TEMA 7. DIAGONALIZACION Y Y FORMAS CANONICAS 1. ENDOMORFISMOS NILPOTENTES

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1 TEMA 7. DIAGONALIZACION Y Y FORMAS CANONICAS 1. ENDOMORFISMOS NILPOTENTES Definición 1.1. Endomorfismo Nilpotente. Un endomorfismo T End(V ) es nilpotente si existe n N tal que f n 0. Definición 1.. Matriz Nilpotente. Una matriz A M n (R) es nilpotente si existe un n N tal que A n = 0. Proposición 1.3. Sea T End(V ) y sea B una base de V. T es nilpotente M B T es nilpotente. Proposición 1.4. Los endomorfismos nilpotentes sólo tienen al cero como autovalor. Definición 1.5. Orden de Nilpotencia Decimos que k es el orden de nilpotencia de un endomorfismo T End(V ) si T k = 0 pero si T k 1 0. Proposición 1.6. Sea T un endomorfismo nilpotente de orden de nilpotencia k, entonces T m = 0, m k Proposición 1.7. Sea T un endomorfismo nilpotente no nulo y sea k su orden de nilpotencia. Entonces se tiene el siguiente encadenamiento: {0} ker T ker T ker T k = V Teorema 1.8. (Forma canónica de un endomorfismo nilpotente) Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n. Sea T un endomorfismo de V nilpotente de orden k n. Entonces existe una base B de V de tal forma que la M B T es de la siguiente manera: 0 δ δ δ n donde δ i = 0 ó 1, i = 1,, n 1 sea T : R 5 R 5 un endomorfismo cuya matriz en la base canónica es M Bc f = A = M Bc f = M Bc f 3 = Así pues f es nilpotente de orden 3. ker f = L{(1, 0, 0, 0, 0)(0, 1, 1, 0, 0)} ker f = L{(1, 0, 0, 0, 0)(0, 1, 0, 0, 0)(0, 0, 1, 0, 0)(0, 0, 0, 3, 1)} ker f 3 = R 5 observar {0} ker f ker f ker f 3 = R 5 Sea W 1 un subespacio de R 5 tal que ker f 3 = ker f W 1 como dim ker f 3 = 5 y dim ker f = 4 = dimw 1 = 1 sea W 1 = L{(0, 0, 0, 1, 0)}. Sea W un subespacio de R 5 tal que ker f = ker f W 1

2 como dim ker f = 4 y dim ker f = = dimw = sea W = L{f(0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 1)}. Sea W 3 un subespacio de R 5 tal que ker f = {0} W 3 como dim ker f = y dim{0} = 0 = dimw 3 = sea W 3 = L{f (0, 0, 0, 1, 0), f(0, 0, 0, 1, 1)}. la matriz de f en la base es B = {f (0, 0, 0, 1, 0), f(0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 0)f(0, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 1)} M B f Demostración. Por ser T un endomorfismo de V nilpotente de orden k sabemos que T k 0 y por lo tanto ker T k = V. Además tenemos la siguiente cadena de núcleos {0} ker T 1 ker T ker T k 1 ker T k = V. Como ker T k 1 ker T k = V existe un subespacio W 1 V tal que Denotaremos por Sea W 1 = L{v 1,, v r1 }, es decir, V = ker T k = ker T k 1 W 1. r 1 = dim W 1 = dim ker T k dim ker T k 1. Observar que V = ker T k = ker T k 1 L{v 1, v r1 }. T k (v i ) = 0 para todo i = 1,..., r 1 es decir T k 1 (v i ) 0 para todo i = 1,..., r 1 (1) {v 1,..., v r1 } ker T k, {v 1,..., v r1 } / ker T k 1. () {T (v 1 ),..., T (v r1 )} ker T k 1. T k (v i ) = T k 1 (T (v i )) = 0 para todo i = 1,..., r 1 De igual forma como ker T k ker T k 1 existe entonces un subespacio W ker T k 1 tal que Denotaremos por Como ker T k 1 = ker T k W. r = dim W = dim ker T k 1 dim ker T k. {T (v 1 ),..., T (v r1 )} ker T k 1, {T (v 1 ),..., T (v r1 )} / ker T k y además {T (v 1 ),..., T (v r1 )} es un sistema linealmente independiente en ker T k 1 se sigue entonces es decir, Observar que W = L{T (v 1 ),..., T (v r1 ), v r1 +1,..., v r }, ker T k 1 = ker T k L{T (v 1 ),... T (v r1 ), v r1 +1,..., v r },

3 3 T k 1 (v i ) = 0 para todo i = r 1 + 1,..., r es decir T k (v i ) 0 para todo i = r 1 + 1,..., r {v r1 +1,..., v r } ker T k 1, {v r1 +1,..., v r } / ker T k. {T (v r1 +1),, T (v r )} ker T k. T k 1 (v i ) = T k (T (v i )) = 0 para todo i = r V = ker T k = L{v 1, v r1 } ker T k 1 = = L{v 1, v r1 } L{T (v 1 ), T (v r1 ), v r+1,..., v r } ker T k Repitiendo este proceso llegamos a escribir el espacio V de la siguiente manera: V =L{v 1,... v r1 } L{T (v 1 ),... T (v r1 ), v r+1,..., v r } L{T (v 1 ),... T (v r1 ), T ( v r1 +1),..., T (v r ), v r +1,... v r3 } L{T 3 (v 1 ),... T 3 (v r1 ), T (v r1 +1),..., T (v r ), T (v r +1),... T (v r3 ), v r3 +1,..., v r4 } L{T k 1 (v 1 ),... T k 1 (v r1 ), T k (v r1 +1),... T k (v r ), T k 3 (v r +1),..., T k (v r3 ),..., v rk 1 +1,..., v rk } Observamos que Y que r k = dim ker T k r j = n j=1 Reordenamos todos estos vectores en orden decreciente de potencias de la siguiente manera: B = {T k 1 (v 1 ), T k (v 1 ),..., T (v 1 ), v 1, T k 1 (v ), T k (v ),..., T (v ), v,... T k 1 (v r1 ), T k (v r1 ),..., T (v r1 ), v r1, T k (v r1 +1), T k 3 (v r1 +1),..., T (v r1 +1), v r1 +1, T k (v r1 +), T k 3 (v r1 +),..., T (v r1 +), v r1 +,... T k (v r ), T k 3 (v r ),, T (v r ), v r, T k 3 (v r +1), T k 4 (v r +1),, T (v r +1), v r +1,... v rk 1 +1,..., v rk } Quedando la matriz del endomorfismo en esta base de la forma:

4 M B T = Sea A = la matriz asociada a f : R 4 R 4 en la base canónica. p f (λ) = ( λ) 4 así pues el único autovalor de f es λ = con m A () = 4 y m G () = por lo tanto f no es ni diagonalizable ni nilpotente. Fijémonos en el endomorfismo (f id) : R 4 R 4 cuya matriz en base canónica es C = El endomorfismo (f id) es nilpotente ya que (f id) = 0. Formamos su cadena {0} ker(f id) = L{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} ker((f id) ) = R 4. R 4 = ker((f id) ) = ker(f id) W 1, W 1 = L{(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} ker(f id) = {0} W, W = L{(f id)(0, 0, 1, 0), (f id)(0, 0, 0, 1)} = L{(3, 0, 0, 0), (0, 3, 0, 0)} entonces R 4 = ker((f id) ) = ker(f id) W 1 = {0} W W 1 = W W 1. Por lo tanto B = {(f id)(0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0), (f id)(0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1)} es una base de R 4 y la matriz de (f id) en B es M B (f id) = luego M B (f) = M B (f id) + I, es decir, M B (f) =

5 sea T : R 5 R 5 un endomorfismo cuya matriz en la base canónica es p T (λ) = ( λ) 3 ( 1 λ) así pues los autovalores de T son λ =, 1 con m A () = 3 m A ( 1) = y m G () = m G ( 1) = por lo tanto T no es ni diagonalizable ni nilpotente. El endomorfismo (T id) : R 5 R M Bc (T id) = M Bc (T id) = ker(t id) = L{3e + e 5, 3e 3 + e 4 } ker (T id) = L{3e 1 + e, 3e + e 5, 3e 3 + e 4 } ker (T id) 3 = L{3e 1 + e, 3e + e 5, 3e 3 + e 4 } ker (T id) n = L{3e 1 + e, 3e + e 5, 3e 3 + e 4 } n Consideremos ahora el endomorfismo T id pero en vez de definido en todo R 5 definido sólo en ker(t id) R 5 es decir (T id) ker(t id) : ker(t id) ker(t id). el endomorfismo T id es nilpotente ya que (T id) ) ker(t id) = 0. Formamos su cadena {0} ker(t id) ker(t id) ker((t id) ) = ker(t id). ker((t id) ) = ker(t id) W 1, W 1 = L{3e 1 + e } ker(t id) = {0} W, W = L{(T id)(3, 1, 0, 0, 0), } = L{(0, 3, 0, 0, 1), (0, 0, 3, 1, 0)} entonces ker((t id) ) = ker(t id) W 1 = W W 1. Por lo tanto B = {(T id)(3, 1, 0, 0, 0), (3, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 3, 1, 0)} es una base de ker((t id) ) y la matriz de (T id) ker((t id) ) en B es M B (T id) = luego M B (T ker((t id) )) = M B (T id) ker((t id) ) + I, es decir, M B ((T ker((t id) ))) = El endomorfismo (T + id) : R 5 R M Bc (T + id) = M Bc (T + id) =

6 6 ker(t + id) = L{e 5, e 4 } ker (T id) = L{e 5, e 4 } ker (T id) n = L{e 5, e 4 } n 1 Consideremos ahora el endomorfismo T + id pero en vez de definido en todo R 5 definido sólo en ker(t + id) R 5 es decir (T + id) ker(t +id) : ker(t + id) ker(t + id). el endomorfismo T + id es nilpotente ya que (T + id) ker(t +id) = 0. Formamos su cadena entonces {0} ker(t + id) ker(t +id) = ker(t + id). ker((t + id)) = {0} W 1, W 1 = L{(0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0)} ker(t + id) = W 1. Por lo tanto B = {(0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0)} es una base de ker((t + id)) y la matriz de (T + id) ker((t +id) en B es 0 0 M B (T + id) = 0 0 luego M B (T ker(t +id) ) = M B (T + id) ker(t +id) I, es decir, 1 0 M B ((T ker(t +id) )) = 0 1 Resumiendo M B ((T ker((t id) ))) = M B ((T ker(t +id) )) = Si tomo la base B = {(T id)(3, 1, 0, 0, 0), (3, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 3, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0)} de R 5 tenemos T ((T id)(3, 1, 0, 0, 0)) = (, 0, 0, 0, 0) T ((3, 1, 0, 0, 0)) = (1,, 0, 0, 0) T (0, 0, 3, 1, 0)) = (0, 0,, 0, 0) T (0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1, 0) T (0, 0, 0, 1, 0)) = (0, 0, 0, 0, 1) Teorema de Jordan M B (T ) = Definición 1.9. Llamaremos Matriz Elemental o Reducida de Jordan de orden k y autovalor λ a la matriz de orden k cuyos elementos son todos nulos, excepto los de la diagonal principal, que valen λ, y los situados inmediatamente encima de la diagonal principal, que son unos. Ejemplos matriz elementales de Jordan de orden 1,, 3, etc.

7 Definición Llamaremos Matriz de Jordan a cualquier matriz cuadrada formada por la yuxtaposición de matrices elementales de Jordan a lo largo de la diagonal, de la forma M B T = J λ1 J λ... J λq 7 Sea T End(V ) y λ 0 R un autovalor de T. La aplicación T λ 0 id End(V ). Consideramos la cadena {0} ker(t λ 0 id) ker(t λ 0 id) ker(t λ 0 id) 3 ker(t λ 0 id) 4... ker(t λ 0 id) n... Como E i (λ 0 ) = ker(t λ 0 id) i son todos subespacios de un espacio de dimensión finita, existe algún m n tal que ker(t λ 0 id) m = ker(t λ 0 id) m+1 ; sea j N el menor de estos números naturales m. Proposición 1.1. Si E j (λ 0 ) = E j+1 (λ 0 ), entonces E p (λ 0 ) = E j (λ 0 ) para todo p j. Demostración. Inducción sobre r en la expresión E j (λ 0 ) = E j+r (λ 0 ), para todo r N. Definición llamamos Autoespacio Generalizado del autovalor ker(t λ 0 id) j λ 0 al subespacio {0} ker(t λ 0 id) ker(t λ 0 id)... ker(t λ 0 id) j = ker(t λ 0 id) j+1 Proposición T (ker(t λ 0 id) j ) ker(t λ 0 id) j. Demostración. sea x ker(t λ 0 id) j entonces (T λ 0 id) j (x) = 0, y por lo tanto (T λ 0 id) j (T (x)) = T ((T λ 0 id) j (x)) = 0 como queríamos. Corolario La aplicación T λ 0 id (T λ0 id) j End((T λ 0id) j ) es nilpotente de orden j. Proposición dim ker(t λ 0 id) j m A (λ 0 ). Demostración. ker(t λ 0 id) ker(t λ 0 id) j y como dim ker(t λ 0 id) = 1 entonces 1 ker(t λ 0 id) j.

8 Corolario j m A (λ 0 ) Definición Indice de un Autovalor. Dado λ autovalor de un endomorfismo f diremos que ν(λ) R es el índice de λ si ker(f λid) ν(λ) = ker(f λid) p para todo p ν(λ). Proposición La aplicación T λ i I Es nilpotente sobre el subespacio ker(t λ i I) m A(λ i ). 8 Demostración. Teorema 1. Teorema de Descomposición de un Espacio Vectorial. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K finitamente generado, dim V = n, T un endomorfismo de V. Supongamos que todas las raíces del P T (λ) están en el cuerpo K. Sean λ 1,..., λ q, q n, los autovalores distintos de P T (λ), con m A (λ i ) las multiplicidades algebraicas de λ i. Entonces: i) V = ker(t λ 1 I) m A(λ 1 )... ker(t λ q I) m A(λ q) ii) T (ker(t λ i I) m A(λ i ) ) ker(t λ i I) m A(λ i ) i = 1,..., q iii) dim[ker(t λ i I) m A(λ i ) ] = m A (λ i ) Teorema 1.0. Teorema de Jordan Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K finitamente generado no nulo, sea T un endomorfismo de V y tal que sus autovalores pertenecen a K. Entonces existe una base ordenada B de V con respecto a la cual la matriz asociada a T es una matriz diagonal por cajas de la forma: M B T = J λ1 J λ... Ejemplos 1.1. J λq

9 A la matriz que se obtiene en el teorema anterior la llamaremos MATRIZ DE JOR- DAN DE T, observar que esta matriz no es única. PREGUNTAS: Cuál es el número de veces que aparece un autovalor λ i en la diagonal de una matriz de Jordan? Cuál es el número de matrices elementales de Jordan de un mismo autovalor? Hay algún tamaño de estas matrices elementales de Jordan que sepamos seguro que va aparecer? Cuál es este tamaño? Cuántas cajas de tamaño el orden de nilpotencia de un autovalor habrá en la matriz? EJEMPLOS: 1.- Sea V un espacio vectorial sobre C, sea T un endomorfismo de V del cual sabemos que: σ(t ) = {3, 1, 1,, 0} dim ker(t 3I) = dim ker(t 3I) = dim ker(t I) = 1 dim ker(t I) = dim ker(t I) 3 = dim ker(t + I) = 3 dim ker(t + I) = dim ker(t + I) 3 = 5 dim ker(t + I) = 3 dim ker(t + I) = 6 dim ker(t + I) 3 = dim ker(t + I) 4 = 7 dim ker T = 4 dim ker T = 6 dim ker T 3 = 8 dim ker T 4 = dim ker T 5 = 10 a) Es T un isomorfismo? b) Determinar razonadamente la dimensión de V c) Calcular las multiplicidades y el índice de cada autovalor. d) Calcular los polinomios característico y mínimo de T e) Obtened la matriz de Jordan de T..- Calcular matrices de Jordan para cada una de las siguientes matrices y las matrices de paso P correspondientes, también sus polinomios mínimos: A = B = C = D = E = F = G = H = Polinomios de matrices,t a y de Cayley-Hamilton 9

10 Definición 1.. Polinomios de endomorfísmos Sea p(x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n un polinomio p(x) R[x] y f end(v ). Definimos p(f) como donde f 0 = id, f p+1 = fp f. p(f) = a 0 f 0 + a 1 f + a f + + a n f n Proposición 1.3. f p f q = f q f p = f p+q. Si p(x), q(x) R[x] entonces p(f) + q(f) = (p + q)(f). p(f) q(f) = (pq)(f). λp(f) = (λp)(f). p(f) q(f) = q(f) p(f). Definición 1.4. Polinomios de matices Sea p(x) = a 0 +a 1 x+a x + +a n x n un polinomio p(x) R[x] y A M n (R). Definimos p(a) como p(f) = a 0 A 0 + a 1 A + a A + + a n A n 10 donde A 0 = I, A p+1 = ApA. Proposición 1.5. A p A q = A p+q. Si p(x), q(x) R[x] entonces p(a) + q(a) = (p + q)(a). p(a)q(a) = (pq)(a). λp(a) = (λp)(a). p(a)q(a) = q(a)p(a). 3 EJEMPLOS: 1.- Sea A = y p(x) = x 1 3λ + 1 y 3 P (A) = 3 1 ( 3 1 ) = Sea g(x) = x 1998 A = A = Así que g(a) = A 1998 = Proposición 1.6. Si y A M n (K) Entonces 1998 f(x) = (x α 1 )(x α ) (x α n ) f(a) = (A α 1 )(A α ) (A α n ) = Proposición 1.7. Sea K un cuerpo, sea A M n (K) entonces existe un polinomio f K[x] no nulo tal que f(a) = 0

11 Demostración. Proposición 1.8. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K con dim V = n y T : V V lineal, entonces f K[x], f 0 /f(t ) = 0 11 Teorema 1.9. Teorema de Cayley-Hamilton p A (A) = 0, p T (T ) = 0 Demostración. Sea A M nxn (K), se verifica que p A (A) = 0. Es decir, si p A (λ) = b n λ n b 1 λ + b 0, ocurre que b n A n b 1 A + b 0 I = 0. Sean B = A λi y C = adj(b) (la matriz en cuya entrada c i,j aparece el adjunto, con su signo correspondiente, al elemento b j,i. cuando se habló de matrices inversas, se tiene que B adj(b) = det(b) I. 1) Probar que existen B 0,, B n 1 M n n (K) tales que C = B n 1 λ n B 1 λ + B 0. ) Probar que B C = det(b) I n. 3) Probar que det(b) I n = B C = (A λi) C = A C λc o, equivalentemente: b n I n λ n + + b 1 I n λ + b 0 I n = AB n 1 λ n AB 1 λ + AB 0 B 0 λ B n 1 λ n. Deducir de ahí, igualando coeficientes, que b 0 I n = AB 0 b 1 I n = AB 1 B b n 1 I n = A n 1 B B n b n I n = B n 1 4) Multiplicar las ecuaciones anteriores por I, A,, A n 1, A n y sumarlas. Deducir de ahí que p A (A) = 0. 3 EJEMPLOS: 1.- Si A =, entonces p 1 A (λ) = λ 5λ + 8 y P A (A) = 5 +8 = EJEMPLOS: 1.- Sea A =. Comprobar que p 3 B (B) = 0.- Sea A = Calcular A Sea A = , B = λ C = 0 λ λ n con λ i λ j si i j. Calcular los polinomios mínimos de A, B y C. 8 0 = Definición Llamamos polinomio mónico aquel polinomio cuyo coeficiente de grado máximo es 1, es decir, p(x) = x n + a n 1 x n 1 + a n x n a 1 x + a 0. Definición Si A M n n (R) entonces llamamos polinomio minimo de A, pma(x) al polinomio mónico de menor grado tal que pma(a) = 0.

12 1 Teorema 1.3. y pm A divide a p A. Demostración. Teorema p A y pm A tienen las mismas raíces. Demostración.