( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Números complejos 1.1.a. Definición y operaciones elementales. Los números complejos pueden expresarse en la forma: [1]

Transcripción

1 Apéndiice Números complleos y ffasores Números compleos 1.1.a. Definición y operaciones elementales Los números compleos pueden expresarse en la forma: a b (forma binómica [1] donde a y b son números reales y es la unidad imaginaria pura; i.e., 1 y 1 [] La parte real de se expresa como ( a; la parte imaginaria como ( b: ( ( (forma binómica [3] Suma y resta: ± ( a b ± ( a b ( a ± a ( b ± b Multiplicación: ( a b( a b ( aa bb ( ab a b División: ( ( ( ( ( ( a b a b a b aa bb a b ab a b a b a b a b El compleo conugado * del número compleo es Se verifica que: ( ( Módulo de un compleo: 1.1.b. presentación geométrica * a b [4] * a b a b a b [5] a b " " * [6] Tomamos como ee real el ee x y como ee imaginario el ee y. Entonces, el número compleo a b viene representado por un segmento orientado (flecha que une el origen de coordenadas con el punto (a, b del plano compleo. Las proyecciones de b y a x sobre los respectivos ees son ( y (. Números compleos y fasores 1 1/6

2 Llamamos argumento del número compleo al ángulo definido por su representación geométrica y el ee real. Podemos expresar el número compleo en función de su módulo y de su argumento: con (cos sen (forma trigonométria o polar [7] a cos a b b sen b arctg a [8] En la representación gráfica, la suma de los números compleos obedece la ley del paralelogramo, como se ilustra en la figura. Los números compleos poseen algunas de las propiedades de los vectores en el espacio bidimensional, pero no deben confundirse con éstos. 1.1.c. presentación exponencial b 1 1 a cordemos la relación existente entre las funciones exponencial, sinusoidal y cosinusoidal: e cos sen [9] que se deduce del desarrollo en serie de Taylor de los tres términos. Podemos escribir e (forma exponencial [10] Esta forma es particularmente adecuada para la representación de la amplitud y de la fase de una oscilación. En las formas polar y exponencial, la multiplicación y división de compleos es muy simple y adecuada para cálculos numéricos: 1 Multiplicación: 1 ( ( ( 1 1 e e e División: e 1 1 e 1 1 e ( 1 Números compleos y fasores 1 /6

3 A partir de la representación gráfica de los números compleos, resulta que multiplicar o dividir un número compleo por otro equivale a multiplicar o dividir su módulo (agrandarlo o acortarlo y hacerlo girar en el plano compleo. El producto es conmutativo. Los números compleos de módulo unidad ( 1 pertenecen a la circunferencia de radio unidad con centro en el origen del plano compleo y son de la forma: 1.1.d. Algunas aplicaciones U e cos sen [11] Es fácil demostrar que n n n ( e e ( cos sen cosn sen n (fórmula de Moivre n U [1] la cual, igualando separadamente sus partes reales e imaginarias, nos conduce directamente a las fórmulas de los senos y cosenos de ángulos múltiplos. Así, sen sencos cos sen cos sen sencos cos sen cos cos sen ( ( A partir de la fórmula de Moivre se deducen muchas relaciones trigonométricas: Como eercicio, utilícese [9] para obtener: cos e e y sen e e [13] Una ecuación con magnitudes compleas debe satisfacerse separadamente por su parte real y su parte imaginaria. Así, podemos manear una oscilación x Asen( t en la forma complea ( t t x Ae Ae e [14] ( t considerando tan sólo la parte imaginaria del compleo Ae. Al finalizar los desarrollos y cálculos, consideraremos únicamente la parte imaginaria del resultado. Esto se puede hacer con toda libertad en tanto que no aparezcan productos de números compleos; i.e., cuando las ecuaciones son lineales en las magnitudes compleas. Debemos prestar mucha atención a los productos de números compleos. Así, supongamos que estamos interesados en el producto y 1 y de dos magnitudes reales. Si escribiésemos x y x y ( x x y y ( x y x y Números compleos y fasores 1 3/6

4 la parte imaginaria del producto es ( las partes imaginarias ( ( yy. 1.1.e. Eemplo 1 1 x y x y, que no es igual al producto de Encontrar la resultante de las oscilaciones x1 Asen t x Asen t. y Con notación fasorial: t t t x 1 Ae e e t 1 cos t x Ae y tomando tan sólo la parte imaginaria del resultado x x x A e A t e t x Acos t ( e Acos t sent 1 de modo que el resultado es una oscilación de frecuencia cuya amplitud está modulada con una frecuencia de pulsación p 1. t Números compleos y fasores 1 4/6

5 1..- presentación fasorial Fasor es una magnitud de naturaleza complea cuyo argumento aumenta uniformemente con el tiempo. En su representación geométrica, puede interpretarse como un número compleo rotatorio. El argumento del fasor será de la forma t 0. Normalmente se le representan en el instante t 0. La notación fasorial es muy adecuada para la representación de la amplitud y de la fase de una oscilación. Así, ( ϕ ( yt ( sen t y con e ( t 0 0 t 0 ( sen( cos t t 1..a. Desfase entre fasores 0 0 En muchas ocasiones, estamos interesados en el estudio de oscilaciones que tienen todas las misma frecuencia. En estas circunstancias, solo estaremos interesados en los desfases relativos entre ellas, por lo que consideraremos una instantánea de las oscilaciones (v.g., t 0, de modo que trabaaremos con fasores de la forma: 0 t 0 ( cos sen 0 e y los desfases serán desfase ( ( y sen t y sen t desfase 1 1 Números compleos y fasores 1 5/6

6 1.3.- Derivación e integración temporal de una magnitud fasorial 1.3.a. Derivación ( sen( cos t 0 t 0 d sen( t 0 cos( t 0 dt cos( t 0 sen( t 0! 0 90º La derivada de se adelanta / con respecto de. 0 También podemos escribir: ( d t 0 ( t 0 ( t 0 e e e dt d t 0 t 0 dt 1.3.b. Integración ( sen( cos t 0 t 0 dt sen( t 0 cos( t 0 cos( t 0 sen( t 0 La integral de se retrasa / con respecto de. / º dt [15] También podemos escribir: ( t 0 ( t 0 ( t 0 ( t 0 e dt e e e t dt 0 0 t [16] Números compleos y fasores 1 6/6