Transferencia de Calor Cap. 2. Juan Manuel Rodriguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

Transcripción

1 Transferencia de Calor Cap. 2 Juan Manuel Rodriguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

2 Ecuación de la conducción de calor.

3 Ecuación de la conducción de calor. Objetivos Entender la multidimensionalidad y la dependencia de la transferencia de calor respecto al tiempo. Estudiáremos las condiciones en las cuales se puede realizar una aproximación de una problema de transferencia de calor al caso unidimensional. Identificar las condiciones térmicas en las superficies y expresarlas en forma matemática Obtener las distribuciones de temperaturas y flujo de calor dentro de un medio.

4 Ecuación de la conducción de calor. Objetivos Estudiar la conductividad de calor en sólidos con conductividad dependiente de la temperatura. Analizar la generación interna de calor en sólidos.

5 Conducción de calor.

6 Conducción de calor. Conducción de calor: transferencia de energía térmica de las partículas más energéticas de un medio hacia las menos energéticas adyacentes. La conducción de calor tiene lugar en sólidos, líquidos y gases, siempre y cuando el medio no tenga un movimiento masivo. La temperatura es un escalar. El flujo de calor es una cantidad vectorial: tiene magnitud y dirección.

7 Conducción de calor. Se recomienda trabajar con un sistema de coordenadas e indicar la dirección con los signos más o menos. Una cantidad positiva indica que la transferencia de calor es en la dirección positiva. Una cantidad negativa indica que la transferencia de calor es en la dirección negativa. La fuerza impulsora para cualquier forma de transferencia de calor es la diferencia de temperatura.

8 Conducción de calor.

9 Conducción de calor. Conocer la distribución de temperatura en un medio sirve para estimar la transferencia de calor, la expansión térmica del medio y el esfuerzo térmico. En coordenadas cartesianas la temperatura en un punto (x,y,z) en el instante de tiempo t, se expresa como T(x,y,z,t).

10 Estacionaria vs. transitoria El término estacionario implica que no hay cambio con el tiempo de cualquier variable (ej. Temperatura) en cualquier punto del medio. El término transitorio implica variación con el tiempo o dependencia con respecto al tiempo. La mayoría de problemas de transferencia de calor son de naturaleza transitoria, suelen analizarse como problemas estacionarios (son más fáciles de analizas).

11 Fenómeno multidimensional Transferencia de calor tridimensional: la temperatura varia a lo largo de las tres direcciones primarias dentro del medio. En el caso tridimensional, la temperatura se expresa como T(x,y,z,t). En algunos casos la temperatura varia principalmente en dos direcciones primarias, la variación de la temperatura en la tercera dirección es despreciable. (bidimensional) Si la temperatura en el medio varia en una sola dirección y, la variación de temperatura y el flujo calor en las otras dirección es despreciable. (unidimensional).

12 Ley de Fourier Considere un medio en el cual la distribución de temperatura es tridimensional!q = k T x A x, T y A y, T z A z

13 Generación de calor. La energía eléctrica que pasa a través de una resistencia. Reactores nucleares: fisión nuclear. Reacciones químicas exotérmicas.

14 Ecuación unidimensional de calor. Pared plana de una casa. El vidrio de una ventana de una sola hoja. La placa metálica de una plancha. La pared de un recipiente esférico. Una bola metálica que está siendo templado por inmersión revenida. La conducción de calor en las anteriores configuraciones geométricas se puede considerar unidimensional, debido a que la conducción en una de las direcciones es dominante y en las otras es despreciable.

15 Conducción de calor en una pared plana grande. ρ La pared tiene densidad El calor especifico de la pared es c El área perpendicular a la dirección de transferencia de calor es A. El espesor de la pared es L

16 Conducción de calor en una pared plana grande. Razón Razón Velocidad de de de generación Razón de cambio conducción conducción de calor del contenido del del + en el = de energía en calor calor interior el elemento en x en x+δx del elemento!q x!q x+δx +!E gen = ΔE elemento Δt ΔE elemento = E t+δt E Δt = mc(t t+δt T t ) = ρaδxc(t t+δt T t )!E gen =!e gen AΔx

17 Conducción de calor en una pared plana grande.!q x!q x+δx +!E gen = ΔE elemento Δt ΔE elemento = E t+δt E Δt = mc(t t+δt T t ) = ρaδxc(t t+δt T t )!E gen =!e gen AΔx!Q x!q x+δx +!e gen AΔx = ρaδxc(t t+δt T t ) Δt Dividiendo entre AΔx 1 A!Q x+δx!q x Δx +!e gen = ρc(t t+δt T t ) Δt Al tomar el limite Δx 0 y Δt 0 1 A d!q x dx +!e gen = ρc(t t+δt T t ) Δt Usando la Ley de Fourier 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρcdt dt

18 Conducción de calor en una pared plana grande. 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt 1 d A dx 1 d A dx 1 d A dx dt ka dx +!e gen = 0 dt ka dx = ρc dt dt dt ka dx = 0 Régimen estacionario Régimen transitorio (sin generación de calor) Régimen estacionario (sin generación de calor)

19 Conducción de calor en una pared plana grande. Condiciones de frontera e iniciales 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt Las anterior ecuación diferencial no incorporan información relacionada con las condiciones sobre las superficie, como la temperatura de la superficie o un flujo especifico de calor. La expresión matemática de las condiciones térmicas en las frontera se llama condiciones de frontera. Es necesario fijar el valor de la temperatura o del flujo de calor para obtener una solución única de la ecuación diferencial (condición de frontera). La temperatura en cualquier punto del medio depende de la condición del medio al inicio del proceso de conducción de calor (condición inicial).

20 Conducción de calor en una pared plana grande. Condiciones de frontera de temperatura especifica 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt En el caso de una pared plana, con transferencia de calor unidimensional, las condiciones de frontera de temperatura se especifican como: T (0,t) = T 1 T (L,t) = T 2

21 Conducción de calor en una pared plana grande. Condiciones de frontera de flujo especifico de calor 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt En el caso de una pared plana, con transferencia de calor unidimensional, las condiciones de frontera de flujo especifico de calor se expresan como: dt (0,t) k = 50 W dx m 2 dt (L,t) k = 50 W dx m 2

22 Conducción de calor en una pared plana grande. Condiciones de frontera de flujo especifico de calor: frontera aislada. 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt En la practica, algunas superficies se aíslan con el fin de minimizar la perdida o ganancia de calor a través de ellas. Una superficie bien aislada se puede considerar como una con un flujo especifico de calor de cero. dt (0,t) k = 0 dx T (L,t) = 60ºC Sobre una superficie aislada, la primera derivada de la temperatura con respecto a la variable espacial es cero

23 Conducción de calor en una pared plana grande. Condiciones de frontera de flujo especifico de calor: frontera aislada. 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt Algunos problemas de transferencia de calor poseen simetría en las condiciones térmicas impuestas k dt (L / 2,t) dx T (0,t) = T 1 T (L,t) = T 1 = 0

24 Conducción de calor en una pared plana grande. Condición de convección en la frontera 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt La condición de convección de frontera se basa en un balance de energía superficial expresado como: conducción de calor en la superficie en una dirección seleccionada = convección de calor en la superficie en la misma dirección dt (0,t) k = h 1 (T 1 T (0,t)) dx dt (L,t) k = h 2 (T (L,t) T 2 ) dx

25 Conducción de calor en una pared Condición de radiación de frontera 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt En las aplicaciones espaciales y criogénicas, una superficie de transferencia de calor está rodeada por un espacio vacío y, por tanto, no tiene transferencia por convección entre la superficie y el medio radiante. plana grande. dt (0,t) k dx dt (L,t) k dx 4 = ε 1 σ (T alred,1 T (0,t) 4 ) = ε 2 σ (T (L,t) 4 4 T alred,2 )

26 Conducción de calor en una pared Condiciones de frontera en la interface plana grande. 1 d A dx dt ka dx +!e gen = ρc dt dt Algunos cuerpos están formados por capas de materiales diferentes y la resolución de un problema de transferencia de calor en un medio de ese tipo requiere determinar la transferencia en cada capa. Las siguientes condiciones se deben satisfacer en la interface 1) Los dos cuerpos en contacto deben tener la misma temperatura en el área de contacto. 2) El flujo de calor sobre ambos lados de la interface debe ser el mismo. T A (x 0,t) = T B (x 0,t) k A dt (x 0,t) dx = k B dt (x 0,t) dx

27 Resolución de problemas unidimensionales de conducción de calor en régimen estacionario

28 Resolución de problemas unidimensionales de conducción de calor en régimen estacionario

29 !Q pared = ka dt dx = 70kA L Resolución de problemas unidimensionales de conducción de calor en régimen estacionario 1 d A dx d 2 T dx 2 = 0 dt ka dx = 0 T (0) = 120ºC T (L) = 50ºC T (x) = C 1 x + C 2 T (0) = C 2 = 120 T (L) = C 1 L +120 = 50 C 1 = L T (x) = 70 L = 70 L x +120 = 50

30 Conducción de calor en la placa base de una plancha d 2 T dx 2 = 0 dt (0) k =!q 0 dx dt (L) k dx = h[ T (L) T ] T (x) = C 1 x + C 2 kc 1 =!q 0 [ ] kc 1 = h C 1 L + C 2 T C 1 =!q 0 k C 2 =!q 0 h + T +!q 0L k T (x) = C 1 x + C 2 =!q 0 k x +!q 0 h + T +!q L 0 k

31 Conducción del calor en una pared d 2 T dx 2 = 0 calentada por radiación solar T (0) = T 1 dt (L) k dx = εσ T (L) 4 4 T espacio α!q solar T (x) = C 1 x + C 2 C 2 = T 1 kc 1 = εσ (C 1 L + T 1 ) 4 4 T espacio α!q solar T (x) = C 1 x + C 2 = C 1 x + T 1 Donde C 1 es la constante que resuelve la siguiente ecuación no lineal kc 1 = εσ (C 1 L + T 1 ) 4 4 T espacio α!q solar

32 Conducción del calor en una pared d 2 T dx 2 plana con generación de calor +!e gen k = 0 T ( L) = T 1 T (L) = T 2 T (x) =!e gen k x2 + C 1 x + C 2 T (L) =!e gen k L2 + C 1 L + C 2 T ( L) =!e gen k L2 C 1 L + C 2 C 1 = T 2 T 1 2L C 2 =!e gen 2k L2 + T + T T (x) =!e gen L2 2k x2 (1 L ) + T 2 T 1 2 2L x + T 1 + T 2 2 kc 1 = εσ (C 1 L + T 1 ) 4 4 T espacio α!q solar