2014 Facultad de Ciencias. Práctico 2

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Jorge Lara Fidalgo
hace 6 años
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1 Práctico 2 Ejercicio 1.- Un haz de electrones se dispara a una distancia de 1 4 km. Si el tamaño inicial del paquete es de 1-3 m, cuál será su tamaño al arrivar, si su energía cinética es (a) 13,6 ev?; (b) 1 MeV? [Cuidado: a relación entre la energía cinética y el momento no es siempre T=p 2 /2m] Ejercicio 2.- Considere un paquete de neutrinos, que son de masa nula en una muy buena aproximación, de modo que E=pc. Demuestre que un paquete de onda de este tipo no se dispersa. Ejercicio 3.- Considere una función de onda de la forma x = Ae x. Calcule la función de onda en el espacio de momentos, p. Ejercicio 4.- Considere la función de onda x = / 1/ 4 e x 2 /2. a) Calcule x n para n=1,2. Puede deducir rápidamente cuál será la forma de x 17? b) Calcule la representación de la función de onda en el espacio de momentos, p. A partir de la misma, halle p n para n=1,2. c) Usando las definiciones x 2 = x 2 x 2 y p 2 = p 2 p 2, utilice los cálculos de (a) y (b) para probar que x p ħ/2. Ejercicio 5.- Estime la intensidad de la energía potencial nuclear, basado en el siguiente hecho: El tamaño de la caja que describe, en una aproximación grotesca, el potencial es de 1-15 m, y para eyectar una partícula fuera de este pozo de potencial, son necesarios, por lo menos, 8 MeV. a) Use el principio de incertidumbre para estimar p 2 para un nucleón dentro de la caja, y suponiendo que su masa es M=1,67x1-27 kg, estime la energía cinética del mismo. b) Dado que el potencial que da origen a la ligadura debe compensar este término, cuál es el valor negativo de la energía potencial? Ejercicio 6.- os núcleos de un tamaño característico de 1-14 m con frecuencia emiten electrones con energías en el rango de los 1 a 1 MeV. En las épocas tempranas de la Fìsica Nuclear, la gente pensaba que dichos electrones vivían dentro del núcleo. Use el principio de incertidumbre para demostrar que electrones con semejantes energías no podrían ser contenidos dentro del núcleo. Ejercicio 7.- A partir de la forma de los autoestados del pozo cuadrado infinito ubicado entre x= y x=a, u n x = 2 a sin n x a, calcular x= x 2 x 2. Utilizando que p 2 =2mE n = ħ2 2 n 2, calcular el valor del producto x p. Note que para los a 2 autoestados de energías más altas, la incerteza aumenta con n. Ejercicio 8.- Considere un electrón de masa m=,9 x1-3 kg en un pozo infinito unidimensional de longitud a=1-9 m. 1/5

2 a) Cuál es la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado? Exprese su respuesta en ev. b) Suponiendo que la transición del estado con n=2 al estado con n=1 es acompañada por la emisión de un fotón como en el caso de la regla del modelo de Bohr. Cuál será la longitud de onda del fotón emitido? Ejercicio 9.- Considere un electrón en una caja macroscópica de tamaño a=2 cm. a) Qué valor de n corresponde a una energía de 1.5 ev? b) Cuál es la diferencia de energía entre el estado n y el n+1 en esa región? Ejercicio 1.- Considere una caja infinita de ancho desconocido. Varios fotones son emitidos en transiciones entre estados correspondientes a valores de n contiguos. Se encuentra que la mayor longitud de onda observada para los fotones emitidos es de 45 x1-9 m. Utilice esta información para estimar el tamaño del ancho de la caja, a. Ejercicio 11.- Se sabe que una partícula se halla localizada en la mitad izquierda de una caja infinita, con pardes ubicadas en x=± a, con una función de onda de la forma: 2 x = 2 a si a 2 x, x = si x a 2. a) Permanecerá la partícula localizada para instantes posteriores? b) Calcule las probabilidades de que una medida de la energía, respectivamente, dé como resultado la energía del estado fundamental, y la de que dé como resultado la energía del primer estado excitado. c) Calcule la probabilidad de que una medida de la energía dé como resultado la energía correspondiente al autovalor asociado a un n particular. d) Demuestre que la suma de todas las probabilidades para todos los infinitos n posibles, 1 2 2= es la probabilidad total, o sea que vale 1. Puede resultar útil saber que i=1 n 8. Ejercicio 12.- as autofunciones para el pozo infinito unidimensional con paredes en x= y x=a (El potencial V vale cero dentro de la caja y vale infinito fuera de la misma), están dadas por u n x = 2 a sin n x a. Suponga que una partícula dentro de dicho pozo x incialmente tiene una función de onda normalizada, dada por x, = A sin a a) Cuál será la forma de x,t? b) Calcule el valor de A sin hallar el valor de la integral sin 1 d. c) Cuál será la probabilidad de que una medida de la energía dé como resultado E 3, siendo E n = n2 ħ 2 2? a 2 Sugerencia: Expanda [e i e i ]/2i 5 en una serie de potencias del tipo 5. 2/5

3 e 5 i e 5 i similares. y recombine los términos para que aparezcan cosas del tipo sin 5 y Ejercicio 13.- Una partícula se encuentra en el estado fundamental de una caja infinita unidimensional con paredes en x= y x=a. Repentinamente, se mueven las paredes de la caja a x=±, con lo que la partícula pasa a estar libre. a) Cuál será la probabilidad de que el momento lineal de la partícula se encuentre en el intervalo (p, p+dp)? Dado que una partícula libre con momento p tiene una energía de la forma p 2 /2m, que no tiene por qué coincidir con la energía del estado fundamental, la energía no se conservará. Cómo es esto posible? b) Repita los cálculos de (a) para una partícula ubicada inicialmente en el autoestado n-ésimo de la caja. Demuestre que la correspondiente probabilidad estará dada por: 2 n n cos pa/ħ ħ a 3 [ p/ħ 2 n /a 2 ]. 2 Bosqueje la forma de la distribución de probabilidad. Muestre que es coherente con el principio de incertidumbre, y que cumple con el principio de correspondencia para n grande. Ejercicio 14.- Una partícula libre se encuentra inicialmente en un paquete de la forma x = / 1/ 4 e x 2 /2. a) Cuál será la probabilidad de que el momento lineal de la partícula se encuentre en el intervalo (p, p+dp)? b) Cuál es el valor esperado de la energía? Explique cualitativamente, a partir del tamaño del paquete, y del principio de incertidumbre, por qué el resultado debe dar, estimativamente, el valor que se obtiene. Ejercicio 15.- a) Pruebe que el operador paridad P, definido por P x = x, es un operador hermítico. También demuestre que las autofunciones de P, correspondientes a los autovalores +1 y -1, respectivamente, son ortogonales. b) Demuestre que el operador P anticonmuta con el momento lineal p, y conmuta con p 2. Nota: El anticonmutador entre dos operadores A y B, se define como {A,B}=AB+BA. Dos operadores, A y B, se dicen que conmutan cuando su conmutador ([A,B]=AB BA) es nulo, y se dice que anticonmutan cuando su anticonmutador es nulo. c) Considere una partícula en una caja infinita unidimensional con paredes en x= y x=a, cuya función de onda inicial está dada por: x =A x /a si x a/2, x = A 1 x/a si a/2 x a, donde A= 12/a, para satisfacer la condición de normalización. Demuestre utilizando argumentos de paridad, que la probabilidad de que una medida de la energía de un autovalor asociado a un valor de n par, es nula. Ejercicio 16.- Un pozo de potencial retangular unidimensional se encuentra limitado por una pared de altura 5V en x= y otra de altura 2V en x=, como se muestra en la figura. 3/5

4 V 5V 2V V= E 2 =V Región I x= Región II x= Región II x Supongamos que el ancho del pozo,, es elegido de forma que una partícula de masa m tenga una energía E 2 =V exactamente, en el segundo autoestado (el autoestado de energía mínima sería el primer autoestado). Realizar un diagrama cualitativo de la función de onda, 2 x. Indicar los cocientes de disminución relativos de con x en las regiones I y III. El nodo de esta función de onda se encuentra a la derecha o a la izquierda del centro del pozo? Ejercicio 17.- a figura muestra cuatro curvas de energía potencial unidimensionales. 2V V V -V (i) (ii) V -V -V -2V (iii) (iv) a) Para cuáles de estos potenciales puede descartarse definitivamente la existencia de estados cuánticos ligados, sin tener en cuenta la masa de la partícula? b) Para cuáles de estos potenciales puede asegurarse la existencia de al menos un estado cuántico ligado? 4/5

5 Ejercicio 18.- Dibuje los diagramas cualitativos de las funciones de onda para cada uno de los potenciales que se muestran a continuación. 5/5

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