Coordinación de Matemática II (MAT022)

Transcripción

1 Coordinción de Mtemátic II (MAT) Primer semestre de 3 Semn : Lunes de Junio Viernes 4 de Junio CÁLCULO Contenidos Clse : Método de ls cs cilíndrics. Clse : Áres de suerficies de revolución. CLASE.. Método de ls cs cilíndrics. Ahor utilizremos un roximción diferente del volumen medinte cilindros. Suong que un región es cotd or el gráfico de un función ositiv y = f (x) y el eje X sobre un intervlo finito [,b], est región est l derech de l rect x = L (suongmos que L) de est form l región uede tocr l rect ero no s gtrvés de ell. Genermos un sólido de revolución rotndo tl región lrededor de l rect.

2 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic Se P = {x,x,...,x n } un rtición del intervlo [,b] y se c k el unto medio del intervlo [x k,x k ]. Aroximremos l regió medinte rectángulos con bses en est rtición. El rectángulo de ltur f (c k ) y bse x k x k rot entorno l rect X = L, generndo un c cilíndric con volumen el volumen es roximdmente V k = (x k L) f (c k ) (x k L) f (c k ) = f (c k )(x k + x k L)(x k x k ) = (c k L) f (c k ) x k nx nx V V k = (c k L) f (c k ) x k si l norm de l rtición tiende cero obtenemos V = (x L) f (x )dx vmos resumir l fórmul ero oniendo énfsis en su obtención. Proosición.. El volumen del sólido generdo or l rotción de un región ln definid entre x = yx= b lrededor de un rect x = L que no s trvés de l región est dd or V = Ç Rdio de l c cilíndric en x åç ltur de l c cilíndric en x å dx Observción.. Est fórmul es más generl y ermite or ejemlo considerr el cso en que l ltur del rectángulo es limitd or l gráfic de dos funciones. Ejemlo.. L región cotd or l curv y = x, el eje X, y l rect x = 4 gir lrededor del eje y r generr un sólido. Encuentre su volumen. Primero relizmos un gráfico de l región. En un unto de coordend x trzmos un segmento rlelo l eje de rotción, clculmos l ltur y l distnci l eje de rotción. Se sigue que los límites de integrción son x = yx = 4 luego V = = Z 4 = 8 5 Ç Rdio de l c cilíndric en x x Ä x ä dx åç ltur de l c cilíndric en x å dx MAT (Cálculo)

3 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic Ejemlo.. L región cotd or l curv y = x el eje x y l rect x = 4 gir entorno l eje x r generr un sólido. Encontrr el volumen. Dibujmos l región y trzmos un segmento rlelo l eje de revolución en un unto x del interior del intervlo clculmos l distnci l eje de rotción y l ltur del segmento. En este cso l vrible es y y los límites de integrción son = yb = se sigue que el volumen del sólido es V = = Z = 8 Ç Rdio de l c cilíndric en y y Ä 4 y ä dy åç ltur de l c cilíndric en y å dy Ejemlo.3. Determinr el volumen del sólido de revolución obtenido l rotr l región limitd or y = x +, y = x +3 lrededor de l rect x = 3. Alicmos el método de ls cs cilíndrics, buscmos los untos de intersección de ls gráfics x + = x + 3 tiene soluciones x = y x = esbozmos un gráfic: Alicmos l fórmul r volúmenes or cs cilíndrics V = V = Z V = 45 Ç Rdio de l c cilíndric en x (3 x) Ä x + 3 Ä x + ää dx åç ltur de l c cilíndric en x å dx CLASE. Áres de suerficies de revolución Un suerficie de revolución es generd cundo un curv ln gir lrededor de un rect colnr. En est sección definiremos el áre de tles suerficies y ls clculremos en vrios csos eseciles. El áre de un suerficie generl es desrrolldo en curso de vris vribles ero se uede mostrr que ls suerficies de revolución son un cso rticulr de ese desrrollo generl. Se C un curv en R dd rmétricmente or x (t ),y (t ),t [,b] y se L un rect en R dd or l ecución x + by + c =. Primero nlicemos el cso esecil en que l curv es un rect que une los untos P = x,y y P = x,y, de est form odemos rmetrizr C or x (t ) = (x x )t + x y (t ) = y y t + y con t [,]. Vmos sumir que l rect L no cort el segmento. Sen d y d ls distncis de P y P L resectivmente y se l longitud del segmento P P. Mostrremos que el áre de l suerficie generd or l rotción de P P entorno MAT (Cálculo) 3

4 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic L es igul (d + d ) rimero notemos que si P P? L entonces = d d y entonces el áre de este disco es d d = (d + d ) si P P k L entonces d = d = d y l suerficie de revolución es un cilindro de rdio d y longitud cilindro obtenemos un rectángulo de ldos d y se sigue que el áre de l suerficie es d + d d = = (d + d ) si cortmos este Ahor el cso más comlicdo: Suongmos que no se cumle P P? L,P P k L entonces l suerficie es un cono truncdo con rdios d y d resectivmente y ltur. Pr encontrr el áre de este cono truncdo vmos obtener el áre suerficil de un cono de ldo l y rdio de bse notemos que se cumle y el áre será l = l = l Ahor r encontrr el áre del cono truncdo vmos restr dos conos uno de longitud del ldo l y l más lrgo l entonces el áre suerficil es l d l d = (l d l d + l d l d ) = (d + d )(l l ) = (d + d ) MAT (Cálculo) 4

5 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic Ahor consideremos el cso generl de un curv definid rmétricmente or x (t ),y (t ) r t [,b]. Se P ={t,t,...,t n } un rtición de [,b]. Relizremos un roximción de l suerficie de revolución considerndo en lugr de l curv x (t ),y (t ) r t [t i,t i ] considerremos el segmento P i P i donde P i = x (t i ),y (t i ) r i =,,...,n. entonces l sum de ls áres de ests roximciones es S n = nx (d i + d i ) i donde d i es l distnci desde P i L y i es l longitud del segmento P i P i. Note que r cd i tenemos i = d i = x(t i ) + by (t i ) + c + b y i = (x (t i ) x (t i )) + y (t i ) y (t i ) si ls funciones son derivbles odemos licr el teorem del vlor medio r encontrr untos s i,u i ]t i que i = (x (t i ) x (t i )) + y (t i ) y (t i ) = (x (s i )) + y (u i ) t i,t i [ tles entonces ls sums P n i = d i i y P n i = d i i ueden considerrse como roximciones de l integrl x(t ) + by (t ) + c + b (x (t )) + y (t ) dt ests considerciones nos llevn l siguiente definición de áre de suerficie de revolución: Definición.. Se C un curv suve dd or x (t ),y (t ),t [,b]. Considere un rect L : x + by + c = que no cort l curv C. Pr t [,b] consideremos l distnci desde el unto x (t ),y (t ) l rect L y ongmos (t ) = x(t ) + by (t ) + c + b entonces el áre de l suerficie de revolución obtenid l rotr l curv C entorno l rect L es dd or A (S) = (t ) (x (t )) + y (t ) dt MAT (Cálculo) 5

6 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic. Csos rticulres imortntes:. Si considermos el gráfico de l función y = f (x) con x [,b] y l rotción es entorno l eje x entonces el áre de suerficie de revolución es dd or A (S) = f (x) + f (x) dx. Si un curv C es dd en coordends olres or r = ( ) con, y L es un rect que rte desde el origen dd or = que no cort C entonces el áre de l suerficie de revolución es dd or Z A (S) = ( )sin ( ) + ( ) d donde l distnci desde el unto ( )cos( ), ( )sin( ) l rect es dd or ( )sin r,. Ejemlo.. Considere el segmento de l rect (x/ ) + y /h del cono l rotr entorno l eje y es dd or como er de eserr. A (S) = = Z h Å + h h = + h = r x [, ] donde,h >, Entonces l suerficie ã r Å ã y + dy h h h h Ejemlo.. Considere el elisoide S obtenido l rotr l elise x / + y /b = entorno l eje x. Considermos l curv y = b x con x [, ] entonces el áre es dd or A (S) = = b Z b Z x r + r + b x dx b x x dx MAT (Cálculo) 6

7 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic si < b entonces ongmos c = b / y sí A (S) = b = 4 b c Z Z c r Å ã cx + dx + t dt = b ï c c en cmbio si > b entonces onemos c = b / y l integrl es b = 4 b c = b c Å ãò + c + ln c + + c Z Z c r Å ã cx dx t dt Å ã c c + rcsinc Ejemlo.3. Considere el toro S obtenido l rotr l circunferenci (x ) + y = b con < b < entorno l eje y. Pr encontrr el áre de l suerficie usmos l rmetrizción de l circunferenci dd or x (t ) = +b cost,y (t ) = b sint con t [, ] se sigue A (S) = = b Z Z = 4 b ( + b cost ) ( b sint ) + (b cost ) dt ( + b cost )dt Ejercicio.. Clculr el áre obtenid l rotr un rco de l cicloide x = (t sint ) y = ( cost ) lrededor de l tngente l curv en su unto más lto. Res.: A (S) = Z = 3 3 y» dx dt dy + dt dt Ejercicio.. Encontrr l áre de l suerficie de revolución obtenid l rotr l gráfic de y = x r x [,] entorno l rect x + y =. MAT (Cálculo) 7

8 Coordinción de Mtemátic II (MAT) Primer semestre de 3 Semn : Lunes de Junio Viernes 4 de Junio COMPLEMENTO Contenidos Clse : Criterio de l integrl. Criterio de comrción y comrción l límite. Clse : Criterio del cuociente y l ríz.. CLASE. Series de términos ositivos. Recordemos que l convergenci o divergenci de un serie deende de l sucesión de sums rciles. Definición.. Si k r todo k N decimos que l serie P k es un serie de términos ositivos. Se P k un serie de términos ositivos. En este cso, l sucesión de sums rciles S n cumle con S n+ S n = n+. Luego, r cd n N, vle que S n+ S n, es decir, {S n } es un sucesión creciente. Este tio de sucesiones convergen si y solo si están cotds or rrib. Por lo tnto el nálisis de convergenci se trnsform en mostrr que l sucesión de sums rciles es cotd or rrib. X Teorem.. Se { k } un sucesión de términos ositivos. Entonces, l serie k converge si y solo si l sucesión de sums rciles nx S n = k

9 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic es cotd. En tl cso X k = su{s n : n N} Ejemlo.. L serie Ç å X k + k es convergente. En efecto, 3 k + k De est mner, obtenemos que k + k 3 k + k le k + k k le. 3 k 3 Ç å nx k + k nx k X k S n = le le = 4. 3 k + k 3 3 Luego, l sucesión de sums rciles est cotd y l serie converge.. Criterios de convergenci r series de términos ositivos A continución, enunciremos lgunos criterios que exlotn est ide de cotmiento r mostrr l convergenci de series de términos ositivos... Criterio de l integrl Teorem. (Criterio de l integrl). Se f : [,+[! R + un función continu ( vlores ositivos) y decreciente en [, +[. Si tommos k = f (k ) r k N, entonces X converge si y solo si Z Demosrción. Notemos que De lo nterior obtenemos que Así, f (x)d x converge. k = f (k ) le f (x ) le f (k ) = k, r x [k,k ]. k le nx k le k = Z n Z k k De lo nterior odemos obtener l desiguldd k f (x)dx le k, r k. Xn f (x)dx le k, r cd n. S n Z n le f (x)dx le S n. MAT (Comlemento)

10 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic. Si R + f (x)dx < (es decir, l integrl imroi converge), entonces S n es cotd y luego l serie converge.. Si R + f (x )dx diverge, entonces de l desiguldd Z n f (x)dx le S n obtenemos que l serie es divergente. Observción.. L integrl y l serie no necesrimente convergen l mismo vlor. Ejercicio.. Verificr que l serie converge si y solo si >. En rticulr diverge. k k Ejemlo.. L serie es divergente. k = n lnn.. Criterio de comrción direct Teorem.3 (Criterio de comrción direct). Sen { k } y {b k } sucesiones de términos ositivos tles que le k le b k, r cd k k. P. Si k diverge, entonces P b k diverge.. Si P b k converge, entonces P k converge. Ejercicio.. Anlizr l convergenci de ls siguientes series:.. 3. n + 3n n + n + lnn MAT (Comlemento) 3

11 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic n 3 + 3n + 4 X 3sen n n!..3 Criterio de comrción l límite Teorem.4 (Criterio de comrción l límite). Sen { k } y {b k } sucesiones de números ositivos tles que k lim = L >. k! b k Entonces X k converge si y solo si X b k converge. Ejemlo.3. Anlizr l convergenci o divergenci de ls siguientes series:.. 3. X 3n 3 5n n 6 + 4n 3 n 3 + X rctn n CLASE Los criterios de comrción direct y comrción l límite utilizn l convergenci o divergenci de un serie uxilir r oder tener informción sobre l convergenci o divergenci de l serie dd. Ahor mostrremos dos criterios que utilizn el comortmiento de l mism serie r nlizr su convergenci o divergenci.. Criterio del cociente Teorem. (Criterio del cociente). Se {x n } nn un sucesión de números reles no nulos tles que lim n! x n+ x n = r entonces:. Si le r <, entonces P x n y P x n convergen.. Si r >, entonces P x n y P x n divergen. 3. Si r =, entonces el criterio no entreg informción. Demostrción. MAT (Comlemento) 4

12 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic. Si le r <, entonces r < R = Ä ä r + <. Como lim n! x n+ x n = r, existe un N N tl que r n N vle que x n+ x n le R. De est form, r n N, vle que x n+ R le x n n+ R. n Luego, n = x n es un sucesión decreciente. Así, r n N R n De lo nterior obtenemos, r n N, que x n R n n le N. le N, es decir, x n le N R n. Por el criterio de comrción obtenemos que converge y sí que tmbién converge. X x n n=n X x n Podemos notr que x n x n le x n y x n + x n de donde odemos ver que ls series de términos ositivos siguientes X xn convergen or comrción direct con l serie P x n. Notndo que xn x n x n = odemos ver que l serie es convergente. x n, le x n X xn + x n X xn + x n x n = xn + x n, X xn. Si r >, entonces siguiendo de mner similr l cso nterior, no es dificil mostrr el limite del termino generl no uede ser cero y or tnto mbs series son divergentes. x n MAT (Comlemento) 5

13 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic 3. Cundo r = el criterio no entreg informción, como lo muestrn ls siguientes series: n es divergente y es convergente, n donde en mbs tenemos r =. Ejercicio.. Anlizr l convergenci o divergenci de ls siguientes series X ( ) n n! X ( ) n n 5 3 n+ X n! n n X n! 5 n. Criterio de l ríz Teorem. (Criterio de l ríz). Se {x n } nn un sucesión de números reles tles que entonces: n lim x n = r n!. Si le r <, entonces P x n y P x n convergen.. Si r >, entonces P x n y P x n divergen. 3. Si r =, entonces el criterio no entreg informción. Observción.. L demostrción es similr l hech r el criterio del cociente. Ejercicio.. Decidir si ls siguientes series son o no convergentes.. (ln(n)) n n=3 X Å n n + ã n MAT (Comlemento) 6

14 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Dertmento de Mtemátic 3. X ln(n) n Los criterios nteriores ermiten obtener conclusiones incluso en csos en que l serie no es de términos ositivos Ejercicio.3. Pr que vlores x R es convergente l serie X x n + x n n MAT (Comlemento) 7