Álgebra Lineal. Tema 4. Espacios vectoriales de dimensión infinita

Transcripción

1 Álgebra Lineal Tema 4. Espacios vectoriales de dimensión infinita Grado en Ingeniería Informática Doble Grado en Ingeniería Informática y Administración de Empresas AUTORES: J. S ALAS, A. T ORRENTE Y E.J.S. V ILLASEÑOR

2 Índice general 4. Espacios vectoriales de dimensión infinita Algunos ejemplos Bases en espacios de dimensión infinita. El lema de Zorn I

3 Tema 4 Espacios vectoriales de dimensión infinita 4.1. Algunos ejemplos Hemos visto en el Tema 4 del curso que cuando un conjunto de cardinalidad finita genera un espacio vectorial, éste se dice de dimensión finita. Conocemos ya varios de estos espacios vectoriales. En este capítulo analizamos el primero de los problemas que se presentan en Álgebra cuando trabajamos con espacios vectoriales de dimensión infinita: la construcción de una base. El espacio vectorial de los polinomios sobre R Si consideramos el conjunto P(R) de todos los polinomios de coeficientes reales, es sencillo probar que se trata de un espacio vectorial. Para ello, basta ver que la suma de polinomios y el producto de polinomios por números reales verifican todas las propiedades descritas en la definición de espacio vectorial del Tema 3. 1

4 Es fácil darse cuenta de que no existe ningún conjunto ordenado finito de elementos de P(R) que pueda generar este espacio vectorial. En efecto, para cualquier conjunto finito de polinomios que elijamos S = (p1, p2,..., pn ), si el polinomio de mayor mayor grado en S es pi (para algún 1 6 i 6 n), siempre existirá algún polinomio en P(R) de grado mayor que el de pi. Es decir, S no puede generar P(R) y, por tanto, no puede ser una base suya. En cambio, si consideramos el conjunto ordenado de cardinalidad infinita B = 1, x, x2, x3, x4,..., se deduce que: a) Cualquier polinomio de P(R) puede expresarse como combinación lineal (y por tanto finita) de los elementos de B, por lo que B genera P(R). b) B es una colección de polinomios linealmente independientes. Según lo anterior, el conjunto de cardinalidad infinita B es una base de P(R); decimos entonces que P(R) es un espacio vectorial de dimensión infinita. En general, las propiedades (a) y (b) definen lo que se conoce como base de Hamel, aunque en el contexto de dimensión finita, se usa simplemente el término base. El caso de P(R) es especialmente sencillo, ya que la manera de obtener una base suya, de cardinalidad infinita, es una generalización directa del caso del espacio vectorial Pn. Obsérvese que es posible establecer una correspondencia biyectiva entre los elementos de la base B y el conjunto N de los números naturales; cuando esto ocurre, se dice que B es un conjunto infinito numerable. 2

5 El espacio vectorial R Consideramos ahora el conjunto RN de todos los vectores x = (x1, x2,..., xn )t de dimensión N y cuyas coordenadas sean números reales xi R para todo 1 6 i 6 N. El objetivo es estudiar la estructura que tiene dicho conjunto cuando N se hace arbitrariamente grande. Al conjunto de vectores que se obtienen en este límite lo denominaremos (de manera informal) como R. También diremos (informalmente) que este conjunto R consta de todas las sucesiones x = (x1, x2, x3,... )t cuyos términos xi sean números reales para todo i N. Obsérvese que esto es una generalización natural de RN. No obstante, este caso no es tan simple como el anterior. Comenzamos definiendo en este conjunto la suma de vectores de la forma natural: x + y = (x1, x2, x3,... )t + (y1, y2, y3,... )t = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3,... )t y la multiplicación por escalares (reales) mediante: λx = λ(x1, x2, x3,... )t = (λx1, λx2, λx3,... )t. Es fácil ver que efectivamente se trata de un espacio vectorial. También es sencillo darse cuenta de que tampoco existe ningún subconjunto finito de R que lo genere, por lo que éste no tendrá dimensión finita. Si intentamos utilizar la idea del ejemplo anterior y generalizamos la base canónica de Rn, podríamos pensar que el conjunto ordenado E = (e1, e2, e3,... ), donde ei es el vector infinito con todas sus coordenadas iguales a 0, excepto la i-ésima, que vale 1, es una base de cardinalidad infinita de R. Sin embargo, si tomamos por ejemplo el vector x = (1, 2, 3, 4,... )t, se observa que no existe ninguna combinación lineal (y por tanto finita) de elementos de E que sea igual a x. La diferencia esencial entre éste y el caso anterior estriba en que todo vector de P(R) tiene un número finito de coordenadas no nulas en la base canónica (el grado de 3

6 un polinomio es siempre finito). Sin embargo, los vectores de R pueden tener un número infinito de coordenadas no nulas. Cabe hacerse entonces la pregunta de si existe algún conjunto de cardinalidad infinita que sea base de R. La respuesta es sí: todo espacio vectorial tiene una base de Hamel, aunque eso no significa que en general sea sencillo encontrarla o describirla. En particular, las bases de R son no numerables (en este caso tienen el cardinal de R) Bases en espacios de dimensión infinita. El lema de Zorn Para probar que todo espacio vectorial tiene una base se utiliza el lema de Zorn. Sea C una colección de subconjuntos de un conjunto A con la propiedad de que para cada cadena de elementos de C de la forma: S1 S2 S3... la unión S de los elementos de esta cadena también pertenece a C. Esta propiedad implica que las cadenas de C están acotadas superiormente en C. En estas condiciones, el lema de Zorn garantiza que C contiene un elemento maximal M, lo cual significa que no existe ningún otro elemento en C que contenga a M de manera propia (es decir, no existe un N C tal que M N). Obsérvese que la relación permite ordenar en estas cadenas, al menos parcialmente, los elementos de C. En el curso de Matemática Discreta se verá que la inclusión es un ejemplo de relación de orden parcial y en consecuencia se dice que C es un conjunto parcialmente ordenado. Así, podemos enunciar formalmente el lema de Zorn de la siguiente manera: 4

7 Lema de Zorn Si en un conjunto parcialmente ordenado A toda cadena está acotada superiormente, entonces A admite al menos un elemento maximal. Ahora bien, dado un espacio vectorial V de dimensión infinita, es posible construir una secuencia de conjuntos linealmente independientes S1 S2 S3..., por ejemplo, añadiendo a Si un vector linealmente independiente de todos los elementos de Si para formar Si+1. El conjunto formado por la unión de todos los conjuntos de esta secuencia (infinita): S= [ Si i=1 es un conjunto linealmente independiente. Si S genera V entonces tenemos una base (numerable) de V; esto es lo que sucede en el caso del espacio vectorial P(R). Sin embargo, si S no genera V podremos seguir añadiendo vectores a S y seguir obteniendo conjuntos linealmente independientes con más elementos. Si C es la colección de todos los subconjuntos linealmente independientes de V, el lema de Zorn implica que existe un conjunto maximal M linealmente independiente. Dicho conjunto maximal M es una base de V. El inconveniente de lo expuesto anteriormente es que solo prueba la existencia de una base para cualquier espacio vectorial V, pero no indica cómo encontrarla. 5