6.6 Aplicaciones 403 } { 10 si t < 2 0 si t Œ; 2/ ; con x.0/ D x 0.0/ D 0: 10e. 5e 2s s.s 2 C 2s C 5/ 5e s s.s 2 C 2s C 5/ : D 12.s C 1/ 2 C 4.

Transcripción

1 6.6 Aplicacione Aplicacione Ejemplo 6.6. Conideremo un iema maa-reore con m kg, c 4 Nm/ y k 0 N/m. Supongamo que el iema eá inicialmene en repoo y en equilibrio por lo cual x.0/ x 0.0/ 0 y que la maa e impulada por una fuerza de exciación f./ cuya gráfica e muera en la figura iguiene. Enconrar la poición de la maa en cualquier inane. f./ 0 H La poición x./ de la maa m eá dada por la olución del PVI: x 00./ C 4x 0./ C 0x./ f./ 0 i < 0 i Œ; / ; con x.0/ x 0.0/ 0: La función f./ puede ecribire como f./ 0Œu. / u. / ; enonce por la linealidad de la TL enemo: 0e 0e F./ Lf f./g : Ahora, omamo TL en ambo miembro de la E para obener: Œ X./ x.0/ x 0.0/ C 4ŒX./ x.0/ C 0X./ F./: Al coniderar la condicione iniciale y la expreión de F./, enemo que: X./ C 4X./ C 0X./ ). C C 5/X./ ) X./ 5e. C C 5/ 0e 0e ) 0e ) 5e. C C 5/ : 0e Por lo ano, para enconrar x./, lo único que rea e obener la ranformada invera de Laplace. En primer lugar, por la primera propiedad de ralación, e iene que L Luego, calculamo L L C C 5. C / C 4 L. C / C 4 e en :. uilizando la propiedad de la ranformada de una inegral: C C 5/ [ L. C C 5/ 0 e u en u du ] e u. co u C en u/ e Œ co C en : 0

2 ~ 404 Ecuacione diferenciale Finalmene, al uilizar la egunda propiedad de ralación y la periodicidad de la funcione eno y coeno, deerminamo que x./ 5L e 5L e. C C 5/. C C 5/ e. / Œ co. 4/ C en. 4/ u. / e. / Œ co. / C en. / u. e. / Œ co C en u. / / e. / Œ co C en u. Podemo apreciar, en la gráfica de la función poición x./, que preenamo a coninuación, la exciación que obre el iema iene la función f./ en el inervalo Œ;. Adviera que, depué de que la fuerza cea, el iema iende al repoo por efeco de la fuerza de amoriguamieno. /: x./ ~ Ejemplo 6.6. Calcular la corriene en un circuio en erie RLC cuyo componene on: un reior de, un inducor de H, un capacior de F y una fuene de volaje que uminira (en volio): i 0 < I V./ i I 0 i > : (Ée e el ejemplo 6..3 de la inroducción.) H Aplicando lo valore L, R, y C en la E del circuio: L di d C RI C C Q V./; obenemo la ecuación inegro-diferencial, uponiendo corriene inicial nula: di d C I C I./d V./ con I.0/ 0: 0 Calculamo la TL de la función de volaje. Lo primero que obervamo e que V./ C. /u. / C. /u. /. /u. / C. /u. /: Por lo ano, por la egunda propiedad de ralación, LfV./g e C e e e C :

3 6.6 Aplicacione 405 Si aplicamo TL en ambo miembro de la ecuación inegro-diferencial, uilizando la propiedade requerida (ranformada de una derivada y de una inegral), enconramo: Q I./ I.0/ C I./ Q I./ C Q e e C, donde I./! Q I./: Ahora, uilizando I.0/ 0, y muliplicando ambo miembro de la ecuación anerior por, hallamo: Q I./ C Q I./ C Q I./ e e C ) Q I./ e e C. C / : Todo lo que rea e el cálculo de la ranformada invera. Procedemo de la iguiene manera. Primero, aplicamo fraccione parciale a la expreión. C / ; obenemo:. C / C. C / : Por lo ano: L C e e :. C / Aplicamo la egunda propiedad de ralación al reulado anerior: I./ L fi./g L e e C L e. C /. C / e C L. C /. C / L : e donde: I./ Œ e. /. /e. / u. / Œ e. /. /e. / u. / C Œ e e : La gráfica de la función de corriene e la iguiene: I./ La corriene e prácicamene cero a parir del décimo egundo depué del cierre del inerrupor en el circuio.

4 406 Ecuacione diferenciale Ejemplo o maa iguale de kg e encuenran vinculada mediane 3 reore de maa depreciable y conane de reiución k, como e muera en la figura iguiene. El iema eá dipueo vericalmene y la maa eán deprovia de rozamieno aí como de fuerza de exciación. Añadimo ahora la información dede la cual e rompe el equilibrio x.0/, x.0/, x 0.0/ 3, x 0.0/ 3. eerminar la poición de cada maa en cualquier inane, i k 3 N/m. (Ée e el ejemplo 6.. de la inroducción.) k Poición de equilibrio m x k Poición de equilibrio x m k H Enumeramo lo reore de arriba hacia abajo con lo número, y 3. Cuando el iema eá en movimieno, el reore eá ujeo a elongación y compreión, por coniguiene u elongación nea e x x. Por lo ano, de la ley de Hooke, deducimo que lo reore y ejercen fuerza kx y k.x x / repecivamene obre la maa m. e ea manera, i no hay fuerza exerna ni fuerza de amoriguamieno, enonce la fuerza nea obre la maa m e kx Ck.x x /. Ahora por la egunda ley de Newon, enemo: m x 00 kx C k.x x /: e manera imilar, la fuerza nea ejercida en la maa m e origina por la elongación y compreión de lo reore y 3. e manera má concrea, la fuerza ejercida obre la maa on, por el reore 3, kx ; y por el reore, k.x x /. Luego, por la egunda ley de Newon: m x 00 kx k.x x /: Si ahora uamo lo valore de la maa m m y el valor de k 3, obenemo el iguiene iema de ecuacione que reolveremo uilizando TL. x 00 3x C 3.x x / x 00 3x 3.x x / ; con x.0/ ; x.0/ ; x 0.0/ 3 & x 0.0/ 3: Aplicamo TL en ambo miembro de cada ecuación y obenemo: F./ x.0/ x 0.0/ 3F./ C 3ŒG./ F./ I G./ x.0/ x 0.0/ 3G./ 3ŒG./ F./ ; donde x./! F./ & x./! G./. Si ahora aplicamo la condicione iniciale, el iema anerior e conviere en F./ 3 3F./ C 3ŒG./ F./ I G./ C 3 3G./ 3ŒG./ F./ : Tenemo un iema de do ecuacione con do incógnia, F./ y G./. Ordenamo el úlimo iema con el propóio de depejar nuera incógnia:. C 6/F./ 3G./ C 3. C 6/F./ 3G./ C 3I 3F./. o bien C 6/G./ C 3 3F./ C. C 6/G./ 3:

5 6.6 Aplicacione 407 Si uilizamo la regla de Cramer para la olución del anerior iema, hallamo: F./ 3 C 3 C 9 C 9 4 C C 7 & G./ 3 3 C C C 7 : El denominador de cada una de la expreione e el mimo, y puede ecribire como e ea manera: 4 C C 7. C 6/ 9. C 9/. C 3/: F./ 3 C 3 C 9 C 9. C 9/. C 3/ e donde, al uilizar fraccione parciale, enconramo que & G./ 3 3 C 9 9. C 9/. C 3/ : F./ 3 C 3 C 9 C 9. C 9/. C 3/ C 3 C 3 C 9 & G./ 3 3 C 9 9. C 9/. C 3/ C 3 3 C 9 : Por lo ano, La iguiene gráfica muera amba funcione: x./ L C 3 C 3 co. p 3/ C en.3/i C 9 x./ L 3 co. p 3/ en.3/: C 3 C 9 x x./ x./ Ejercicio 6.6. Aplicacione. Solucione en la página 476 Uar la TL para reolver lo iguiene problema: d x d C 3dx d C x ; con x.0/ x 0.0/ 0. d x d C 4x en 3; con x.0/ x 0.0/ 0. d 4 x d 4 d x d C x en ; con x.0/ x 0.0/ x 00.0/ x 000.0/ 0. d y d C 4y f./; con y.0/ y 0.0/ 0, donde f./ d y d C y f./; con y.0/ 0 & y 0.0/, donde f./ 0 i 0 < 5I 5 i 5 < 0I 5 i 0: i 0 < 6I 3 i 6:

6 408 Ecuacione diferenciale d y 6. d C 4y u. / u. 3/; con y.0/ y 0.0/ 0. 3 dx dy C x C 7. d d, con x.0/ y.0/ 0. dx d C 4dy d C 3y 0 dx 8. d 3x C 4y C en, con x.0/ 0 & y.0/. dy x C 3y C d d x 9. d C y, con x.0/ y.0/ x 0.0/ y 0.0/ 0. d y d C x 0 d x 0. d C dy d C x 0 dx, con x.0/ 0; x 0.0/ 0 & y.0/ 0. dy d d co Z y 0 C y C 6 z d u./. 0, con y.0/ 5 & z.0/ 6. y 0 C z 0 C z 0 Z. Calcular y./, i y 0 C 3y C y d f./, con y.0/, aí como f./ 0 i I 0 i Œ; : 3. Un circuio elécrico conie de una reiencia de R en erie con un condenador de capaciancia C F, un generador de E V y un inerrupor. Si en el iempo 0 e cierra el inerrupor y i la carga inicial en el capacior e cero, deermine la carga en el condenador en cualquier iempo. Suponga que R, C y E on conane. 4. Un paracaidia cae dede el repoo. El peo combinado de él y u paracaída e W. El paracaída ejerce una fuerza en ambo (por reiencia del aire) que e proporcional a la velocidad durane la caída, eo e F R / v. El paracaidia cae vericalmene, y e requiere hallar u poición en cualquier momeno. a. Si e upone que el paracaída eá abiero dede el momeno inicial. b. Si e upone que el paracaída e abre 0 depué de iniciada la caída. 5. Una droga enra y ale de un órgano de volumen V 0 cm 3 a una aa de ˇ cm 3 /, donde V 0 ; y ˇ on conane. Supongamo que, en el iempo 0, la concenración de la droga e 0 y que, al adminirar la droga, dicha concenración aumena linealmene haa un máximo de k en el iempo 0, en el cual el proceo e deiene. eerminar la concenración de la droga en el órgano en odo inane y u máximo valor. 6. Una maa que pea 3 lb e encuenra ujea al exremo de un reore ligero que e eira pie cuando e le aplica una fuerza de 4 lb. Si la maa e encuenra en repoo en u poición de equilibrio cuando 0 y i, en ee inane, e aplica una fuerza de exciación f./ co que cea abrupamene en, deerminar la función de poición de la maa en cualquier inane i e permie a la maa coninuar u movimieno in impedimeno. 7. Un circuio RLC, con R 0, L H y C 0:00 F iene conecada una baería que proporciona 90 V. Suponer que en 0 no hay corriene en el circuio ni carga en el condenador y que, en el mimo inane, e cierra el inerrupor por. Si al iempo e abre el inerrupor, y aí e conerva, encuenre la corriene reulane en el circuio.