F-ESPACIOS. 1.- Introducción

Transcripción

1 F-ESPACIOS 1.- Introducción Recordemos que un subconjunto A de un espacio topológico X se llama diseminado o raro (nowhere dense en ingés) si A=. Un subconjunto que se pueda escribir como unión numerable de conjuntos diseminados de X se llama de primera categoría (de Baire) en X. En caso contrario, se dice que es de segunda categoría. Los conjuntos de primera categoría son estables por homeomorfismos, uniones numerables y paso a subconjuntos. Un espacio de Baire es un espacio topológico X que cumple una de las dos condiciones equivalentes siguientes: (B) Si (G n ) es una sucesión de abiertos densos de X, su intersección es densa. (B c ) Si (F n ) es una sucesión de cerrados diseminados, su unión tiene interior vacío. Nótese que todo espacio de Baire es de segunda categoría. El siguiente teorema puede encontrarse en cualquier buen libro de topología: Teorema 1.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: i) X es de Baire. ii) Todo abierto no vacío de X es de segunda categoría en la topología relativa. iii) El complementario de cualquier subconjunto de X de primera categoría, es denso. No todo espacio de segunda categoría es de Baire. Por ejemplo, si A = {(x, 0) R 2 : x R} y B = {(0, y) R 2 : y 0, racional}, el espacio X = A B con la topología inducida por R 2 es de segunda categoría, pero no de Baire, ya que B es un abierto de X que es unión numerable de conjuntos diseminados. Sin embargo, la patología anterior desaparece si X es un e.v.t.: Un e.v.t. es de Baire si y sólo si es de segunda categoría. En efecto, si E es un e.v.t. de segunda categoría, notemos en primer lugar que todo entorno de 0 V es de segunda categoria, pues E = n=1 nv. Por la invariancia por traslaciones, cualquier entorno de cualquier punto es de segunda categoría y, en consecuencia, todo abierto es de segunda categoría. Las dos clases más importantes de espacios de Baire son: a) Los espacios métricos completos. 1

2 y b) Los espacios localmente compactos separados. En particular, todo espacio vectorial topológico, metrizable y completo (F -espacio, es un espacio de Baire. Por supuesto, existen espacios normados que no son de Baire: Ejemplo 1.2. Sea E = C R ([0, 1]) con las norma. 1, y consideremos el subconjunto B = {f E : f 1}. Claramente, B es equilibrado y absorbente, luego E = n=1 nb. Además, B tiene interior vacío en E, pues en caso contrario B B = B + B = 2B sería entorno de 0 en E, y. 1 y. serían equivalentes, lo que es imposible. Por tanto, basta probar que B es cerrado en E para demosdtrar que E es de primera categoría. Pero esto es obvio: si (f n ) B converge en E a una f E y fuera f > 1, existiría un intervalo J [0, 1] y un δ > 0 tal que f(t) > 1 + δ para todo t J. Pero entonces f n f 1 f n (t) f(t) dt δ long(j), n N, lo que contradice la convergencia de (f n ) a f en E. 2.- Algunas aplicaciones de la teoría de Baire J La aplicación de la teoría de Baire al Análisis Funcional proporciona resultados a veces sorprendentes. A tóitulo de ejemplo, consideremos los siguientes resultados: El primero se refiere a la existencia de funciones reales continuas no derivables en ningún punto. El primer ejemplo concreto de tal función se debe a Weierstrass, y es la f(t) = b n cos(a n πt), a entero par, 0 < b < 1, ab > 1 + 3π 2 n=1 En general, no es trivial poner ejemplos de tales funciones. Sin embargo, en cierto sentido, en contra de nuestra intuición, tales funciones son mucho más numerosas que las que son derivables en algún punto: Sea E = C R ([0, 1]), con la norma del supremo. a) Para cada n N, el conjunto { F n = f E : t [0, 1 1 f(t + h) f(t) ] tal que n, h (0, 1 } n h n ) es un cerrado de interior vacío. b) En consecuencia, F = n=1 F n es de primera categoría. El conjunto B = E\F es, por tanto, residual (en particular, no vacío y de segunda categoría) y ninguno de sus elementos es derivable en ningún punto de [0,1). 2

3 El segundo ejemplo concierne a la teoría de funciones de variable compleja. Comencemos por fijar algunas notaciones: Sea D C n un abierto conexo y E = H(D) con la topologí a usual de F-espacio. Se dice que f E admite prolongación analítica si existe un dominio D que contenga a D, de modo que D \ D tenga interior no vacío, y una f H( D) que sea una extensión de f Teorema. El conjunto S D = {f H(D) : f admite prolongación analítica } o bien coincide con H(D) o bien es un subconjunto de primera categoría de H(D) Corolario. Si S D = H(D), entonces existen n y m naturales, tales que S D = E nm = H(D), e.d., toda f H(D) se prolonga a una función analítica acotada sobre D (y n + 1 m B) Corolario.Si para cada y n existe una f n H(D) tal que lim z yn f n (z) =, entonces S D es de primera categoría en H(D) y, por tanto, existe una f H(D) que no admite prolongación analítica. Demostración. La hipótesis implica que E nm H(D), para todo valor de n y m Corolario. Si n = 1, S D es siempre de primera categoría. Demostración. Basta tomar f n (z) = 1 z y n en el corolario Del corolario 2.4, resulta pues que sólo en C n con n 2 pueden existir (y de hecho existen) dominios D tales que S D = H(D). Los dominios D tales que S D H(D), se llaman dominios de holomorfía. función holomorfa que no admite prolongación analítica. Son, pues, aquellos dominios en los que existe alguna 3.- Los teoremas de la Aplicación Abierta y la Gráfica Cerrada Teorema. (Banach-Schauder) Sea E un F -espacio, F un e.v.t. separado y T : E F una aplicación lineal y continua tal que T (E) es de segunda categoría en F. Entonces T es abierta y suprayectiva, y necesariamente F es un F -espacio. Demostración. Si se prueba que T es abierta, entonces T (E) sería un subespacio vectorial abierto y, por tanto, absorbente, luego necesariamente igual a F. Pero entonces, F = T (E) sería isomorfo topológicamente al F -espacio E/ker T. Como ya sabemos, para probar que T es abierta, basta demostrar que transforma entornos de 0 de E en entornos de 0 de F. Haremos la demostración en varios pasos: 3

4 A.- Si V es un entorno de 0 en E, entonces T (V ) tiene interior no vacío. En efecto, como E = k=1 kv, resulta que T (E) = k=1 kt (V ). Por la hipótesis, existe un k tal que kt (V ) = kt (V ) tiene interior no vacío y, por tanto, T (V ) tiene interior no vacío. B.- Si V es un entorno de 0 en E, T (V ) es un entorno de 0 en F. En efecto, sea U un entorno de 0 equilibrado tal que U + U V y sea G el interior de T (U) (no vacío por A). Entonces y T (U) G es abierto. 0 T (U) G T (U) T (U) T (U U) T (V ) C.- Si V es un entorno de 0 en E, T (V ) es un entorno de 0 en F. En efecto, sea d una distancia invariante por traslaciones que defina la topología de E, y definamos x@ := d(x, 0). Entonces, x + y = d(x + y, 0) = d(x, y) d(x, 0) + d(0, y) = d(x, 0) + d(y, 0) = x + y. Volviendo a la demostración, dado V existirá por tanto un r > 0 tal que V o = {x E : x r} V. Si llamamos V n = {x E : x r2 n }, bastará demostrar (por B) que T (V 1 ) T (V o ). Para ello, probemos primero {T (V n ) : n N} es una base de entornos de 0 en F. En efecto, si W es un entorno cerrado de 0 en F, como T es continua y lim r2 n = 0, existe un m N tal que T (V m ) W. Pero entonces T (V m ) W = W. tal que Finalmente, sea y T (V 1 ). probemos por inducción que existe una sucesión (x n ) E i) x n V n, n. ii) z n = y T (x o + + x n ) T (V n+1 ), n. En efecto, para n = 0, x o = 0 cumple obviamente los requisitos. Supongamos construidos ( los x o,, x k 1 ). Por (B) T (V k+1 ) es entorno de 0, luego por la hipótesis de inducción, z k 1 T (V k+1 ) T (V k ). Si x k V k es tal que T (x k ) pertenece a esta intersección, es claro que cumple (i) y (ii). tiene La sucesión de sumas parciales s n = x o + + x n es de Cauchy, ya que si n, p N se 1 s n+p s n = x n x n+p r( 2 n n+p ) r 2 n, que tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Por tanto, por la completitud de E, existe x = n=0 x n = lim n s n. Como s n r para todo n, resulta que x r, e.d., x V o. Además, como z n T (V n+1 ), que hemos visto constituyen una base de entornos de 0 en F, resulta que lim n z n = 0. Pero, por otro lado, de la continuidad de T resulta que 4

5 lim n z n = y lim n T (s n ) = y T (x). Por ser F separado, se tiene necesariamente y = T (x), lo que prueba que y T (V o ), c.q.d.. Necesidad de las hipótesis 1.- La hipótesis de separación de F es esencial para la validez del teorema anterior: Si F = R con la topología grosera y E = R con la topología usual, la identidad I: E F es lineal, continua, sobre y I(E) = F es de segunda categoría, pero obviamente, I no es abierta. 2.- La identidad I: (C([0, 1]),. ) (C([0, 1]),. 1 ) es una aplicación lineal continua de un F -espacio en un e.v.t. separado, que no es abierta (su imagen es de primera categoría). 3.- Finalmente, veamos que hipótesis de F -espacio sobre E es también esencial: Sea F un Banach de dimensión infinita y (e α ) α A una base algebraica normalizada de F. Sea E = c oo (A), con la norma x = α A x(α), si x = α A x(α)u α, (con un número finito de términos no nulos, a lo más, en cada suma). La identidad I: E F es claramente una biyeción lineal (por construción) continua, pero no es abierta, pues E no es completo. En efecto, sea (α n ) una sucesión en A y definamos x n = n j=1 1 2 j e αj E. Es muy fácil ver que (x n ) es una sucesión de Cauchy en E que no converge (el único candidato posible tendría infinitas coordenadas no nulas, y por tanto no pertenece a E) Corolario. a) Una aplicación lineal continua y sobre entre F-espacios, es abierta. En particular, una biyección lineal continua entre F-espacios es un isomorfismo topológico. b) Dos topologías comparables de F-espacio sobre un mismo espacio vectorial, coinciden. c) Dos suplementarios algebraicos cerrados en un F-espacio son suplementarios topológicos. Demostración. Inmediata. La condición (b) anterior veremos que justifica la unicidad esencial de las topologías habituales en los F-espacios que hasta ahora hemos ido introduciendo. A este respecto, el siguiente ejemplo puede ser pertinente: 3.3 Ejemplo. (Dos normas completas, no equivalentes, sobre un mismo espacio vectorial) Sean E y F dos espacios de Banach algebraicamente isomorfos, pero no isomorfos topológicamente (p. ej., E = l 1, F = c o ). Si T : E F es un isomorfismo algebraico, basta definir en E la norma x T := T (x) F. Entonces T es una isometría entre (E,. T ) y F, luego. T es una norma completa sobre E. Además, no es equivalente a la original 5

6 . E pues, si lo fuera, E y F serían topológicamente isomorfos, contra lo supuesto. Una aplicación continua f de un espacio topológico X en un e.t. separado Y tiene gráfica G f = {(x, f(x)) : x X} X Y cerrada. (En efecto, = {(y, y) : y Y } es cerrado en Y Y, F : X Y Y Y, definida por F (x, y) := (y, f(x) es claramente continua, y G f = F 1 ( )). Sin embargo, es fácil poner ejemplos de aplicaciones con gráfica cerrada que no son continuas: f : R R; f(x) = 1 x si x 0, f(0) = 0, tiene gráfica cerrada y, obviamente, no es continua. Veremos a continuación que este recíproco es cierto cuando f es lineal entre F -espacios, y constituye, junto con el teorema de la Aplicación abierta, uno de los resultados más importantes del Análisis Funcional. 3.4 Teorema. (Teorema de la gráfica cerrada) una aplicación entre F -espacios, lineal y con gráfica cerrada, es continua. Demostración. Si E y F son F -espacios, el producto E F es un F -espacio. Si T : E F es lineal, su gráfica G T es un subespacio vectorial de E F que, por hipótesis, es cerrado, luego es un F -espacio con la topología inducida. La restricción S de la proyección π E sobre E, es una biyección lineal continua entre G T y E, luego por el corolario 3.2 (a), es un isomorfismo topológico. Basta tener en cuenta que T = π F S 1.. Nótese que una aplicación lineal T entre e.v.t. metrizables tiene gráfica cerrada si y sólo si siempre que (x n ) converja a 0 y (T (x n )) converja a un cierto z, necesariamente se tiene que z = 0. También conviene hacer notar que las hipótesis de completitud que aparecen en el teorema 3.4 son, en general, necesarias. Por ejemplo, si consideramos E = CR 1 ([0, 1]) con la norma del supremo, F = C R ([0, 1]), también con la norma del supremo, y T : E F dada por T (f) := f, entonces T es lineal y tiene gráfica cerrada, pero no es continua (la sucesión f n (t) = sent n converge a 0 en E, pero T (f n ) ni siquiera converge puntualmente.) 6