5. Aplicación de la Integral de Riemann

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1 Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción de l Integrl de Riemnn 5.1. Cálculo de Ares Se f un función no negtiv sobre [,b] regiones del tipo: R = {(x,y) x [,b],y [,f(x)]}., queremos definir el áre de ls Recordmos que ls condiciones básic de l definición de áre son: (i) E F áre(e) áre(f) (ii) Si áre(e F) = entonces áre(e F) =áre(e)+áre(f) (iii) Si E es un región rectngulr de ldos y b entonces áre(e) = b. Si designmos el áre de l región R por A b (f), entonces ls propieddes nte- A riores se trducen en que (i) f(x) g(x) x [,b] A b (f) A b (g) (ii) A b (f) = A c (f) + A b c(f), (iii) A b (c) = c(b ) c [,b] Probremos continución que si f es un función Riemnn integrble, entonces l únic definición posible de áre de l región R es l dd por l Integrl de Riemnn. En efecto, si P = {x,...,x n } es un prtición culquier de [,b], entonces por l propiedd ii) se cumple que A b (f) = n i=1 A xi x i 1 (f), usndo demás i) y iii), cd áre dentro de l sumtori se puede cotr m i (f)(x i x i 1 ) A xi x i 1 (f) M i (f)(x i x i 1 ). Luego, sumndo de i = 1 hst n se obtiene que el áre de l región R debe est cotd entre: s(f,p) A b (f) S(f,P). Como est desiguldd es ciert P, debe cumplirse necesrimente que f A b (f) Por lo tnto si l función f es integrble entre y b, pr que el concepto de áre stisfg ls propieddes i), ii), iii), l únic definición posible es: áre(r) = A b (f) = f. f áre(e) b (f) 12

2 Áre de regiones definid por funciones no positivs Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Si f es un función definid en [,b] con vlores negtivos, entonces el áre de l región R encerrd sobre su gráfico, y debjo del eje de ls x se puede clculr fácilmente como el áre bjo l curv y = f(x). Luego se tendrá que el áre es áre(r) = ( f) = En generl si f es un función que cmbi de signo en [,b] un número finito de veces y R es l región comprendid entre el gráfico de f (por sobre o bjo, según correspond) y el eje OX, entonces el áre de l región R se podrá clculr como A b (R) = f f. Ejemplo 5.1. Cálculo de áre encerrd por l curv y = sen x entre y 2π. Usndo ls fórmuls nteriores se tiene que A 2π (sen x) = = 2π π sen x dx sen xdx 2π π sen xdx = ( cos x) π + (cos x) 2π π = (1 + 1) + (1 + 1) = 4. Nótese que de usr solmente l fórmul 2π sen xdx en el cálculo del áre se obtendrí el resultdo cero. Lo cul signific que l prte positiv y l negtiv de l función encierrn ls misms áres (y por eso l nulción) pero no que el áre buscd vlg cero. Ejemplo 5.2. Clculr el áre encerrd entre ls curvs y 2 = x e y = 1 2 (x 3). Ests dos curvs se cortn en l solución del sistem { 2y = x 3 x = y 2 Este sistem se resuelve fácilmente reemplzndo l segund ecución en l primer, obteniéndose sí l cudrátic y 2 2y 3 = cuys ríces son y = 1 e y = 3. Por lo tnto los puntos de intersección de l prábol y l rect son P(1, 1) y Q(9,3). 13

3 El áre encerrd por ests dos curvs es Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile donde y Es decir el áre es A = (f(x) g(x))dx f(x) = x { x si x 1 g(x) = 1 2 (x 3) si 1 x 9. A = = = 2 x3/2 3/2 [ x ( x)]dx + 9 xdx + ( x x )dx 1 = ( ( x3/2 3/2 x x) 1 { } x 1 (x 3) dx ) ( ) = ( ) 1 ( ) 12 = = ( ) = = Otr Form: No siempre es necesrio integrr lo lrgo del eje OX. En lgunos csos, como este, puede ser conveniente integrr lo lrgo del eje OY, de l siguiente form A = ymx y min donde x 2 (y) = 2y + 3 y x 1 (y) = y 2 De este modo, (x 2 (y) x 1 (y))dy 14

4 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile A = 3 1 (2y + 3 y 2 )dy = (y 2 + 3y y3 3 ) 3 1 = ( ) ( ) = = =

5 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Ejercicio Ejercicio 5.1: 1. Probr que el áre de un elipse de semi ejes y b es πb. 2. Clculr el áre de un sector circulr de rdio R y ángulo interno α (R. A = R2 α 2 ). 3. Concluir que pr un circunferenci, A = πr Volúmenes de Sólidos Consideremos un sólido en el espcio. Nos interes clculr el Volumen V de dicho sólido. Pr esto se trz un eje en el espcio, en un dirección conveniente, de modo que pr cd posición x en dicho eje, se conozc el vlor del áre de l sección perpendiculr del sólido dicho eje. Denotemos por OX este eje y por A(x) l áre de l sección perpendiculr l eje X del sólido. Supongmos que el sólido se encuentr comprendido entre los plnos x = y x = b. Probremos que si l función A(x) es integrble en [,b], entonces el volumen del sólido es A(x)dx. En efecto, se P = {x,...,x n } un prtición rbitrri de [,b]. Aceptemos que el concepto de volumen stisfce ls condiciones siguientes (nálogs ls del áre). Volumen (i) A B V (A) V (B) (ii) V (A B) = V (A B) = V (A) + V (B) (iii) Si A es un cilindro recto de bse B y ltur h, entonces V (A) = B h En l últim propiedd entendemos por cilindro todo conjunto en el espcio cuy bse es un conjunto plno (no necesrimente un círculo). Incluso es posible gregr conjuntos donde l sección trnsversl un dirección dd es constnte. Sen C i l prte del sólido entre x i 1 y x i, C i el cilindro de bse m i (A) y ltur (x i x i 1 ), y por último, C i el cilindro de bse M i (A) y ltur (x i x i 1 ). Con esto, clrmente: C i C i C i y por lo tnto, luego: V (C i ) V (C i ) V (C i ), m i (A)(x i x i 1 ) V (C i ) M i (A)(x i x i 1 ). Sumndo est desiguldd desde i = 1 hst i = n se obtiene que s(a,p) V (C) S(A,P), 16

6 luego, si l función A(x) es cotd se tendrá que A V (C) A, Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile de donde, si demás A(x) es un función integrble, result nturl definir: V (C) = A(x)dx Ejemplo 5.3. Clculr el Volumen de un elipsoide de ecución x y2 b 2 + z2 c 2 1. Aquí conviene usr como eje propido l propio eje OX. De este modo, ddo un punto x, l intersección del elipsoide con el plno x = x son los pres ordendos (y,z) 2 que stisfcen V (C) x y2 b 2 + z2 c 2 1. Est ecución posee solución no vcí sólo si x, es decir, el sólido se encuentr comprendido entre los plnos x = y x =. En el cso en que x (,) se puede escribir y 2 ( b 1 ( x ) 2) 2 + y 2 b 2 + z2 c 2 1 (x )2 z 2 ( c 1 ( x ) 2) 2 1., es decir, Esto indic que l región trnsversl es un elipse de semi ejes b 1 ( x )2 y c 1 ( x )2 por lo tnto su áre trnsversl vle A(x ) = πbc(1 x2 2 ). Clrmente pr x = ± l sección trnsversl es sólo un punto, cuy áre es nul. Luego l fórmul nterior es vlid pr todo x. Con esto el cálculo del volumen del elipsoide se obtiene integrndo del modo siguiente V = = πbc 2 A(x)dx ( 2 x 2 )dx = 2 πbc 2 (2 x x3 3 ) = 2πbc 2 (3 3 3 ) = 4 3 πbc. 17

7 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Clrmente en el cso prticulr de un esfer ( = b = c = R) se obtiene l fórmul V = 4 3 πr Volumen de un sólido de revolución Un sólido de revolución es l figur geométric que se obtiene por l rotción de un áre pln en torno un eje fijo. Dos csos prticulres se destcn y corresponden los siguientes: 1. Rotción de l región: R = {(x,y) 2 ; x b; y f(x)} en torno l eje X. Este cso corresponde un cso prticulr de los sólidos donde se conoce el áre trnsversl un dirección dd. En efecto ls secciones trnsversles l eje de rotción son círculos de rdio f(x). Por est rzón, su volumen se clcul como V = A(x)dx = π (f(x)) 2 dx. 2. Rotción de l mism región en torno l eje OY (bjo el supuesto que < < b). En este cso no es difícil probr que el volumen de dicho sólido se puede clculr medinte l integrl xf(x)dx Ejemplo 5.4. Clculr el volumen del sólido generdo por l rotción en torno l eje OY de l región limitd por ls curvs y = (x 2) 2, y = y x = 5. Método de l cáscr, Método del disco Solución 1: Método de l cáscr Como se trt de un región obtenid por rotción en torno eje OY, podemos usr l fórmul xf(x)dx con = 2, b = 5. De este modo tenemos que: 5 2 (x 2) 2 xdx Pr el cálculo un posibilidd es desrrollr el cudrdo e integrr. Otr, l usd quí, es hcer un cmbio de vrible de modo que el cudrdo quede sobre un monomio y no un binomio (est técnic se dpt bien cundo el exponente sobre el binomio es grnde). Es decir pongmos u = x 2 con lo 18

8 cul du = dx y l integrl qued = 2π 3 3 u 2 (u + 2)du (u 3 + 2u 2 )du = 2π ( u u3 3 ) = 2π 27( ) = 2 27 (9 + 8)π 12 = 27 6 Solución 2: Método del disco 3 17π = π = π. Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Intercmbindo los roles de x e y, este sólido se puede interpretr como un rotción en torno l eje de integrción de un región comprendid entre dos funciones. De este modo l fórmul V = A(x)dx = π (f(x)) 2 dx puede ser reescrit en form propid l problem como V = A(y)dy = π (5 2 f 2 (y))dy donde f(y) = 2 + y. Usndo este método el volumen qued V = π (25 (4 + 4 y + y))dy = π (21y 4 y3/2 3/2 y2 2 ) = π9( ) = 9π 2 (26 9) = 17 9π 2 = π. Notemos primermente que mbos resultdos coinciden (como tiene que ser). Los nombres usdos de l cáscr y el disco provienen de l interpretción geométric de ls dos integrles clculds. Recordndo que f(x)dx f( x i ) x i cd vez que se integre un función f se puede buscr l interpretción de f( x i ) x i y sí tl vez recordr mejor ls numeross fórmuls de integrción que hemos ido obteniendo. En el primer cso 5 2 (x 2) 2 xdx 9 19

9 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile l expresión 2πxf(x) x se puede interpretr como el volumen de un pequeñ cáscr de bse un nillo de rdio x y espesor x, es decir áre bsl 2πx x y ltur f(x). En el segundo cso donde l integrl er V = π (5 2 f 2 (y))dy l expresión π(5 2 f 2 (y)) y se puede interpretr como el volumen de un disco perfordo de espesor y cuy bse est comprendid entre los círculos de rdio f(y) y 5. Por est rzón el áre bsl es π5 2 πf 2 (y) es decir el áre del circulo externo menos el áre del circulo interno. Ejercicio Ejercicio 5.2: Clculr el volumen de un toro de revolución, es decir el sólido obtenido por l rotción del círculo de rdio r centrdo en (R,) (donde R > r) en torno l eje OY. 11