Investigación de Operaciones

Transcripción

1 En el Cuadro de Transporte, las variables básicas corresponden a asignaciones, por lo que habrá (m+n) asignaciones. En algunos problemas de transporte, se presentan situaciones en las que se requerirán menos de (m+n) asignaciones positivas para absorber toda la oferta y la demanda. Esta situación se conoce como Degeneración y ocurre en los casos en los que un subconjunto de las ofertas es igual a un subconjunto de las demandas. La presencia de menos (m+n) celdas con asignaciones positivas, da como resultado que no exista un camino que enlace una o más celdas sin asignación con las que sí tiene asignación. No permite realizar los ciclos y por ello no se pueden calcular los costos reducidos ó índices de mejoramiento ni hacer reasignaciones para mejorar la solución actual. Esto puede solucionarse utilizando celdas de asignación artificial con valor de cero. Esta celda degenerada no cambia el costo de la asignación pero nos permite utilizar el procedimiento normal. La celda con asignación de cero, debe elegirse de manera que no forme un ciclo con ninguna de las celdas que ya tenía asignación. Ejemplo: La compañía Myers Stone, transporta piedra molida (o grava) desde canteras que se encuentran en Anthony, Reddick y Otto hacia sitios de construcción en Erie y Greenville, a diversos costos por tonelada. A continuación se presentan los costos en dólares y las condiciones de oferta y demanda. Elabore un programa de envío que minimice los costos. Erie Greenville Oferta Anthony 3 6 Reddick Otto 7 3 Demanda Jaime Campo Rodríguez,PhD 1

2 Ejemplo: Utilizando el método de Costo Mínimo por Fila, se obtiene la siguiente solución inicial para el problema: Anthony Reddick Otto 7 3 Demanda 3 En este problema, se tienen 3 filas y 3 columnas por lo que son necesarias (m+n) 5 asignaciones. La solución inicial tiene sólo 4 celdas asignadas, por lo que es un problema degenerado. Ejemplo: Se selecciona la celda (1,2) para hacer la asignación artificial de cero, se obtienen entonces, las cinco asignaciones y no se formó un ciclo cerrado con las celdas que tenían asignación antes, lo que ocurriría si se hubiera escogido la celda (2,3) para la asignación artificial: Un ciclo cerrado entre las celdas (2,3), (1,3), (1,1) y (2,1) que impediría calcular los costo reducidos para las celdas vacías y realizar reasignaciones. Anthony Reddick Otto 7 3 Demanda 3 Costo total de envío: (3x1)+(6x)+(x3)+(4x3)+(3x) = $2.7 Jaime Campo Rodríguez,PhD 2

3 Ejemplo: Una vez realizada la asignación artificial, se continua con el procedimiento normal, es decir, la prueba de optimalidad y la mejora de la solución; hasta hallar la solución óptima. Se debe considerar que al elegir la celda degenerada o de asignación artificial, si en el proceso de reasignación se le suma o resta a esta celda, será necesario cambiar de celda degenerada. Anthony Reddick Otto 7 3 Demanda 3 Costos reducidos: Celda (2,2): = -2 Celda (2,3): = Celda (3,1): = 7 Celda (3,3): = 3 Jaime Campo Rodríguez,PhD 3

4 Anthony Reddick Otto Demanda 3 Costos reducidos: El costo más negativo se encuentra en la celda (2,2), esto indica que la solución actual no es óptima y la reasignación se realiza en esta celda. Anthony Reddick Inicio 3 3 Otto 7 3 Demanda 3 Jaime Campo Rodríguez,PhD 4

5 Anthony Reddick Otto 7 3 Demanda 3 Se realiza la reasignación correspondiente en la celda (2,2) Anthony Reddick Otto 7 3 Demanda 3 Costos reducidos: Celda (1,2): = 2 Celda (2,3): = Celda (3,1): = 5 Celda (3,3): = 1 Jaime Campo Rodríguez,PhD 5

6 Anthony Reddick Otto Demanda 3 Costos reducidos: El costo más negativo se encuentra en la celda (2,3), esto indica que la solución actual no es óptima y la reasignación se realiza en esta celda. Anthony Reddick Inicio 3 Otto 7 3 Demanda 3 Jaime Campo Rodríguez,PhD 6

7 Anthony 3 6 Reddick Otto 7 3 Demanda 3 Se realiza la reasignación correspondiente en la celda (2,3) Anthony 3 6 Reddick Otto 7 3 Demanda 3 Costos reducidos: Celda (1,2): = 2 Celda (1,3): = 1 Celda (3,1): = 5 Celda (3,3): = 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 7

8 Anthony Reddick Otto Demanda 3 Costos reducidos: Todos los costos son positivos, lo cual indica que la solución es óptima y el costo total de envío es: (3x)+(4x)+(5x)+(x3)+(3x) = $2. Pueden presentarse problemas en los que el objetivo sea maximizar utilidades más que minimizar costos. Existen tres maneras posibles de solucionarlos: 1. Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad. 2. Cambiando el criterio utilizado en la prueba de optimalidad. 3. Calculando costo de oportunidad para cada celda y utilizando el procedimiento normal o estándar. Ejemplo: La Compañía Wacassa Fish Company, distribuye pescado en libras desde sus dos pescaderías a tres mayoristas de Houston, Chicago y Nueva York. Su objetivo es maximizar las utilidades totales. La utilidad por libra expresada en centavos de dólar es la siguiente: Cedar Keys Crystal River Jaime Campo Rodríguez,PhD 8

9 1. Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad: Se multiplican las utilidades por 1 y se calcula una solución inicial (Método Valor Mínimo por fila): Cedar Keys Crystal River Utilidad total del envio para la solución inicial: (5x1)+(6x15)+(6x1)+(2x25) = $ Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad: Se calculan los índices de mejoramiento para las celdas vacías: Celda (1,2) Cedar Keys Crystal River Inicio Ïndice de mejoramiento para la celda (1,2) : +(-3)-(-5)+(-6)-(-2) = = -2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 9

10 1. Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad: Se calculan los índices de mejoramiento para las siguientes celdas vacías: Celda (2,3) Cedar Keys Crystal River Inicio Ïndice de Mejoramiento para la celda (2,3) : = 3 1. Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad: Utilizando el criterio estándar de optimalidad, se observa que el índice de mejoramiento de 2 en la celda (1,2), indica que la solución actual no es óptima y que en esa celda se debe realizar la reasignación para obtener un nuevo plan de envio mejorado. Cedar Keys Crystal River Jaime Campo Rodríguez,PhD 1

11 1. Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad: Circuito para hacer la reasignación correspondiente: Cedar Keys Crystal River Inicio Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad: Reasignación para obtener un nuevo plan de envio mejorado: Cedar Keys Crystal River Jaime Campo Rodríguez,PhD 11

12 1. Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad: Mejora de solución: Realizando la reasignación correspondiente en la celda (1,2), según el procedimiento estándar, se obtiene el siguiente plan de envio: Cedar Keys Crystal River Utilidad total del envio para la solución mejorada: (3x1)+(6x15)+(6x2)+(2x15) = $ Multiplicando todas las utilidades por 1 y utilizando el criterio estándar de optimalidad: Realizando nuevamente la prueba de optimalidad se obtiene los siguientes índices de mejoramiento para las celdas vacías: Cedar Keys -5-3 Crystal River Los índices de mejoramiento son positivos, por lo tanto la solución es óptima. Jaime Campo Rodríguez,PhD 12

13 2. Cambiando el criterio utilizado en la prueba de optimalidad: Se identifica una solución inicial para el problema: Utilidad Máxima por Fila Cedar Keys Crystal River Utilidad total del envio para la solución inicial: (5x1)+(6x15)+(6x1)+(2x25) = $ Cambiando el criterio utilizado en la prueba de optimalidad: Se realiza la prueba de optimalidad, calculando índices de mejoramiento para las celdas vacías: Cedar Keys Crystal River Inicio Índice de mejoramiento para la celda (1,2) : = 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 13

14 2. Cambiando el criterio utilizado en la prueba de optimalidad:: Índice de mejoramiento para la celda vacía (2,3): Cedar Keys Crystal River Inicio Índice de mejoramiento para la celda (2,3) : = Cambiando el criterio utilizado en la prueba de optimalidad: Criterio de optimalidad: En este caso, el índice de mejoramiento más positivo (2), indica que la solución actual no es óptima y que en esa celda se realiza la reasignación para mejorar la solución. Cedar Keys Crystal River Jaime Campo Rodríguez,PhD 14

15 2. Cambiando el criterio utilizado en la prueba de optimalidad: Mejora de la solución: Se realiza la reasignación correspondiente en la celda (1,2), siguiendo el procedimiento estándar y se obtiene el siguiente plan de embarque: Cedar Keys Crystal River Utilidad total del envio para la solución mejorada: (3x1)+(6x15)+(6x2)+(2x15) = $ Cambiando el criterio utilizado en la prueba de optimalidad: Realizando la verificación de los índices de mejoramiento para las celdas vacías, se observa que los valores son negativos, lo que indica que la solución es óptima: Cedar Keys Crystal River Jaime Campo Rodríguez,PhD 15

16 3. Calculando costo de oportunidad para cada celda y utilizando el procedimiento normal o estándar: El costo de oportunidad es el costo en el que se incurre por no haber tomado la mejor decisión o por no haber hecho la mejor elección posible. Para una celda el costo de oportunidad es la diferencia entre su utilidad y la utilidad de la celda de esa fila que sea mayor. Para el ejemplo, las celdas (1,3) y (2,1) poseen la mayor utilidad en sus respectivas filas. Cedar Keys Crystal River Calculando costo de oportunidad para cada celda y utilizando el procedimiento normal o estándar: Calculado el costo de oportunidad para cada celda, se obtiene: Celda (1,1) 6 5 = 1 Celda (1,2) 6 3 = 3 Celda (1,3) 6 6 = Celda (2,1) 6 6 = Celda (2,2) 6 2 = 4 Celda (2,3) 6 4 = 2 Cedar Keys Crystal River 4 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 16

17 3. Calculando costo de oportunidad para cada celda y utilizando el procedimiento normal o estándar: Una vez se determinan los costos de oportunidad para cada celda, se realiza el procedimiento estándar: Se identifica una solución inicial (Método de Matriz Mínima). Los números entre paréntesis, indican la secuencia para construir la matriz. Cedar Keys Crystal River 2 4 (2) 15 (3) (4) 15 Utilidad total del envio para la solución inicial: (3x1)+(6x15)+(6x2)+(2x15) = $2.7 2 (1) Calculando costo de oportunidad para cada celda y utilizando el procedimiento normal o estándar: Se realiza la prueba de optimalidad, calculando los índices de mejoramiento para las celdas vacías: Celda (1,1) Cedar Keys 1 Inicio Crystal River Índice de mejoramiento para la celda (1,1) : = 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 17

18 3. Calculando costo de oportunidad para cada celda y utilizando el procedimiento normal o estándar: Se realiza la prueba de optimalidad, calculando los índices de mejoramiento para las celdas vacías: Celda (2,3) Cedar Keys Crystal River Inicio 25 Índice de mejoramiento para la celda (2,3) : = 1 3. Calculando costo de oportunidad para cada celda y utilizando el procedimiento normal o estándar: Verificando los índices de mejoramiento, obtenidos para las celdas vacías (1,1) y (2,3) y utilizando el criterio de optimilidad para el procedimiento estándar, se observa que son positivos, por lo tanto, la solución actual es óptima y da como resultado una utilidad máxima de $2.7 Cedar Keys Crystal River Jaime Campo Rodríguez,PhD 18