Semana 1: Tema 1: Vectores. 1.1 Vectores y adición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitarios 1.4 Multiplicación de vectores

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1 Semn 1: Tem 1: Vectores 1.1 Vectores dición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitrios 1.4 Multiplicción de vectores

2 Vectores Los vectores son cntiddes que tienen tnto mgnitud como dirección sentido que siguen cierts regls de cominción. Ejemplos: fuerz, velocidd, celerción, cmpo eléctrico, cmpo mgnético, etc.

3 Representción gráfic de un vector

4 Componentes rectngulres

5 En tres dimensiones

6 SUMA DE VECTORES (GRÁFICAMENTE)

7 SUMA(RESTA) DE VECTORES (GRÁFICAMENTE)

8 Propieddes de l Sum de Vectores ) (le commuttiv) ) d ( e f ) (d e) f (le socitiv)

9 Vectores unitrios Todo vector que teng mgnitud igul l unidd de medid se define como vector unitrio. Ejemplo: En generl todo vector un vector unitrio n n u es

10 Ejemplo 1.1: Cuáles son ls componentes de un vector en el plno si su dirección es de 252 ntihorrio del eje positivo su mgnitud es de 7.34 uniddes?

11 Dtos: El es gráfic Respuest : 252, Solución decir, Pr entender lo que piden podemos hcer l : : si M gnitud 7.34 Uniddes prolem est pidiendo ls nuestro vector es componentes, deemos rectngulres, hllr siguiente.

12 7.34sen(18 oteniendo : 2.27 Respuest: ) A prtir de l gráfic tenemos : sustituendo vlores : 7.34 cos(252 oteniendo : cos( ) i sen( ) ) cos(18 j ) 7.34sen(252 Oserven que tmién podemos trjr con el ángulo de18, en este cso deemos tener presentelos signos de ls componentes puesen los cálculo no slen, es decir )

13 Ejemplo 1.2: L componente de cierto vector es de -25 uniddes l componente es de 43 uniddes. Cuál es l mgnitud del vector el ángulo entre su dirección?

14 que Respuest: Dtos: Si considermos nuestro vector como : 25 Solución : Deemos ser que : 43, nos piden tenemos tn 1 ( ) tn 1 ( 43 )

15 Hgmos un representción gráfic del prolem : Como nuestr respuestes desde el eje positivo tenemos : Respuest:

16 Ejemplo 1.3 Un piez pesd de mquinri es elevd deslizd lo lrgo de 13 m en un plno inclindo orientdo 22 de l horizontl, como se muestr. () A qué ltur de su posición originl es levntd? () A qué distnci se movió horizontlmente?

18 Dtos: Solución Como Como Respuest L 13m; 22; ) : es lo que vnz l piez se puede relcionr con el cteto dcentel ángulo ddo por lo que : L 13cos(22) 12m es lo que sue se puede relcionr con el cteto opuesto en este cso tenemos : L L L? ) L 13sen(22) m Respuest: ) 5m ) 12 m. L?

19 Ejemplo 1.4: Un prtícul vij 20 km hci el norte después 35 km en dirección 60 l oeste del norte. Encuentre l mgnitud dirección del desplzmiento resultnte.

20 Dtos: Respuest: 20km; 90; 35km; 60 l Oestedel Norte es decir que si tommos el ángulo de desde el eje positivode ls, estrímos hlndo de un ángulo Nos piden mgnitud dirección de un desplzmiento c

21 km j i c c c sen : decir es 17.5 (150) cos(150) 20 0 : Solución 2 2

22 Pr hllr l dirección del vector desplzmiento emplemos el hecho de que : c tn ( ) tn 51.34; Respectol c 30 positivootenemos : Respuest: 48km;129 eje

23 Ejemplo 1.5: Dos vectores están ddos por i j 4k. Hlle: 4 i3 j k (), (), c ( c) un vector tl que. c 0

24 Respuest:. 3k 4 j 5 i k 4 1 j 1 3 i 1 4 4k j i k 3 j 4 i ) 5k. 2 j 3i k 4 1 j 1 3 i 1 4 4k j i k 3 j 4 i ) : Solución 0 c que : tl Hllr c c)? )?; ) 4k; j i k 3 j 4 i Dtos:

25 c) c 0 c 5 i 4 j 3k

26 Ejemplo 1.6: Hllr el vector unitrio u que se encuentr en l dirección del vector n 3i 3 j k.

27 Dtos: u?; Respuest: se en cuentr en l dirección de n Solución : L ide gráfic ud ilustrr lo que se pide: 3i 3 j k

28 Hllemos l mgnitud de n : n , luego n no es un vector unitrio. Pr hllr un vector unitrio en l dirección de de l siguiente mner : u n n 3i 3 j k i 0.69 j 0.23k n, procedemos

29 Ángulos directores

30 Ejemplo 1.7: Hllr los ángulos directores del vector n 3i 3 j k.

31 Respuest: ) ( cos ) ( cos Análogmen te: ) ( cos : decir es ) ( cos ) cos( ) cos( Como : Solución k 3 j 3i vector n del ; Dtos: Hllr n n n n n n

32 Multiplicción de vectores Un vector por un esclr Producto punto o producto esclr Producto cruz o producto vectoril

33 Un vector por un esclr El producto de un esclr por un vector, escrito c, se define que es un nuevo vector cu mgnitud es c c. El nuevo vector tiene el mismo sentido que si c es positivo el sentido opuest si c es negtivo. c

34 Producto punto o producto esclr Se define como: cos( ) z z

35 Ejemplo 1.8: Use ls ecuciones nteriores pr clculr el ángulo entre los dos vectores 3i 3 j 3k 2 i j 3k.

36 Respuest: Dtos: Hllr?, comprendido entre los vectores 3i 3 j 3k cos Solución cos( ) cos 1 : Conocemos que : i j 3k. cos( ), despejndo : cos 1 cos i 3 j 3k i j 3k. 2

37 Producto cruz o vectoril Se define como: c i j k z z c sen( )

38 Ejemplo 1.9: Tres vectores sumn cero, como se ilustr. Clcule (), () c, c ( c ).

39 Respuest: Dtos: c sen(90) k 12k 0, hllr ) ; ) c Solución : ) Suponiendo que están en el plno : Otr ví :Suponiendo el origen en el inicio c) de, c tenemos : 4 i 3 j luego i 4 j 0 k 0 12k 0 3 0

40 ) c?, pr estecso es conveniente poner los sliendo del mismo origen, es decir : vectores 1 3 Oserv que tn ( ) 36.87, demás 180, 4 luego Luego : c csen(143.13) k 45 sen(143.13) k 12k

41 c) c?, pr estecso es conveniente poner los sliendo del mismo origen, es decir : vectores En estecso ; luego : c k csen(126.87) k 35 sen(126.87) k

42 Ejemplo 1.10: Se tienen dos vectores en el plno, cu sum es el vector c=(3, -5), de tl form que uno de los vectores sumndo tiene un mgnitud de 3 su ángulo director es de 1.3 rd. Determine el ángulo, en rd, que hce el vector resultnte con el segundo de los vectores.

Respuest: j i j sen i j sen i z z 2.89 0.8 (1.3) 3 3cos(1.

43 Respuest: j i j sen i j sen i z z (1.3) 3 3cos(1.3) ) ( ) cos( : decir es vector, del rectángulres coordends podemos hllr ls, Con : Solución. c que hce en rdines, Hllr 1.3 rd. 3, se c, que tl 0, donde, vectores dos los Dtos:Se

44 0.26 rd. ) ( cos ) ( cos otenemos : despejndo ), cos( : decir es productoesclr, el empler vectores deemos entre dos ángulo hllr el Pr : luego, ) 2.89 ( decir es, tenemos que 0.8, Como -1-1 c c c c j i j i j i j i j i c

45 Ejemplo 1.11: El producto vectoril de dos vectores es c=(-4, 2, 0),de tl form que uno de los fctores es =(0,0,-1), determin l segundo de los fctores si su mgnitud es igul 5.

46 Respuest:? 4 2, se conclue que: de quí 2 4 ) ( : Solución 5. si hllr, c, que tl, vectores Dtos:Sen los z z j i j i i j k j i

47 Como Respuest: Eisten dos dds z por el i 5 4 es 5 decir vectores que stisfcen ls prolem : j 5 k 4 16 : z 2 2 z i condiciones 4 20 j 2 z 5 k

48 Ejemplo 1.12: Cp3 Serve N 4. Dos puntos en el plno tienen coordends polres (2.50m;30.0 ) (3.80m;120.0 ). Determine ) ls coordends crtesins de estos puntos ) l distnci entre ellos. Ejemplo 1.13: Cp3 Serve N 10. Un vión vuel desde su cmpmento se hst el lgo A, un distnci de 280 km en un dirección de 20.0 l norte del este. Después de dejr cer provisiones vuel hci el lgo B, uicdo 190 km 30.0 l oeste del norte desde el lgo A. Determine gráficmente l distnci l dirección desde el lgo B l cmpmento se. Ejemplo 1.14: Cp3 Serve N 14. Un perro que usc un hueso cmin 3.5 m hci el sur, después 8.2 m en un ángulo de 30.0 l norte del este finlmente 15.0 m l oeste. Encuentre el vector desplzmiento resultnte del perro utilizndo técnic gráfics.

49 Ejemplo 1.15: Cp3 Serve N 30. El vector A tiene componentes de cm 15.0 cm, respectivmente; el vector B tiene componentes de 13.2 cm -6.6 cm, respectivmente. Si A - B + 3C=0, Cuáles son ls componentes de C? Ejemplo 1.16: Cp3 Serve N 36. Un mriscl de cmpo tom el lón desde l line de golpeo, corre hci trs 10 rds después recorre 15 rds en prlelo l mism líne de golpeo. En este punto lnz un pse recto de 50 rds dentro del cmpo, perpendiculr l líne de golpeo. Cuál es l mgnitud del desplzmiento resultnte del lón de futol?

50 Ejemplo 1.17: Cp3 Serve N 40. Usted se encuentr de pie sore el piso en el origen de un sistem coordendo. Un eroplno vuel sore usted con velocidd constnte prlel l eje un ltur constnte de m. En t = 0 el eroplno está directmente encim de usted, por lo que el vector desde usted l eroplno está 3 ddo por P 0 ( m) j. En t = 30.0 s, el vector de posición que prte de usted l eroplno es de 3 3 P30 ( m) i ( m) j Determine l mgnitud orientción del vector posición del eroplno en t = 45 s.

51 Vectores El profesor orientrá l tre cundo deerás hcer el emen correspondiente est Tre. Fin del Tem 1

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