La primera y más importante secuencia de números es la de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Transcripción

1 3ª Evaluació Parte II Sucesioes uméricas E umerosas ocasioes aparece secuecias de úmeros que sigue ua pauta o regla de formació, como por ejemplo la pauta seguida para la umeració de los diferetes portales de ua calle de ua ciudad. La primera y más importate secuecia de úmeros es la de los úmeros aturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, A partir de ella se puede crear muchas otras como las siguietes: Números pares: 2, 4, 6, 8, Números impares: 1, 3, 5, 7, 9, Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, Cuadrados de los úmeros aturales: 1, 4, 9, 16, Cubos de los úmeros aturales: 1, 8, 27, 64, 125, Potecias de 2: 2, 4, 8, 16, Raíces cuadradas de los úmeros aturales: 1, 2, 3 1 Iversos de los úmeros aturales: 1, 2, 1 3,... Las secuecias uméricas ateriores se llama sucesioes. Ua sucesió umérica es ua secuecia de úmeros, ordeados uo detrás de otro, que sigue ua ley de formació: a 1,a 2,a 3,a 4,...,a,... a 1 es el primer térmio, a 2 el segudo térmio, y a es el eésimo térmio o térmio geeral de la sucesió (cualquier térmio). Ua sucesió es ifiita si cada térmio tiee u sucesor. El sucesor a es a 1. El aterior de a es a 1. E umerosas ocasioes, el térmio geeral se puede expresar e fució del lugar que ocupa cada térmio e la sucesió. Por ejemplo, e la sucesió 1, 5, 9, 13, 17..., el térmio geeral se puede expresar como a =4 3. Si e esta expresió se sustituye por 1, 2, 3, se obtiee respectivamete los térmios primero, segudo, tercero, etc de la sucesió. EJERCICIO 1 Escribe la expresió del térmio geeral de las sucesioes presetadas al comiezo de este artículo. 2 Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes defiidas por los siguietes térmios geerales: a) a =3 5 b) a = 1 c) a = 1 ² 1 d) a =² 2 5

2 3 Escribe el térmio geeral de las sucesioes cuyos primeros térmios se idica y calcula el térmio a 100 : a) 10, 13, 16, b) 21, 17, 13, 9, 5, c) 2,7,12, 17, 4 Qué lugar que ocupa el térmio e la sucesió cuyo térmio geeral es a =² 2 5? A veces el térmio geeral de ua sucesió se puede expresar e fució del térmio o los térmios imediatamete ateriores. Por ejemplo, e la sucesió de los úmeros pares cada térmio se obtiee del aterior sumádole 2 uidades, es decir: a =a 1 2. Se dice que estas sucesioes se ha defiido por recurrecia o que so recurretes. EJERCICIOS 5 Describe las siguietes sucesioes mediate ua ley de recurrecia: a) 10, 11, 21, 32, 53, b) 6, 8, 2, -6, -8, 6 Ua sucesió se defie por recurrecia de la siguiete maera: a 1 = 1 y cada térmio se obtiee a partir del aterior sumádole el lugar que ocupa e la sucesió. Escribe los cico primeros térmios 7 Ua sucesió se defie por recurrecia de la siguiete maera: a 1 =2 y cada térmio es igual al doble del cuadrado del aterior meos el triple del lugar que ocupa. Escribe los cico primeros térmios. Otras veces o es posible ecotrar u expresió para el térmio geeral y debemos coformaros co la descripció de la sucesió. Por ejemplo, la sucesió e la que cada elemeto es el úmero de letras que tiee la palabra que desiga al correspodiete úmero atural, o la sucesió de los úmeros primos. EJERCICIO 8 Escribe los 10 primeros térmios de las dos sucesioes descritas e el párrafo aterior. Represetació gráfica de sucesioes Las sucesioes se puede represetar gráficamete e el plao mediate putos aislados cuyas coordeadas so: 1,a 1, 2,a 2, 3,a 3,...,,a,...

3 EJERCICIO 9 Represeta gráficamete los cico primeros térmios de las sucesioes dadas por su térmio geeral: a) a =2 5 b) a =² 1 Aproximació a la idea de límite de ua sucesió Cosideremos la sucesió a = 1 es decir los putos Si represetamos gráficamete alguos de sus térmios, 1, 12, 2, 2 3, 3, 34,...,, se obtiee el gráfico que se muestra a la derecha. E el gráfico se observa que los térmios de la sucesió se acerca cada vez más a 1. De hecho, la diferecia etre 1 y los térmios de la sucesió: 1 1 = 1 1 es cada vez más cercaa a cero coforme va creciedo. E la termiología matemática se dice que el límite de la sucesió a = cuado crece es 1: 1 1 =1 1,... Cuado los térmios de ua sucesió se aproxima a u úmero l, se dice que la sucesió tiede a l o que su límite es l : a =1 Cuado los térmios de ua sucesió crece idefiidamete, se dice que la sucesió tiede a o que su límite es : a = Cuado los térmios de ua sucesió crece idefiidamete, se dice que la sucesió tiede a o que su límite es a = Al calcular el límite de ua sucesió pretedemos averiguar si, coforme crece, los térmios de la sucesió se aproxima a u úmero l (el límite es l) o bie si los térmios se hace cada vez mayores e valor absoluto (el límite es ± ). E el cálculo de límites se aplica ua serie de propiedades cuyo estudio excede el ivel de estos aputes. Como ua primera aproximació presetamos los siguietes resultados: El límite de ua expresió poliómica es siempre ± depediedo del sigo del térmio de mayor grado. k =0 h Siedo k cualquier úmero real y h cualquier úmero atural. El límite de u cociete es igual al cociete de los límites del umerador y deomiador: a b = a b

4 Si las expresioes del umerador y del deomiador so poliómicas, se obtiee el resultado que es ua idetermiació. La idetermiació se resuelve dividiedo todos los sumados por la potecia de mayor expoete, como se muestra e el siguiete ejemplo: EJERCICIO = ² 1 ² 2 ² 3 1 = 2 ² 1 1 ² = = 0 1 =0 10 Represeta gráficamete las siguietes sucesioes idicado y calculado su límite: a) a =2 5 b) a = 7 1 La sucesió de Fiboacci c) a = ² 2² 1 La sucesió de Fiboacci es ua secuecia de úmeros eteros descubierta por matemáticos hidúes hacia el año 1135 y descrita por primera vez e Europa gracias a Fiboacci (Leoardo de Pisa) co su problema de la criaza de coejos: Ua pareja de coejos recié acida tarda u mes e alcazar la fertilidad. A partir de etoces procrea cada mes ua ueva pareja. E u corral se tiee ua pareja de coejos recié acidos. Cuátos habrá al cabo de 12 meses? El úmero de coejos sigue la sucesió: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, que se puede defiir por recurrecia: Los dos primeros térmios so 1 y, a partir del tercero, cada térmio es la suma de los dos que le atecede. Los sucesivos cocietes de dos térmios cosecutivos tiede al úmero áureo, es decir: a 1 = =1, a (Co siete térmios ya se cosigue ua aproximació de dos cifras decimales) La sucesió de Fiboacci está presete e la aturaleza: Los machos de ua colmea de abejas tiee u árbol geealógico que sigue esta sucesió. U zágao, macho de la abeja, o tiee padre (1), pero sí que tiee ua madre (1, 1), dos abuelos, que so los padres de la reia (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reia o tiee padre (1, 1, 2, 3), cico tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tátara tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamete. La relació etre las partes corporales humaas sigue estos úmeros. Las ramas de los árboles y las hojas de las platas se distribuye buscado siempre recibir el máximo de luz para cada ua de ellas. Por eso igua hoja ace justo e la vertical de la aterior. La distribució de las hojas alrededor del tallo de las platas se produce siguiedo secuecias basadas exclusivamete e estos úmeros.

5 El úmero de espirales e umerosas flores y frutos tambié se ajusta a parejas cosecutivas de térmios de esta sucesió: los girasoles tiee 55 espirales e u setido y 89 e el otro, o bie 89 y 144. Las margaritas preseta las semillas e forma de 21 y 34 espirales. Las piñas preseta u úmero de espirales que coicide co dos térmios cosecutivos de la sucesió: 8 y 13 ó 5 y 8. EJERCICIOS 11 Calcula los ocho primeros térmios del cociete resultado co el úmero áureo Ф. a 1 a de la sucesió de Fiboacci y compara el El úmero e Vamos a estudiar co cierto detalle el comportamieto de los térmios de la sucesió a = Para ello, vamos a calcular los térmios primero, segudo, tercero, cuarto, quito, décimo, cetésimo, milésimo, milloésimo, a 3 = a 2 = a 1 = =2 =2,25 =2,

6 a 5 = a 4 = a 10 = a 100 = a 1000 = a = a = a = =2, =2, =2, =2, =2, oOo... =2, =2, =2, Si bie cada térmio va creciedo, el crecimieto se raletiza cada vez más. De hecho se puede demostrar que la sucesió es creciete (cada térmio es mayor que el aterior), pero uca llega a superar el valor 2,8. E térmios matemáticos, la sucesió tiee límite compredido etre 2 y 3. Al límite de dicha sucesió se le deomia e. Es u úmero irracioal cuyas primeras cifras so e 2, El úmero e está relacioado co muchos e iteresates resultados. Sus propiedades matemáticas hace que esté presete e multitud de acotecimietos físicos tales como la velocidad de vaciado de u depósito de agua, el giro de ua veleta frete a ua ráfaga de vieto, el movimieto del sistema de amortiguació de u automóvil o el cimbreo de u edificio metálico e caso de terremoto; de la misma maera, aparece e muchos otros campos de la ciecia y la técica, describiedo feómeos eléctricos y electróicos (descarga de u codesador, amplificació de corrietes e trasistores, etc.), biológicos (crecimieto de células, etc.), químicos (cocetració de ioes, periodos de semidesitegració, etc.), y muchos más. El matemático Joh Napier fue el primero e utilizar e como base de los logaritmos aturales o eperiaos e 1614 (ver cocepto de logaritmo más adelate e estos aputes). Pero fue Jacob Berouilli quie uos años más tarde, estudiado el problema del iterés compuesto, calculado los beeficios de ua catidad de diero co u iterés aual del 100% depediedo de los periodos e los que se pague a lo largo de u año, termió hallado ua ecuació que, si que el propio Beroulli fuera cosciete, defiió por primera vez el valor de la costate matemática e: e= Beroulli comprobó que esta expresió se aproxima al valor de 2, Leoard Euler comezó a utilizar la letra e para idetificar esta costate e 1727 y es como se la cooce e la actualidad. Igual que el úmero, es u úmero trascedete, es decir, o se puede obteer mediate la resolució de ua ecuació algebraica y, al ser u úmero irracioal, su valor exacto o se puede expresar mediate u úmero fiito de cifras decimales o co decimales periódicos.

7 EJERCICIO 15 Represetar gráficamete los térmios primero, segudo, tercero, cuarto, quito, décimo, cetésimo milésimo, etc. de la sucesió y observar que los térmios se aproxima cada vez más a e coforme crece. Utiliza ua hoja de cálculo. Apédice: Logaritmos aturales o eperiaos El logaritmo de u úmero, e ua base dada, es el expoete al cual se debe elevar la base para obteer dicho úmero. log 2 4=2 porque 2 2 =4 log 3 81=4 porque 3 4 =81 log a N =x a x =N El logaritmo de 1 es 0 e cualquier base porque cualquier úmero elevado a 0 es 1. Los logaritmos aturales o logaritmos eperiaos so los que tiee base e. Estos logaritmos fuero los primeros e utilizarse y debe su ombre a Joh Néper (el primero e utilizarlos). Se represeta por l (x) o L(x). El logaritmo eperiao de x (l x) es la potecia a la que se debe elevar e para obteer x. l x= e = x l 1=0 porque e 0 =1 l x=5 Cuáto vale x? x=e 5 Los logaritmos eperiaos se puede obteer directamete co ua calculadora cietífica.