IMPORTANTE SOLO IMPRIMA LO QUE CORRESPONDA A EJERCICIOS, LAS EXPLICACIONES SON OPCIONALES

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1 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO Chía, Mayo de 07 Señores Estudiantes Grados 0,07,0, a continuación encontrarán una serie de ejercicios que han sido bajados de internet y del libro de Santillana de, estos ejercicios corresponden a los temas de Operaciones con Epresiones Algebraicas (suma, resta, multiplicación y división), los cuales deben ser realizados en hojas y entregar para el día que asignemos en clase. Cordialmente Rosario Monastoque R IMPORTANTE SOLO IMPRIMA LO QUE CORRESPONDA A EJERCICIOS, LAS EXPLICACIONES SON OPCIONALES I. Encontrar el perímetro y área de las siguientes figuras geométricas utilizando operaciones con epresiones algebraicas. m.. X + y a +b a +b a p a + b b a + b a m a +b a +b P = P = P = A = A = A =. y. +y y,, +y 0,y 0,y,, y y P = P =

2 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO II Practica la Adición y Sustracción de polinomios con los siguientes ejercicios: - Sean los polinomios A 7 B 9, 7, Calcula: C D 9. A+B+C. D+C+A. (D+A)-C.D+B. D+B. C-A 7. B+C+D. D-A III Dadas las epresiones algebraicas: 7 P Q T 9 V 9 Calcular los Productos indicados R 7. V. P. Q. Q. R. T. Q. V. T. P. R 7 División de polinomios Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Vamos a eplicarlo por medio de un ejemplo: Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades dividendo y divisor, se debe buscar otra cantidad llamada cociente que multiplicada por el divisor nos resulte el dividendo. Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso: 0 Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los eponentes de la variable () en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante. Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del divisor Para efectuar esto se divide el coeficiente 0 0

3 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base. Este es el primer término del cociente Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el eponente de la variable. 0 0 Estos productos se resta del dividendo 0 0 Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer término del nuevo dividendo es 0 0 Continuamos ahora dividiendo los demás términos El cociente de la división es : Y el residuo: 7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo por lo que la división es ineacta) IV Dividir las siguientes epresiones: y y y y

4 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO - PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN Multiplicación de términos algebraicos: Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos semejantes, si los hay. Ejemplos:. y -7 y =. y (- + y y) =. ( y)( + y)=. (a b)(a b + ab 7) = En los productos algebraicos eisten algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables. Cuadrado del Binomio: Corresponde al producto de un binomio por sí mismo. Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede epresarse como (a + b) y luego (a - b)(a - b) que puede epresarse como (a - b) (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b (a - b) = (a - b)(a - b) = a - ab - ab + b = a - ab + b En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. Luego podemos enunciar que: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término La estructura que representa esta fórmula es: Donde representa al primer término del binomio y al segundo. Ejemplos: a) ( + 7) = = + + 9

5 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO b) (a b) = (a) - a b + (b) = a ab + 9b Suma por Diferencia Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia. Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a b) (a + b)(a b) = a ab + ab b = a b Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente: Es decir, El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo Ejemplos: a) ( + y)( y) = () (y) = y b) (7m + n )(7m n ) = (7m ) (n ) = 9m n Multiplicación de Binomios con un Término Común Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios ( + a) por ( + b), siendo el término común a. Desarrollemos ejemplos para etraer una conclusión. ( + )( + ) = = + + Observa que + = y que = ( 7)( + ) = + 7 = - Observa que 7 + = - y que -7 = - La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente: Concluimos entonces que El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos

6 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO Ejemplos: a) ( + )( + ) = + ( + ) + = b) (a + 7)(a ) = a + (7 )a = a + a FACTORIZACIÓN Factorizar una epresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la epresión propuesta. Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Sabemos que m( - y + z ) = m - my + mz. Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea m - my + mz = m( - y + z ). Ejemplos: Factorizar a) ab a b = ab ( b) b) a b - ab - 0ab = ab (a - b - b ). Factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Sabemos que (a b) = a ab + b. Luego, se tendrá inversamente que a ab + b =(a b). Ejemplos: Factorizar a) 0 + = ( ) b) + y + 9y = ( + y) Factorización de la diferencia de dos cuadrados. Sabemos que (a + b)(a - b) = a - b. Luego, se tendrá inversamente que: a - b = (a + b)(a - b). Ejemplos: Factorizar a) 9a - b = (a) - (b) = (a + b)(a - b). b) 0,0 = () (0,) = ( + 0,)( 0,) Factorizar un trinomio de la forma + m + n. Sabemos que ( + a)( + b) = + (a + b) + ab. Luego, se tendrá inversamente que: + (a + b) + ab = ( + a)( + b) Ejemplos: Factorizar a) = + ( + ) + = ( + )( + ) b) + = + (7 ) = ( + 7)( )

7 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO GUIA DE EJERCICIOS Objetivos: Deberás a) Epresar el valor numérico de una epresión algebraica que resulta al sustituir los factores literales por valores numéricos y luego efectuar las operaciones indicadas. I) Encuentra el valor de cada uno de los siguientes términos: ) k ; si k=... ) n ; si n=0... ) a ; si a= 0... ) w ; si w=... ) (a + ) si a=... ) ( + a) ; si a= -... II) Si a= ; b= - ; c= ; d= ½ ; e=0, determine el valor de cada una de las siguientes epresiones: 7) a+ b =... ) a - b + c =... 9) (a + b) * c =... 0) (c+d)*e +ab =... ) (a-b) + (c-d) =... ) d - ea - b =... ) a + d =... ) a + a - c=... b c b ) a + d =... ) ( a + b-c) =... d c III) Evalúa cada una de las siguientes epresiones: 7) Area de un cuadrado: Ac Ac =a, si a vale cms. ) Volumen de un cubo: Vc Vc = a, si a vale cms. 9) Volumen de una esfera: r si =, y 0) Energía Cinética = mv Si m=grs. y v= 0cms/seg 7

8 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO r=cms. ) Volumen de un cilindro r h ; SI =, ; ) Calcule el perímetro de un rectángulo de lados r=, cms. y h=cms. a=, m y b=, m ) Completa el siguiente cuadro: A b c a + b - c a - bc a -b ½ - - / / ½ / GUIA DE EJERCICIOS. Resuelve:. ( + )²=. ( - y)² =

9 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO. ( - 7)² =. (0, )² =. (a + )² =. (a - 0,)² =. (m + )²=. ( - )² =.( )² =. ( )². =. ( 0,7 a + 0, b) = 7. (p + q)² = 7. ( y) =. ( y)² =. ( 0,M -0, N ) = 9. ( + )² = 0. ( - )² = 9. ( m ½ n ) = 0. ( mn + m n ) = II.- Calcula las siguientes sumas por diferencia: a) (a + )(a - )= b) ( + 7)( - 7)= c) (m - )(m + )= d) (y + 7)(y - 7)= e) (a - )(a + )= f) ( - y)( + y)= g) (mn + 7pq)(mn - 7pq)= h) (a + b )(a - b )= i) ( - y )( + y )= j) (0,p +,q)(0,p -,q)= 9

10 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO k) (/ m + / n)(/ m + / n)= l) ( - / a)( + / a)= III.- Desarrolla los siguientes productos: a) (a + )(a + 7)= b) ( + )( - )= c) (m - 9)(m - ) = d) ( + )( + ) = e) (7m - )(7m + ) = f) (m + )(m ) = g) ( + a)( + a) = h) (- + )( + ) = GUIA DE TRABAJO Identifica de que producto notable proviene cada epresión: ) = ( - ) ) ( - ) =a + ab ) y = ( - ) ) ( - )= 0 - ) ( - )= m n + 7mn ) )= ( - +..) 7) m + 0 am = ( + ) ) a b + b = ( + ) 9)( +..) = m - m + 0) + + =(.+.)(.+.) 0

11 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO ) ( +..) =y - 0y + ) c 0cd + d = ( -..) ) ( +..) = y + y + 9 ) ( +..) = h + h + ) ( -..) = 9a - ab + b ) ( -..) = 0y + y 7) ( -..) = ) m - 0mn + n = ( -..) 9) ( - )( + )= y - 0) (..+ )( - )= - 9 ) ( - )( + )= a - ) (..- )( +.. )= m - ) 9 - y = ( + )( - ) ) ( + )( - )=p - 00q ) ( - )( + )=a b - 9 ) ( - )( + )= m n - 7) ( + )( - )=¼ - ( - )( + ) =) n - a y 9 9).= ab + a b - ab 0).= b - b ) 0y - y + 0 y - y ).= z + z + )..=a + ab = )..= b + b b ).= - y + 9y ) =a - b y 7) = - + ¼ )..= + + 9) =m - mn + n 0) = a - ab + 9b II. Factoriza las siguientes epresiones algebraicas. ) - y = ) a + a = ) 9a + 9b = 9) = ) = 0) m - m 0= )m = ) - + =

12 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO ) + 0 = ) - 0= ) + y - z= ) = 7) a + 7b - c= ) m = ) a ay = ) 9 - = 9) y = ) - + 9= 0) m m = 7) p + pq + q = ) - = ) - y + y = ) a + ab= 9) - 9y = ) + y - = 0) 9/ - /y = ) ab - a + ac = ) - + = ) y - y + y = ) - = ) y - y + y = ) + + 9= 7) 0,ª + 0,b = ) 0,7p - 0,7 = GUIA DE TRABAJO FACTOR COMUN MONOMIO ) (.) = + 0 ) (.) = - y ) (.) = a - ab ) (.) =0 - ) (.) = 9 y + 7y ) (.) = - + 7) (.) =m - 0 am ) (.) =a by - by 9) (.) = n m 0) (.) =7m n + ) (.) = a + b ) (.) ==y y ) (.) =ab + 0ac - 7ad ) (.) =0a ay + az ) (.) =a y ay + ay ) (.) = n + n 0 n

13 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO TRINOMIO ORDENADO PERFECTO: Factorización como cuadrado de binomio Ejercicios: Los siguientes polinomios son trinomios ordenados perfectos? )(. ) = m - m + ) (. ) = ) (. ) =y - 0y + ) (. ) = c - 0cd + d ) (. ) =y + y + 9 ) (. ) = h + h + 7) (. ) =9a - ab + b ) (. ) = - 0y + y 9) (. ) = ) (. ) =m - 0mn + n v) DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS: Suma por diferencia EJERCICIOS: Escribe como suma por diferencia: )(..)(.)= y - ) (..)(.)= - 9 ) (..)(.)= a - ) (..)(.)= 9m - ) (..)(.)= - y ) (..)(.)= p - 900q 7) (..)(.)= a b - 00 ) (..)(.)= m n 9) (..)(.)= n - a 0) (..)(.)= ¼ - y 9 EJERCICIOS DIVERSOS: Factoriza: ) ab + a b - ab = ) 0y - y + 0 y - y = ) b - b - = )z + z + = ) a + ab = ) b - ab + - a= 7) - a - 9b + ab = ) a + ay + + y = 9) - = 0) - y + 9y = ) - y = ) a - b y = ) y = ) - y - + = ) a - + y - y = ) ( a + b) - ( c+d) = 7) a + ab + b - c + cd - d = ) (a + ) - (a - ) =

14 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO 9) = 0) a + a + a + = ) + + = ) a + ab + b = ) 9 + y + y = ) m - mn + n = ) a - ab + 9b = ) - + ¼ = 7) a( +) + b(+) = ) (a+b) + p(a + b)= 9) ( p + q) + y ( p + q) = 0) - + ( - ) = ) a ( + ) - - = ) a + - b ( a + ) = ) ( + y)( n + ) - ( n + ) = ) ( a + ) ( a - ) - ( a + )= ) a( a + b) - b ( a + b) = ) ( + ) ( - r ) - ( -r) ( -r)= 7) a + ab + a + b = ) ab + a + b + = 9) ab - a - b + 0= 0) ab + a - b - = ) - b + y - by = ) ab + a - b - 0= ) sm - bm + sn - bn = ) - 9a - + a = ) a - b + b - a = ) a + a + a + = Factorizar las siguientes epresiones algebraicas:. a b + ab ab =. a + ay + 0y + =. - y + z - z = 9. b - b =. y y 0 = 0. (a + )(a - ) - ( a - ). + =. m - 7m - 0 =. y + 9y =. y - =. y =. - = 7. 0,09 =. ac - a - bc + b + c - c =

15 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO. 9 9 a b. y + y y = 7. a b + ab ab =. - y + z - yz = 9. y + y + 0 = 0. 7 =. a + ay + 0y + = 9. b - b = 0. (a + )(a - ) - ( a - ). m - 7m - 0 =. y - =. - =. ac - a - bc + b + c - c =. a b + ab ab =. - y + z - z =. y y 0 =. + =. y + 9y =. y = 7. 0,09 =. 9 9 a b. y + y y = 7. a b + ab ab =. - y + z - yz = 9. y + y + 0 = 0. 7 = Geometría 9. Un rectángulo tiene un perímetro de 9 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide metros más de largo que de ancho. 0. Un rectángulo mide 0 m de área y metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.. El perímetro de un rectángulo mide metros. Si se aumenta en metros su base y se disminuye en metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en metros y se disminuye la altura en otros la superficie no varía; pero si se aumenta la base en y disminuye la altura en, la superficie aumenta en metros cuadrados.. El área de un triángulo rectángulo es 0 cm y la hipotenusa mide cm. Cuáles son las longitudes de los catetos?

16 TRABAJO DE REFUERZO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GEOMETRIA PERIODO. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es º mayor que el otro. Cuánto mide cada ángulo del triángulo?. La altura de un trapecio isósceles mide cm, la suma de las bases es de cm, y los lados oblicuos miden cm. Averigua las bases del trapecio.. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 0 m y el área 0 m. Calcula los catetos. 7. La diferencia de las diagonales de un rombo es de m. Si a las dos las aumentamos en m el área aumenta en m. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.. Los lados paralelos de un trapecio miden cm y cm, respectivamente, y los no paralelos y 0 cm. Calcula la altura del trapecio. IMPORTANTE SOLO IMPRIMA LO QUE CORRESPONDA A EJERCICIOS, LAS EXPLICACIONES SON OPCIONALES