Números Complejos II. Ecuaciones

Transcripción

1 Complejos 1º Bachllerato Departamento de Matemátcas Raúl González Medna Ecuacones 1. Resolver las sguentes ecuacones y determnar en qué campo numérco tenen solucón: a) x 2 +4=0; b) x 2-9=0; c) x 2 +1=0. Sol: a) 2; b) 3; c) 2. Resolver las ecuacones: a) x 2-2x+5=0; b) x 2-6x+13=0; c) x 2-4x+5=0. Sol: a) 1 2; b) 3 2; c) 2 3. Encontrar los puntos de nterseccón de la crcunferenca x 2 +y 2 =2 y la recta y=x. Son solucones reales o magnaras?. Sol: reales: (1,1), (-1,-1) 4. Encontrar los puntos de nterseccón de la crcunferenca x 2 +y 2 =1 y la recta y=x-3. Son solucones reales o magnaras?. Sol: magnaras x=3/2 ( 7 /2) 5. A qué campo numérco pertenecen las solucones de estas ecuacones?. a) x 2-3x+2=0 b) x 2-2x+2=0 c) 2x 2-7x+3=0 d) (x 2 /2)+8=0. Sol: a) Real, x=2, x=1; b) Imagnara x=1 ; c) Real, x=1/2, x=3; d) Imagnara, x= 4 6. Calcular los puntos de nterseccón de la elpse (x 2 /4)+(y 2 /9)=1 con la recta x=5. Sol: 9/4 7. Resolver las ecuacones sguentes ndcando el campo numérco al que pertenecen las solucones: a) x 2-4=0 b) x 2-5=0; c) x 2 +1=0. Sol: a) 2; b) 5 ; c) 8. Resolver las ecuacones: a) x 2-10x+29=0 b) x 2-6x+10=0 c) x 2-4x+13=0. Sol: a) 5 2; b) 3 ; c) Representar gráfcamente las raíces de las ecuacones: a) x 2 +4=0 b) x 2 +1=0; c) x 2-9=0 d) x 2 +9=0. Sol: a) 2; b) ; c) 3; d) Escrbr una ecuacón de segundo grado cuyas raíces sean 2+2 y 2-2. (Recuerda: x1+x2=(-b/a); x1.x2=(c/a). Sol: x 2-4x+8=0 11. Resolver la ecuacón x 3 +27=0. Representa gráfcamente todas sus solucones. Sol: x=3 180º, x=3 300º, x=3 60º 12. Resolver la ecuacón de segundo grado x 2-2x+17=0. Tene dos raíces complejas. Cómo son entre sí?. Se puede generalzar el resultado?. Sol: a) 1 4; b) conjugadas; c) sí 13. Resolver las ecuacones: a) x 3-8=0; b) x 5-32=0; c) x 4-81=0; d) x 3-1=0. Sol: a) x=2 120ºk k=0,1,2; b) x=2 72ºk k=0,1,2,3,4; c) x= 3; x= 3; d) x=1, x=1 120º, x=1 240º 14. Resolver la ecuacón x 2-4x+5=0 y comprueba que, en efecto, las raíces obtendas verfcan dcha ecuacón. Sol: a) Resolver las ecuacones x 6 +64=0 y x 4 +81=0. Sol: a) x=2 90º+60ºk k=0,1,2,3,4,5; b) x=3 45º+90ºk k=0,1,2,3 16. Escrbr una ecuacón de raíces 1+3, 1-3. Sol: x 2-2x+10=0 17. Probar que 3+ y 3- son raíces de la ecuacón x 2-6x+10. Sol: [x-(3+)][x-(3-)]=x 2-6x Resolver la ecuacón: a) x 4 +1=-35. Sol: x= 3 3 ; x=- 3 3 Potencas, raíces, mxtos 1. Calcular las potencas: a) (2-3) 3 ; b) (3+) 2 ; c) 23 ; d) (2+2) 4. Sol: a) -46-9; b) 8+6; c) -; d) Calcular: a) 27 ; b) 48 ; c) 7 ; d) 12 ; e) 33 ; f) 35. Sol: a) -; b) 1; c) -; d) 1; e) ; f) 3. Sabemos que z1=3-2, que z2=4-3 y que z3=-3. Calcular: a) z1+2z2-z3 b) z1(z2+z3) 2 c) z2 d) 2z1-z2+z3. Sol: a) 11-5; b) -26; c) 7-24; d) Calcular: a) (1+2) 3 ; b) (-3-) 4 ; c) (1-3) 2. Sol: a) -11-2; b) 28+96; c) Calcular: a) 210 ; b) 312 ; c) 326 ; d) Sol: a) -1; b) 1; c) -1; d) 6. Calcular: a) (1+) 3 ; b) (1-) 3 ; c) (-1+) 3 ; d) (-1-) 3. Sol: a) -2+2; b) -2-2; c) 2+2; d) Calcular: a) 1/ 3 b) 1/ 4 c) -1 d) -2. Sol: a) ; b) 1; c) -; d) -1 3

2 Complejos 1º Bachllerato Departamento de Matemátcas Raúl González Medna 8. Dados los complejos: z1=345º; z2=230º y z3=-2. Calcular: a) z1z3 b) z1 / (z2) 2 c) (z1) 2 /[z2(z3) 3 ]. Sol: a) 6 315º; b) (3/4) -15º; c) (9/16) 330º 9. Calcular, expresando el resultado en forma polar: a) (1+) 6 b) [(-1/2)+( 2 /2)] 8 c) (1-) 4. Sol: a) 8 270º; b) 1 240º; c) 4 180º 10. Calcular las potencas: a) [2(cos45º+sen45º)] 4 b) ( 2 30º) 6 c) [ 4 3 (cos10º+sen10º)] 8. Sol: a) º; b) 8 180º=-8; c) 9 80º 11. Calcular las raíces quntas de la undad. Hacerlo expresando 1 como complejo en forma polar. Sol: 10º; 172º; 1144º; 1216º; 1288º 12. Calcular: a) ; b) ; c) Sol: a) 1 135º; 1 315º; b) 15º 13. Calcular , º ; º ;c) 4 90, Sol: 1/ 6 2 5º 120º k k=0,1,2 14. Calcular las raíces sguentes y representar gráfcamente las solucones: a) 4 ; b) 3 27 ; c) 3 ; d) 3 27 Sol: a) 2 90º, 2 270º; b) 3 60º, 3 180º, 3 300º; c) 1 30º, 1 150º, 1 270º; d) 3 30º, 3 150º, 3 270º 15. Calcular las raíces: a) 4cos 60º sen60º ; b) 3 27cos180º sen180 º ; c) 4 8cos120º sen 120 ; d) 6 Sol: a) 2 30º, 2 210º; b) 3 60º, 3 180º, 3 300º; c) 340º+90ºk k=0,1,2,3; d) 1 15º+60ºk k=0,1,2,3,4,5 16. De qué número es (2+3) raíz cúbca?. Sol: a) Operar la expresón (1+3) 2 (3-4) b) calcular las raíces cúbcas del resultado. Sol: a) 50; b) º+120ºk k=0,1,2 18. Calcular el valor de ( 4-3 )/8 y encontrar sus raíces cúbcas. Sol: (1/2) 105º+120ºk k=0,1,2 19. Calcular: a) (1+) 8 ; b) (-1+) 6 ; c) (1+ 3 ) 2 ; d) (-2-2) 4. Sol: a) 16 0; b) 8 90; c) ; d) Calcular ( )/ 2. Escrbr el resultado en forma polar. Sol: 1 315º 21. a) S una raíz cúbca de un número es 2, calcular las otras dos raíces y ese número. b) Calcular (cos10º+sen10º) 8 Sol:a) 2 210º, 2 330º; -8=8 270º ; b) 1 80º 22. Hallar las raíces cúbcas de los complejos: a) 2+2; b) 1+ 3 ; c) Sol: a) 2 15º, 2 135º, 2 255º; b) º+120ºk k=0,1,2,3,4,5; c) º+120ºk k=0,1, Calcular: z= Sol: 2 15º+120ºk k=0,1,2 24. Hallar las raíces cúbcas de a) -1 y b) -. Sol: a) 1 60º, 1 180º, 1 300º; b) 1 90º, 1 210º, 1 330º Calcular las tres raíces de en foma polar: Sol: 1 90º; 1 210º; 1 330º 26. a) Calcular: 14, 18, 33 b) S z1 = 2-2; z2 = 1+3; y z3 = 2. Hallar: 2z1 - z2 + 2z3; z1. (z2 - z3); (z1) 2. c) Hallar: (1+2) 3 d) Hallar x para que se verfque que (x-)/(2+) = 1-. Sol: a) -1, -1, ; b) 3-3, 4, -8; c) -11-2; d) x=3 27. Calcular Sol: 3 90º, 3 210º, 3 330º 28. Calcular las sguentes potencas: a) [2(cos25+sen25)] 4. b) ( 3 30º) 8. Sol: a) º; b) º 29. Hallar el módulo de: 5.( )/( 2-3). Sol: z=-1-2; z = Calcular (-2+2) 64 Sol: º = Calcular el valor de ( )/(2) y hallar sus raíces cúbcas. Sol: a) -1; b) 1 60º, 1 180º, 1 300º 32. a) Calcular el valor de la fraccón (z 3 +z)/(z 2 +2) para z=1+ b) Dar el valor de la msma fraccón para z =1-. Sol: a) 1/2+; b) 1/2-4

3 Complejos 1º Bachllerato Departamento de Matemátcas Raúl González Medna 33. Calcular sn desarrollar los bnomos y expresar el resultado en forma bnómca: 1 3 a) (1+) 4 b) 6 Sol: a) 4 180º=-4; b) 64 0º= Hallar el conjugado del opuesto de a) (1-2) 3 ; b) 25/(3+4); c) ((2+)/(1-2)) 2. Sol: a) 11+2; b) -3-4; c) Calcular el valor de (z 2 +z-1)/(z 2-2z) para z=1+. Sol: -3/2 36. Hallar: a) (1+) 20, b) (2 3-2) 30, c) (- 3 -) 12 y expresar el resultado en forma polar y bnómca. Sol: a) º = ; b) º = ; c) º = Hallar z=(cos20º+sen20º) 10, w=(cos50º-sen50º) 30 y expresar el resultado en forma bnómca. Hallar z -1 y el conjugado de w. Sol: z=(cos200º+sen200º); w=(cos300º+ sen300º)=1/2-3 /2 ; z -1 =1 160º; w =1/2+ 3 / Hallar el módulo y el argumento de Hallar las raíces quntas de: a) 1, b) -1, c) 1/32, d) 243, e) -32, f) 3 +. Sol: a) 1 0º+72ºk; b) 1 36º+72ºk; c) (1/2) 0º+72ºk; d) 3 18º+72ºk; e) 2 36º+72ºk; f) 5 2 6º+72ºk.k=0,1,2,3,4 4 Sol: 1 360º = Hallar la raíz cuadrada de los complejos: a) 5+12 y b) 1/(3+4.) Sol: a) 3+2; -3-2; b) 2/5-1/5; -2/5+1/ Calcular y representar los afjos de las raíces cúbcas de. Expresar el resultado en 3 forma bnómca. Sol: 1, -1/2+ 3 /2, -1/2-3 /2 Incógntas reales o complejas 1. Cuánto debe valer x para que el número (1+x) 2 sea magnaro puro?. Sol: x= 1 2. Calcular los números x e y para que se verfque la gualdad: (3+x)+(y+3)=5+2. Sol: x=-1; y=2 3. Determnar el valor de x para que se verfque la gualdad: (x-)/(1-)=(2+). Sol: x=3 4. Calcular los números reales x e y para que se verfque (-4+x)/(2-3)=(y-2). Sol: x=-7; y=1 5. Determnar x para que el producto (3+2)(6+x) sea: a) un número real b) un número magnaro puro. Sol: a) x=-4; b) x=9 6. Determnar los números reales x e y para que se cumpla: x 2 y 1. Sol:x=4; y=3 7. Calcular a para que el complejo z = (4+a)/(1-) sea: a) Imagnaro puro. b) Real. Sol: a) a=4; b) a=-4 8. Hallar el módulo y el argumento del número complejo: z=(x+)/(x-), x pertenecente a R.Sol: z =1 9. Determnar x para que el módulo del complejo z=(x+)/(1+) sea 5. Sol: x= Resolver: (4+x)/(2+) = y+2. Sol: x=7, y=3 11. Hallar el valor de x para que la operacón (2-x)/(1-3) tenga sólo parte real, sólo parte magnara y para que su representacón esté en la bsectrz del prmer y tercer cuadrante, es decr, la parte real e magnara sean guales. Sol: x=6, x=-2/3, x=1 12. Hallar x para que el número (3-x)(2+) esté representado en la bsectrz del prmer y tercer cuadrante. Sol: x= Hallar x e y para que se cumpla: a) (x-).(y+2)=4x+; b) (-4+x)/(2+2) = y+3. Sol: a) x=2, y=3; b) x=8, y=1 14. Hallar x, para que la expresón: z = (4+x)/(2+) sea: a) real, b) magnaro puro. Sol: a) x=2; b) x= Hallar k, para que z-2 = 3, sendo z=k+3. Sol: k=2 16. Determnar el valor real de x de modo que el afjo del producto de los números complejos 3+x y 4+2 sea un punto de la bsectrz del prmer cuadrante. Sol: x=1 1 x y Resolver el sguente sstema: Sol: x=1+; y=2 2 x 2y 7 5

4 Complejos 1º Bachllerato Departamento de Matemátcas Raúl González Medna 18. Resolver las ecuacones sguentes en el campo complejo. En todos los casos z es un número z complejo; despejar y calcular su valor: a) (2-2)z=10-2; b) =2-; 3 z 2z 5 z 2z 2 c) 2 2 d) 3 2 Sol: a) 3+2; b) 7-; c) 4-3; d) z 19. Despejar z y calcular su valor en las ecuacones sguentes: a) [z/(1+)]+(2-3)=(4-4); b) (3+)/z=(1+2); c) (2+2)z=(10+2). Sol: a) 3+; b) 1-; c) Resolver los sstemas de ecuacones sguentes, en los que α y β son números complejos: a) b) c) z z z 21. Calcular z en las ecuacones sguentes: a) 2 ; b) Sol: a) 5;b) 7/ Resolver el sstema (x e y son números complejos): Sol: a) α =3+; β =2; b) α =1-; β =3+; c) α =3-; β =2-2 x 1 2 x y 0 y 2 3 Sol: x=; y=2-23. Hallar el número complejo z que cumpla: [z/(2-)]+[(2z-5)/(2-)]=1+2. Sol: z= Hallar z tal que z 3 sea gual al conjugado de z. Sol: z=, z=1, z=-1, z=0 25. Resolver la ecuacón (1-)z 2-7=. Sol: z=2+ y z=-2- Problemas y método de Movre 1. S el producto de dos números complejos es -18 y dvdendo uno de ellos entre el otro, obtenemos de resultado 2. Cuánto valen el módulo y el argumento de cada uno?. Sol: 3 45º y 6 135º 2. El cocente de dos números complejos es 1/2 y el dvdendo es el cuadrado del dvsor. Calcular sus módulos y sus argumentos. Sol: (1/2) 0º; (1/4) 0º 3. Aplcar un gro de 90º sobre el punto A(3,1). Determnar, utlzando el cálculo de números complejos, las coordenadas del punto que obtenes. Sol: a) (-1,3) 4. La suma de dos números complejos conjugados es 6 y la suma de sus módulos 10. De qué números complejos se trata?. Sol: (3+4), (3-4) 5. La resta de dos números complejos es 2+6, y el cuadrado del segundo dvddo por el prmero es 2. Hallarlos. Sol: 4+2, 6+8; 4, Hallar dos números complejos sabendo que: su dferenca es real, su suma tene de parte real 8 y su producto vale Sol: (3-2); 2 7. El producto de dos números complejos es -27. Hallarlos sabendo que uno de ellos es el cuadrado del otro. Sol: 3 60º, 9 120º. 8. La suma de dos números complejos es -5+5; la parte real de uno de ellos es 1. Determnar dchos números sabendo que su cocente es magnaro puro. Sol: (1+3) y (-6+2) ó (1+2) y (-6+3) 9. La suma de dos complejos es 5- y su producto es 8+. Hallar los números. Sol: 3-2, La suma de dos complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos 10 Cuáles son los números complejos?. Sol: (4+3), (4-3) 11. El producto de dos números complejos es -2 y el cubo de unos de ellos dvddo por el otro es 1/2. Calcular módulos y argumentos. Sol: 1 45º, 2 135º; 1 135º, 2 45º; 1 225º, 2 315º; 1 315º, 2 225º 6

5 Complejos 1º Bachllerato Departamento de Matemátcas Raúl González Medna 12. Hallar z tal que: a) el conjugado de z sea gual a -z. b) el conjugado de z sea gual a z -1. c) la suma del conjugado de z más z sea gual a 2. d) z menos el conjugado de z sea gual a 2. Sol: a) z=k; b) a+b/a 2 +b 2 =1; c) 1+k; d) k+ 13. El complejo de argumento 70º y módulo 8 es el producto de dos complejos, uno de ellos tene de argumento 40º y módulo 2. Escrbr en forma bnómca el otro complejo. Sol: 8 30º = Determnar el número complejo sabendo que s después de multplcarlo por (1-) se le suma al resultado (-3+5) y se dvde lo obtendo por 2+3 se vuelve al complejo de partda. Sol: 1+ Fguras geométrcas 15. Sabendo que los puntos P, Q y R son los afjos de las raíces cúbcas de un número complejo, sendo las coordenadas polares de P 330º. Hallar las coordenadas polares y cartesanas de Q y R y el número complejo. Sol: Q=3 150º=-3 3 /2+3/2 ; R=3 270º: -3; Hallar las coordenadas de los vértces de un hexágono regular, de centro el orgen sabendo que uno de los vértces es el afjo del número complejo 2π/2. Sol: 2 150, 2 210, 2 270, 2 330, Hallar las coordenadas de los vértces de un cuadrado (de centro el orgen de coordenadas) sabendo que uno de sus vértces es el afjo del número complejo Sol: 1 30º, 1 210º, 1 300º 18. Hallar las coordenadas polares y cartesanas de los vértces de un hexágono regular de rado 3 u, sabendo que un vértce está stuado en el eje OX. Sol: 3 0º, 3 60º, 3 120º, 3 180º, 3 240º, 3 300º 19. Los afjos de las raíces de un complejo son vértces de un octógono regular nscrto en una crcunferenca de rado 2 u; el argumento de una de las raíces es 45º. Hallar el número complejo y las restantes raíces. Sol: 256; 2 45, 2 90, 2 135, 2 180, 2 225, 2 270, 2 315, Hallar las coordenadas de los vértces de un cuadrado, nscrto en una crcunferenca de centro el orgen de coordenadas, sabendo que uno de los vértces es el afjo del complejo 1+2. Sol: 2+, -2+, -1-2 Método de Movre 21. Expresa en funcón de cos y sen y utlzando la fórmula de Movre: a) cos 2 y sen 2 ; b) cos 3 y sen 3. Sol: a) sen2 =2sen cos ; cos2 =cos 2 -sen 2 ; b) sen3 =3cos 2 sen -sen 3 ; cos3 =cos 3-3cos sen Encuentra las fórmulas para calcular sen 4 y cos 4 en funcón de sen y cos. Sol: sen4 =4sen cos 3-4cos sen 3 ; cos4 =cos 4 +sen 4-6cos 2 sen Hallar sen 3 5a y cos 2 5a sabendo que sen a = 1/2 y a pertenece al prmer cuadrante. Sol: sen 3 5a=1/8; cos 2 5a=3/4 24. S sen x = 1/3 y 0<x<π/2. Hallar sen 6x y cos 6x. Sol: sen6x=460 2 /729; cos6x=-329/729 7