LOGARITMO. Una perfecta comprensión de estas dos expresiones, solucionan la mayoría de los problemas.

Transcripción

1 LOGARITMO En esta fase de nuestro estudio vamos a profundizar un poco más de lo que ya estudiamos en aritmética. La logaritmación es una operación inversa de la potenciación, es decir: Siendo la potencia... La logaritmación es una operación en que se conoce la potencia y la base, buscamos el exponente. El símbolo utilizado para indicar esta operación es en este caso. Una perfecta comprensión de estas dos expresiones, solucionan la mayoría de los problemas. DEFINICIONES: a. Logaritmo de un número: es el exponente a que debemos elevar otro número llamado base para obtener el número dado. Ej.:... por que... b. Base: cualquier número POSITIVO se puede tomar como base de un sistema de logaritmo. La notación es colocar la base como sub índice de logaritmo c. Logaritmo decimal o vulgar: Es el logaritmo que utiliza como base el numero 10. En este caso fue convencionado no colocar la base 10 como sub índice del logaritmo. Ej.: d. Logaritmo natural o neperiano: Es el logaritmo que adopta como base el numero inconmensurable...(logaritmo hiperbólico) La notación utilizada para este logaritmo es: Ej.: 260

2 PARTICULARIDADES DE LOS LOGARITMOS: 1- La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativa. 2- Los números negativos no tienen logaritmo. 3- En todo sistema el logaritmo de 1 es cero. 4- En todo sistema el logaritmo de la base es 1 5- Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo 6- Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo Todo numero mayor que la base tiene logaritmo positivo. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: 1- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores H) Sean y los factores. T) D) Llamemos e a los logaritmos de y respectivamente y por la propia definición de logaritmo podemos escribir: Multiplicando miembro a miembro estas dos ultimas igualdades, tendremos: Ahora bien si es el exponente a que se debe elevar la base para obtener. Por definición de logaritmo podemos escribir Sustituyendo en esta ecuación, la e por sus valores dados arriba, tendremos:...que es la tesis. 261

3 2- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. H ) Sea el dividendo y el divisor. T ) ( ) D ) Llamemos e a los logaritmos de y respectivamente y por la propia definición de los logaritmos podemos escribir. Dividiendo miembro a miembro estas dos últimas igualdades tendremos: Ahora bien si es el exponente a que se debe elevar la base, para obtener, por la propia definición de logaritmo podemos escribir. ( )...(1) Sustituyendo las e por sus valores dados arriba, tendremos ( )...Que es la tesis 262

4 3- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. H ) Sea la potencia.. 2 T ) D) Llamemos al logaritmo de, luego por definición de logaritmo tendremos: Elevando ambos miembros de la segunda igualdad a la potencia n tendremos: Ahora bien si es el exponente a que debemos elevar la base para obtener, por la propia definición de logaritmo tendremos: Sustituyendo la por su valor dado arriba, tendremos.. Que es la tesis 263

5 4- Cambio de base de un sistema de logaritmo. H) Sea.. En que la base es, y queremos expresar en otro sistema cuya base es. T) D) Llamemos al logaritmo en base de, y por definición de logaritmo podemos escribir. Aplicando el logaritmo en base a ambos miembros de esta ultima relación, tendremos: Pero el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. La ecuación (1) se puede escribir Despejando de la ecuación (2) tendremos: En la ecuación (3) sustituyendo la por su valor dado arriba tendremos:..que es la tesis. 264

6 ANEXO: LOGARITMO; ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. 1- La mayoría de los problemas sobre logaritmos se resuelven con los siguientes ítems: a) Con una buena comprensión del concepto de logaritmo. Si b) Con un buen manejo de las reglas básicas del algebra, especialmente - Teoría de los exponentes CAP XXX... Baldor - Radicación y Potenciación c) Conocimiento de las propiedades de los logaritmos. - Logaritmo de un producto. - Logaritmo de un cociente. - Logaritmo de una potencia. - Cambio de base d) Es importante tener siempre presente que la logaritmación es una operación aritmética como cualquiera y también sigue algunas leyes fundamentales. - Ley de uniformidad: Si aplicamos logaritmo (en una misma base) a ambos miembros de una igualdad, la igualdad subsiste. Ej.: Si fuese conveniente podríamos escribir : También podríamos hacer la operación inversa. 265

7 EJERCICIOS SOBRE LOGARITMOS. 1º GRUPO DE EJERCICIOS: Ejemplo 1: Calcular el valor de, y siendo En primer lugar la cantidad sub radical es negativa y la raíz impar de una cantidad negativa es también negativa, luego es negativa. 6 7 [ ] [ ] OBS: Si nosotros utilizamos correctamente la maquinita y calculamos convencional debemos llegar al mismo resultado. por la fórmula Si el ejercicio hubiese pedido calcular el logaritmo de, deberíamos parar en. El análisis preliminar a respecto del signo del resultado es necesario, pues no existe logaritmo de cantidades negativas. 266

8 1-) Calcular por logaritmo el valor. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA 1º GRUPO. a) ( )( ) c) b) ( ) ( ) ( ) d) [ ] 2-) Calcular el logaritmo de las siguientes expresiones. a) b) c) d) ( )( ) e) f) 3-) Decir si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas, en caso de que sea falsa expresar correctamente. a) b) c) d) e) ( ) f) g) h) i) 267

9 4-) Calcular el valor de por logaritmo neperiano. a) ( ) b) ( ) 5-) Calcular el logaritmo natural de la expresión. ( ) 6-) El ángulo del circulo inscripto en un triangulo esta dado por la fórmula ( )( )( ) En la cual Hallar cuando y 7-) La relación entre el volumen y la presión a que esta sometido un gas (a temperatura constante) esta dada por la formula. Si, hallar la presión cuando 268

10 2º GRUPO DE EJERCICIOS: Estos ejercicios tienen por finalidad ejercitar al estudiante a manosear el concepto de logaritmo, potenciación, radicación y exponentes fraccionarios y negativos. 1-) Verifique las propociciones siguientes y escríbalas de forma logarítmica con una base apropiada. a) b) c) ( ) d) e) ( ) 2-) Escriba las ecuaciones siguientes en forma exponencial y verifíquelas. a) b) ( ) c) ( ) d) ( ) 3-) Calcule los valores de las expresiones siguientes usando la definición de logaritmo. a) b) c) d) e) f) g) h) i) ( ) j) k) l) 4-) Usando y, calcule las expresiones siguientes sin usar calculadoras. a) b) c) d) e) f) 5-) Escriba cada una de las expresiones siguientes como el logaritmo de una expresión. a) b) c) d) e) f) g) 269

11 6-) Compruebe las igualdades siguientes sin usar calculadora. a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) 7-) Establecer la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Reemplace cada enunciado falso por su correspondiente proposición verdadera. a) para todo numero real. b) Dado que podemos decir que c) d) e) La función exponencial representa crecimiento exponencial si y decaimiento exponencial si f) La función representa crecimiento exponencial si y decaimiento g) exponencial si h) Si... debe ser > que 10 i) j) k) l) 8-) Siendo y Calcular 9-) Siendo ; y. Calcular: a) b) 10-) Siendo ; Calcule ( ) en función de y. Sabiendo que y 11-) Encuentre el valor de, sabiendo que: 12-) Siendo. Calcule 13-) Siendo y. Calcule 270

12 3º GRUPO DE EJERCICIOS: En este grupo de ejercicios verdaderamente estamos entrando en las ecuaciones exponenciales, aquí utilizaremos todos los artificios de los ejercicios anteriores, también utilizaremos otros artificios semejantes. Para una mejor comprensión vamos a clasificar las ecuaciones exponenciales en sub. grupos. 1º SUB GRUPO: Estas ecuaciones son muy fáciles de solucionar y se basan en el siguiente principio. TODA IGUALDAD DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE IMPLICA QUE LOS EXPONENTES TAMBIÉN SON IGUALES ( ) Entonces estas ecuaciones deben ser resueltas, primeramente igualando las bases por medio de artificios algebraicos para después igualar los exponentes. Ejemplos: a).. b) [ ].... c) ( ) ( ) ( ) ( )... Ejercicios propuestos : 1) 6) 2) 7) 3) 8) ( ) 4) 9) 5) 10) 271

13 2 SUB GRUPO: Estas ecuaciones tienen la características de que no pueden reducirse a potencias de la misma base, en este caso aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación y lo desarrollamos, teniendo presente en todo momento que el logaritmo de un número cualquiera es otro número. Ejemplos: a) b) Ejercicios propuestos : 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) ( ) 5) 10) 272

14 3º SUB GRUPO: En estos ejercicios pueden aparecer bases iguales y también diferentes, pero aparecen las operaciones de adición o substracción, lo cual nos impide aplicar logaritmo, pues el logaritmo de una suma no está definido. En estos casos debemos utilizar algunos artificios que veremos a continuación. Ejemplo 1:... Substitución provisoria { Llevando este valor en tendremos... Ejemplo 2: ( * 273

15 Ejemplo 3: { Ejemplo 4: Ejemplo 5: Ejercicios propuestos : 1-) 2-) 3-) 4-) 5-) 6-) 7-) 8-) 9-) 274

16 4º GRUPO DE EJERCICIOS: Estos ejercicios son llamados ecuaciones logarítmicas y generalmente se presentan expresiones en que ya fueron aplicados logaritmos de una misma base a ambos miembros de una igualdad. En este caso debemos hacer la operación contraria y volver a encontrar la operación original. Ejemplo 1: [ ] 2 Ejemplo 2:... Por definición de logaritmo En este ejercicio también podríamos aplicar otra técnica. Ejemplo 3: * + Ejemplo 4: * ( ) + 1º OPCION: ( ) 2º OPCION: * ( ) + OBS: Si el ejercicio viniese con logaritmo de bases diferentes, entonces aplicamos la propiedad de CAMBIO DE BASE, cuidando de elegir una base apropiada que facilite. 275

17 Ejemplo 5: En este caso la base adecuada seria el, luego tendremos: Ejemplo 6:... Ejemplo 7: Sustitución de variable.2 276

18 MISCELANEAS: 1. ( ) { 9. { { 14. ( ) Sabiendo que. Calcular sin maquinita 19. Calcular el valor de. Siendo 20. Simplificar la expresión

19 ( ) 24. ( ) { ( ) ( ) ( ) 278

20 ( ) 51. El producto de las raíces de la ecuación es: 52. ( ) 53. El valor de en el sistema abajo es: Calcular la diferencia entre la mayor y la menor de las raíces de la ecuación Aplicando la definición de logaritmo calcular el valor de las siguientes expresiones a) b) c) d) e) f) g) 279

21 56. Calcular el logaritmo de en base 57. Cual es el valor de a siendo 58. Sabiendo que el logaritmo de en base 4 es. Calcular Determinar el valor de las expresiones a) b) 61. Resolver las ecuaciones: a) [ ] b) { [ ]} c) d) e) 62. Siendo la solución de la ecuación ; Calcular 63. Siendo ; Calcular 64. Sabiendo que Calcular

22 ( ) { 73. Siendo ; ; Calcular: a) 3 b) Determine de modo que la ecuación admita dos raíces reales y diferentes. 79. Siendo ; Calcular Calcular el valor de: ( )

23 83. Sabiendo que Calcular: a) b) 84. Si y. Calcular 85. Si ( ). Calcular 86. Siendo a una de las raíces de la ecuación. Calcular 87. Las indicaciones y en la escala Ritcher de dos terremotos están relacionados por la formula ( ), donde y miden la energía liberada por los terremotos bajo la forma de ondas que se propagan por la corteza terrestre. Hubo dos terremotos: uno correspondiente a y otro correspondiente a. Calcular la razón 88. Siendo y. Calcular el valor de la expresión: 89. Siendo ; Calcular el valor de: ( * ( * ( * 90. Sabiendo que y. El valor de en la ecuación, es: 91. Si y. Expresar a en función de 92. Resolver la ecuación 93. Resolver la ecuación 94. Resolver ( ) 282

24 95. Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) f) g) ( ) ( ) h) { i) 96. Verificar si son falsas o verdaderas las afirmaciones a) b) [ ] 97. Calcular el valor de las siguientes expresiones utilizando logaritmo natural. a) b) 98. Resolver la ecuación 99. Aplicar logaritmo a las formulas a) b) 283

25 100. Desarrollar aplicando las propiedades a) [. /( ) ] b) [ ] c) ( ) 101. Expresar como un solo logaritmo a) [ ] b) c) * Calcula los logaritmos indicados a) b) c) d) e) 103. Resolver las siguientes ecuaciones a) b) c) d) e) f) g) h) 284

26 i){ j) { 104. Resuelve los siguientes ejercicios a) Si ; Hallar b) Si ; Hallar c) Dado ; Hallar d) Dado ; Hallar e) Si ; Hallar f) Si ; Hallar g) Si ; Hallar h) Si ; Hallar. i) Si ; Hallar j) Si ; Hallar 105. Calcule el valor de que satisface : 106. Al resolver ; para t en función de, se obtiene: a) ( ) b) c) d) 107. Dada la función. Hallar el valor de en función de 108. Si e verifican el sistema { Y si ; Calcular 109. Usando los valores de e,al resolver el sistema: 285

27 { En ; Calcular 110. El doble del valor de que satisface el sistema: { Es el logaritmo en base 2 de un numero ; Calcular Si e verifican el sistema { Sabiendo que ; Calcular ( ) 112. Resolver las ecuaciones: a) b) c) d) Sugestión: Hacer 113. Resolver la ecuación Siendo y 114. Resolver el sistema: Resolver las ecuaciones a) p/ b) p/ 116. Determinar dos números positivos cuya suma es igual a 25 y tales que la suma de sus logaritmos en base 10 sea igual a

28 117. La diferencia entre los logaritmos de base 2 de dos números e en este orden, es igual a 3. cual es el cociente entre e? 118. Resolver la ecuación 119. Resolver el sistema: Sean todos mayores que 1 y sea un numero positivo, tal que: ; ; Determinar 121. Determinar una raíz de la ecuación ( ) 122. Sea un numero tal que su cuadrado es y su cubo es. Dada la ecuación Demostrar que la suma de las raíces es menor que cero Siendo ; Calcular el valor de 124. Hallar las sumas de las raíces de la ecuación 125. Resolver la ecuación 126. Hallar la expresión 127. Resolver las ecuaciones: a) b) 128. Resolver: 287

29 [ ] { 129. Hallar el valor de 130. Resolver los siguientes ejercicios: a) Rta: b) Rta: { c) Si la base de un logaritmo es, Calcular sabiendo Rta: { 131. Siendo [ ][ ] Resolver la ecuación { 132. Resolver: 133. Hallar en: ( ) ( ) 134. Sabiendo que, admite raíces iguales y además se cumple: Hallar el valor numérico de Resolver las siguientes ecuaciones: 288

30 a)...rta: 2 b)...rta: 2 c)...rta: 3 d)...rta: 3 e)...rta: { f) Siendo...Rta: 136. Resolver:...Rta: 137. Resolver:...Rta: 0, Demostrar las siguientes proposiciones: a) b) c) d) e) OBSERVACION: *El logaritmo de 0 (cero) es *La base del sistema de logaritmo natural, neperiano o hiperbólico es el numero e. ( ) ( * 139. Resolver Resolver:... Rta: 141. Demostrar que: 289

31 142. Si Demostrar: 143. Si Probar que son lados de un triangulo rectángulo de hipotenusa a Dada la ecuación cuyas raíces sean y. Demostrar: 145. Sabiendo que ( ( )* Probar que: 146. Si...; demostrar que: [ ] 147. Siendo ( ) ; demostrar que ( ) 148. Siendo [ ] ( ) Demostrar que a y b son lados de un triangulo a los cuales se oponen los ángulos y Demostrar que representan términos de una progresión geométrica y se verifica la siguiente igualdad:, además se sabe que y son términos de una progresión aritmética A partir de la expresión ( ) Demostrar que... siendo e la base de los logaritmos naturales Sabiendo que Demostrar que 152. Sabiendo que ( ) Demostrar que

32 153. Demostrar que si (hipotenusa); y (catetos) son los lados de un triangulo rectángulo; se verifica: 154. Hallar el valor de ; sabiendo que ; y se cumple