Sistemas numéricos. Aurelio Sanabria Taller de programación

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1 Sistemas numéricos Aurelio Sanabria Taller de programación II semestre, 2015

2 Sistemas numéricos Son un conjunto de reglas y símbolos que permiten construir representaciones numéricas. Los símbolos son repetidos en secuencia para representar valores grandes. Se presentan de la forma: (Número) base Ejemplo: válido: (27) 10 e inválido: (27E) 10 Ejemplos de sistemas numéricos: decimal: 7, romano: VII, binario: 111, octal: 7, hexadecimal: 7, Maya (base 20 y tenía cero), etc, etc, etc. Maya GFDL (Bryan wikipedia)

3 Sistemas numéricos posicionales Son aquellos donde cada dígito posee un peso particular según la posición en la que se encuentre en un número. Ejercicio: Muestre los pesos de cada dígito del número Ese peso se puede calcular: es una potencia de la base del sistema numérico. Para el sistema de base 10: 10 0 = 1 (unidades) 10 1 = 10 (decenas) 10 2 = 100 (centenas) 10 3 = = = Dewey Decimal System Poster CC BY-SA 2.0 flickr)

4 Bases Numéricas en Computación En computación las bases de representación numérica más relevantes son las potencias de 2: binario (base2): 0 1 octal (base 8): hexadecimal (base 16): A B C D E F Discusión: Por qué serán relevantes las potencias de dos?

5 Bases Numéricas en Computación Al igual que el sistema decimal son posicionales (la importancia relativa de cada dígito es una potencia de la base) La descomposición de números en potencias es útil para pasar de otras bases a base decimal. Una Base n utilizará los dígitos (símbolos) de 0 a n-1. Dec. Bin. Hexa. Dec. Bin. Hexa A B C D E F

6 Sistemas Posicionales Para número fraccionarios del sistema de base 10: 10-1 = 1 / 10 = 0, = 1 / 100 = 0, = 1 / 1000 = 0, = 1 / = 0, = 1 / = 0, = 1 / = 0, Ejercicio: Muestre los pesos de cada dígito del número 876, * 8 = * 7 = * 6= * 5 = 0, * 4 = 0, ,5 + 0,04 876,54 Estamos acostumbrados desde pequeños al sistema decimal Los símbolos utilizados son los arábigos: Identifique el dígito más significativo y el menos significativo

7 Sistema numérico binario Enteros: 2 0 = = = = = = = Fracciones: 2-1 = 1 / 2 = 0, = 1 / 4 = 0, = 1 / 8 = 0, = 1 / 16 = 0, Ejercicios: "Hay 10 tipos de personas, las que saben binario y las que no." Calcule el valor en decimal del número binario = = Calcule el valor en decimal del número binario GEAK CC BY-SA 2.0 flickr)

8 Sistema numérico binario Conversiones enteras de decimal a binario Para pasar un número decimal entero a binario, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. [ algortimo?] Si se divide entre dos: el residuo siempre será 1 o 0. Convierta: 25 en decimal a Binario: Resultado Residuo Resultado:

9 Sistema numérico binario Conversiones enteras de decimal a binario Para pasar un número decimal entero a binario, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. [ algortimo?] Si se divide entre dos: el residuo siempre será 1 o 0. Convierta: 25 en decimal a Binario: Resultado Residuo Resultado:

10 Sistema numérico binario Conversiones enteras de decimal a binario Para pasar un número decimal entero a binario, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. [ algortimo?] Si se divide entre dos: el residuo siempre será 1 o 0. Convierta: 25 en decimal a Binario: Resultado Residuo Resultado:

11 Sistema numérico binario Conversiones enteras de decimal a binario Para pasar un número decimal entero a binario, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. [ algortimo?] Si se divide entre dos: el residuo siempre será 1 o 0. Convierta: 25 en decimal a Binario: Resultado Residuo Resultado:

12 Sistema numérico binario Conversiones enteras de decimal a binario Para pasar un número decimal entero a binario, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. [ algortimo?] Si se divide entre dos: el residuo siempre será 1 o 0. Convierta: 25 en decimal a Binario: Resultado Residuo Resultado:

13 Sistema numérico binario Conversiones enteras de decimal a binario Para pasar un número decimal entero a binario, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. [ algortimo?] Si se divide entre dos: el residuo siempre será 1 o 0. Convierta: 25 en decimal a Binario: Resultado Residuo Resultado:

14 Sistema numérico binario Conversiones enteras de decimal a binario Para pasar un número decimal entero a binario, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. [ algortimo?] Si se divide entre dos: el residuo siempre será 1 o 0. Convierta: 25 en decimal a Binario: Resultado Residuo Menos significativo Más significativo Resultado: 11001

15 Sistema numérico binario Conversiones de decimal a binario Ejercicios: convierta de decimal a binario

16 Sistema numérico octal Enteros: 8 0 = = = = Fracciones: 8-1 = 1 / 8 = 0, = 1 / 64 = 0, = 1 / 512 = 0, = 1 / 4096 = 0, = = = Ejercicios: Yuki tribe Dominio público wikipedia) Calcule el valor en decimal del número octal 573 Calcule el valor en decimal del número octal 372

17 Sistema numérico octal Conversiones enteras de decimal a octal Para pasar un número decimal entero a octal, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. Si se divide entre ocho: el residuo siempre será 0,1,2,3,4,5,6 o 7. Convierta: 194 en decimal a Octal: Resultado Residuo

18 Sistema numérico octal Conversiones enteras de decimal a octal Para pasar un número decimal entero a octal, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. Si se divide entre ocho: el residuo siempre será 0,1,2,3,4,5,6 o 7. Convierta: 194 en decimal a Octal: Resultado Residuo

19 Sistema numérico octal Conversiones enteras de decimal a octal Para pasar un número decimal entero a octal, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. Si se divide entre ocho: el residuo siempre será 0,1,2,3,4,5,6 o 7. Convierta: 194 en decimal a Octal: Resultado Residuo Menos significativo Más significativo Resultado: 302 (en base 8) Convierta 175 en decimal a octal.

20 Sistema numérico octal Conversiones de decimal a octal Conversiones de binario a octal y a decimal

21 Sistema numérico hexadecimal Enteros: 16 0 = = = Fracciones: 16-1 = 1 / 16 = 0, = 1 / 256 = 0, = 1 / 4096 = 0, = = Ejercicio: Calcule el valor en decimal del número hexadecimal E5D7 Hexadecimal clock CC BY 2.0 flickr)

22 Sistema numérico hexadecimal Conversiones enteras de decimal a hexadecimal Para pasar un número decimal entero a hexadecimal, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. Si se divide entre dieciséis : el residuo siempre será 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(A),11(B),12(C),13(D),14(E),15(F). Convierta: en decimal a Hexadecimal: Resultado Residuo

23 Sistema numérico hexadecimal Conversiones enteras de decimal a hexadecimal Para pasar un número decimal entero a hexadecimal, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. Si se divide entre dieciséis : el residuo siempre será 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(A),11(B),12(C),13(D),14(E),15(F). Convierta: en decimal a Hexadecimal: Resultado Residuo

24 Sistema numérico hexadecimal Conversiones enteras de decimal a hexadecimal Para pasar un número decimal entero a hexadecimal, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. Si se divide entre dieciséis : el residuo siempre será 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(A),11(B),12(C),13(D),14(E),15(F). Convierta: en decimal a Hexadecimal: Resultado Residuo (A)

25 Sistema numérico hexadecimal Conversiones enteras de decimal a hexadecimal Para pasar un número decimal entero a hexadecimal, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. Si se divide entre dieciséis : el residuo siempre será 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(A),11(B),12(C),13(D),14(E),15(F). Convierta: en decimal a Hexadecimal: Resultado Residuo (A) (B)

26 Sistema numérico hexadecimal Conversiones enteras de decimal a hexadecimal Para pasar un número decimal entero a hexadecimal, utilice divisiones sucesivas del número entre la base y anote los residuos. Si se divide entre dieciséis : el residuo siempre será 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(A),11(B),12(C),13(D),14(E),15(F). Convierta: en decimal a Hexadecimal: Resultado Residuo Menos significativo (A) (B) Más significativo Resultado: BA10 (en base 16) Convierta 156 en decimal a hexadecimal.

27 Sistema numérico hexadecimal Conversiones de decimal a hexadecimal Conversiones de hexadecimal a binario, octal y a decimal AE7 2C5 1B6

28 BCD Decimal Codificado en Binario (Binary Coded Decimal) Se utilizar 4 bits para representar 1 dígito decimal Cada dígito entero o fraccionario en decimal es convertido a BCD directamente (en 4 bits) Bin Dec BCD Bin Dec BCD El número 1990,78 (base 10) representado en binario utilizando BCD sería: ,

29 Gray Código Gray No es un sistema posicional (los dígitos no tienen pesos) Es un código cíclico. Solo cambia un bit entre cada número (resaltado en rojo) Se busca la reducción de errores por medio de la minimización del cambio de estados de los elementos electrónicos. Desventaja: muy incómodo de utilizar, principalmente en aritmética Bin Dec Gray Bin Dec Gray

30 Codificación de la Información Tipos de datos a nivel máquina La unidad más pequeña de representación es el bit, el cual corresponde a un uno o un cero. Un Byte es el nombre utilizado para 8 bits agrupados (juntos) 8 bits permiten una combinación de símbolos de hasta 255. Información Números (enteros, flotantes, etc) Caracteres (string hilera de caracteres) Valores de Verdad (True y False) Instrucciones para la computadora Todo!...para lo cual nos ingeniemos una representación

31 Codificación de la Información El problema se resume en cómo crear representaciones de las cosas para que al final sean cadenas de unos y ceros; Códigos con los cuales podamos llevar a cabo procesamientos. De nuevo: abstracción, creatividad e ingenio. Nos podría llevar a múltiples representaciones incompatibles. Solución: estandarización de codificaciones American Standard Code for Information Interchange o ASCII. Inicialmente usaba 7bits + 1bit de paridad. (128 combinaciones) Hoy en día hay muchas variaciones del estándar

32 Tabla de Caracteres ASCII Wikipedia

33 ASCII: Bit de Paridad El octavo bit de los caracteres ASCII es el bit de paridad, usado para determinar si un carácter ASCII fue transmitido correctamente. El valor del bit de paridad se puede utilizar como se desee: Paridad par: quiere decir que la suma de todos los unos (1's) del carácter, incluyendo el bit de paridad, debe ser un número par. Ejemplo: Letra G en ASCII es ' ', hay 4 unos (número par) por lo tanto el bit de paridad debe ser un cero. En ocho bits el ASCII con paridad par para la letra G sería ' ' Ojo: Si se pusiera un 1 en vez de un 0 en el bit de paridad no sería cierto que la suma de todos los unos fuera un número par, pues sería 5 (número impar) Paridad impar: quiere decir que la suma de todos los unos (1's) del carácter, incluyendo el bit de paridad, debe ser un número impar. Ejercicio: Cual sería el valor a transmitir para el ASCII con paridad impar de la letra G?

34 Aritmética Precisión En computadoras todas las operaciones se dan entre números binarios con tamaño finito, esto aplica tanto para operandos como para resultado. Si los registros de un procesador son de 8 bits y una operación aritmética produce un acarreo en el bit más significativo, ese noveno bit será representado como un acarreo en el registro de estado del procesador y el resultado será dado en 8 bits sin el acarreo final.

35 Aritmética Suma Cuando se hacen sumas en decimal tomamos dos números y los alineamos uno sobre el otro y tomamos cada columna desde la de los números menos significativos hasta aquella con los más significativos: Para cada uno realizamos una operación sencilla de suma de dos (o tres) dígitos. Si el resultado fuera mayor que 9 entonces tenemos un acarreo que lo colocamos como un tercer dígito a sumar en la siguiente columna más significativa. Acarreo Sumando Sumando Resultado Se continúa hasta terminar el número.

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37 Aritmética Suma Binaria Es igual = = 1 ( = 1) Acarreo Sumando 1101 Sumando Resultado = 0 (con acarreo de 1) = 1 (con acarreo de 1) Otros detalles interesantes: La compuerta lógica XOR (o exclusivo) tiene un comportamiento similar a la suma binaria de 1 bit, sin incluir el bit de acarreo. Utilizando 4 compuertas NAND es posible construir un XOR. Combinando un AND y un XOR tenemos un sumador de 1 bit (imagen) Basic Half Adder Circui wikipedia)

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39 Aritmética Resta Cuando se hacen restas en decimal tomamos dos números y los alineamos unos sobre el otro y tomamos cada columna desde la de los números menos significativos hasta aquella con los más significativos: Para cada uno realizamos una operación sencilla de resta de dos dígitos. Si el minuendo fuera menor que el sustraendo entonces pedimos prestado uno al siguiente dígito más significativo y realizamos la operación Minuendo con préstamo Minuendo Sustraendo Diferencia Se continúa hasta terminar el número.

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41 Aritmética Resta Binaria Es igual. 0-0 = = 0 Minuendo con préstamo Minuendo Sustraendo Diferencia 1-0 = = 1 (con préstamo de 1) Es importante tener claro que cundo se hace un préstamo la cantidad prestada es igual a la base, que en este caso es dos y se representa como 10. Restas de minuendos menores que los sustraendos las veremos más adelante. (negativos) En las computadoras la forma de implementar las restas es utilizando sumas, entre el minuendo y el complemento a dos del sustraendo. (más adelante)

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43 Aritmética Multiplicación La multiplicación consiste en sumar un número tantas veces como lo indique el multiplicador. 3 * 4 = = 12 Pero normalmente si los números son grandes utilizamos otro método: Se multiplica el multiplicando por cada uno de los dígitos del multiplicador, haciendo un corrimiento por cada operación o resultado parcial Nota: el resultado parcial respeta la posición del dígito del multiplicador (gracias al acarreo) Multiplicando 324 Multiplicador * 223 Acarreo de la suma final Primer resultado parcial Segundo resultado parcial Tercer resultado parcial Producto final Sumar los resultados parciales de manera normal

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45 Aritmética Multiplicación Binaria Es igual. 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Operación lógica AND? Multiplicando 1111 Multiplicador * 1101 I resultado parcial 1111 II resultado parcial Suma de resultados parciales (I y II) 1111 III resultado parcial acarreo Multiplique: * Nota: a pesar de que se pueden acumular todos los resultados parciales de la multiplicación y al final sumar es preferible no acumularlos para evitar confusiones con el resultado Suma resultado parcial III y suma parcial IV resultado parcial acarreo Producto final Ver ejemplo en la pizarra o hacerlo en papel

46 Aritmética División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: 1 El 1 más a la izquierda es el dígito más significativo de / 45 = 4 + 1/45

47 Aritmética División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Si El dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Resultados: Cociente: 4 Residuo: 1 Dígito = 1, Divisor = 45 Dígito < divisor, entonces se anota el / 45 = 4 + 1/45 Dígito = 18, Divisor = 45 Dígito < divisor, entonces se anota el 0

48 Aritmética División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: / 45 = 4 + 1/45 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: Si el dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Si el dígito es mayor o igual que el divisor entonces se calcula cuantas veces cabe el divisor en el dígito. (en el ejemplo sucede cuando dígito es 181, por lo que 181 >= 45 por lo que el cociente es 4)

49 Aritmética División Es la operación inversa de la multiplicación y nos indica cuantas veces puedo restar un número con respecto a otro o en otras palabras cuantas veces cabe un número en otro. Operandos: Dividendo: 181 Divisor: 45 Resultados: Cociente: 4 Residuo: / 45 = 4 + 1/45 Procedimiento: Se comienza del dígito más significativo del dividendo (luego se van tomando los siguientes) y se determina: El dígito es más pequeño que el divisor entonces el cociente que se anota es cero (en la posición correspondiente al dígito. (en el primer y segundo caso del ejemplo) Si el dígito es mayor o igual que el divisor entonces se calcula cuantas veces cabe el divisor en el dígito. (en el ejemplo sucede cuando dígito es 181, por lo que 181 >= 45 por lo que el cociente es 4) Se multiplica la cantidad de veces que cabe el dígito dividendo por el divisor y se le resta al antiguo dividendo/dígito. (En el ejemplo: )

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51 Aritmética División binaria Divida: / 101 Operandos: Dividendo: Divisor: 101 Resultados: Cociente: 111 Residuo: 0 El procedimiento es igual al desarrollado en la división en base diez. La división binaria es más sencilla en comparación a la decimal

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53 Números binarios negativos Problema: cómo representar números negativos en un mecanismo computacional? - Como es de esperar han surgido varias formas de solucionarlo, por ejemplo los métodos (o sistemas): Signo y magnitud Complementos a uno (la base disminuida) Sin embargo el método que ha funcionado mejor y por ende se sigue utilizando de formas más general es el complemento a dos o complemento a la base.

54 Números binarios negativos Signo y magnitud Se utiliza el bit más significativo para denotar el signo del número representado. Si esta en cero quiere decir que el número es positivo y en uno es negativo. Complemento a uno En este método se sigue utilizando el bit más significativo para representar el signo de los números (el cero para positivo), pero la representación de los negativos cambia ligeramente. Dado un tamaño fijo para la representación de los números (8bits), tendríamos que la representación de (7) 10 en binario complemento a uno es: (en azul se marca el signo) Su correspondiente negativo se obtiene invirtiendo todos los bits del número, o sea (-7) 10 = ( ) 2 complemento a uno. Este método a pesar de ser sencillo para los h.s.s es complicado de procesar en un computador en el cual se quieren incorporar operaciones aritméticas... (o sea todos) En 8 bits cuantos números puedo representar? Cómo represento el cero?

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56 Números binarios negativos Complemento a dos Es el método utilizado en los procesadores actuales. La representación de números positivos utilizando complemento a dos es exactamente igual a como se ha presentado anteriormente. En el caso de los número negativos el procedimiento consiste en sacar el complemento a uno del número que quiero representar y luego sumarle 1. Recordar que en esta representación también se trabaja con número de tamaño fijo. Si utilizamos una representación en 8 bits, la representación del número -77 sería: (positivo) en binario (8bits) es: El complemento a uno de 77 (positivo es): Luego le sumamos uno al complemento: = Nota: el bit más significativo indica si el número es positivo (0) o negativo(1). En caso de ser negativo para saber que número representa se puede convertir con el mismo procedimiento a su valor positivo y luego ya sabremos cual número negativo representaba.

57 Números binarios negativos La primera columna muestra los posibles patrones que se pueden representar utilizando 8 bits (combinaciones). La segunda corresponde al número decimal que representa el patrón de la columna uno. La tercera y cuarta indican la interpretación que se le da a las distintas representaciones según se utilice complemento a dos o complemento a uno respectivamente. Cuantos distintos valores puedo representar utilizando 8 bits y complemento a dos?

58 Aritmética en complemento a dos Los procesadores actuales utilizan aritmética en complemento a dos porque permiten crear circuitos sencillos, eficientes y baratos Utilizando complemento a dos no es necesario modificar la circuitería requerida para sumar con operandos positivos y/o negativos. Por ejemplo: Una vez efectuada la suma, si hubiera un acarreo este se descarta. El circuito sumador (en el ALU) no sabe si un número es positivo o negativo, el simplemente suma y es responsabilidad del programador saber interpretar la representación. Esto nos permite operar con números con o sin signo de la misma manera. Es muy importante tener claro los posibles valores que se pueden representar con el número de bits en que se de la representación de los números. Ej: en 8 bits solo puedo operar con números entre -128 y 127, fuera de ese rango habría un error en el resultado.

59 Aritmética en complemento a dos Esta representación nos permite trabajar las restas utilizando el mismo circuito que realiza las sumas. El procedimiento consiste en sumar el minuendo con el complemento a dos del sustraendo. Una vez efectuada la suma, si hubiera un acarreo este se descarta. Acarreo se descarta!

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61 Aritmética Ejercicio: convierta a binario y realice las operaciones aritméticas Asuma que el tamaño de los registros (precisión) es de 8 bits e indique cuando hay un acarreo. (CC) 16 + (3B) 16, (B5) 16 + (8F) 16, (A7) 16 + (1F) 16, (AB) 16 + (CD) 16, (32) 16 + (65) 16, (8) 16 - (1) 16, (C4) 16 - (25) 16, (EE) 16 (BA) 16 (1001) 2 * (1100) 2, (1101) 2 * (1111) 2 (101000) 2 / (1000) 2, ( ) 2 / (110) 2 Utilizar complemento a dos: (DB) 16 - (B2) 16, (8B) 16 - (81) 16, (86) 16 (36) 16

62 Referencias y Lecturas Complementarias Material suministrado por el profesor Jeff Schmidt, Instituto Tecnológico de Costa Rica. I semestre Material suministrado por el profesor Jaime Gutiérrez, Instituto Tecnológico de Costa Rica. I semestre 2011.

63 *La licencia de la presentación no cubre las imágenes utilizadas*

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