TEMA 5: LA INTEGRAL DEFINIDA

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1 Alonso Fernández Galián TEMA 5: LA INTEGRAL DEFINIDA Originalmente el Cálculo Diferencial e Integral estaba fuertemente vinculado a la geometría analítica. Ya vimos la aplicación de las derivadas al cálculo de rectas tangentes, estudiemos ahora las aplicaciones geométricas de las integrales. Motivación: Cálculo de áreas. Sea f una función continua y positiva. Supongamos que deseamos calcular el área encerrada por la gráfica de f en el intervalo [a, b]. Tratemos de aproximar el área. Para ello, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud h, con h = (b a)/n. con: x = a x = x + h x = x + h x = x + h x = b [x, x ], [x, x ], [x, x ],, [x, x ], En cada subintervalo [x, x ], el área bajo la gráfica de la función está comprendida entre las áreas de los rectángulos de menor y mayor altura: donde: m h Área M h, m = valor mínimo de f en el intervalo [x, x ]. M = valor máximo de f en el intervalo [x, x ]. Tendremos por tanto: m h Área M h Y las aproximaciones darán el valor exacto del área en el límite cuando n. lim m h = Área = lim M h Definición de integral definida. Sea f una función continua (no necesariamente positiva). Se define la integral definida de f en el intervalo [a, b] al valor f(x)dx dado por: f(x) dx a y b se denominan límites de integración. = lim m h = lim M h Interpretación geométrica. Según lo anterior, cuando f es positiva la integral definida es igual al área encerrada por la función en el intervalo [a, b]. En general, los valores m y M serán positivos o negativos dependiendo de si f lo es, por lo que la integral definida de f será igual a la diferencia entre el área encerrada por la parte positiva de f y el área encerrada por su parte negativa

2 Matemáticas II 5.1 CÁLCULO E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Veamos en primer lugar cómo se calcula la integral definida. La regla de Barrow: Sea f un función continua en un intervalo [a, b], y sea F una primitiva suya. La integral definida de f en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia F(b) F(a): f(x) dx Así, para calcular la integral definida de una función: = [F(x)] = F(b) F(a) -Se integra la función (puede tomarse la constante de integración igual a 0). -Se evalúa la función obtenida en los extremos y se resta. (en el anexo puede leerse la demostración de la regla de Barrow) Ejemplo: Calcula la integral definida de f(x) = x + 2 en el intervalo [1,3]. (x + 2)dx = x 3 + 2x = = = INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA Interpretación geométrica de la integral definida Dada una función continua f definida en un intervalo [a, b], consideremos la región o regiones del plano delimitadas por la gráfica de la función f, por el eje de abscisas y por las rectas horizontales x = a y x = b. La integral definida f(x)dx es igual a la diferencia entre el área que queda por encima del eje x y el que queda por debajo de dicho eje. f(x)dx En particular: área sobre bajo = área el eje x el eje x I. Si la función f es positiva, la integral f(x)dx es positiva, y es igual al área encerrada por la función y por el eje x en el intervalo [a, b]. Ejemplo: Calcula la integral definida de la función f(x) = x en el intervalo [1,4] e interpreta gráficamente el resultado: La función es positiva, por lo que la integral será positiva: x dx = 2 x 3 = = 14 3 Por tanto, se deduce que el área encerrada por la gráfica de la función, el eje x (y = 0) y las rectas x = 1 y x = 4 es 14/3 4,67 u.s [ ]

3 Tema 5: La integral definida [ ] II. Si la función f es negativa, la integral f(x)dx es negativa, y su valor absoluto es igual al área encerrada por la función y por el eje x en el intervalo [a, b]. Ejemplo: Calcula la integral definida de f(x) = x/2 en el intervalo [2,4] e interpreta gráficamente el resultado: La función es negativa en el intervalo [2,4], por lo que la integral será negativa: x 2 dx = x 4 = = = 3 4 Para calcular el área encerrada por la función y el eje de abscisas en el intervalo [2, 4] debemos cambiar de signo el resultado de la integral. Por tanto, A = 3 u. s. Propiedades de la integral definida. A partir de la interpretación geométrica de la integral definida, se observa que: 1. Para cualquier c [a, b], se cumple: f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx 2. Si los límites de integración son iguales, la integral definida es nula: f(x)dx = 0 Nota: A partir de estas dos propiedades se deduce que debe ser f(x)dx = f(x)dx

4 Matemáticas II 5.2 CÁLCULO DE ÁREAS Veamos varios ejemplos de cómo utilizar la integral definida para calcular áreas. Ejemplo: Calcula el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = 4 x y el eje de abscisas. Los puntos de corte de la gráfica con el eje de abscisas son: f(x) = 0 4 x = 0 x = ±2 Como la función queda sobre el eje de abscisas entre estos puntos, el área es: A = (4 x ) dx = 4x x 3 = = ,67 u. s. Ejemplo: Calcula el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 4x + 3 y el eje de abscisas. Los puntos de corte de la gráfica con el eje de abscisas son: f(x) = 0 x 4x + 3 = 0 x = 1, x = 3 Como la función queda bajo el eje de abscisas entre estos puntos, para calcular el área hay que cambiar de signo al resultado de la integral: (x 4x + 3) dx = x 3 2x + 3x =... = 4 3 A = 4 1,33 u. s. 3 Ejemplo: Calcula el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 2x x + 2 y el eje de abscisas. Puntos de corte con el eje de abscisas: f(x) = 0 x 2x x + 2 = 0 x = 1, x = 1, x = 2 [ ] - 4 -

5 Tema 5: La integral definida [ ] Calculamos por separado el área en el intervalo [ 1, 1], donde la función es positiva, y en el intervalo [1, 2], donde la función es negativa. A = (x 2x x + 2) dx A = (x 2x x + 2) dx El área pedida es, por tanto: = x 4 2x 3 x 2 + 2x = 8 u. s. 3 = x 4 2x 3 x 2 + 2x = 5 12 = 5 u. s. 12 A = A + A = = 37 3,08 u. s. 12 Ejemplo: Calcula el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = ln(x + 3) y los ejes de coordenadas. Puntos de corte con el eje de abscisas: Gráfica: f(x) = 0 ln(x + 3) = 0 x + 3 = e = 1 x = 2 El área pedida es igual a la integral definida de la función f(x) = ln(x + 3) en el intervalo [ 2, 0]. A = ln(x + 3) dx u = ln(x + 3) du = ln(x + 3) dx = dv = dx v = x = (x + 3) ln(x + 3) x = 3 ln 3 2 1,30 u. s. Nota: La primitiva de la función se calcula integrando por partes: = = = x ln(x + 3) x + 3 ln(x + 3) + C = (x + 3) ln(x + 3) x + C

6 Matemáticas II Área encerrada por la gráfica de dos funciones. El área encerrada por dos funciones entre dos puntos de intersección consecutivos es igual a a la integral definida de f g, donde f es la función que queda por encima, f g. (Es indiferente si las funciones son positivas o negativas). Ejemplo: Calcula el área encerrada por las gráficas de las funciones f(x) = 3x 2 y g(x) = x. Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones: Gráfica: f(x) = g(x) 3x 2 = x 2x = 2 x = ±1 El área pedida es igual a la integral (g f)dx. A = (x 3x + 2) dx = ( 2x + 2) dx = 2x 3 + 2x = 8 2,67 u. s. 3 Nota: Si en lugar de calcular la integral de g f hubiéramos calculado la integral de f g el resultado habría sido negativo, puesto que la gráfica de g está por encima de la gráfica de f, con lo que habríamos tenido que cambiar de signo al resultado. Si las gráficas de las funciones se cortan en más de dos puntos, se deben calcular por separado las áreas en cada intervalo: A = A + A - 6 -

7 Tema 5: La integral definida ANEXO: EL TFC Y LA DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE BARROW En este anexo vamos a enunciar uno de los teoremas más importantes de toda la matemática: el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), y a utilizarlo para ver la demostración clásica de la Regla de Barrow. Nota: Recordemos que integral definida de f en el intervalo [a, b] se define mediante sumas infinitas, y que es igual al área encerrada por la función f en el intervalo [a, b]. A partir de este hecho queremos demostrar la regla de Barrow, que nos permitirá calcular integrales definidas de manera práctica. Cambio en el nombre de la variable. La integral definida de f es un número y no depende, por tanto, del nombre que demos a la variable independiente. Así, para evitar confusiones futuras, vamos a sustituir la variable x por otra variable t. Integral definida de f f(t) dt La función integral. Si al considerar la integral definida de f fijamos el extremo inicial, a, pero dejamos el extremo final variable, x, obtendremos una función de este último valor: I(x) = f(t) dt Llamaremos función integral a esta función. Para distintos valores de x se obtienen los valores de la integral definida de f en intervalos de la forma [a, x] f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = El siguiente resultado nos muestra cuál es la derivada de la función integral. Aunque su demostración rigurosa requiere algunos detalles técnicos en los que no vamos a entrar, sí es interesante ver la idea en la que se basa. El teorema fundamental del Cálculo. Dada una función continua f, la función integral I(x) = f(t)dt es una primitiva suya. Es decir: I (x) = f(x) Demostración: Aplicamos la definición de derivada: I I(x + h) I(x) (x) = lim = lim h f(t)dt f(t)dt h

8 Matemáticas II Según las propiedades de la integral definida, se cumple que f(t)dt f(t)dt = f(t)dt (es decir, si al área entre a y x + h le restamos el área entre a y x, nos queda el área entre x y x + h). Así: I (x) = lim f(t)dt h Ahora debemos observar que si h es una cantidad pequeña, el área encerrada por f en el intervalo [x, x + h] es aproximadamente igual a h f(x). Es decir: f(t)dt h f(x), y la aproximación será mejor cuánto más pequeño sea h. Por tanto: I (x) = lim f(t)dt h h f(x) = lim = f(x) h Ya estamos en condiciones de demostrar la regla de Barrow. Demostración de la regla de Barrow. Queremos demostrar que f(t)dt = F(b) F(a), siendo F una primitiva de f. Para ello, partimos del teorema Fundamental del Cálculo, que afirma que la función integral, I, es una primitiva de f. Como dos primitivas de una función difieren en una constante, cualquier otra primitiva F será de la forma: Ahora, observemos que: F(a) = f(t)dt F(b) = f(t)dt Restando: F(x) = I(x) + C = f(t)dt + C = 0 + C = C + C que es lo que queríamos demostrar. F(b) F(a) = f(t)dt + C + C C = f(t)dt Nota: A partir del teorema fundamental del cálculo y del teorema de Lagrange se deduce también el teorema de la media: f(t)dt = f(c) (b a), para algún c (a, b) Que afirma que el área encerrada por la función en el intervalo [a, b] coincide con el área del rectángulo de altura f(c) para algún valor de c (a, b)

9 Tema 5: La integral definida EJERCICIOS DEL TEMA 5 La regla de Barrow. Interpretación gráfica de la regla de Barrow 1. Calcula: 2. Calcula: 3. Calcula: x 2 dx ( 4x 1) dx 1 ( x e 3) 0 x dx Calcula 4 x dx e interpreta el resultado geométricamente a partir de la gráfica de la función f ( x) 4x. 5. Considera la función f ( x) x. Calcula las siguientes integrales e interpreta geométricamente el resultado en cada caso: (a) 0 3 f ( x) dx (b) f ( x) dx (c) x dx f ( ) 2 Cálculo del área encerrada por la gráfica de una función 2 6. Calcula el área encerrada por la gráfica de f ( x) x x 2 y el eje de abscisas. 7. Calcula el área encerrada por la gráfica de 2 1 y el eje de abscisas. f ( x) x Calcula el área encerrada por la gráfica de f ( x) x 4x 3x y el eje de abscisas. 9. Calcula el área encerrada por la gráfica de f ( x) x 3 x y el eje de abscisas. 10. Calcula el área encerrada por la gráfica de f ( x) e x 3 y los ejes de coordenadas. Cálculo del área encerrada por la gráfica de dos funciones 11. Calcula el área encerrada por las gráficas de f ( x) x y de g ( x) x Dadas las funciones siguientes funciones: 1 f ( x) y x x g( x), 2 se pide: (a) Esboza sus gráficas y sombrea el recinto encerrado entre ellas. (b) Calcula el área de dicho recinto.

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