INTEGRALES INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS. 1.- Evalué (, ), donde f es la función dada, y = (, ): 1 4, 0 2.

Transcripción

1 INTEGRALES INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS 1.- Evalué (, ), donde f es la función dada, y = (, ): 1 4, , 0 1 a.- (, ) = 2 1 4, < 3, 0 < 1 b.- (, ) = 1 1 < 3, , , 0 < 1 c.-(, ) = 3 1 < 3, , Suponga = (, ): 0 2, 0 2 ; = (, ): 0 2, 0 1 = (, ): 0 2, 1 2 Suponga, además que (, ) = 3 ; (, ) = 5 (, ) = 2 Usando estas suposiciones evalué cada una de las siguientes: a.- 3(, ) (, ) c.- (, ) b.- 2(, ) + 5(, ) d.- (2(, ) + 3) 3.- Calcule (6 ), donde = (, ): 0 1, Calcule (1 + ), donde = (, ): 0 2, Evalué la integral iterada. a.- b.- 11 Sugerencia. La integral representa un sólido básico, dibuje y determine su área usando teoría fundamental. 22

2 c e.- g.- i.- / sin (4 ) d.- f.- h.- / j.- sin 6.- Calcule el valor de la integral doble dada. a.- b.- c.- d.- sin() ; = 2; = = cos( + ) ; = =. 9 ; + = 9 ; = ; = 2 h = Utilice integrales dobles para calcular el area de la región limitada por las curvas del plano xy. Dibuje la región. a.- = = b.- = 4 = 4 c.- = 9 = 9 d.- + = 16 = Exprese como una integral iterada la medida del volumen del solido limitado por el elipsoide. + + = Cambie el orden de integración y realice la integral indicada. a.- sin( ) b Evalué cada una de las integrales iteradas. a.- d.- () g.- b.- ( + ) e.- h.- c.- ( + ) f

3 11.- Evalué la integral iterada doble en R. a.- ; = (, ): 0 1, 1 1 b.- ( + ) ; = (, ): 1 1, 0 2 c ; = (, ): 0 3, Bosqueje el sólido cuyo volumen es la integral iterada dada. a.- d.- (4 ) b.- (2 ) c.- ( + ) 13.- Muestre que si (, ) = (). h() entonces. (, ) = (). h() 14.- Utilizando la propiedad anterior determine el valor de la integral Evalué 16.- Calcule el volumen del solido encerrado entre la superficie = cos() cos () y el plano xy, donde, 17.- Evalué la integral iterada. a.- b.- c Evalué 8 ( + + 1) 24

4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARES 19.- Evalué las integrales que se le presentan continuación. a.- b.- c.- ( ) d.- e.- f.- () / g.- sec () / h.- () cos () / () i.- 6 cos() / 20.- Evalué la integral doble dada cambiándola por una integral iterada. a.- : = = 1. b.- ( + ) : (0,0); (0,4); (1,4) c.- ( + 2) : = = d.- ( ) : = = 3 e.- f.- : (0,0); (2,2); (0,2) : = = Bosqueje el sólido dado. Luego determine el volumen mediante integración doble. a.- Tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano = b.- Tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano = 0 c.- La cuña acotada por los planos de coordenadas y los planos = 5 y = 0 d.- El sólido en el primer octante acotado por los planos de coordenadas y los planos = 0 y = 0 e.- El sólido en el primer octante acotado por la superficie = 9 y los planos coordenados. f.- El sólido acotado por el cilindro parabólico = 4 y los planos = = 0 12 Observar que esta grafica se divide en dos partes. 25

5 g.- El sólido en el primer octante acotado por la superficie =, el plano = = 1 = 0 h.- El sólido en el primer octante acotado por los cilindros circulares + = 16, + = 16 y los planos coordenados Cambie el orden de integración de las integrales iteradas. 13 a.- (, ) b.- (, ) c.- (, ) d.- (, ) e.- / (, ) f.- (, ) 23.- Evalué sin ( ) Donde S es la región acotada por =, = 2 = Evalué las integrales iteradas. / () a.- sin () / () b.- () () c.- d.- sin () 25.- Calcule el área de la región dada S calculando. Primero dibuje la región. a.- = 4 cos() = 2 b.- = = 4 sin () c.- = 6 6sin () d.- = 2 = 9cos (2) 13 OJO, no basta con solo invertir los diferenciales de lugar, también debe cambiar el orden de integración, no se deje llevar y tan solo los cambie, debe DIBUJAR la figura para ver como se determina los NUEVOS límites de integración. ALGUNAS VECES ES PREFERIBLE CAMBIAR EL ORDEN DE INTEGRACION PARA QUE LA INTEGRAL SEA MAS SENCILLA DE RESOLVER. 14 Piense detalladamente este ejercicio. Recuerde que si no logra resolver la integral siempre puede invertir el orden de integración para así obtener una integral más sencilla. Deténgase a pensar cual orden es el más apropiado. 26

6 26.- Realice el cambio a coordenadas polares y evalué la integral. Bosqueje la región de integración. a.- b.-, : + = 4 4, + = 4 = 0 = c.- + = 9 + = 1 d.- sin( + ) e.- ( + ) 27.- Calcule el volumen del sólido en el primer octante abajo del paraboloide = + y dentro del cilindro + = 9 usando coordenadas Use coordenadas polares para calcular el volumen del solido acotado por arriba por = 18, abajo por = 0 y lateralmente por + = Cambie a coordenadas rectangulares y luego evalué Sean () sin () = sin + = sin + Donde S es la región dentro del círculo + = 4 a.- Sin calcular, determine el signo de V b.- Evalué V c.- Evalué W. 27

7 Coordenadas polares Utilice integrales doble para calcular el área de la región indicada. a.- La región ubicada dentro del cardiode = 2(1 + sin()) b.- Una hoja de la rosa = cos (2) c.- La región ubicada dentro de la cardiode = (1 + cos()) y fuera de la circunferencia de =. d.-la región ubicada dentro de la circunferencia = 1 y fuera de la lemniscata = cos (2) e.- La región ubicada dentro del caracol = 3 cos () y fuera de la circunferencia = 5 cos() 32.- Obtenga el volumen del sólido. a.- El sólido limitado por el elipsoide + 9 = 9 b.- El sólido cortado en la esfera + = 16 por el cilindro = 4 cos () c.- El sólido sobre el plano polar limitado por el cono = 2 y el cilindro = 1 cos () d.- El sólido limitado por el paraboloide = 4, el cilindro = 1 y el plano polar Evalué por medio de coordenadas polares la integral + Donde R es la región del primer cuadrante limitada por la circunferencia + = 1 y los ejes coordenados Calcule el are de la porción de la superficie de la esfera + + = 4 cortada por un manto del cono + = 35.- Determine el área de la porción de la superficie de la esfera + + = 36 que se encuentra dentro de cilindro + = Calcule el área de la porción de la superficie de la esfera + + = 4 que se encuentra dentro del paraboloide + = Calcule el área de la superficie cortada en el paraboloide hiperbolico = 6 por el cilindro + =

8 APLICACIONES DE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIE 38.- Determine la masa (m) y el centro de masa (, ) de la lamina acotada por las curvas dadas y con la densidad indicada. a.- = 0, = 4, = 0, = 3, (, ) = + 1 b.- = 0, = 4 ; (, ) = c.- = 0, = sin(), 0 ; (, ) = d.- =, =, = 0, = 2, ; (, ) = e.- =, = 0, = 0, = 1 ; (, ) = 2 + f.- = 1 + cos() ; (, ) = 39.- Determine los momentos de inercia, para la lámina acotada por las curvas dadas y la densidad indicada. a.- =, = 9, = 0; (, ) = + b.- =, = 4; (, ) = c.- El cuadrado con vértices (0,0); (0, ); (, ); (, 0) ; (, ) = + d.- El triangulo con vértices (0,0); (0, ); (, 0); (, ) = Determine el radio de giro de la lámina del problema (39.c) con respecto al eje x Recuerde la lamina del problema (39.c) para la que encontramos =. Calcule (a) Masa (b) (c) donde L es una recta que pasa por (, ) paralela al eje y Determine el área de la superficie indicada. En cada caso dibuje la región. a.- La parte del plano = 12 que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices (0,0); (2,0); (2,1); (0,1) b.- La parte del plano = 12 acotada por los planos = 0, = = 12 c.- La parte de la superficie = 4 directamente arriba del cuadrado en el plano xy con vértices (1,0); (2,0); (2,1); (1,1) 29

9 d.- La parte de la superficie = 4 en el primer octante que está directamente arriba del círculo + = 9 en el plano. e.- La parte de la superficie = + 4 cortada por los planos = 0, = 1, = 0, = 2 f.- La parte de la esfera + + = dentro del cilindro elíptico + =, 0 < g.- La parte del cilindro + = dentro de la esfera + + =, > h.- La superficie del solido dado por la intersección de los dos cilindros sólidos Una lamina tiene la forma de una región rectangular limitada por las rectas = 3 y = 2 y los ejes coordenados. La densidad superficial en cualquier punto es kilogramos por metro cuadrado Una lamina tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por la parábola = y la recta = 1 y eje y. La densidad superficial en cualquier punto es ( + ) Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva =, la recta = 1 y los ejes coordenados. La densidad superficial varía como la distancia desde el eje x Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva = y la recta =. La densidad superficial varia como la distancia desde el eje y Calcule el momento de inercia de la lámina homogénea con respecto al eje indicado. a.- La lamina limitada por 4 = 3, = 4 y eje x con respecto a la recta = 4 b.- Una lámina tiene la forma de la región limitada por la parábola = 4 4 y el eje x, con respecto al eje x. c.- Una lamina tiene la forma de la región acotada por un triangulo cuyos lados miden metros, metros y metros; con respecto al lado que mide metros Calcule el área de la superficie del primer octante cortada en el cono + = por el plano + = Obtenga el área de la porción de superficie del cilindro + = 4 que esta dentro del cilindro + = Proyecte sobre el plano yz para obtener la región de integración. 16 (1 + sin()) = tan + 30

10 50.- Determine el área de la porción de superficie del cono + = que se encuentra dentro del cilindro + = Obtenga el área de la porción del plano = que esta entre los planos = 0 = 6 y dentro del hiperboloide = 144. INTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS 52.- Evalué las integrales iteradas. a.- b.- c.- d.- 6 e.- / 2 f.- sin( + + ) g.- 3 h.- sin () 53.- Bosqueje el sólido S. Luego escriba una integral iterada para (,, ) a.- = (,, ): 0 1, 0 3, 0 (12 3 2) b.- = (,, ): 0 4 ; 0 2, 0 3 c.- = (,, ): 0 ; 0 4, 0 d.- = (,, ): 0 ; 0 ; 0 2 e.- S es la región del primer octante acotada por la superficie = 9 y los planos de coordenadas. f.- S es la menor región acotada por el cilindro + 2 = 0 y los planos = 0, = 0 = 3 31

11 54.- Use integrales iteradas para determinar las cantidades indicadas. a.- El volumen del sólido en el primer octante acotado por = = 8 b.- El volumen del sólido en el primer octante acotado por el cilindro elíptico + 64 = 4 y el plano = c.- El volumen del solido acotado por los cilindros = = y el plano = 1 d.- El centro de masa del tetraedro acotado por los planos + + = 1, = 0, = 0 = 0 si la densidad es proporcional a la suma de las coordenadas del punto. e.- El centro de masa del solido acotado por el cilindro + = 9 y los planos = 0 = 4 si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al origen. f.- El momento de inercia en torno del eje x del solido acotado por el cilindro + = 4 y los planos = 0, = 0 = 0 si la densidad (, ) = Cambie el orden de integración, como se te indica. a.- (,, ) ; b.- (,, ) ; c.- (,, ) ; d.- (,, ) ; 56.- Una lata de refresco llena, de altura h, esta sobre el plano. Perfore un agujero en la base y observe (la coordenada z del centro de masa) cuando el refresco se derrama. Comenzando en, baja gradualmente a un mínimo luego sube a cuando la lata esta vacía. Muestre que es mínimo cuando coincide con la altura de la lata valdría la misma conclusión para una botella de refresco? 57.- Use coordenadas cilíndricas para determinar la cantidad indicada. a.- El volumen del solido acotado por el paraboloide = + y el plano z=4 b.- El volumen del solido acotado por arriba por la esfera + + = 9, abajo por el plano z=0 y lateralmente por el cilindro + = 4 17 Tendrá que desarrollar su propia formula: rebanar, aproximar, integrar. 32

12 c.- El volumen del solido bajo la superficie =, por arriba del plano y dentro del cilindro + = 2 d.- El centro de masa del solido homogéneo acotado por arriba por = y abajo por = + e.- El centro de masa del solido homogéneo dentro de + = 4, fuera de + = 1 y abajo por = 12 y arriba = Determine la masa de un sólido dentro de una esfera de radio 2 y fuera de un cilindro circular de radio a cuyo eje es diámetro de la esfera si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la esfera Utilice coordenadas esféricas pero resolver la integral ( + + ) 60.-Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas tiene valor 61.- Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a esféricas tiene valor sin () 62.- Determine el volumen del elipsoide =, =, = haciendo el cambio de variable Determine también el momento de inercia de este solido en torno del eje z, suponiendo que tiene densidad constante k Evalué la integral iterada o la integral triple. a.- b.- () c.- d.- e.- ( + ) = Use coordenadas esféricas para determinar lo que se pide. 33

13 f.- (0,0,0); (1,1,0); (1,0,0); (1,0,1) g.- ; = 6 ; = 0 ; = 0 ; = 0 h.- ; + = 1 ; + = 1 = 0 i.- + = 4 ; + = Calcule el volumen del solido del primer octante limitado inferiormente por el plano, superiormente por el plano = y lateralmente por el cilindro = y el plano = Determine el volumen del solido del primer octante acotado por el cilindro + = 16 y el plano + = 2 y los tres planos coordenados Obtenga el volumen del solido del primer octante limitado por los cilindros + = 4 y + 2 = 4 y los tres planos coordenados Calcule el volumen del solido acotado poro el cono elíptico = 0 y el plano = Determine el volumen del solido ubicado sobre el paraboloide elíptico 3 + = y debajo del cilindro + = Calcule la masa del solido limitado por la superficie = y los planos = 1 = 1 = 0 La densidad volumétrica en cualquier punto del solido es 3 + kilogramos por metro cubico Evalué la integral iterado por coordenas cilíndricas y esféricas. / () a.- () c.- e.- sin () / () d.- / / () () b.- cos () () sin () () f.- sin () sin () / / 34

14 71.- Si S es el sólido del primer octante limitado por la esfera + + = 16 y los planos coordenados evalué la integral (Utilice los diferentes tipos de coordenadas) Determine el volumen del solido limitado por el paraboloide + + = 1 y el plano Calcule el volumen del solido limitado por el cilindro + = 2 el paraboloide + = 2 y el plano Determine el volumen del solido ubicado dentro de la esfera + + = 4 y que se encuentra arriba del cono + = 75.- Obtenga el volumen del sólido que se encuentra dentro de la esfera + + = 2 y arriba del paraboloide + = 76.- Evalué la integral iterada empleando coordenadas cilíndricas o coordenadas esféricas. a.- + c.- b.- d.- INTEGRALES DE LINEAS 77.- Evalué cada integral de línea. a.- ( + ); = 3, =, 0 1 b.- c.- ; ; =, =, 0 1 ( 1,2) (1,1) d.- ( + + ); = 4 cos(), = 4 sin(), = 3, 0 2 e.- + ; (0, 1) (4, 1) (4,3) f.- g.- + ; = 2, = 3, ; =, 0 1 h.- + ( + ) + ; =, =, =,

15 78.- Resuelva ( + + ) + ( 2 + 3) + (2 + ); (0,0,0) (2,3,4) 79.- Sea (, ) = ( ) + ; =, =. 1 0, calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C Sea (, ) = ; = 3 ln(), = ln(2), 1 5 calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C Sea (,, ) = (2 ) ( ); (0,0,0) (1,1,1) calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C Sea (,, ) = + + ; =, =, =, 0 2 calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C Evalué la integral de línea sobre la curva C. a.- b.- c.- d.- + ; : () = + ; ; : () = 3 ; ( 2) ; : () = sin() 2 cos() ; 0 ; : () = +, (1,1) (4, 8) e.- ( ) + ( + ) ; : + = 4, (2,0) h. f.- ( 2) + ; : () = 3 cos() + 2 sin() ; 0 g.- sin() cos() ; :, 0 (, 1) h (5 ); : = + 1 (1,2) (3,38) i.- ( + ) + ( ); : = (0,0) (2,2) j.- ( + ) + ( ); : = 2 (0,0) (2,2) 36

16 k.- ( ) + + ; : (1,0,0) (3,4,8) l.- ( ) + + ; : () = ( + 1) + + ; 0 2 TEOREMA DE GREEN 84.- Use el Teorema de Green para evaluar la integral de línea dada. Dibuje la región dada. a.- 2 +, donde C es la curva cerrada formada por = y = entre (0,0) (4,2) b.- +, donde C es la curva cerrada formada por = 0, = 2 y = c.- (2 + ) + ( + 2), donde C es la curva cerrada formada por = 0, = 2 = d.- + ( + ), donde C es el triangulo con vértices (0,0), (2,0) y (0,1) e.- ( + 4) + (2 + 3), donde C es la elipse = 144 f.- ( + 2) + ( + sin()), donde C es el rectángulo con vértices (2,1) (6,1) (6,4) y (2,4) 85.- Determine el área de la región indicada S. Haga un bosquejo. 19 a.- S esta acotada por las curvas = 4 = 2 b.- S esta acotada por las curvas = = 86.- Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea. a.- ( + ) +, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x, la recta = 2 y la curva 4 = 19 Para determinar este tipo de área se aplica el teorema de Green y se obtiene la siguiente igualdad. () = + 37

17 b.- +, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x la recta = 1 y la curva = c.- ( + ) parábola = 2 donde C es la curva cerrada determinada por la recta 2 = 0 y la d.- ( + ), donde C es la curva cerrada determinada por el eje x y la parábola = 4 e.- (cos()) + cos(), donde C es el rectángulo cuyos vértices son (0,0);, 0 ;, ; 0, f.- +, donde C es la circunferencia + = 4 g.- (sin () + ) + (cos () ), donde C es la curva + = Utilizando el teorema de Green determine el área que se le indica. a.- La región limitada por el cuadrilátero cuyos vértices son (0,0); (4,0); (3,2); (1,1) b.- La región cuya frontera es la circunferencia + = c.- La región limitada por las graficas = ; = d.- La región acotada por la parábola = 2 y la recta = 8 38

18 SOLUCIONES A ALGUNOS EJERCICIOS. INTEGRALES PREGUNTA 11 PREGUNTA 1 a.- 0 b.- c.- a.- 3 b.- 12 c.- 13 PREGUNTA 2 a.- 4 b.- 31 c.- 3 d.- 10 PREGUNTA 3 PREGUNTA 4 PREGUNTA a.- 12 b.- 8 c.- 98/3 d.- 2/3 e.- g.- h.- 5 i.- PREGUNTA 6 a.- b.- 2 c.- PREGUNTA 7 a.- b.- PREGUNTA 8 PREGUNTA 9 a.- 0 b.- ( 1) PREGUNTA 10 a.- b.- 4 j d.- c.- 72 d c.- = 4 3 d.- 2 e.- 2 f g.- 1 ln(2) h.- f.- PREGUNTA 13 ()h() = () () h() h() = 1.- Linealidad de integración con respecto a (y) 2.- Linealidad de integración con respecto a (x). PREGUNTA 14 PREGUNTA 15 PREGUNTA 16 PREGUNTA 17 a.- PREGUNTA ln(2) b.- 0 c Cambie el orden de integración y obtenga que PREGUNTA 19 a.- ¾ b.- c.- 2 arctan 1 2 d.- ( ) e.- ln(5) f.- (2 ) g.- (3 ln(2) ) h.- 2 i.- (2 ) 39

19 PREGUNTA 20 PREGUNTA 28 a.- 0 b.- 6 c.- d.- e.- () ln(5) f PREGUNTA 21 PREGUNTA 29 * a.- 6 b.- 24 c.- 20 d.- g.- ( + 2) h.- PREGUNTA 22 a.- (, ) b.- c.- / / (, ) (, ) e.- f.- 72 d.- (, ) + (, ) / / e.- (, ) + (, ) f.- (, ) PREGUNTA 23 PREGUNTA 24 a.- b.- c.- PREGUNTA 25 1 cos(8) d.- a b.- 3 c.- 54 PREGUNTA 26 b.- c.- 8 d.- PREGUNTA 27 3 d cos e PREGUNTA a.- Negativo b.- = 4 c.- =8 PREGUNTA 31 a.- 6 b.- c.- (8+) d.- e PREGUNTA 32 a.- 4 b.- (3 4) c.- d.- PREGUNTA 33 PREGUNTA 34 PREGUNTA 35 PREGUNTA 36 PREGUNTA 37 = 1 2 =8 6 = 36 2 = 4 = PREGUNTA 38 CM Centro de Masa a.-30 (2,1,8) b.- c.-, d.- 0,, (1+4ln(2)) 40

20 e.- =, = PREGUNTA 46 = f.- (1.05,0) PREGUNTA 39 a.- = b.- = = = c.- = = d.- = = PREGUNTA 40 PREGUNTA 41 =5463 = = = = 5 12 a.- b.- c.- = PREGUNTA 42 a.- b.- 14 c.- e.- +2ln f.- 4 d.- 4 g ln1+ 2 h.- 8 PREGUNTA 43 PREGUNTA 44 PREGUNTA 45 = 3 2 = PREGUNTA 47 a.- 16 b.- (,)==>= 1 4 c.- ( )( )( ) ; = (++) PREGUNTA 48 PREGUNTA 49 PREGUNTA 50 PREGUNTA 51 PREGUNTA 52 a.- 40 b.- 55 c.- e.- f.- PREGUNTA 53 a.- b.- =2 =32 =2 2 = ln1+ 2 g h.- (,,) d (,,) c.- (,,) d.- (,,) e.- (,,) f.- (,,) (,)= =>= 1 4 ( 1) 41

21 PREGUNTA 54 PREGUNTA 72 = a.- b.- c.- 2 d.-,, e.- 0,0, PREGUNTA 73 = f.- = PREGUNTA 74 8 PREGUNTA 55 PREGUNTA 75 = a.- (,,) b.- (,,) c.- (,,) d.- (,,) + PREGUNTA 57 a b.- 96 c.- d.- 4 PREGUNTA 63 a.- f.- b.- c.- g.- 9 h.- i.- PREGUNTA 64 PREGUNTA 65 d.- e.- 41 = PREGUNTA 66 = PREGUNTA 67 =2 PREGUNTA 68 =4 = PREGUNTA 69 = PREGUNTA 70. a.- b.- e.- f PREGUNTA 71 = c.- 6( 1) d.- 16 PREGUNTA 76 a.- 18 b.- c d.- PREGUNTA 77 a b c.- 5 (1 3 ) d e.- 60 g.- 1 f.- h PREGUNTA PREGUNTA 79 PREGUNTA ,6 PREGUNTA 81 PREGUNTA 82 PREGUNTA 83 a.- 1 b.- f.- 3 c.- d.- g.- 1 h i.- k.- +2( ) l PREGUNTA 84 a.- b.- PREGUNTA 85 a.- PREGUNTA 86 c.- d.- b.- a.- 0 b.- 0 c.- 0 d.- 2 * e.- 50 * e.- 8 j.- e.- 0 f