto de soluciones de 8=-4+, se encuentra del siguiente modo: 8= (-4)+ 4+8=4+ (-4)+

3 = o bien = Cuál es le conjunto solución de (-)+t=-?. El conjunto solución es {.-} y se encuentra así: (-)+t=- (-)++t= (-)+ t=- Solución de ecuaciones de primer grado que involucran multiplicaciones divisiones. y Veamos ahora algunas ecuaciones de un estilo diferente a las que hemos venido resolviendo. Por ejemplo, considera la ecuación:. Esta ecuación se puede resolver por inspección, es decir =6, sin duda, porque se hace verdadera si se sustituye por 6. Podrás resolver por inspección la ecuación 4?. Seguro que sí. El valor de es 8, porque es verdadera si =8. Sin embargo, la 4 ecuación 8 no es tan fácil de resolver por inspección, y más difícil aún, es encontrar la solución o raíz de la ecuación, por lo que es claro que es 9 7 necesaria una estrategia para encontrar soluciones a ecuaciones de este estilo. Una manera útil emerge del hecho de que: Si a=b Entonces a c=b c

4 Esto puede decirse en palabras como: Si números iguales se multiplican por un mismo número, los productos son iguales. De aquí que, si suponemos que hay una sustitución para de manera que, por ejemplo, es verdadera y si se multiplica cada miembro de esta ecuación por, se puede afirmar que los productos son iguales. Es decir: No olvides que esta última ecuación y son equivalentes, así que admiten la misma solución. De este modo, como y =6, se tiene que =6, por lo que tiene como conjunto solución a {6}. Cuál es el conjunto solución de -? El conjunto solución es {-0}, porque: 0 El conjunto soluciónes : Para encontrar el conjunto solución de la ecuación multiplicar cada miembro de la ecuación, por. 0 vale la pena, primero, 8 Por 8 verdad? De este modo:

5 conjunto solución 6 Apliquemos la misma técnica para encontrar la solución de : Conviene ahora, multiplicar ambos miembros por /, ya que. Así se tiene ; ; 0. Resolvamos la ecuación y. Para esto tenemos dos posibilidades: Primero, se puede sumar (-) a ambos miembros de la ecuación y ( ) ( ). Ahora ya tenemos y 9, por lo que ya podemos multiplicar ambos miembros por, para obtener: y 9 ; y=8 y como conjunto solución es {8}. Una enseñanza que nos deja esta discusión de la solución de ecuaciones de primer grado, es que no hay, necesariamente, un solo método para resolver una ecuación. Pero lo resaltante es que el conjunto de soluciones consiste de todas las sustituciones de la variable que hacen de la ecuación una afirmación verdadera, sin que importe qué camino se tome. Así que elige tu propia técnica para resolver tu autoevaluación. Resuelve las siguientes ecuaciones:.. y 7. z 4 6 AUTOEVALUACIÓN

6 4. m. t r t 7 9. m 4 0. SOLUCIONES ) =- ) y= ) z= 4) m= ) t 6 6) r=4 7) =-6 8) t 9) m=7 0) =8 GRÁFICA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES. Ubiquemos en el plano, el conjunto de puntos (,); (,0); (-,) y (4,) que satisfacen la ecuación +y=. Una manera de obtener pares que satisfacen una ecuación en dos variables, es tabulando. La palabra tabular significa construir una tabla, así que tabulemos, proponiendo algunos valores para la y, con este dato, calcular los de y. y (,y) - 4 (-,4) - (-,)

7 0 (0,) (,) 0 (,0) - (,-) 4 - (4,-) Hablemos de la frase proponer algunos valores para. La palabra proponer significa que puedes sugerir cualquier número real para sustituir a, pero ya sugerido, el valor de y se hace único, si lo que se desea es satisfacer a la ecuación. Por ejemplo, si en la ecuación +y= sugieres 7 para la, la y no tiene más remedio que valer -, si se quiere un par ordenado que sea solución de la ecuación, Con este criterio, seguramente estás sospechando que el número de pares ordenados que son solución de la ecuación es enorme; en realidad la palabra correcta es infinito! Esto es, el número de pares que contiene el conjunto solución es infinito. Dibuja en un plano cartesiano, los pares ordenados que obtuviste en la tabla. La ubicación de los puntos te quedo como se muestra? Vas por buen camino. Tal vez observes que la tendencia de estos puntos es formar una recta. De hecho, si eligieras valores para, cada vez más cercanos uno de otro, el parecido a la recta sería cada vez más definido. Si trazamos una recta que una a todos los puntos, lo que obtenemos es la gráfica de la recta que contiene a todos los puntos que son solución de +y=

8 Para graficar una recta, bastan dos puntos que le pertenezcan. Así, si la ecuación es la de una recta, con dos puntos de ella que encontremos, es suficiente para trazarla. Por ejemplo, si se desea dibujar la gráfica de la ecuación +y=7, podemos proponer la tabla: y (, y) 4 (4, ) (, ) Con estos pares ordenados, es posible trazar la gráfica de la recta: Observa que el par ordenado (-, ) también pertenece a la recta, por lo tanto satisface a la ecuación +y=7. Intentemos encontrar pares ordenados que sean soluciones para la ecuación +y=. Si =, entonces 4+y=. En esta última ecuación, el valor de y no puede ser otro que -½, porque: 4 ( 4) y ( 4) y ; y Así, el par ordenado que es solución de +y= es (,- ½). Si se empieza tomando un valor para y, por ejemplo y=, entonces la =-/. Esto significa que otra solución

9 de +y= es (-/, ). Si te apoyas en estos dos puntos definidos por los dos pares ordenados Cuál es la gráfica del conjunto de soluciones de +y=? Si tu trazo es como la que sigue, lo hiciste muy bien. Tal vez notaste lo molesto que es ubicar valores como =-/ o y=-/. Esta molestia puede disminuirse modificando la escala de la malla, para representar o ubicar los pares ordenados. Por ejemplo, ubica los puntos (, -/) y (-/, ) en la siguiente malla. Fue más fácil verdad? La escala que se escoja no es muy importante y puedes elegirla con toda libertad. Sin embargo, lo que si es importante es que la elección se haga de un modo adecuado, considerando el problema a resolver.

10 Ahora intenta la gráfica del conjunto de soluciones de la ecuación -y=0, en el siguiente sistema de coordenadas: Seguramente notaste que si, la resta -y es cero, entonces y=. Por eso la ordenada de cada punto de la gráfica, es igual a la abscisa del mismo punto. Esa es la razón por la que la gráfica se ve como: Cuál es la gráfica de +y=0? Observaste que la ordenada de cada punto en la gráfica es la inversa aditiva de la abscisa de ese punto? Pues si, por eso la gráfica te debió quedar así:

11 Ya estás listo para enfrentar tu autoevaluación. AUTOEVALUACIÓN ) La ecuación y+=6 se satisface con el par ordenado (0, 6)? ) Dada una ecuación en dos variables, el conjunto de los pares que producen afirmaciones verdaderas se denomina el conjunto de de la ecuación. ) La gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. 4) La siguiente recta representa todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen +y=. Esta recta se llama la de la ecuación. ) Suponiendo que se quiere dibujar la gráfica de la ecuación +y=6. Como la gráfica ha de ser una Con cuántos puntos nos basta para trazarla? 6) En la siguiente malla que se dibuja en el sistema de coordenadas, ubica los pares ordenadas (/, -) y (-/, /). Observa la escala elegida.

12 7) Grafica la ecuación +y= 8) Grafica la ecuación +y= 9) En (-, -) se conoce como el, asociado con el punto R, o simplemente como las de R. 0) La gráfica de A+By=C, donde A, B y C son números reales y, A y B no son ambas cero, es una SOLUCIONES ) Si, porque 6+(0)=6 ) Soluciones ) Puntos 4) Gráfica ) Recta; dos puntos. 6)

13 7) 8) 9) Par ordenado. 0) Línea recta. Función lineal Si la línea recta no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, entonces ella intersecará a ambos ejes. El punto donde ella interseca al eje es de la forma (a,0) y el punto donde interseca al eje y es de la forma ( 0, b). Parece interesante investigar cuál sería la forma de la ecuación de la recta cuando se conoce alguna o ambas intersecciones con los ejes coordenados. Investiguemos ahora, cuál será la forma de la ecuación de la recta que interseca al eje y en el punto ( 0, b), cuya pendiente m, es conocida. (Figura ) Y ( 0.b ) X Figura

14 Ecuación de la recta: pendiente y ordenada al origen Con la información disponible: intersección en el eje obtener su ecuación: y, y su pendiente, podemos y m b Esta ecuación se conoce como la ecuación de la recta en la forma pendiente y ordenada al origen. Observemos que cuando la ecuación de la recta está escrita en esta forma, el coeficiente de corresponde a. Correcto: la pendiente de la recta y el término constante b, a Acertaste! la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje vertical y se le conoce como ordenada al origen. Además, la ecuación escrita en esta forma nos permite trazar de manera cómoda la gráfica de la recta. Una de las ventajas de trabajar los problemas, algebraicamente, está en el hecho de que las operaciones aritméticas sólo quedan indicadas; y de esa manera, en la solución uno puede ver cómo participan los datos. EJEMPLO Se desea conocer la pendiente y la ordenada al origen de la recta y 6 0, para trazar su gráfica. DISCUSIÓN Para conocer la pendiente de la recta y su ordenada al origen, basta despejar en la ecuación propuesta. Acertaste otra vez: y. DESARROLLO Despejamos: y = Bien! y. Luego la pendiente de la recta es. Muy bien: el coeficiente de, m, más aún, la ordenada al origen es Correcto!: b y nos dice dónde la recta, al eje vertical. Bien si escribiste: interseca. Y podemos ya, trazar la gráfica. (Figura ).

15 Y ( 0, ), y = + X Figura Qué parece razonable pedirle, a un par de rectas, para garantizar que sean paralelas?. Muy bien: que tengan la misma pendiente. AUTOEVALUACIÓN Traza además las gráficas correspondientes a cada uno de los ejercicio propuestos.. Halla la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las rectas dadas. a) y 0 b) 4 y 6 0 c) y 0 SOLUCIONES 4. a) m, b=; b) m, b=; c) m, b=0.

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