Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Transcripción

1 Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul 1

2 Unidad V. (Capítulos 12 y 13 del texto) APLICACIONES DE LA DERIVADA 5.1 Función creciente y decreciente. 5.2 Extremos relativos y extremos absolutos. 5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos. 5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada. 5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio. 5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso. 2

3 5.1 Función creciente y decreciente. En este capítulo se muestra el análisis de las funciones, su forma y el comportamiento de su gráfica 3

4 Por ejemplo: La ecuación y = (x +1)3 (x -1) en los puntos (-1,0), (0, -1) y (1, 0) podría formar las gráficas de la figura 12.1, pero la forma correcta es la figura 12.1 (b) 4

5 La gráfica de la función y=f(x) de la figura 12.2 conforme aumenta de (izquierda a derecha) en el intervalo I1, entre a y b, los valores de f(x) también aumentan y la curva asciende. Esto significa que si x1 y x2 son dos puntos cualquiera en I1, tales que x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2). Se dice que f es una función creciente en I1. Por otra parte, conforme x aumenta en el intervalo I2 entre c y d, la curva desciende. En este intervalo x3 < x4 implica que f(x3) < f(x4), se dice que f es una función decreciente en I2.. 5

6 Definición Se dice que una función f es creciente en el intervalo I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, en donde x1 < x2 se cumple que f(x1 ) < f(x2). Una función f es decreciente en el intervalo I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, en donde x1 < x2 se cumple que f(x1 ) > f(x2). En la figura 12.2 en el intervalo I1, las rectas tangentes a la curva tienen pendiente positiva por lo que la f (x) debe ser positiva para toda x en I1. En el intervalo I2, las rectas tangentes tienen pendiente negativa por lo que la f (x) < 0 para todo x en I2. La siguiente regla permite usar la derivada para determinar cuando una función es creciente o decreciente. 6

7 Regla 1: Criterios para funciones crecientes o decrecientes Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). 1. Si f (x) > 0, para toda x en (a,b), entonces f es creciente en (a,b). 2. Si f (x ) < 0, para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en (a,b). 7

8 Ejemplo : Para determinar los intervalos en que la función y = 18x 2/3 x3 es creciente o decreciente. Sea y = f(x), se debe determinar cuando f (x) es positiva y cuando es negativa. Entonces: f (x)= 18 2x2 = 2(9 x2 ) = 2(3+ x )(3 x) Según la sección 9.5 el signo de f (x) probando los intervalos determinados por las raíces 2(3+ x )(3 x) = 0. Esto es, 3y 3, (figura 12.3). En cada intervalo el signo de f (x) está determinado por los signos de sus factores: -3 3 Figura 12.3 intervalos determinados por las raíces f (x) = 0 8

9 Si x < - 3 entonces, f (x) = 2(-)(+) = (-), la f es decreciente Si 3 < x < 3 entonces, f (x) = 2(+)(+) = (+), la f es creciente Si x > 3 entonces, f (x) = 2(-)(+) = (-), la f es decreciente 9

10 5.2 Extremos relativos y absolutos Con la gráfica de y = f(x) de la figura 12.5 se dice que la gráfica de f tiene un (punto) máximo relativo cuando x = x1 (0 en x1) y cuando x = x3, también tiene un (punto) mínimo relativo cuando x = x2. La función tiene valores máximos relativos de f(x1) y f(x3) cuando x = x1 y x = x3 respectivamente. En la gráfica hay un máximo absoluto (punto más alto en toda la curva) en x = x1 pero no hay un mínimo absoluto (punto más bajo en toda la curva) porque la curva se prolonga de manera indefinida hacia abajo. 10

11 Definiciones Máximo relativo: Una f tiene un máximo relativo en x = x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual la f (x0 ) > f (x ) para toda x en el intervalo. El máximo relativo es f (x0 ). Una f tiene un mínimo relativo en x = x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual la f (x0 ) < f (x ) para toda x en el intervalo. El mínimo relativo es f (x0 ). Máximo absoluto: Una f tiene un máximo absoluto en x = x0, si f (x0 ) > f (x ) para toda x en el dominio de f. El máximo absoluto es f (x0 ). Una f tiene un mínimo absoluto en x = x0, si f (x0 ) < f (x ) para toda x en el dominio de f. El mínimo absoluto es f (x0 ). 11

12 En la figura 12.5 en un extremo relativo la derivada puede no estar definida cuando (x = x3), pero siempre que esté definida en un extremo relativo es igual a cero, en (x = x1, x = x2) por lo que la recta tangente es horizontal. Regla 2: Extremo relativo Si f tiene un extremo relativo cuando x = x0 entonces la f (x)= 0, o bien, la f (x ) no está definida. Implicación de la regla 2 en una sola dirección Extremo relativo en x0 f (x)= 0 o f (x)= no está definida 12

13 Los puntos para localizar los extremos relativos se denominan puntos críticos y sus abscisas se denominan, valores críticos, en la figura 12.5 los números ( x1, x2 y x2) son valores críticos y P1,P2, y P3 son puntos críticos. Definición Si x0 está en el dominio de f y f (x)= 0 o f (x) no está definida entonces x0 se denomina valor crítico de f. Si x0 es un valor crítico entonces el punto (x0, f(x)) se denomina punto crítico. Se tiene que alrededor de los máximos relativos, f es creciente y luego decreciente, y para los mínimos relativos la proporción inversa es cierta. Regla 3: Criterios para extremos relativos Suponga que f es continua en un intervalo abierto I que contiene el valor crítico x0 y f es diferenciable en I excepto posiblemente en x0. a. f (x ) cambia de positiva a negativa cuando x crece al pasar por x0, entonces f tiene un máximo relativo cuando x = x0. b. f (x ) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por x0, entonces f tiene un mínimo relativo cuando x = x0.. 13

14 En la figura 12.7 f (x ) > 0 para todo x, la gráfica de f no desciende nunca y se dice que f es no decreciente. Es importante entender que no todo valor de x donde f (x ) no existe es un valor crítico, por ejemplo, si: y = f (x) = 1 x2 y = f ( x ) = 2 x3 14

15 Aunque f (x ) no está definida en x = 0, cero no es un valor crítico porque no está en el dominio de f. Sin embargo f (x ) puede cambiar de signo alrededor de cualquier valor de x, en que f (x ) no está definida, por lo que tales valores son importantes en la determinación de los intervalos sobre los que la f es creciente o decreciente. Si x < 0, entonces f ( x ) = 2 >0 x3 Si x > 0, entonces f ( x ) = 23 < 0 x Así, f es creciente en (-, 0) y decreciente en (0, ). (Ver la fig. 12.8) 15

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17 5.3 Prueba de la primera derivada para los extremos relativos Resumiendo los resultados anteriores se tiene la prueba de la primera derivada para los extremos relativos de y = f (x ). Paso 1. Encontrar la f (x). Paso 2 Determinar todos los valores de x en que f (x)= 0 o no está definida (estos valores incluyen valores críticos y puntos de discontinuidad). Paso 3 En los intervalos sugeridos por los valores del paso 2, determinar si f es creciente [f (x)> 0] o decreciente [f (x)< 0]. Para cada valor crítico x0 en que f es continua, determinar si f (x) cambia de signo cuando x crece al pasar por x0. Habrá un máximo relativo cuando x =x0, si f (x) cambia de + a -, al ir de izquierda a derecha, y habrá un mínimo relativo si f (x) cambia de a + al ir de izquierda a derecha. Si f (x) no cambia de signo, no habrá un extremo relativo cuando x =x0. Paso 4 17

18 5.3 Extremos absolutos en un intervalo cerrado (El objetivo es determinar los valores extremos en un intervalo cerrado) Si una f es continua en un intervalo cerrado (a,b), puede demostrarse que entre todos los valores de f (x ) de la función de x en (a,b), debe haber un valor máximo (absoluto). Estos dos valores se llaman valores extremos de f en ese intervalo. Esta propiedad de las funciones continuas se llama Teorema del valor extremo. Teorema del valor extremo Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tiene un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo. 18

19 Por ejemplo, cada función de la figura es continua en el intervalo cerrado (1,3). En forma geométrica, el teorema del valor extremo asegura que sobre este intervalo, cada gráfica tiene un punto de altura máxima y otro de altura mínima En el Teorema del valor extremo se exige que haya: 1. un intervalo cerrado, y 2. una función continua en ese intervalo 19

20 Extremos absolutos Si el dominio de una función es un intervalo cerrado, para determinar extremos absolutos se debe examinar la función no sólo en los valores críticos, sino también en los puntos extremos, la figura muestra la gráfica de la función continua y = f (x ) en [a,b]. El teorema del valor extremo garantiza extremos absolutos en el intervalo. Es claro que los puntos importantes sobre la gráfica se presentan en x = a, b, c y d, que corresponden a puntos extremos o a valores críticos. En la figura el máximo absoluto ocurre en el valor crítico c. y el mínimo absoluto ocurre en el punto extremo a. 20

21 Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de un función continua y = f (x ) en [a,b]. Paso 1. Encontrar los valores crítico de f Paso 2. Evaluar f(x ) en los puntos extremos a y b, y en los valores sobre (a,b). Paso 3. El valor máximo de la f es el mayor de los valores encontrados en el paso 2. El valor mínimo de la f es el menor de los valores encontrados en el paso 2. 21

22 Ejemplo: Encontrar los extremos absolutos para f(x) = x2 4x + 5 en el intervalo cerrado [1, 4]. Solución: como f es continua sobre [1, 4] el procedimiento anterior se aplica. Paso 1. Para encontrar los valores críticos de f primero se obtiene la f f = 2x 4 = 2( x 2) Entonces el valor crítico es x = 2 Paso 2. Al evaluar f(x) en los puntos extremos (1,4) y en el valor crítico 2 f (1) = 2 f (4) = 5 valores de f en los puntos extremos y f (2) = 1 valores de f en el valor crítico en (1,4) Paso 3. De los valores de la función en el paso 2 se concluye que el máximo es f(4) = 5 y el mínimo es f(2) = 1 (ver fig., 12.28) 22

23 5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada. Para conocer la verdadera forma de una curva se necesita más información. Sea la curva y = f(x) = x2 y su derivada f (x) = 2x, entonces x = 0 es un valor crítico. Si x < 0, entonces f (x) < 0, f es decreciente Si x > 0, entonces f (x) > 0, f es creciente entonces se obtiene un mínimo relativo cuando x = 0 En la figura las curvas satisfacen las condiciones anteriores, pero cuál gráfica describe verdaderamente la curva? Esta pregunta se contesta con facilidad usando la segunda derivada y la noción de concavidad. 23

24 Definición Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). Entonces se dice que f es cóncava hacia arriba [cóncava hacia abajo] en (a,b) si f es creciente [decreciente] en (a,b). Regla 4: Criterios de concavidad Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). Si f (x ) > 0 para toda x en (a.b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b).si f (x ) < 0, para toda x en (a,b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a.b) 24

25 Ejemplo: investigación de la concavidad Determinar donde la función y = f(x) = (x-1)3 + 1 es cóncava hacia arriba y dónde Cóncava hacia abajo. Solución: para aplicar la regla 4 se examinan los signos de yn. Se tiene y = 3(x-1)2, por lo que y = 6(x-1). Así, la f es cóncava hacia arriba cuando 6(x-1) > 0, cuando x > 1 y f es cóncava hacia abajo cuando 6(x-1) < 0, cuando x < 1. (Ver la fig., 12.32). 25

26 Definición Una f tiene un punto de inflexión cuando x = x0, si y sólo si f es continua en x0 y f cambia de concavidad en x0. Para determinar la concavidad de una función y sus puntos de inflexión, encontrar: 1. Los valores de x donde f ( x ) = 0 o no está definida, estos valores de x determinan intervalos. 2. En cada intervalo determinar f ( x ) > 0 (f cóncava hacia arriba) o f ( x ) < 0 (f cóncava hacia abajo). Si la concavidad cambia alrededor de uno de estos valores de x, y f es continua ahí, entonces f tiene un punto de inflexión en ese valor de x. El requisito de continuidad implica que el valor de x debe estar en el dominio de la función Un candidato para un punto de inflexión de satisfacer dos condiciones 1. f ( x ) debe ser 0 o no está definida en ese punto. 2. f debe ser continua en ese punto. 26

27 Ejemplo: Si f(x) = x1/3 entonces: 1 f (x) = 3 x 2/3 y 2 f (x) = 9 x-5/3 = - 2/9 x5/3 Como f no está definida en 0, pero es continua en 0, tiene un candidato para punto de inflexión cuando x = 0. Si x > 0, entonces f (x) < 0, por lo que f es cóncava hacia abajo para x > 0. Si x < 0, entonces f (x) > 0, por lo que f es cóncava hacia arriba para x < 0. Como la concavidad cambia en x= 0, se tiene ahí un punto de inflexión. (Ver la fig., 12.33). 27

28 5.4 Prueba de la segunda derivada La segunda derivada puede usarse para probar si ciertos valores críticos corresponden a valores extremos relativos. En la figura cuando x = x0 se tiene una tangente horizontal, esto es, f (x0) = 0. Además alrededor de x0 la función es cóncava hacia arriba, esto es, [f (x0) > 0]. Lo anterior lleva a concluir que habrá un mínimo relativo en x0. Por otra parte, alrededor de x1 la función es cóncava hacia abajo, esto es, [f (x0) < 0], como la recta tangente es horizontal en x1, se concluye que existe un máximo relativo. 28

29 Esta técnica de examinar la segunda derivada en puntos donde la primera derivada es cero, se llama prueba de la segunda derivada para extremos relativos. Prueba de la segunda derivada Se supone que f (x0) = f (x0) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x 0 2. f (x0) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x 0 La prueba de la segunda derivada no es aplicable cuando: 1. f (x0) = 0 2. f (x0) = 0 y 3. f (x0) no está definida 29

30 Ejemplo: prueba de la segunda derivada Investigar los máximos y mínimos de la función y = 18 x 2 3 x 3 Solución: y = 18 2x2 = 2(9 - x 2) = 2(3+x)(3 x) y = - 4x Resolviendo y = 0 se obtienen los valores críticos x = ± 3. Si x = 3 entonces y = - 4(3) = - 12 < 0 existe un máximo relativo en x = 3 Si x = - 3 entonces y = - 4(-3) = 12 > 0 existe un mínimo relativo en x = - 3 (Ver fig., 12.4) 30

31 5.5 Optimización de funciones económico-administrativas Guía para la resolución de problemas de aplicación de máximos y mínimos Paso 1. Cuando sea apropiado, dibuje un diagrama que muestre la información dada en el problema. Paso 2. Formule una función para la cantidad que se quiera maximizar o minimizar. Paso 3. Exprese la función del paso 2 como función de una sola variable y señale el dominio de esta función. El dominio puede determinarse por la naturaleza del problema. Paso 4. Encuentre los valores críticos de la función. Después de probar cada valor crítico, determine cuál proporciona el valor extremo absoluto que se busca. Si el dominio de la función incluye puntos extremos, examine también los valores de la función en esos puntos. Paso 5. Con base en los resultados del paso 4, responda las preguntas que se formularon en el enunciado del problema. 31

32 Ejemplo: Maximización del Ingreso La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es: p = 80 q 4 0 q 80 Donde q es el número de unidades y p el precio por unidad. Para qué valor de q se tendrá un ingreso máximo? Cuál es el ingreso? Solución: sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Ingreso (r) = (precio) (cantidad) = pq Se tiene 80 q 80 q q 2 r = pq = q = 4 4 Donde 0 < q < 80. Haciendo dr/dq = 0, se tiene: dr dq = q = q = 0 q = 40 32

33 Entonces 40 es el único valor crítico, examinar si este es valor máximo. La primera derivada 0 < q < 40, se tiene dr/ dq > 0, por lo que r es creciente. Si q > 40, entonces dr/dq < 0, por lo que r es decreciente. Por consecuencia, de que a la izquierda de 40, r es creciente y a la derecha de r es decreciente, se concluye que q = 40 es el ingreso máximo absoluto. Ya que: r = 80(40) /4 (40)2 /4 r =

34 Ejemplo: Minimización del costo medio La función de costo total de un fabricante está dada por: q2 c = + 3 q donde c es el costo total de producir q unidades. Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad mínimo? Cuál es el mínimo? Solución: La cantidad por minimizar es el costo promedio ( c ). La función del costo promedio es: q c = c = q q q Aquí q debe ser positiva. Para minimizar d c dq = q 2 c = = q q diferenciar: q q 2 34

35 Para obtener los valores críticos, resolver d c /dq = 0 q = 0 (q 40)(q+40) = 0 q = 40 (ya que q > 0), para determinar si este nivel de producción da un mínimo relativo, se utiliza la prueba de la segunda derivada. d dq 2 c 2 = 800 q 2 que es positiva para q=40. Así el costo promedio tiene un mínimo relativo cuando q=40 y que es continuo para q>0. Como es el único valor extremo relativo se concluye que también es un mínimo absoluto. Sustituyendo este valor en la ecuación 5, se obtiene un costo promedio mínimo de: c = 23 35

36 5.6 Elasticidades: Elasticidad de la demanda y elasticidad precio La de la demanda es la razón del cambio porcentual en la cantidad demandada que Resulta de un cambio porcentual dado en el precio. = cambio porcentual en la cantidad cambio porcentual el precio Definición Si p = f (q) es una función de demanda diferenciable, la elasticidad puntual de la demanda denotada por la letra griega η (eta) en (q.p) está dada por: p q = dp dq 36

37 Ejemplo: Elasticidad puntual de la demanda Sea la función de demanda: p = 1200 q2 se tiene p 1200 q q q q = = = = [ ] dp 2q 2q 2 q2 2 dq Si q = 10, entonces la elasticidad η= - [600/102 - ½]= -51/2 Esto es, de acuerdo a la definición de η, si el precio cambia en 1% cuando q = 10 entonces, la cantidad demandada cambiara aproximadamente en (1%) (- 5 ½)= (- 5 ½)% 37

38 Hay tres categorías de elasticidad: 1. Cuando η > 1, la demanda es elástica. 2. Cuando η = 1, la demanda tiene elasticidad unitaria. 3. Cuando η < 1, la demanda es inelástica. Ver la fig