TAREA 8. LA CIRCUNFERENCIA

Transcripción

1 Escuela de Bachilleres Matemáticas III. Geometría y Trigonometría Segundo parcial Profesora: Ing. Dulce G. Rivera Sánchez Presenta(n): Puntaje: /7 Tercer semestre, grupo: Fecha de entrega: Calificación: TAREA 8. LA CIRCUNFERENCIA I. Instrucciones generales: II. Imprime estas hojas por ambos lados y engrápalas o pégalas por una esquina, de lo contrario se restará un punto. No se tomarán en cuenta resultados no resaltados ni respuestas con letra difícil de comprender. Lee con atención cada una de las afirmaciones, indica con una V si es verdadera y una F si es falsa. En caso de ser falsa, proporciona un argumento claro y coherente de tu decisión. ( /8) 1. Existe una infinidad de ángulos centrales que pueden comprender al mismo arco. F Un arco puede ser comprendido únicamente por un solo ángulo central.. Los ángulos inscritos y semi-inscritos tienen siempre la misma medida. F No siempre. Únicamente cuando comprenden al mismo arco. 3. Sean A^B dos puntos en la circunferencia P, siempre se cumple que AB BA. F Únicamente se cumple cuando la distancia de A hacia B es el diámetro, de lo contrario, uno siempre será menor al otro. 4. El diámetro de un círculo es la cuerda de mayor longitud que puede trazarse. V Aunque algunas definiciones indican que las cuerdas no pasan por el centro. III. Observa la figura y completa la tabla. Nombra los arcos en sentido anti-horario. ( /1) Ángulo Tipo de ángulo. Medida KGJ EFC Exterior Inscrito CH EC EC EDC Central EC ELC KCI FCG Interior Semi-inscrito Semi-inscrito EC HF CI FC Página 1 de 8

2 IV. Recuerda, piensa, analiza. Responde de manera puntual las siguientes preguntas: ( /) 5. Cuál es el tipo de ángulo, en la circunferencia, que mide lo mismo que el arco que comprende? El ángulo central. 6. Sea XY una cuerda de O, cuándo se cumple que XY YX? Cuando XY es un diámetro. V. Calcula lo que se pide, justifica mediante operaciones o palabras. 7. Dado 1 = 63, RS = 3x + 6 y VT = x. Calcula RS. ( /3) 1 = RS + VT 3x x 63 = x = 30 RS = 3(30) + 6 RS = Si e = 50, BFC = 65, CD = 10, EA = x y AB = x + 10, encuentra el valor de los ángulos restantes. ( /6) La circunferencia completa está formada por cinco arcos: Sustituyendo los datos: AB + BC + CD + DE + EA = 360 x BC DE + x = 360 BFC es un ángulo interior: BFC = BC + DE 65 = BC + DE 130 = BC + DE Entonces: x x = 360 x = 50 A cada uno de los arcos, le corresponde un ángulo inscrito; tal que: a = CD a = 10 a = 60 c = EA c = x = 50 c = 5 d = AB x + 10 d = = d = Como los ángulos inscritos son la mitad de los arcos: a + b + c + d + e = b = 180 b = 15 Página de 8

3 9. En la O, calcula el valor del QON, si MPQ = 0. ( /3) MPQ es un ángulo inscrito con arco MQ MQ = MPQ MQ = 40 MOQ es un ángulo central con arco MQ MOQ = 40 MOQ + QON = 180 porque forman un ángulo llano Luego: QON = QON = En la O, calcula el valor de x. ( /3) OCA = 40 porque son opuestos por el vértice Como AO y OC son radios, AOC es un triángulo isósceles Esto implica que CAO = OCA = 40 x es un ángulo exterior del AOC, entonces: x = x = En la O, el ΔCBA es equilátero, DC y DA son tangentes a la circunferencia. Cuál es el valor de x? ( /3) ABC = 60 porque ΔCBA es equilátero ABC = ACD = DAC = 60 porque son inscrito y semi-inscritos (respectivamente) que comparten el arco AC ΔCAD también es equilátero x = 60 Página 3 de 8

4 1. 1 = 71 y = 33. Calcula la medida de CE y DB. ( /4) 1 = CE + DB 71 = CE + DB 14 = CE + DB 14 DB = CE = CE DB 33 = CE DB 66 = CE DB 66 + DB = CE 14 DB = 66 + DB = DB 76 = DB 38 = DB CE = CE = 104 VI. Problemas sobre la longitud de arco. 13. Calcula un aproximado de la longitud de México si se estima que se encuentra entre 11.5 y 87.5 al oeste del meridiano de Greenwich y el radio de la tierra es aproximadamente 6371km. ( /3) πr 180 = lab O O πr lab = 180 O = = 5 AB = km 180 AB = km La longitud de México es de km Página 4 de 8

5 14. Calcula el radio de la circunferencia O con una aproximación de cuatro cifras decimales, sabiendo que ACB = 36.5, ED = 0 y la longitud de AB =.8cm. ( /3) ACB = AB ED 36.5 = AB 0 AB = 93 AB es el ángulo central πr 180 = lab O r = lab 180 Oπ.8cm 180 r = r = 1.750cm 15. Si JIG = 64, GKH = 87 en la F, con radio de 4cm. Cuál es la longitud del HI? ( /3) JIG = JG JG = (64) JG = 18 y JIG = 64 luego, HKI = 180 GKH HKI = HKI = 93 HKI = JG + HI 18 + HI 93 = (93) 18 = HI 58 = HI πr 180 = lhi HI π(4cm) = lhi lhi = 58 (π)(4cm) 180 lhi = cm Página 5 de 8

6 VII. Realiza las conversiones. ( /8) a radianes: πrad = 9 πrad O bien rad 18. 3πrad a grados: 3(180) = a radianes:.5 5 πrad = πrad = 1 8 πrad O bien rad 19. 3/7 πrad a grados: ( ) (180) = VIII. Lee cuidadosamente las proposiciones y resuelve. 0. Si un triángulo inscrito en una circunferencia, tiene al diámetro de la misma como uno de sus lados, entonces el triángulo es rectángulo. ( /5) Representación gráfica: Hipótesis: Sea ABC un triángulo inscrito en la circunferencia O, de tal manera que su lado AB es diámetro de la circunferencia. Por demostrar: ABC es un triángulo rectángulo Desarrollo: ACB = AB porque es un ángulo inscrito AOB = 180 porque es un ángulo llano AOB = AB porque es un ángulo central AB = 180 Luego, sustituyendo ACB = 180 ACB = 90 ABC tiene un ángulo recto es ABC es un triángulo rectángulo. Página 6 de 8

7 1. Si dos cuerdas se intersecan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra. ( /) Representación gráfica: Hipótesis: Sean AC y BD dos cuerdas en la O, que se intersecan en el punto E. Por demostrar: AE EC = BE ED Desarrollo: Se trazan los segmentos auxiliares DA y CB, para construir los triángulos DAE y CBE AED = BEC porque son opuestos por el vértice D = C porque son ángulos inscritos que comprenden el arco AB Por AA DAE~ CBE DA = AE = ED CB BE EC De AE = ED BE EC Se tiene: AE EC = BE ED Página 7 de 8

8 . Si AB = CD, entonces AC = BD. ( /4) Representación gráfica: Hipótesis: Sea O con los triángulos DOB y COA formados a partir de los radios OD, OC,OB y OA. Tal que AB = CD Por demostrar: AC = BD Desarrollo: AOB = AB porque es un ángulo central COD = CD porque es un ángulo central Como AB = CD por la hipótesis, AOB = COD AOB + BOC = AOC como se muestra en la figura Desoejando: AOB = AOC BOC COD + BOC = BOD como se muestra en la figura Despejando: COD = BOD BOC Luego, AOC BOC = BOD BOC AOC = BOD Los lados adyacentes a los ángulos AOC y BOD son radios de la circunferencia, por lo tanto son iguales entre sí. Por LAL DOB COA AC = BD Página 8 de 8