Series de números reales

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1 Tema 9 Series de úmeros reales E este tema abordamos el estudio de otra oció fudametal e Aálisis Matemático, la covergecia de series de úmeros reales. De hecho, el cocepto o es uevo, pues veremos que ua serie o es más que ua sucesió defiida de forma muy cocreta a partir de otra, pero ocurre tambié que cualquier sucesió puede verse como ua serie. Por tato, al estudiar la covergecia de series o hacemos otra cosa que estudiar la covergecia de sucesioes, sólo que desde u puto de vista diferete. El iterés del uevo puto de vista cosiste e que itetamos dar setido a la idea ituitiva de sumar todos los térmios de ua sucesió. Parte de uestro trabajo cosistirá precisamete e compreder hasta qué puto la teoría que vamos a desarrollar respode a esa idea ituitiva. 9.. Series covergetes Sea {x ua sucesió de úmeros reales e itetemos, como se ha dicho, dar setido a la idea de sumar todos los térmios de dicha sucesió, ua suma ifiita. Para ello podemos hacer sumas fiitas, icremetado progresivamete el úmero de sumados, lo que os lleva a cosiderar otra sucesió: x, (x + x 2 ), (x + x 2 + x 3 ),..., (x + x x ),... Si esta ueva sucesió coverge, parece plausible eteder que su límite sea la suma ifiita que íbamos buscado. Idepedietemete de que ésta sea o o ua buea idea, que de eso hablaremos más adelate, de etrada es ua idea muy sugerete que merece ser explorada. Así pues, a cada sucesió de úmeros reales {x, asociamos la sucesió {S defiida por S = x k, para todo N. Se dice que {S es la serie de térmio geeral {x, que se deota por x. Así pues, simbólicamete: x = {S = 73 { x k

2 9. Series de úmeros reales 74 Queda claro que ua serie de úmeros reales o es más que la sucesió de úmeros reales que obteemos de ua forma muy cocreta a partir de otra, llamada térmio geeral de la serie. Cualquier propiedad de las sucesioes se aplica automáticamete a las series, co lo que tiee setido decir, por ejemplo, que ua serie coverge, diverge, es moótoa, está acotada, etc. Para destacar la propiedad que más os iteresa, la serie x será covergete cuado coverja como sucesió que es. E tal caso, a su límite le llamamos suma de la serie y se deota por x, para sugerir la idea ituitiva de que estamos sumado todos los térmios de la sucesió {x. Así pues, cuado la serie x es covergete, teemos, por defiició: x = lím S = lím Nótese que al estudiar ua serie trabajamos co dos sucesioes, el térmio geeral {x y la propia serie {S. Coviee por tato usar ua termiología que idique claramete a cual de ellas os referimos e cada mometo. Es pues coherete que al límite de la sucesió {S, cuado existe, le hayamos llamado suma de la serie, para o cofudirlo co el posible límite de la sucesió {x, que proto discutiremos. Habitualmete, la palabra térmio se reserva tambié para la sucesió {x, e icluso se habla de los térmios de la serie x para referirse a los térmios de la sucesió {x. Por ejemplo, es frecuete decir que x es ua serie de térmios o egativos, para idicar que x 0 para todo N, e cuyo caso tambié se tiee que S 0 para todo N, pero lo que realmete importa es que la serie es creciete, es decir, la sucesió {S es creciete, puesto que S S + x + = S + para todo N. Necesitamos por tato ua deomiació para referiros a los térmios de la sucesió {S, si que haya riesgo de cofusió. Pues bie, para cada N, se dice que S = x k es la -ésima suma parcial de la serie x. De esta forma, los térmios de la serie so los de la sucesió {x, mietras que los térmios de la sucesió {S so las sumas parciales de la serie. Icluso se dice a veces que {S es la sucesió de sumas parciales de la serie. Por ejemplo, si decimos que la serie x tiee sumas parciales acotadas, queremos idicar que la serie está acotada, es decir, que la sucesió {S está acotada. Debe quedar claro que las expresioes cometadas so sólo formas de hablar: matemáticamete, ua serie y la sucesió de sus sumas parciales so exactamete la misma cosa. Coviee aclarar que ua serie o es u tipo particular de sucesió, más cocretamete, toda sucesió de úmeros reales puede verse como ua serie. E realidad, esta es ua idea que ya coocemos: dada ua sucesió {y, basta tomar x = y y, co el coveio y 0 = 0, para teer evidetemete y = x k x k para todo N, es decir, {y = x = (y y ).

3 9. Series de úmeros reales 75 E resume, toda serie es, por defiició, ua sucesió, y recíprocamete, toda sucesió puede verse como ua serie. Por tato, la covergecia de sucesioes y la de series, so ocioes equivaletes, la úica diferecia etre ellas es u cambio de leguaje. El uevo leguaje de las series merece la pea pricipalmete por dos razoes. Por ua parte, las sucesioes más iteresates suele aparecer e forma de serie y es frecuete que el térmio geeral de ua serie sea ua sucesió bastate secilla, pero la serie sea ua sucesió más complicada. Por otra, el leguaje de las series permite platear y cotestar pregutas que e leguaje de sucesioes o surgiría co tata aturalidad. De lo dicho se desprede que, al estudiar ua serie x, lo que más os debe iteresar es la iformació sobre ella que podamos deducir directamete de la sucesió {x, pues casi uca dispodremos de ua expresió cómoda para trabajar co las sumas parciales. Veamos u resultado básico del tipo idicado: si la sucesió {x o coverge a cero, la serie x o puede ser covergete, equivaletemete: El térmio geeral de ua serie covergete es ua sucesió covergete a cero. Supoiedo que la serie {S = x coverge, digamos {S S R, teemos tambié {S + S, luego {x + = {S + S 0, es decir, {x 0. Traducido al leguaje de sucesioes, lo que acabamos de ver es igual de obvio: si {y es ua sucesió covergete, etoces {y y 0, equivaletemete, {y + y 0. Es atural pregutarse por el recíproco del resultado aterior, es decir, si la covergecia a cero del térmio geeral de ua serie implica o o que la serie coverja. E leguaje de sucesioes, la preguta sería si, dada ua sucesió {y, de ser {y + y 0 podemos o o deducir que {y sea covergete. He aquí ua preguta sobre sucesioes, que hasta ahora o os habíamos plateado, pero que surge de forma muy atural al estudiar las series. Vamos a ver eseguida, co u ejemplo importate, que la respuesta es egativa Primeros ejemplos de series La serie recibe el ombre de serie armóica y se deota tambié por {H : H = k = N Obsérvese que la serie armóica es ua sucesió algo complicada, calcular explícitamete la -ésima suma parcial H, para valores grades de, es laborioso, y o dispoemos de ua expresió cómoda que os permita decidir fácilmete si la serie coverge o o. Si embargo, el térmio geeral de la serie armóica es {/, ua sucesió bie secilla que sabemos coverge a cero. Pues bie, la serie armóica es u bue ejemplo de ua serie o covergete, cuyo térmio geeral coverge a cero:

4 9. Series de úmeros reales 76 La serie armóica diverge positivamete. La demostració se basa e la siguiete desigualdad, que comprobaremos por iducció: H 2 = 2 k + 2 N () E efecto, para = la desigualdad buscada es evidete y, supuesto que se verifica para u N, teemos H 2 + = H k=2 + k = dode, para 2 + k 2 +, hemos usado que /k /2 +. De () se deduce claramete que la sucesió {H 2 o está mayorada, luego {H tampoco lo está. Como {H es ua sucesió creciete y o mayorada, teemos {H +, como queríamos. Como primer ejemplo de serie covergete, auque sea bastate trivial, merece la pea ver que toda suma fiita puede verse como suma de ua serie. Dados p N y x,x 2,...,x p R, cosideremos la serie {S = x, dode x = 0 para > p. Etoces, para p se tiee obviamete S = S p, luego {S S p. Por tato, la serie cosiderada es covergete co p x = x k Ituitivamete, esto es ua absoluta igeuidad: cualquier suma fiita puede verse como la suma de ua serie cuyos térmios so todos ulos a partir de uo e adelate. Eseguida vamos a presetar ua amplia colecció de series covergetes o triviales, es decir, co ifiitos térmios o ulos. Coviee aclarar previamete ua otació que se usa a meudo para trabajar co ciertas series. Se trata solamete de cosiderar series cuyos térmios se umera de ua forma diferete a la usada hasta ahora. Dada ua sucesió {x teemos la serie de térmio geeral {x : x = { x = {S () Pero fijado x 0 R, os puede iteresar que las sumas parciales arraque co x 0 como primer sumado, e lugar de x. Para ello, deotamos por x a la serie x, explícitamete: 0 x = x = 0 { x k Caso de que esta serie sea covergete, su suma se deotará por = { x k = { S k=0 x = x. =0 (2)

5 9. Series de úmeros reales 77 Obviamete las series que aparece e () y (2) so distitas, pero coviee resaltar que, para cada N, la -ésima suma parcial de ambas series ivolucra sumados. Además, teemos claramete S + = x 0 + S, para todo N, luego la covergecia de la sucesió {S equivale a la de { S +, que a su vez equivale a la de { S, e cuyo caso está clara la relació etre las sumas de ambas series: Sea x R para todo N {0. Etoces la serie x coverge si, y sólo si, la serie x coverge, e cuyo caso se tiee: 0 x = x 0 + =0 x. Pues bie, dado x R, la serie x = x recibe el ombre de serie geométrica de 0 razó x. Su térmio geeral es la sucesió {x que sabemos coverge a cero si, y sólo si, x <. Deducimos que, si la serie geométrica de razó x es covergete, se ha de teer x <. E este caso, el recíproco tambié es cierto: Para x R co x <, la serie geométrica de razó x es covergete, co x = =0 x Para comprobarlo, fijado x R co x <, sumamos ua progresió geométrica: x k = x k=0 x N Usado ahora que {x 0, obteemos: x x = lím =0 x = x Es útil cosiderar series cuyos térmios se umera de otras formas que aú o hemos maejado. Dada ua sucesió {x que como siempre da lugar a la serie defiida e (), e lugar de añadir u primer sumado x 0 como hicimos e (2), os puede iteresar, fijado p N, omitir los sumados x k co k p, de forma que las sumas parciales arraque co x p+ como primer sumado. Para ello, deotamos por p+ x a la serie x p+, más explícitamete: { { p+ x = x p+ = p+k = p+ x Caso de que esta serie sea covergete, su suma se deotará por x k = { Ŝ k=p+ x = x p+. =p+ (3)

6 9. Series de úmeros reales 78 Nótese que, de uevo, para cada N la -ésima suma parcial Ŝ de la serie defiida e (3) ivolucra sumados. Además, teemos claramete S p+ = p+ x k = p x k + p+ x k = k=p+ p x k + Ŝ N de dode deducimos claramete lo siguiete: Para toda sucesió {x, y todo p N, se tiee que la serie si, la serie x coverge, e cuyo caso se tiee: x = p x k + =p+ x coverge si y sólo p+ x (4) Dicho ituitivamete, cualquiera que sea p N, al suprimir los primeros p sumados de ua serie, obteemos otra, cuya covergecia equivale a la de la serie de partida, y cuado ambas series coverge, sus sumas guarda la relació que cabía esperar, pues la igualdad (4) puede etederse como ua especie de propiedad asociativa de la suma de ua serie. Para eteder la utilidad que puede teer usar series cuyos térmios aparece umerados de muy diversas formas, coviee isistir e lo recié comprobado. Sea pues x = {S ua serie covergete y deotemos por S a su suma. Hemos visto que etoces, la serie x es p+ covergete para todo p N y (4) os dice que S S p = x k=p+ p N El primer miembro de esta igualdad puede iterpretarse como el error que se comete al tomar la p-ésima suma parcial de ua serie como valor aproximado de la suma de la serie, y vemos que dicho error se expresa a su vez como la suma de otra serie. Por defiició de la suma de ua serie, sabemos que S = lím S p, luego podemos coseguir que dicho error sea ta pequeño p como queramos, si más que tomar p suficietemete grade. Esto o es ada uevo, pero teer la diferecia S S p expresada como la suma de ua serie, permite co frecuecia resolver u problema práctico importate: saber cómo de grade debemos tomar p para aseguraros que el error se matega detro de u marge prefijado. E otro orde de ideas, coviee cometar que, auque la igualdad (4) requiere obviamete que x esté bie defiido para todo N, la serie x o ivolucra los valores de x para p+ p, así que podemos estudiar su covergecia y, cuado sea posible, cosiderar su suma, si cocretar esos valores. A veces, damos ua defiició geérica de x que o tiee setido para p, si que ello cause igú problema.

7 9. Series de úmeros reales 79 Por ejemplo, podemos cosiderar la serie x = 3 3 ( 2)( ) a pesar de que x o tiee setido para =,2. Como e este caso p = 2, teemos x = x +2 = 3 ( + ) serie que o ofrece igua dificultad. Ya que ha aparecido, vamos a ver que esta serie es covergete y calculamos su suma. Para ello, observamos que k(k + ) = ( k ) = k + + k k=2 luego la serie cosiderada es covergete y podemos escribir = ( + ) = =3 k = + ( 2)( ) N La gama de series covergetes que hasta ahora coocemos puede ampliarse u poco co ua secilla observació: Sea x, covergete co y series covergetes y α,β R. Etoces la serie (αx + βy ) es (αx + βy ) = α x + β y La comprobació de este hecho es imediata. Para cada N, escribimos X = x k, Y = y k, Z = (αx k + βy k ) = αx + βy Por hipótesis las sucesioes {X e {Y so covergetes, luego {Z coverge y (αx + βy ) = lím Z = α lím X + β lím Y = α x + β y E particular, si x es covergete y α R, la serie αx es covergete co αx = α x igualdad que se iterpreta como ua propiedad distributiva del producto de úmeros reales co respecto a la suma de ua serie.

8 9. Series de úmeros reales 80 Tomado α = β =, la igualdad (x + y ) = x + y os da otra especie de asociatividad y comutatividad de la suma de ua serie. 2 Cosideremos por ejemplo la serie Usado el último resultado, esta serie es covergete y su suma viee dada por = 5 ( ) ( ) 3 = Ejercicios. Sea {x e {y sucesioes de úmeros reales verificado que existe p N tal que, para > p se tiee x = y. Probar que la covergecia de x equivale a la de y. E caso de que haya covergecia, explicar la relació etre las sumas de ambas series. { ( ) 2 2. Probar que la sucesió 2 es covergete y calcular su límite k=+ 2 k+ 3 k 3. Supogamos que la serie (x + y ) es covergete. Qué se puede afirmar sobre la covergecia de las series x y y? 4. Probar que las siguietes series coverge y calcular sus sumas: (a) (c) (b) (d) 3 ( + ) ( + ) ( + ) + 5. Dados α,β R y x R, estudiar la covergecia de la serie sea covergete, calcular su suma. 0 αx 2 + β x y, cuado

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