MAGNITUDES FISICAS MAGNITUDES VECTORIALES.

Transcripción

1 UNIDD 2 MGNITUDES FISICS 2D MGNITUDES VECTORILES. MGNITUDES FISICS Como a aprendimos anteriormente se puede afirmar que una magnitud es todo aquello que se puede epresar cuantitativamente es decir es todo aquello que puede ser medido. Se utilizan las magnitudes físicas para traducir en números los resultados de una observación. sí el lenguaje utilizado en la Física será preciso, claro terminante. Las magnitudes físicas se clasificaban en: MGNITUDES ESCLRES En el medio en el cual nosotros vivimos podemos encontrar cantidades descritas por un número su respectiva unidad. estas se las denomina magnitudes escalares. Una magnitud vectorial se la define completamente a través de su módulo, dirección sentido acompañado de su respectiva unidad. Las magnitudes vectoriales más conocidas son: El desplazamiento ( 15 m al Sur ), Velocidad ( 80 m/s, N 34 0 E ), Fuerza ( 26 N, ), aceleración ( 4 i 7 j ) m/s 2 Las magnitudes escalares conocidas son: la distancia ( 10 km ), la masa ( 56 kg ), el tiempo ( 8 horas ), la rapidez ( 59 km/h ), el volumen ( 180 cm 3 ), la densidad ( 15 g / cm 3 ), el trabajo ( 18 J ), la potencia ( 55 W ). Se aplica una fuerza El jugador lanza la de 50 N, la flecha nos pelota una distancia de indica que esta dirigida 4 m con una dirección hacia arriba sentido de N65 0 E. Ha 250cm 3 Tiene 38 0 C FORMS DE DEFINIR UN VECTOR Son las 13:00 horas Son 23 personas FORM NLITIC Para representar a un vector se utiliza una de las letras maúsculas del alfabeto con una flechita en la parte superior ( ). El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin la flecha en la parte superior. ( ) otra manera de representarlo es la letra del vector entre dos barras paralelas. ( l l ) FORM FISIC. En estos casos podemos observar que sólo se necesita el valor numérico su respectiva unidad para que la magnitud que perfectamente definida. Las magnitudes escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o restarse de la manera usual. Por ejemplo: 14 mm + 15 mm = 29 mm 20 pulg 2-16 pulg 2 = 4 pulg 2 Un vector queda definido por un segmento de recta que debe tener dos puntos de referencia; el primer punto constitue el origen el segundo punto es el etremo del vector. El módulo del vector ( o l l ) constitue el valor numérico esta dado por la longitud de este, que se la puede representar utilizando una escala adecuada. La dirección del vector constitue el ángulo ( ) formado entre este el eje de referencia positivo, en el sentido antihorario. El sentido del vector esta dado por la saeta o punta de la flecha con la que se representa al vector. 1

2 UNIDD 2 MGNITUDES FISICS 2D La recta PQ a lo largo de la cual está dirigido el 4. Vectores iguales. vector se llama línea de acción del vector. Son los vectores que tienen la misma magnitud, dirección sentido. FORM GRFIC una magnitud vectorial se la puede representar gráficamente utilizando un segmento de recta orientado. P P Línea de acción Q 5. Vectores opuestos. Son los vectores que tienen la misma magnitud dirección pero sentido opuesto. Esto hace que el un vector es de signo contrario al otro. P M - M CLSES DE VECTORES. 1. Vector libre. Es el vector que a pesar de que se traslada su punto de aplicación u origen a cualquier punto del espacio este no altera su efecto de acción, un ejemplo de este vector constitue la velocidad de propagación del sonido en el vacío. B B 6. Vector unitario Es el vector cuo módulo es igual a la unidad es igual a la razón entre el vector su módulo. u B = B B FORMS DE REPRESENTR UN VECTOR Y SUS TRNSFORMCIONES. 2. Vector deslizante. Es el vector en el que el punto de aplicación se traslada a lo largo de su línea de acción, un ejemplo de este tipo de vector es la fuerza aplicada sobre un sólido rígido. 1. EN FUNCIÓN DE SUS COORDENDS RECTNGULRES. un vector que se lo dibuja en un plano cartesiano donde su origen tiene de coordenadas ( 0, 0 ) el etremo del vector, es decir la punta de la saeta tiene de coordenadas (, ), cada coordenada recibe el nombre de componentes rectangulares = (, ) 3. Vector fijo. Es el vector en el cual su punto de aplicación no tiene movimiento, un ejemplo de este vector es la posición de un móvil. 0 C Ejemplo: = ( 8, 4 ) m Donde : = 8 m = 4 m 2. EN FUNCIÓN DE LOS VECTORES BSE. 2

3 UNIDD 2 MGNITUDES FISICS 2D Componente rectangular de : El vector esta definido en el plano cuando la componente escalar del eje es i la componente escalar de es j, esta =. sen epresado en función del vector base así: Para poder ubicar el ángulo en cada cuadrante se debe considerar lo siguiente: = ( i + j ) PRIMER CUDRNTE: Ejemplo: = ( 8 i + 4j ) m 3. EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y DIRECCIÓN. ( Forma Polar ) = (, ) l vector se lo representa con el par ordenado (, ) se afirma que esta epresado en la forma polar, donde constitue el módulo del vector constitue la dirección es el ángulo medido desde el eje polar hasta el vector en sentido antihorario. = (, ) Ejemplo: = ( 8,94 m ; 26,57 0 ) = 0 Signo de las componentes: + + Para la dirección: Θ = SEGUNDO CUDRNTE: Para transformar de L FORM EN FUNCIÓN DE LOS VECTORES BSE COORDENDS POLRES se procede de la siguiente manera: 0 Usando el teorema de Pitágoras tenemos: Módulo: = Usando las funciones trigonométricas: Dirección : = tan - 1 ( / ) Signo de las componentes: - + Para la dirección: Θ = TERCER CUDRNTE Para transformar de LS COORDENDS POLRES L FORM EN FUNCION DE LOS VECTORES BSE se procede: Componente rectangular de : =. cos Signo de las componentes: 3

4 UNIDD 2 MGNITUDES FISICS 2D - - Θ = Para la dirección: Θ = CURTO CUDRNTE 5. EN FUNCION DE SU MODULO Y UNITRIO. Se define al vector unitario de un vector como: u =. u = i + j. u = i + j Signo de las componentes: - Para la dirección: Θ = De donde se puede afirmar que: 1. La dirección del vector unitario es igual a la dirección del vector. Θ = u 4. EN FUNCION DE SUS COORDENDS GEOGRFICS. La dirección del vector se define utilizando las coordenadas geográficas así: N E ; N O ; S E S O Cuando = 45 0 se tiene: N E ; N O ; S E S O 2. La magnitud o módulo del vector unitario es siempre igual a 1 es adimensional. Por tal razón el vector esta definido por: =. u =. ( u i + u j ) La representación del vector sería: 6. EN FUNCION DE LOS NGULOS DIRECTORES. = ( ; N E ) N Los NGULOS DIRECTORES son los que se forman entre el vector los ejes positivos e de un sistema de coordenadas rectangulares. Su valor está dado entre se los representa en el PLNO con las letras griegas α β no tienen convención para el giro de los ángulos directores. O E S α es el ángulo director que forma el vector con el eje positivo de las ordenadas β es el ángulo director que forma el vector con el eje positivo de las abscisas 4

5 UNIDD 2 MGNITUDES FISICS 2D l graficar los ángulos directores en cada De donde obtenemos: uno de los cuadrantes tenemos: LOS COSENOS DIRECTORES: PRIEMER CUDRNTE: Cos α = Cos β= LOS NGULOS DIRECTORES: β α α = cos -1 ( / ) β = cos -1 ( / ) SEGUNDO CUDRNTE demás tenemos: u = i + j β α u = cos α i + cos β j El vector queda representado por: TERCER CUDRNTE β α CURTO CUDRNTE = ( cos α i + cos β j ) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Representar gráficamente a los siguientes vectores: a) v = ( 28, - 33 ) m/s Escala: 1 cm = 8,25 m/s v v β v α l aplicar la funciones trigonométricas tenemos: b) F = ( 50 N ; ) Escala: 1cm = 10 N F β α

6 UNIDD 2 MGNITUDES FISICS 2D c) = ( 80 m/s 2 ; N 40 0 E ) También se lo define como el vector que forma un ángulo de 50 0 al Norte del Este. Escala: 1 cm = 16 m/s 2 N c) Θ = tan - 1 ( C / C ) Θ = tan - 1 ( - 5 / - 12 ) Θ = 22, 62 0 Como se encuentra en el tercer cuadrante el ángulo real será : R = , 62 0 R = 202, 62 0 En la forma geográfica tenemos: E = , 62 0 = 67, 38 0 S 67, 38 0 O d) * Forma rectangular:. C = ( - 12 ; - 5 ) m En función de los vectores base 2. El vector C está definido por las coordenadas ( 4,2 ) m ( - 8, -3 )m. Determinar: a) Las componentes del vector b) El módulo del vector c) La dirección del vector d) Representar al vector en todas las formas conocidas. C = ( - 12 i - 5 j ) m Forma Polar C = ( 13 m ; 202, 62 0 ) Forma geográfica C C = ( 13 m ; S 67,38 0 ) En función del vector unitario. u c = C C C C u c = ( - 12 i 5 j ) 13 u c = - 0,92 i 038 j a) C = 2 1 C = 2-1 C = C = -3-2 C = - 12 m C = -5 m b) C = C 2 + C 2 C = ( - 12 ) 2 + ( - 5 ) 2 C = 13 m C = 13 m (- 0,92 i 038 j ) En función de los ángulos directores. α = cos -1 ( C/C ) 6

7 UNIDD 2 MGNITUDES FISICS 2D α = cos -1 ( - 12 / 13 ) u F = ( - 6, 13 i + 5,14 j ) α = 156, β = cos -1 ( C / C ) β = cos -1 ( - 5 / 13 ) β = 112,33 0 C = 13 m( cos 156, 93 0 i + cos 112,33 0 j ) u F = - 0,77 i + 0,64 j F = 8 N (- 0,77 i + 0,64 j ) Función de los ángulos directores α = cos -1 ( F/F ) α = cos -1 ( - 6,13 / 8 ) 3. Dado el vector F = ( 8 N, ). Encontrar: a) El módulo o magnitud b) La dirección c) Componentes rectangulares d) Transformar a todas las formas conocidas. F F a) F = 8 N b) Θ = = = 50 0 N 50 0 O F c) F = F. cos F = F.sen F = 8.cos F = 8sen F = - 6,13 N F = 5,14 N d) * Forma rectangular F = ( - 6,13 ; 5,14 ) N α = 140, 02 0 β = cos -1 ( F / F ) β = cos -1 ( 5,14 / 8 ) β = 50,02 0 F = 8 N( cos 140, 02 0 i + cos 50,02 0 j ) 4. Sea el vector D = 17m/s( a i 0,69j ) Epresado en la forma en función del vector unitario, encontrar: a) El módulo del vector b) El vector unitario c) La dirección ( rumbo ) del vector d) Las componentes rectangulares e) Las diferentes formas de representar a un vector. a) D = 17 m/s b) Como el módulo del vector unitario es 1, la componente de es: a = 1 2 0,69 2 ; a = 0,71 u D = 0,71 i 0,69 j c) = tan 1 ( D/D ) = tan 1 ( - 0,69 / 0,71 ) Función de los vectores base F = ( - 6,13 i + 5,14 j ) N Forma geográfica F = ( 8 N ; N 50 0 O ) N Función del vector unitario. u F = F F = - 43,78 0 Como las componentes del vector unitario están en el cuarto cuadrante se tiene: R = ,78 0 R = 316,22 0 Para calcular las coordenadas geográficas: = 316,

8 UNIDD 2 MGNITUDES FISICS 2D = 46,22 0 S 46,22 0 O d) D = 17 ( 0,71 ) D = 12,24 m/s D = 17 (- 0,69 ) D = - 11,73 m/s D D ϕ u D = 0,82 i 0,57 j c) D = 100 ( 0,82 ) ; D = 82 m D = 100 ( - 0,57 ) ; D = -57 m PRENDO HCIENDO 1. Representar gráficamente los siguientes vectores. a) B = ( - 64 i 26 j ) m D b) J = 46 m, en la dirección 30 0 respecto al semieje negativo de la e) * Forma rectangular. D = ( 12,24 ; - 11,73 ) m/s c) F = 80 kgf en la dirección 62 0 al Este del Norte. K = ( 170 m/s ; ) Función de los vectores base d) = ( 80 N ; N ) D = ( 12,24 i - 11,73 j ) m/s Forma polar D = ( 17 m/s ; 316,22 0 ) Forma geográfica D = ( 17 m/s ; S 46,22 0 O ) 2. El vector H está definido por las coordenadas posición inicial r 0 = ( 4, 8) m posición final r f = ( 6, -6 )m. Determinar: a) Las componentes del vector b) El módulo del vector c) La dirección del vector d) Representar al vector en todas las formas conocidas. En función de los ángulos directores 3. Dado el vector α = cos 1 ( 0,72 ); α = 43,95 0 β = cos -1 ( - 0,69 ); β = 133,63 0 D = 17 m/s ( cos 43,95 0 i + cos 133,63 0 j ) R = ( 26 kgf, S 35 0 O ). Encontrar: a) El módulo o magnitud b) La dirección c) Componentes rectangulares d) Transformar a todas las formas conocidas. 5. El vector desplazamiento D tiene de magnitud 100 m de ángulos directores α = 35 0 β = Determinar: a) El módulo del vector. b) El vector unitario c) Las componentes rectangulares a) D = 100 m b) u D = cos α i + cos β j u D = cos 35 0 i +cos j 8