ANEXO A LA PRÁCTICA CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR EN UN CIRCUITO RC

Transcripción

1 ANEXO A LA PRÁTIA ARGA Y DESARGA DE UN APAITOR EN UN IUITO Inroducción. En esa prácica se esudia el comporamieno de circuios. En una primera pare se analiza el fenómeno de carga y en la segunda pare la descarga de un capacior y a parir de los daos obenidos experimenalmene se calcula la consane de iempo τ caracerísica del circuio. arga del capacior. Figura 1 En la figura 1, se muesra un circuio simple en serie. Se supone que el capacior de ese circuio esá inicialmene descargado. No exisirá corriene en ano el inerrupor esé abiero. No obsane, si el inerrupor se mueve hacia la posición A en = 0, la carga comenzará a fluir, esableciendo una corriene en el circuio y el capacior comenzará a cargarse. Observe que durane la carga, las cargas no salan de una placa a la ora del capacior porque el espacio enre las placas represena un circuio abiero. En vez de eso, la carga se ransfiere de una placa a la ora y a sus alambres de conexión gracias al campo elécrico que la fuene de alimenación esablece en los alambres, hasa que el capacior queda compleamene cargado. onforme las placas se cargan la diferencia de poencial aplicada al capacior aumena. El valor de la carga máxima en las placas dependerá del volaje de la fuene de alimenación. Una vez que se alcanza la carga máxima, la corriene en el circuio es igual a cero ya que la diferencia de poencial enre las placas del capacior es igual a la suminisrada por la fuene. Para analizar cuaniaivamene ese circuio debemos hacer lo siguiene: Volaje suminisrado por la fuene de alimenación es: Vo. La caída de poencial en el resisor es: V R = ir (de la Ley de Ohm) (1) La caída de poencial en el capacior es: Vc = q (de definición de capaciancia) () La inensidad de corriene en el circuio: i = dq d (3) Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff al circuio de la figura 1 enemos: Vo - dq d R - q = 0 (4)

2 La cual es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, con érmino independiene consane. De la ecuación 1 y enemos: = ir + q Siendo la máxima carga que alcanza el capacior al esar oalmene cargado. = Vo (5) De 3: Reordenando: = dq d R + q d = dq ( q) Inegrando con los respecivos límies: 1 d 0 = q () dq 0 ( q) = ln q () ln( ) - = ln q () Aplicando exponencial y dividiendo enre, enemos: De la ecuación, obenemos: q () = (1 e / ) V () = Vo (1 e / ) Dado que el exponene de e no puede ener unidades, podemos asegurar que el érmino, iene unidades de iempo, en ese caso segundos (s), de esa forma el exponene de e queda adimensional. A ese érmino se le conoce como la consane de iempo del circuio y su símbolo es la lera griega Tau (τ). τ = La consane de iempo (τ), represena el inervalo de iempo durane el cual la corriene disminuye hasa 1/ e de su valor inicial; es decir, en un inervalo de iempo τ, la corriene decrece a i = Io / e = 0,368 Io. De igual manera, en un inervalo de iempo τ la carga aumena de cero a Vo(1 e 1 ) = 0,63 Vo. Si eso lo expresamos en érminos de diferencia de poencial, enemos que para una τ el volaje en el capacior es 0,63Vo, dicho de ora manera a una τ la diferencia de

3 poencial enre las placas del capacior es el 63 % del volaje aplicado por la fuene de alimenación y queda una diferencia del 37 % para alcanzar al valor de Vo. A un iempo igual a τ de ese 37% se aumenará el volaje oro 63% y así sucesivamene hasa alcanzar el valor de Vo, en ese momeno el valor de la diferencia de poencial enre las placas del capacior y el valor del volaje aplicado al circuio deberán ser iguales. Vc = Vo Ese valor lo obendremos en aproximadamene cinco consanes de iempo 5τ iempo en el cual se considera el capacior oalmene cargado, aunque eso en la realidad nunca sucede ya que se requiere un iempo infinio para que eso ocurra, dado que siempre quedará un remanene del 37% vacío por más pequeño que ese sea. Para obener las ecuaciones para deerminar la carga en el capacior y la corriene en el circuio en un iempo, nos apoyaremos en las ecuaciones 1 y 5. arga en el capacior a cualquier iempo : Inensidad de corriene a cualquier iempo : Descarga del capacior. q = Vo 1 e i = Vo e R Supóngase ahora que el capacior de la figura 1 esá compleamene cargado a un poencial Vo igual a la de la fuene de alimenación del circuio. En un nuevo iempo = 0, el inerrupor se mueve de la posición A hacia B para que el capacior pueda descargarse a ravés del resisor R. La forma en que varía la carga q() del capacior con respeco al iempo y la corriene i() por el circuio de descarga enre el capacior y el resisor, esá definido por la ecuación diferencial número 4, excepo que ahora, sin fuene de alimenación en el circuio, quedando de la siguiene manera. La solución a esa ecuación diferencial es la siguiene: R dq d = q R dq d + q = 0 Despejamos R al segundo miembro y pasamos d al primer miembro muliplicamos oda la ecuación por -1. dq q = d Inegramos con los respecivos límies de inegración en ambos lados. Donde q (=0) = q o q() 1 q dq qo = 1 d 0 ln (q ) ln(q o ) =

4 q q o = e / arga del capacior a cualquier iempo : q () = q o e / (6) q o (= Vo) es la carga inicial del capacior. La ecuación (6) indica que q decrece exponencialmene con el iempo, a una rapidez esablecida por la consane de iempo del capacior τ =. En el iempo = τ, la carga del capacior se ha reducido a q o e 1, o sea al 37 % del valor inicial, dicho de ora manera se ha perdido el 63% de la carga inicial quedando únicamene el 37% de dicha carga. Nóese que una τ mayor significa un mayor iempo de descarga. Si la ecuación (6) la derivamos con respeco al iempo, obendremos la corriene i (): i = dq d = q o e / Esa ecuación nos indica que la corriene ambién decrece exponencialmene con el iempo, a una rapidez esablecida por τ. El signo (-) nos indica que la corriene circula en senido opueso al proceso la carga del capacior y puede ser despreciado. Para obener la diferencia de poencial en la descarga del capacior a cualquier iempo dividimos la ecuación (6) enre. Dividiendo enre, enemos: q () = q o / e Diferencia de poencial en a cualquier iempo : V = Vo e / Para obener una línea reca de esa ecuación, la reordenamos y a esa nueva ecuación le aplicamos el méodo de cuadrados mínimos (MM). ln V = 1 + ln Vo Y = m X + b Balance energéico durane la carga del capacior en el circuio. La energía aporada por la fuene de alimenación hasa el insane es: E b = V 0 o i d = V o 1 e La energía disipada en el resisor hasa el insane es:

5 E R = i 0 R d = V o 1 e La energía almacenada en el capacior en forma de energía poencial es: E = q = V o Teniendo ya esos res daos podemos comprobar que: 1 e E b = E R + E