OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:

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1 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUEB DE CCESO ESUDIOS UNIVERSIRIOS (LOE) EMEN MODELOCURSO - MEMÁICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II INSRUCCIONES: El lumno deerá elegir un de ls dos opiones o B que igurn en el presente emen ontestr rondmente los utro ejeriios de que onst dih opión. Pr l reliión de est prue puede utilirse luldor ientíi, empre que no dispong de pidd de representión grái o de álulo mólio. IEMPO: minutos. OPCIÓN Ejeriio. (Puntuión máim: puntos) Se onder el guiente stem linel de euiones, dependiente del prámetro rel k: k k k k k k ) Disútse el stem pr los dierentes vlores de k. ) Resuélvse el stem en el so en que teng ininits soluiones. ) Resuélvse el stem pr k. Soluión.. El stem est desrito por l mtri de oeiientes () l mtri mplid (*). k k k k k * k * rg rg * n k k k Si el, rg rg * n. Sistem omptile determindo. Se disute el tipo de soluión pr los vlores del prámetro K que nuln el determinnte de l mtri de oeiientes. k k det k k ( k k) k k ( k )( k ) k : k : ( k )( k ) : k : k Disuón: i. Si k,. rg rg * n. Sistem omptile determindo ii. Si k :. rg <. Se us un menor de orden dos distinto de ero pr ompror l mtri tiene rngo. rg. El rngo de l mtri mplid se estudi en los menores orldos. De los dos menores orldos, uno de ellos es el determinnte de l mtri de oeiientes, por lo tnto solo qued por estudir rg *. Sistem omptile indetermindo (rg rg * < n ). Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO (L.O.E.)

2 Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO (L.O.E.) iii. Si k :. rg <. Se us un menor de orden dos distinto de ero pr ompror l mtri tiene rngo. rg. El rngo de l mtri mplid se estudi en los menores orldos. De los dos menores orldos, uno de ellos es el determinnte de l mtri de oeiientes, solo qued por estudir rg *. Sistem inomptile indetermindo (rg rg * ).. Se pide resolver el stem omptile indetermindo (k ):. Por ser de rngo, el stem tiene dos euiones linelmente independientes por lo que se dee eliminr un. unque en este so qued lro que deerá ser l ª o l ª (son igules), nte ulquier dud, se eliminrn ls que no ormen prte del menor de orden dos distinto de ero. Pr resolver el stem, se trnsorm un vrile en prámetro se resuelve el stem en unión de él. L vrile que se trnsorm en prámetro en l que sus oeiientes no ormron prte del menor de orden dos distinto de ero ( λ) λ λ : λ λ λ Soluión: (λ, λ, λ) λ R.. k :. Sistem omptile determindo. Se resuelve por ulquier método (Crmer). k k k

3 Ejeriio. (Puntuión máim: puntos) Un empres de produtos de limpie ri js de rtón on tp, pr omerilir un determindo tipo de detergente. Ls js son prisms retos de m de volumen se retngulr de lrgo igul l dole de su nhur. Clúlese ls dimenones en entímetros (lrgo, nhur, ltur) que h de tener d j pr que l superiie de rtón empled en su riión se mínim. Soluión. Se pide optimir el áre lterl de l j onoido su volumen. 7 : : : 7 7 : El mínimo se lul igulndo l primer derivd ero. 7 7 : 8 : : 7 8 Pr onirmr que se trt de un mínimo se sustitue l rí de l primer derivd en l segund derivd 8 7 : 8 7 ( ) 8 8 > Mínimo Ls dimenones de l j de m áre lterl mínim deen se m Ejeriio. (Puntuión máim: puntos) Un ols ontiene dos moneds equilirds. Un de ls moneds tiene r ru l otr dos rs. Se elige l her un moned de l ols se ln dos vees onseutiv on independeni, oservándose dos rs. Cuál es l proilidd de que l moned elegid se l moned de dos rs? Soluión. Proilidd ondiiond. Pro de lnr on l moned de dos r p Pro de otener dos rs Pro de lnr on l moned de dos r Pro de lnr on l moned de dos r o Pro de otener dos rs on l moned on r ru 8 p 8 8 Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO (L.O.E.)

4 Ejeriio. (Puntuión máim: puntos) Se supone que l onentrión de CO en el ire de un determind región, medid en prtes por millón (ppm), se puede proimr por un vrile letori on distriuión norml de desviión típi igul ppm. ) Clúlese el número mínimo de oserviones neesris pr que el vlor soluto de l diereni entre l medi de l polión l medi muestrl se menor o igul que ppm on un nivel de onin mor o igul que el %. ) Determínese un intervlo de onin del % pr l onentrión medi de CO en el ire de l región l muestr elegid ontiene oserviones l onentrión medi muestrl es igul ppm. Soluión.. Se pide lulr el tmño muestrl onoido el error máimo dmitido ( ppm), l desviión típi de l vrile ( ppm) el nivel de onin eigido (%). σ σ ε má > Zα ; n > Zα n ε má El vlor rítio de Z Z α se lul prtir del nivel de onin ( α) α Z α φ, : Zα φ φ α, : α, (,7), Sustituendo en l epreón iniil se lul el número de dtos de l muestr. σ n > Zα, 8, ε n 8 má. Intervlo de onin pr l medi polionl onoid l medi de un muestr de oserviones. o Z, σ σ α Z, Z : o α o α :,,, n n σ n (, ;,) Con un nivel de onin de % se puede estimr que l medi de l onentrión de CO en el ire de un determind región v estr omprendid entre,, ppm. Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO (L.O.E.)

5 Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO (L.O.E.) OPCIÓN B Ejeriio. (Puntuión máim: puntos) Se onder l mtri ) Clúlese los vlores de pr los ules no eiste l mtri invers. ) Pr, lúlese l mtri B. ) Pr, lúlese l mtri que stise l euión mtriil: Soluión.. L ondiión neesri suiiente pr que un mtri no teng invers es que su determinnte se ero (mtri ngulr). : ± L mtri no tiene invers pr ±.. B dj B Se despej l mtri de l euión teniendo en uent que el produto de mtries no es onmuttivo, que el produto de un mtri por su invers es l mtri identidd que l mtri identidd es el elemento neutro del produto de mties. ; ; ; I ; I ; Hiendo uso de los álulos del prtdo nterior: 7

6 Ejeriio. (Puntuión máim: puntos) Se onder l unión rel de vrile rel deinid por: < > ) Clúlense,,, pr que l unión se ontinu en todos los punto derivle en. ) Pr, lúlese,, pr que l unión se ontinu en todos los puntos lúlese el áre del reinto plno otdo limitdo por l grái de el eje O. ) Pr,, lúlese l integrl deinid d Soluión.. Pr que l unión se ontinu en R, dee ser ontinu en en, que son los puntos ronter. Pr que l unión se ontinu en : ( ) ( ) : Pr que l unión se ontinu en : ( ) ( ) : Pr que l unión se derivle en :. < < < : ( ) : > Sustituendo los vlores de en l segund iguldd se otiene. 8 ; Pr que l unión se ontinu en todo R derivle en ero, su epreón dee ser: < 8 > < > Pr que l unión se ontinu en R, dee ser ontinu en en, que son los puntos ronter. Pr que l unión se ontinu en : Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO (L.O.E.)

7 Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO (L.O.E.) 7 : Pr que l unión se ontinu en : : Sustituendo el vlor de en l segund iguldd se otiene. ; > < Pr lulr el áre omprendid entre l unión el eje O es onveniente esor l grái de l unión, de orm que nos permit identiir ms áilmente lo limites del reinto. L gri de l unión est ormd por tres rets, pr representrl st on lulr un pr de puntos de d intervlo. El áre que se pide es d, integrl que se resuelve plindo ls propieddes de l regl de Brrow. d d d ( ] [ ] [ ] [ ] u. > < L integrl d se resuelve plindo ls propieddes de l regl de Brrow. d d d d d ( ] [ ] [ ]

8 Ejeriio. (Puntuión máim puntos) Un esuel de ntión oree ursos de iniiión pereionmiento en ls tegorís pre-enjmín (7-8 ños), enjmín (- ños), levín ( - ños). L guiente tl ontiene inormión on el número de nddores mtriuldos en d urso: Pre-enjmín Benjmín levín otl Iniiión 7 Pereionmiento 8 otl 8 Se elige l r un nddor de l esuel. ) Cuál es l proilidd de que este en el urso de iniiión? ) Cuál es l proilidd de que esté en el urso de pereionmiento o ien se levín? ) Si el nddor elegido es un enjmín, uál es l proilidd de que esté en el urso de pereionmiento? d) Si el nddor elegido está en el urso de iniiión, uál es l proilidd de que se enjmín? Soluión. Los dtos que preen en el udro de ontingeni, permite resolver los utro prtdos utilindo únimente l deiniión iomáti de proilidd. Número de sos voles de p Número de sos totles nº nddores en el urso de iniiión p nº totl de nddores 8. ( Iniiión) pereionmiento levín pereionmiento levín otles p ( pereionmiento o levín) 7. d. pereionmiento enjmín p pererionmiento enjmín enjmín enjmín e iniiión 7 p enjmín iniiión iniiión 7 Ejeriio. (Puntuión máim puntos) Se supone que l tenón de un tipo de líne elétri se puede proimr por un vrile on distriuión norml de medi µ V desviión típi σ V. Cuál es l distriuión de l tenón medi de utro línes elétris de este tipo, tomds l r on independeni? Soluión. Se pide el tipo de distriuión que guen ls medis de muestrs de utro oserviones de un vrile que gue un distriuión norml de prámetros onoidos. n : N( V, V) : N V, V N( V, V) Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO (L.O.E.) 8