6Soluciones a los ejercicios y problemas

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1 PÁGINA Pág. P R A C T I C A Comprueba si x =, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = x y = 0 a) b) 5x + y = 0 x + y = 5 x y = a) ( ) = 5? No es solución. 5x + y = 0 5 = 9? 0 x y = 0 ( ) = 0 b) Sí es solución de este sistema. x + y = 5 + ( ) = 5 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución x =, y = /: x x + y = + y = a) b) x y = x y = + x + y = ( ) = 9 = a) x y = ( ) = + = 5 x = + y = b) 7 x y = + = a) Busca dos soluciones de la ecuación x y =. b) Representa gráficamente la recta x y =. c) Un punto cualquiera de la recta es solución de la ecuación? a) x y = Si x = : y = y = Si x = 0: 0 y = y = b) (, ) (0, ) x + y = 7 x y = x + y = x y = 5 c) Todos los puntos de la recta son soluciones de la ecuación.

2 a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes: x + y = x y = b) Di cuál es la solución de este sistema: x + y = x y = a) x + y = x y = x 0 y x 0 y x + y = (, ) x y = Pág. x + y = b) x y = La solución del sistema es x =, y =, que corresponde al punto de corte de ambas rectas. 5 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = x y = 0 x + y = 5 a) b) c) d) x + y = 5 x + y = 6 x y = x y = x + y = x y = a) x + y = 5 x y = x + y = 5 x 0 y Solución: x =, y = x y P(, ) x y = 0 b) x + y = 6 x y = 0 x + y = 6 x 0 y 0 x 0 y 6 0 P(, ) Solución: x =, y = x + y = 5 c) x y = x + y = 5 x y = x y Solución: x =, y = x 0 y P(, )

3 d) x y = x + y = x y = x + y = x y 0 Solución: x =, y = 0 x 6 y 0 6 Pág. 6 Resuelve por sustitución. x + y = 0 a) b) x + y = 5 7x y = 6 x + 6 = y c) d) x + y = y x = 6 a) 6y + y = 5 5y = 5 y = x = = Solución: x =, y = x y = 5 b) x 5y = 7 c) x + y = 0 x + y = 5 x = 7 + 5y ( 7 + 5y) y = y y = 5 7y = y = x = = Solución: x =, y = 7x y = 6 x + y = x + x + = 5x = 5 x = 5 = 5 5 ( y = = 5 Solución: x =, y = 5 x + 6 = y d) y x = 6 x = y ( y) + y = 5 7x + 6 = y x + (7x + 6) = ) x + 6 y = = x + (x + ) x = 6 x y = 5 x 5y = 7 x + 6 x = 6 x = 0 x = 0 y = Solución: x = 0, y =

4 7 Resuelve por igualación. a) x = x y = 6 Pág. x + y = b) x y = 6 c) y = 6x 7x = y 5 x y = d) x + y = x = x = a) 6 + y = y = x y = 6 x = 6 + y Solución: x =, y = x + y = x = y b) y = 6 + y 6 = 5y x y = 6 x = 6 + y y = x = ( ) = Solución: x =, y = y = 6x y = 6x c) 7x + 5 6x = 7x + 5 x = 7x + 5 5x = 5 7x = y 5 y = Solución: x =, y = 6 x = y = 6 = 6 x + x y = y = d) x + = x x + = x x + y = y = x x = x = y = = 5 ( ) Solución: x =, y = 5

5 Resuelve por reducción. x + y = 0 x y = 0 a) b) x y = x + y = 6 Pág. 5 x y = x + y = c) d) x + y = x y = 7 x y = e) f) x + 6y = a) x + y = 0 x y = x = x =, y = Solución: x =, y = x y = 0 b) x + y = 6 6x = 6 x =, y = Solución: x =, y = x y = c) x + y = 0x = 0 x = ( ) + y = y = Solución: x =, y = x + y = x + y = d) 7x = 5 x = y = x y = 7 6x y = 7 7 Solución: x = 5, y = 7 7 x y = x 6y = e) 5x = x = y = x + 6y = x + 6y = 5 5 Solución: x =, y = 5 5 x + y = x + y = f) x = = + y = 7 x + y = 7/6 x y = /6 6 6 Solución: x =, y = y = 5/7 = 7 y = /5 = 5 x y = 6x + y = x + y = x + y = 7/6 y = 7 = 6

6 9 Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado: a) x y = x y = Pág. 6 x = + y b) + y = 0x c) d) x + 5y = x y = x y = x + y = 5/ x y = a) Por sustitución: x y = + y y = y = x = + = 5 Solución: x = 5, y = x = + y b) Por sustitución: + y = 0x + 6x = 0x = x x = y = = Solución: x =, y = x + 5y = x 0y = c) Por reducción: x y = x y = y = 0 y = 0 x = x = Solución: x =, y = 0 x y = 6x y = d) Por reducción: x + y = 5/ x + y = 5/ 7x = 7 x = y = y = y = Solución: x =, y = x = + y ( + y) y = y = x + (x ) = 0x

7 6Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Resuelve los sistemas siguientes: a) x y = b) x y + = c) d) x + y = 0 5x = 9y (x ) = y (x + y) + (x y) = y x + = x y = 5 Pág. 7 x + y = 0 a) Por sustitución: y = x 5x = 9( x) 5x = 9y 5x = x x = 0 x = 0 y = 0 = 0 Solución: x = 0, y = 0 x y = x y = b) x y = Por reducción: x y x + y = x y = + = y = 6 y = x ( ) = x = x = 6 Solución: x = 6, y = (x ) = y c) (x + y) + (x y) = Por reducción: x = x = 6 y = y = Solución: x =, y = y x + = x + y = 6 d) x + y = Por reducción: x y = 0 x y = 0 x y = 5 6x = y x + y + x y = 5x + y = 6x y = 5x + y = x + y = x y = 0 Solución: x =, y = x = x = y = 5 y = 5 = /

8 Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones. Compruébalo representando las rectas que los forman: x y = x y = 5 5x + y = x y = 5 a) b) c) d) x y = x y = 0 x y = 7 x y = Pág. x y = a) No tiene solución x y = x y = x y = x y = x 0 y x 0 y 0 x y = 5 b) Tiene infinitas soluciones x y = 0 x y = 5 x y = 0 x y = 5 x y Es la misma recta 5x + y = c) Tiene una solución, x =, y =. x y = 7 5x + y = x y = 7 x y x y P(, ) x y = 5 d) No tiene solución x y = x y = 5 x y = x y x y 5/ 9/ Completa los siguientes sistemas de modo que el primero tenga la solución x =, y = ; el segundo sea incompatible y el tercero y el cuarto sean indeterminados: x + y = x + y = 5 x y = x + y = 7 a) b) c) d) y = x + y = 6x y = y = x + y = + ( ) = 5 a) Solución: y = = + y = = 6 x + y = 5 6x y =

9 x + y = 5 b) Puede ser cualquier número distinto de 0. x + y = Pág. 9 Por ejemplo: x + y = 5 x + y = x y = c) 6x y = x + y = 7 d) y = x y = 6x y = x + y = 7 x y = PÁGINA Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di si son equivalentes: a) x + y = x y = y + = 0 b) x y = 0 x + y = a) x y = x + y = x y = x 0 y Solución: x =, y = x 0 y (, ) y + = 0 b) x y = 0 y = x y = 0 x 0 y,5 Solución: x =, y = Los sistemas son equivalentes, porque tienen la misma solución.

10 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando dos veces el método de reducción para despejar cada una de las incógnitas: x y = 5 9x y = 5 a) b) 7x y = 9 x 7y = Pág. 0 x y = 5 9x 56y = 05 a) 6y = y = 7x y = 9 9x + y = 7 x y = 0 56x + y = 7 Solución: x =, y = 6x 9y = 7 x + 9y = 6 Solución: x =, y = x = x = 9x y = 5 99x y = 59 b) 0y = 96 y = 99 x 7y = 99x + 6y = 9 0 0x = 9 x = 5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, simplifica previamente las ecuaciones que los forman: x + y = a) b) x + y + = 6 x + y + = c) 6 d) x + y = 6 9 x + y = x + y = a) x + y = x + y (x + ) + y = 6 x + y = 7 + = 6 Solución: x = 9, y = 0 x + + y = x + y = x y + + = x y + = 6 x + y = y = y = x y = 7 x + = x = = 9 /

11 x + + y = b) x + + y = x + y = x x + y = x + y = 7 + y = x + y = 5y = 5 y = x y = 7 x + + = x = Solución: x =, y = Pág. x + y + = ( x) + + y = c) 6 x + y ( x) ( + y) = 6 = 6 9 x + + y = x + y = 5 9x y = 6 9x y = 6 Solución: x =, y = x + y = 0 x = 6 x = 9x y = 6 ( ) + + y = + y = y = y = 6 x y + + = d) (x ) + y + = x y + (x ) (y + ) = 6 = 6 x + y + = x + y = 5 6x y = 6 6x y = 0 Solución: x =, y = x + y = 0 0x = 0 x = 6x y = 0 + y + = y + = y =

12 6 Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o indeterminado. a) b) c) x 5y =,5x,5y = 0,x,7y = 6, x + y = 9 (x ) + y = 0 (x + ) + y = 5 x + y = y d) x 5 = 7 6y Pág. x 5y = x 5y = a) Por reducción:,5x,5y = 6,5x + 5y = 6,5x = x = 5y = 0 = 5y y = Solución: x =, y = 0,x,7y = 6, b) Por sustitución: y = x + y = 9 0,x,7 9 x = 6, 0,x 5, 5,x = 6, 0,x 5, + 5,x =, 5,5x = 7,5 x = 5 y = 9 5 = Solución: x = 5, y = (x ) + y = 0 x + y = 0 c) (x + ) + y = 5 x + + y = 5 No tiene solución. Es incompatible. x + y = y d) x 5 = 7 6y ( ) x + y = x + 6y = Tiene infinitas soluciones. Es indeterminado. 9 x x + y = x + y = P I E N S A R E S U E LV E 7 Halla dos números tales que su suma sea 60, y su diferencia,. Llamamos x e y a los números. x + y = 60 x = 9 x = y = 60 y = 6 x y = Los números son 97 y 6.

13 Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,0 ; por cinco bolígrafos y cuatro cuadernos, pagué,. Cuál es el precio de un bolígrafo? de un cuaderno? x es el precio de un bolígrafo e y es el precio de un cuaderno. x + y = 7,0 5x + y =, 7,0 y x = 7,0 y 5 ( ) + y =, Pág. 9 5y + y = 6, 7y =,6 y =, x = 7,0, =, Un bolígrafo cuesta,, y un cuaderno,,. 9 Un librero ha vendido 5 libros, unos a y otros a. Obtuvo por la venta 6. Cuántos libros vendió de cada clase? x son los libros de e y son los de. x + y = 5 x + y = 6 y = 5 x x + (5 x) = 6 x + 60 x = 6 x = 0 x = 7 y = 5 7 = Vendió 7 libros de y libros de. 0 En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 9 cabezas y 9 patas. Cuántos animales hay de cada clase? x es el número de gallinas, e y, el de conejos. x + y = 9 x + y = 9 y = 9 x x + (9 x) = 9 x + 6 x = 9 x = x = y = 9 = 7 Hay gallinas y 7 conejos. Un examen tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0,5 puntos. Si mi nota ha sido,5, cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido? x es el número de aciertos, e y, el de fallos. x + y = 50 x 0,5y =,5 He tenido aciertos y 7 fallos. x y = 50,5y = 5,5 y = 7 x = x 0,5y =,5

14 Una cooperativa ha envasado 000 l de aceite en botellas de,5 l y l. Si ha utilizado 00 botellas, cuántas se han necesitado de cada clase? x son las botellas de,5 l, e y, las de l. x + y = 00,5x + y = 000 x y = 00,5x + y = 000 0,5x = 00 x = 00 y = = 700 Se han utilizado 00 botellas de,5 l y 700 de l. Pág. Halla dos números naturales tales que su suma sea 5, y su cociente,. Llamamos x e y a los números. x + y = 5 y = 5 x x x = (5 x) x = x = x = y y x = x = y = 5 = Los números son y. Halla dos números naturales que suman 0 y tales que al dividir el mayor entre el menor obtenemos de cociente y de resto. Recuerda: Dividendo = divisor Ò cociente + resto. Los números son x e y. x + y = 0 x = y + y + + y = 0 y = 6 y = x = + = 9 9 y son los números buscados. 5 La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años. Hace 0 años, la edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. Cuál es la edad actual de cada uno? H O H ACE 0 A Ñ O S M A D R E x x 0 H I J O y y 0 56 x 0 = 5(y 0) x + y = 56 x 0 = 5(y 0) La madre tiene 0 años, y el hijo, 6 años. x + y = 56 y = 56 x x 0 = 5y 50 x 0 = 5(56 x) 50 x 0 = 0 5x 50 6x = 0 x = 0 y = 56 0 = 6

15 6 Hace tres años la edad de Nuria era el doble de la de su hermana Marta. Dentro de 7 años, será los de la que entonces tenga Marta. Calcula la edad actual de cada una. Pág. 5 x = (y ) x + 7 = (y + 7) H O H ACE A Ñ O S D E N T R O D E 7 A Ñ O S N U R I A x x x + 7 M A RTA y y y + 7 x = y 6 x = y x + = y + (y ) y = 7 6y 9 y = 7 y = 6 y = x = Nuria tiene años, y Marta, años. 7 La base menor de un trapecio isósceles mide 6 m y la base mayor mide lo mismo que los lados iguales juntos. Si el perímetro del trapecio es m, cuánto mide cada lado? x 6 y x y = x 6 + x + y = 6 + x + x = x = x = m y = 6 m La base mayor mide 6 m, y los lados oblicuos, m, respectivamente. He cambiado un montón de monedas de 0 céntimos por monedas de, de manera que ahora tengo monedas menos que antes. Cuántas monedas de 0 céntimos tenía? Tengo x monedas de 0,0. El número de monedas de es y. x 0, = y y = x 0,x = x = 0,x x = 0 y = 0 = 6 Tenía 0 monedas de 0, y las he cambiado por 6 monedas de. 9 Si Álvaro regala a Rita de sus discos, ella tendrá el doble que él. Si Rita da 6 de sus discos a Álvaro, entonces será él el que tenga el doble que ella. Cuántos discos tiene cada uno? Discos de Álvaro: x (x ) = y + x + 6 = (y 6) Discos de Rita: y x = y + x + 6 = y x + 6 = x x = x = y = = 6 Álvaro tiene discos, y Rita, 6. y = x x + 6 = (x )

16 PÁGINA 5 0 P r o b l e m a r e s u e l t o He pagado 55,7 por una camiseta y un pantalón que costaban 70 entre los dos. En la camiseta me han hecho un % de descuento, y en el pantalón, un %. Cuál era el precio original de cada artículo? La camiseta vale x; con la rebaja del % pago 0,x. El pantalón vale y; con la rebaja del % pago 0,7y. Por tanto: x + y = 70 0,x + 0,7y = 55,7 0,x + 5,6 0,7x = 55,7 0,0x =, x = y = 70 = La camiseta vale, y el pantalón,. + = 70 Comprobación:,96 +,76 = 55,7 y = 70 x 0,x + 0,7(70 x) = 55,7 Pág. 6 Por unos zapatos y una chaqueta he pagado 6. Si el precio de los zapatos aumentara en un %, entonces sería igual al 75% del precio de la chaqueta. Cuánto he pagado por cada uno? Precio de los zapatos: x; precio de la chaqueta: y ; x + y = 6,x = 0,75y y = 6 x,x = 0,75(6 x),x = 9,5 0,75x,9x = 9,5 x = 50 y = 76 He pagado 50 por los zapatos y 76 por la chaqueta. Los alumnos de un centro escolar son 0 entre ESO y Bachillerato. El % de ESO y el 5% de Bachillerato son chicas, lo que supone un total de 96 mujeres. Calcula cuántos estudiantes hay en ESO y cuántos en Bachillerato. x es el número de alumnos de ESO e y los de Bachillerato. x + y = 0 0,x + 0,5y = 96 y = 0 x 0,x + 0,5(0 x) = 96 0,x 0,5x = 96, 0,x =, x = y = 0 = 96 Son alumnos en la ESO y 96 en Bachillerato.

17 Un comerciante compró 5 juegos de un tipo y 5 de otro pagando por ellos 0. Con la venta de los primeros ganó un 5% y con los segundos perdió el 5%, de forma que obtuvo 70 de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo de juego. Precios de compra de cada tipo de juego: x e y. 5x + 5y = 0 7x + 5y =,5 5x + 0,95 5y = 90,75x +,75y = 90 y = 7x,75x + 7x ( ) = ,75x + 59,5x = 90 0,5x = x = y = 7 = 5 Los precios de compra fueron y, respectivamente. Pág. 7 P r o b l e m a r e s u e l t o Un autobús sale de A a 90 km/h. Cuando ha recorrido 5 km, sale de A un coche a 0 km/h que quiere alcanzar al autobús. Cuánto tiempo tarda en hacerlo y qué distancia recorre hasta conseguirlo? A AUTOBÚS: 90 km/h 5 km x B A COCHE: 0 km/h 5 + x B Sabemos que espacio = velocidad tiempo. x = 90t 5 + x = 0t Tarda,5 h y recorre 7,5 km t = 0t 0t = 5 t =,5 x =,5 5 Un tren regional sale de una estación a 5 km/h. Media hora más tarde sale otro más rápido en la misma dirección a 0 km/h. Calcula el tiempo que tardará en alcanzarlo y la distancia recorrida hasta lograrlo. t : tiempo que tarda en alcanzarlo. x : distancia que recorre el tren regional hasta el alcance.,5 5 km/h E S PACIO V E L O C I D A D T I E M P O AUTOBÚS x 90 t C O C H E 5 + x 0 t x +,5 x 5 0,5 =,5

18 x = 5t x +,5 = 0t 5t +,5 = 0t 5t =,5 t =,7 x =,5,5 +,5 = 7 Tarda h min y recorre 7 km. Pág. 6 Dos ciudades, A y B, distan km. De A sale un autobús en dirección a B y simultáneamente sale de B un tren en dirección a A. Tardan en cruzarse hora y 0 minutos. Cuál es la velocidad de cada uno sabiendo que la del autobús supera a la del tren en 5 km/h? A v + 5 x x v B x = v,5,5v =,5v 7,5 x = (v + 5),5 7,5 = v v = 6,5 = 75,5 km/h El tren va a 75,5 km/h, y el autobús, a 0,5 km/h. 7 Un automóvil tarda dos horas en recorrer la distancia entre dos ciudades. Si su velocidad hubiera sido superior en 0 km/h, habría tardado una hora y cuarto. Cuál es la distancia entre las dos ciudades? x es la distancia que tiene que recorrer y v la velocidad que lleva. x = v x =,5(v + 0) v =,5v + 7,5 0,75v = 7,5 v = 50 km/h x = 50 = 00 La distancia es 00 km. Un autobús escolar hace la ruta entre dos pueblos, A y B. Cuando va con niños, lleva una velocidad media de 60 km/h y tarda un cuarto de hora más que si va vacío con una velocidad de 00 km/h. Cuál es la distancia entre A y B? 60 km/h x 00 km/h x = 60t x = 00(t 0,5) 60t = 00t 5 0t = 5 t = 0,65 x = 60 0,65 = 7,5 La distancia entre A y B es 7,5 km. 9 Hemos mezclado aceite de oliva de,5 /l con aceite de girasol de /l para obtener 50 l de mezcla a,0 /l. Calcula la cantidad de aceite de oliva y de aceite de girasol que hemos mezclado.

19 Pág. 9 C A N T I D A D P R E C I O O L I VA x,5 G I R A S O L y M E Z C L A 50,0 x + y = 50,5x + y = 50,0 6 l de aceite de oliva y l de girasol. y = 50 x,5x + (50 x) = 5,5x + 00 x = 5,5x = 5 x = 6 y = 0 Si en un depósito que contiene agua a 50 C añadimos agua a 5 C, obtenemos 50 l a 6 C. Cuántos litros había en el depósito y cuántos hemos añadido? x son los litros de agua que había en el depósito. y son los litros que hemos añadido. x + y = 50 50x + 5y = 50 6 y = 50 x 50x + 5(50 x) = x x = x = 50 x = 90 y = = 60 Había 90 l de agua a 50 y hemos añadido 60 l de agua a 5. P r o b l e m a r e s u e l t o Las dos cifras de un número suman 7. Si invertimos el orden de estas, obtenemos otro número que es igual al doble del anterior más unidades. Cuál es el número inicial? Cifra de las decenas: x Cifra de las unidades: y Número inicial: 0x + y Número invertido: 0y + x. a condición: x + y = 7. a condición: 0y + x = (0x + y) + x + y = 7 0y + x = (0x + y) + x + y = 7 0y + x = 0x + y + El número buscado es 5. y = 7 x 0(7 x) + x = 0x + (7 x) x + x = 0x + x + 7x = 5 x = y = 5

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